新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径 精品导学案 新人教版
垂直于弦的直径 课题：24.1.2垂直于弦的直径 序号：学习目标：1、知识与技能（1）理解圆的轴对称性；（2）了解拱高、弦心距等概念；（3）使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题；2、过程与方法：通过研究圆的轴对称性，得到垂径定理的有关结论，并学会运用这些结论解决一些有关证明。
计算和作图问题。
3、情感.态度与价值观：引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
学习重点：“垂径定理”及其应用学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明导学过程：. 一、课前预习：阅读课本P80---81的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
. 二、课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》83页的问题导学2. 出示任务，自主学习阅读教材80.81页的有关内容，尝试解决下面的问题：（1）同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。
问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________（2）在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？（3）若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？（4）要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
（5）猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知， 然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？②若只证AE=BE ，还有什么方法？3.合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示 与反馈检查预习情况，解决学生疑惑。
四、课堂小结：垂径定理：分析：给出定理的推理格式A B C DO A B C D O A B C D O E推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且五、达标检测：1.辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？2. 83页《导学案》.自主测评1—4题课后作业:1、必做题：教材88页习题24.1 5-8题板书设计：24.1.2垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
《24.1.2垂直于弦的直径》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《垂直于弦的直径》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“垂直于弦的直径”，是初中数学中关于圆的基础知识之一。
通过本课的学习，学生将掌握垂直于弦的直径的定理及其应用，为后续学习圆的性质、计算以及解决实际问题打下基础。
二、学习目标1. 理解垂直于弦的直径的定理，并能够运用该定理解决简单的几何问题。
2. 掌握通过作图、计算等方式，验证垂直于弦的直径定理的正确性。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直观能力，提高学生的数学思维能力。
三、评价任务1. 评价学生对垂直于弦的直径定理的理解程度，通过课堂提问和互动进行观察和记录。
2. 评价学生运用定理解决问题的能力，通过布置相关练习题，观察学生的完成情况和正确率。
3. 评价学生的作图和计算能力，通过学生的作图和计算过程及结果进行评价。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出本课的学习主题——垂直于弦的直径。
2. 新课讲解：（1）讲解垂直于弦的直径的定理，包括定理的内容和定理的应用。
（2）通过作图、计算等方式，验证定理的正确性。
（3）举例说明定理在解决实际问题中的应用。
3. 学生活动：学生分组进行作图、计算等实践活动，加深对定理的理解和掌握。
4. 课堂小结：总结本课学习的重点和难点，强调垂直于弦的直径定理的重要性和应用价值。
五、检测与作业1. 检测：通过布置相关的练习题，检测学生对垂直于弦的直径定理的理解和运用能力。
2. 作业：布置适量的练习题和作业，包括作图、计算和应用等方面，要求学生认真完成并加以复习。
六、学后反思1. 本课的教学重点和难点是否把握得当？是否需要根据学生的实际情况进行调整？2. 学生在学习过程中是否存在困惑或疑问？如何帮助学生解决这些问题？3. 本课的教学方法和手段是否有效？是否需要采用更多的互动式教学或实践式教学方式？4. 学生在作图、计算和应用等方面是否存在不足？如何加强这方面的训练和提高？通过本课的反思，教师可以更好地了解学生的学习情况和自己的教学效果，从而调整教学策略，提高教学质量。
新人教版九年级数学上册24.1.1垂直于弦的直径(2)导学案
新人教版九年级数学上册24.1.1垂直于弦的直径（2）导学案
学习目标：1.掌握垂径定理及相关结论，
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题。
重点：垂径定理、垂径定理的推论以及它们的应用。
难点：垂径定理及推论的条件和结论的区分，垂径定理的证明。
学习过程：
一、学习研讨
例：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为36米，
拱高（弧的中点到弦的距离）为6米，求出赵州桥主桥拱的半径。
三、巩固练习
1．一架桥的主桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦长)为30m, 拱高
（弧的中点到弦的距离）为5m, 你能求出这架桥主桥拱的半径吗?
