2012中考数学复习(48)：正多边形和圆

中考数学复习（48）：正多边形和圆

知识考点：

1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；

2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；

3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；

4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。 精典例题：

【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。

解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径

为6R ，由题意得：AB R 3

3

3=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3；

∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。

【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。

分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 2

1

3602=π＝

扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。

解：设扇形的半径为R ，则180

R

n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020R

ππ＝

，24=R ∴ππ24024202

1

21=??=lR S ＝扇形。

【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部

分的周长。

分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和?

AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200

，因此可求出?

AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。 解：连结OA 、OB

∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠

2

O 1O ??

例1图

B A

例3图

∠APO ＝

2

1

∠APB ＝300 在Rt △PAO 中，AP ＝322

3

430cos 0

=?=?PO OA ＝

2

1

PO ＝2，∴PB ＝32 ∵∠APO ＝300，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ ∴∠AOB ＝300，∴ππ3

4

1802120=?=

?

AB

l

∴阴影部分的周长＝PA ＋PB ＋?

AB ＝π343232++＝)3

4

34(π+cm 答：阴影部分的周长为)3

4

34(π+

cm 。 【例4】如图，已知直角扇形AOB ，半径OA ＝2cm ，以OB 为直径在扇形内作半圆M ，过M 引MP ∥AO 交?

AB 于P ，求?

AB 与半圆弧及MP 围成的阴影部分面积阴S 。

分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP 。PO A PMO BMQ AO B S S S S S 扇扇扇阴－－－?= 解：连结OP

∵AO ⊥OB ，MP ∥OA ，∴MP ∥OB 又OM ＝BM ＝1，OP ＝OA ＝2 ∴∠1＝600，∠2＝300

∴PM ＝32

3

=OP 而ππ31360302==

R S POA 扇，2

321=??=?PM OM S PMO 设PM 交半圆M 于Q ，则直角扇形BMQ 的面积为ππ4

1

412==r S BMQ 扇 ∴)(PO A PMO BMQ AO B S S S S S 扇扇扇阴－++=? ＝???? ??++

-πππ3123414

1

2

R ＝2

3125-π

探索与创新：

【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为O ，现任作小圆的三条切线分别交于A 、B 、C 点，记△ABC 的面积为S ，以A 、B 、C 为顶点的三个阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S ，试判断S S S S -++321是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。

分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中

例4图

O

B

A

有哪些定值。为此设大小圆半径分别为R 和r （R 和r 均为定值），小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为P ，如图有：

P S S S ='++3

21，P S S S =++'321，P S S S =+'+321 ∴P S S S S S S 3)()(2321

321='+'+'+++………① 又∵2321

321)()(R S S S S S S S π=+'+'+'+++ ∴S S S S R S S S -++-='+'+')(3212321

π………② 把②代入①得：23213)(R P S S S S π-=-++（定值） ∴S S S S -++321为定值，这个定值为2

3R P π-。

跟踪训练：

一、选择题：

1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（ ）

A 、

63 B 、43 C 、332 D 、3

3 2、如图，两同心圆间的圆环的面积为π16，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PB PA ? 的值是（ ）

A 、16

B 、π16

C 、4

D 、π4 3、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且?

AC 为半圆的

3

1

，设扇形AOC 、△COB 、弓形B m C 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则下列结论正确的是（ ） A 、1S ＜2S ＜3S B 、2S ＜1S ＜3S

C 、2S ＜3S ＜1S

D 、3S ＜2S ＜1S

?

第2题图 O

P B

A

3

S 2

S 1

S m 第3题图 O

C

B

A

?

?2

O

1O 第4题图

P

B

4、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于P ，它们的外公切线与两圆分别相切于点A 、B ，设⊙O 1的半径为1r ，⊙O 2的半径为2r ，?

AP 的长为1l ，?

BP 的长为2l ，若213r r =，则（ ）

问题图

A 、213l l =

B 、212l l =

C 、212

3

l l =

D 、21l l = 5、如图，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA ＝2，AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连结AC ，则图中阴影部分的面积为（ ） A 、π92 B 、π61 C 、

8361+

π D 、8

3

41-π

第5题图

第6题图 C

O

B

A

6、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝300，AC ＝a 2，BC ＝b ，以直线AB 为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的表面积是（ ）

A 、22a π

B 、ab π

C 、ab a ππ+2

3 D 、)2(b a a +π 二、填空题：

1、扇形的圆心角为1500，扇形的面积为π240cm 2，则扇形的弧长为 。

2、一个圆锥形零件底面圆半径r 为4 cm ，母线l 长为12 cm ，则这个零件的展开图的圆心角

α的度数是 。

3、如图，正△ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，要使扇形ODE 绕O 无论怎样旋转，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的

3

1

，则扇形的圆心角应为

。 第3题图

第4题图

第5题图

4、如图，A 、B 、C 、D 是圆周上的四个点，?

?

?

?

+=+BD AC CD AB ，且弦AB ＝8，CD ＝4，则图中两个弓形（阴影）面积的和是 （结果保留三个有效数字）。

5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（π取3.14） 三、计算或证明题：

1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900，AD ＝4，BD ＝6，求图

中阴影部分的面积。

第1题图

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO

＝15cm，BO＝20cm，求

?

DE的长。

?

第2题图

E

A B

O

C

D

3、如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：

（1）被剪掉（阴影）部分的面积；

（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？

第3题图

4、如图，⊙O与⊙O'外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，E

O'⊥OA于E，且∠AOC＝1200。

（1）求证：⊙O'的周长等于

?

AMC的弧长；

（2）若⊙O'的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。

第4题图

参考答案：

一、选择题：DABCBD 二、填空题：

1、π20cm ；

2、1200；

3、1200；

4、15.4；

5、2.35 三、计算或证明题：

1、π-4；

2、π6；

3、（1）π81

平方米，（2）

8

2

米； 4、（1）证明：由已知得∠AO O '＝600，AB O 'O 为直角梯形，设⊙O 与⊙O '的半径分

别为R 、r ，则cos600

＝r R r R +-，即r R 3=，∴⊙O '的周长为r π2，而?AMC ＝180120R π＝

r π2，∴⊙O '的周长等于?AMC 的弧长。（2）)6

11

34(π-=阴影S cm 2。