2．下图是一个输油管道的横截面．为了测量输油管道的半径．先测得
简记
了油深为CD=10cm ，然后又测得了油面的宽度AB=60cm ，
你能根据所提供的数据求得输油管道的半径吗？
3．下图是一个输油管道的横截面．输油管道的半径是50cm ．油面
的宽度AB=60cm ，你能根据所提供的数据求出油的深度吗？
四、学后反思：
简记。
24.1.2垂直于弦的直径 教案 人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：1.知识与技能：（1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。
（2）掌握垂径定理的内容及几何语言。
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。
2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。
（2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。
3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重难点：【重点】垂径定理及其应用【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。
教学准备：多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具一、情境引入我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？二、实践探究1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。
课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。
2.活动2: 在圆形纸片上操作：①找出圆心，记作O②作出一条直径，与⊙O交于C、D③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。
沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合。
相等的线段: ，相等的弧: .思考：如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？【证明定理】动手操作之后，我们现在来进行理论证明。
学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版九年级上册数学《垂直于弦的直径》导学案
《圆》第一节垂直于弦的直径导教案主编人：主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技术】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其余结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些相关证明、计算和作图问题3认识拱高、弦心距等观点【过程与方法】经历研究发现圆的对称性，证明垂径定理及其余结论的过程，锻炼思想质量，学习证明的方法【感情、态度与价值观】在学生经过察看、操作、变换、研究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培育学生的新意识，优秀的运用数学【要点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程 :一、自主学习（一）复习稳固判断：1、直径是弦，弦是直径。
（）2、半圆是弧，弧是半圆。
（）3、周长相等的两个圆是等圆。
（）4、长度相等的两条弧是等弧。
（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。
（）6、在同圆中，优弧必定比劣弧长。
（）7、请在图上画出弦CD，直径 AB. 并说明 ___________________________ 叫做弦；_________________________________叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出观点及表示方法. 弧： ____半圆： _________________________优弧：________________ _表示方法：__劣弧： _______________________________,表示方法：______9、齐心圆 : ___________________ _等圆: ___________________________.10、同圆或等圆的半径_______. 等弧 : _______________________（二）自主研究请同学按下边要求达成下题：如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径CD，使 CD⊥ AB，垂足为M．（ 1）如图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？圆是对称图形，其对称轴是随意一条过的直线．（ 2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为何？C 相等的线段：A BM 相等的弧：O这样，我们就获得垂径定理：D垂直于的直径均分弦，并且均分弦所对的两条．表达式：下边我们用逻辑思想给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M求证： AM=BM ，弧 AC=BC，弧 AD=BD.剖析：要证 AM=BM ，只需证 AM 、 BM 组成的两个三角形全等．所以，只需连接OA、?OB 或 AC、 BC 即可．证明：如图，连接 OA、 OB，则 OA=OB在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中CA BM ∴ Rt△OAM≌ Rt△ OBM()O∴ AM=∴点和点∵⊙ O 对于 CD对称对于CD 对称D∴当圆沿着直线CD对折时，点A 与点 B 重合，弧AC与BC重合，AD 与CD重合．∴，，进一步，我们还能够获得结论：均分弦（）的直径垂直于，并且均分弦所对的两条．表达式：（三）、归纳总结：1．圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论．（四）自我试试：1、辨析题：以下各图，可否获得AE=BE的结论？为何？COO O OA EB A E B A E B A E BD D D2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？CEA BRD注：在半径r,弦 a，弦心距d,拱高 h 四个量中，随意知道此中的个量中，利用定理，就能够求出其余的量。
九年级数学上册《垂直于弦的直径》教案、教学设计
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固垂径定理的相关知识。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，帮助他们找到解题思路。
3.选取部分学生的解答进行展示，分析解题过程中的关键点和易错点，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握垂直于弦的直径的定义，能够准确判断一个直径是否垂直于弦。
2.熟练运用垂径定理及其推论解决相关问题，特别是弦中点、弦心距和弦长之间的关系。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过展示生活中的实例，如桥的拱形、圆形桌面等，引导学生观察并思考其中蕴含的几何原理，为新课的学习做好铺垫。
-通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成体系。
-提出拓展性问题，激发学生思考，为后续学习打下基础。
7.课后作业，反馈评价
-布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
-对学生进行及时的反馈评价，指导他们调整学习方法，不断提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引导学生观察并思考：为什么这些物体都是圆形的？圆有哪些特殊的性质？
4.实践应用，巩固提高
-设计具有层次性的练习题，让学生在解决问题中巩固所学知识，提高解题能力。
-针对不同学生的认知水平，给予个别指导，使他们在实践中不断提高。
5.小组合作，交流分享
-鼓励学生分组讨论，共同解决难题，培养团队协作精神。
-组织学生进行课堂展示，分享解题心得，提高他们的表达能力和自信心。
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》参考教案
（4）利用垂径定理进行的几何证明
教材第82练习第2题。
简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.
在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。
4你能用几何方法证明这些结论吗？
5你能用符号语言表达这个结论吗？
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
1直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
2你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
3如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教
学
过
程
问题与情境
师生行为
备注
创设情境导入新课
1.上节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？
2.在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？
3. 如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。
问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。
问题2由学生思考后进行总结和体会。
问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案(新版)新人教版
BE 构成的两个三角形全等．因此，只
要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可．
证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB
在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中
OA=OA
OE=OE
∴Rt△OAE≌Rt△OBE
∴AE=BE
∴点 A 和点 B 关于 CD 对称
∵⊙O 关于直径 CD 对称
∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A
垂直于弦的直径
教学目标 知 识 理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决一些实际问题．
与技
能
过 程 利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线
与 方 都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定
法 理，并辅以逻辑证明加予理解．
情 感 从圆基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动
态 度 几何的观点，增强审美意识．
与价
值观
重点
垂径定理及其运用．
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型 新授课
教学准备 小黑板
教学流程 教师活动
学生活动
二次备课
一、自主学 1、知识回顾
回忆
习
圆的定义
2、出示学习目标
明确目标
理解垂径定理并灵活运用垂径定理解
决一些实际问题．
出示自学提纲
阅读提纲，
⑴1．圆是轴对称图形吗？如果是，它 （1）~（7）
的对称轴是什么？•你能找到多少条
对称轴？ ⑵你是用什么方法解决上述问题的？ ⑶如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 E．
你能发现图中有哪些等量关系？说一
人教版九年级数学上册导学案：24.1.2垂直于弦的直径
一、自主预习请按下面要求完成下题：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ①相等的线段： ， 相等的弧： ，②下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ，垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：2、已知CD 是直径，且平分弦AB ，能否得到CD ⊥AB ，且平分弧ADB 及弧AB 。
推论: 平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________． 几何语言表达式：二、合作探究在半径为50mm 的⊙O 中,弦AB 的长50mm 求∠AOB 的度数并计算点O 到AB 的距离.三、展示交流如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ， 圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径.科目 数学班级：学生姓名 课题 24.1.2垂直于弦的直径（1） 课 型新授课时 1主备教师备课组长签字学习目标： 1、经历探索圆的轴对称性及相关性质。
2、理解并应用垂径定理及推论进行相关的计算 学习重点 垂直于弦的直径的性质、推论及其应用学习难点对垂直于弦的的直径的性质、推论的说明过程的理解四、随堂检测 班级： 姓名：1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦（ ） ②平分弦的直径必垂直弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ） ④弦的垂直平分线是圆的直径（ ）⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（ ）⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（ ） 2、在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm, 求弦AB 的长（拔高练习题) 3、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30求弦CD 长？BA CE DO。
最新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质教学设计
24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。
教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程揭示课题揭示课题电脑上用几何画板上作图：（1）做一圆(2) 在圆上任意作一条弦 AB；(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径）在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E师生互动师生互动运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系猜想： AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质拓展升华如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论学生自主探证通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标OEDCBA九、板书设计教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
新人教版九年级数学上册导学案： 24.1.2 垂直于弦的直径
新人教版九年级数学上册导学案：24.1.2垂直于弦的直径学习目标1、知道圆的轴对称性，会利用它探究垂径定理及其推论。
2、熟记垂径定理及其推论，并会用它们解决一些有关证明，计算和作图问题。
预习导学一知识链接：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。
3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
二、探究新知：1、自主探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论。
结论：_________________________________________________________2、自主探究：如图,AB是⊙O的一条弦，作直径CD。
使CD⊥AB于E，那么，图（3）是轴对称图形码？若是，它的对称轴是什么？图中有哪些相等的线段和弧？为什么？思考：垂直于弦的直径有什么性质？（垂径定理）________________________________________________3、自主探究：观察思考：如上图①若CD是直径，且平分弦AB，能否得到CD⊥AB，且平分和？②若直线CD⊥弦AB，且平分AB，能否得到CD经过圆心且平分与？③若CD是直径，且平分，能否得到CD⊥AB且平分AB？总结归纳：对于一个圆和一条直线，如果一条直线具备：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其它三个。
教师引导、学生自我小结垂径定理：垂直于弦的直径______________________________ ．推理形式：∵在⊙O中，CD是直径，CD⊥AB∴ AE=BE，= , = 【温馨提示】1、结合实际引入本节知识2、请做出草图3、自主探究，圆的轴对称性4注意结合图形理解垂径定理⌒AC⌒BC⌒AD⌒BD学以致用1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC,垂足为D，已知OD=5，则弦AC=________．2.若圆的半径为2cm, 圆中一条弦长为23cm, 则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是________cm.3.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_________．4.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为_______．A. 2B. 3C. 4D. 55.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是______．A. 7cmB. 1cmC. 7cm 或4cmD.7cm或1cm6．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
A B
新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案
课 题 垂直于弦的直径 课 型
展示课 执笔人
审核人
级部审核
学习时间
第 周第 导学稿
教师寄语
学习目标
1、理解圆的轴对称性；了解拱高、弦心距等概念。
2、掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算。
（重点）
3、垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。
（难点）
学生自主活动材料
一.前置性自学
1、自学课本80-81页
2、怎样找到右边这个圆的圆心？
问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______
②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。
3、在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是怎样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
二.小组反馈
1、若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
2、在纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？
3、垂径定理：
推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 4、下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？
三合作探究
1、已知：在圆O 中，弦AB=8，O 到AB 的距离等于3，求圆O 的半径。
2、已知直径是1000mm 的圆柱形水管截面如图所示，若水面宽800 AB mm ，求水的最大深度、
四.展示交流
A
B C
D
O A B C D O A B C D O E A B C D O E A B O E
A B O E D A B O
E D
B A O
M
O A
B
P
1、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5， 求⊙O 的半径的长。
2、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦长为 . 最长弦长为_______．
五.拓展提升
1、已知一段弧AB ，请作出弧AB 所在圆的圆心。
2、已知线段AB 和CD 是圆O 的两条平行弦，且与圆心的距离分别为3和4，求此二平行弦之间的距离。
3、如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．
求证：BF AE =．
六.当堂反馈
1、结合图形完成填空： （1） 已知CD 是直径。
CD ⊥AB 于M ，
则__________,___________,_______________. （2） 已知CD 是直径，且平分弦AB ，AB 不是直径，
则____________,____________,_____________.
2、如图⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离O M 的长为3，则弦AB 的长是（ ）
A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
3、如图已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mm C ．3mm D ．4mm
4、如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为M ，CD ＝8，A M ＝2，O M=_______
5、如图，弦cm 24=AB ，直径AB CD ⊥于M ，且cm 8=CM ，求⊙O 的半径。
教学反思
B A C
O M D
┕
第1题 第2题 第3题
第5题
第4题。