概率与统计教案---第二章
概率论与数理统计教案参数估计
概率论与数理统计教案-参数估计教案章节一：参数估计概述教学目标：1. 理解参数估计的定义及意义；2. 掌握参数估计的两种方法：最大似然估计和最小二乘估计；3. 了解参数估计的假设条件。
教学内容：1. 参数估计的定义及意义；2. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 参数估计的假设条件。
教学方法：1. 讲授法：讲解参数估计的定义、意义、方法及步骤；2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解参数估计的方法及应用。
教学难点：1. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；2. 参数估计的假设条件。
教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。
教学过程：1. 引入参数估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 分析实际案例，展示参数估计的应用；4. 讲解参数估计的假设条件；5. 课堂互动，回答学生问题。
作业布置：1. 复习parameter estimation 的定义及意义；2. 学习maximum likelihood estimation 和least squares estimation 的相关知识；3. 思考如何应用parameter estimation 解决实际问题。
教案章节二：最大似然估计教学目标：1. 理解最大似然估计的定义及意义；2. 掌握最大似然估计的计算方法；3. 了解最大似然估计的应用场景。
教学内容：1. 最大似然估计的定义及意义；2. 最大似然估计的计算方法；3. 最大似然估计的应用场景。
教学方法：1. 讲授法：讲解最大似然估计的定义、意义、计算方法；2. 案例分析法：分析实际案例，展示最大似然估计的应用。
教学难点：1. 最大似然估计的计算方法；2. 最大似然估计的应用场景。
教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。
教学过程：1. 引入最大似然估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计的计算方法；3. 分析实际案例，展示最大似然估计的应用；4. 课堂互动，回答学生问题。
(参考)概率统计教案
（参考）概率统计教案第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义与性质介绍概率的定义，理解概率是反映事件发生可能性大小的数值。
掌握概率的基本性质，如概率的非负性、概率的和为1等。
1.2 事件的分类了解互斥事件、独立事件等概念。
学会用树状图、列表等方法列举事件。
1.3 条件概率与随机变量理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算公式。
引入随机变量的概念，了解离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
第二章：随机变量的分布2.1 离散型随机变量的概率分布学习概率质量函数的定义，掌握离散型随机变量概率分布的性质。
学习常见离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量的概率密度理解概率密度函数的定义，掌握连续型随机变量概率密度函数的性质。
学习常见连续型随机变量的概率密度，如均匀分布、正态分布等。
2.3 随机变量分布函数引入随机变量分布函数的概念，理解分布函数的性质。
学会计算随机变量分布函数的值。
第三章：随机变量的数字特征3.1 期望的定义与计算理解期望的定义，掌握期望的计算方法。
学会计算离散型随机变量和连续型随机量的期望。
3.2 方差的定义与计算理解方差的概念，掌握方差的计算方法。
学会计算离散型随机变量和连续型随机量的方差。
3.3 协方差与相关系数了解协方差的概念，掌握协方差的计算方法。
理解相关系数的定义，学会计算相关系数。
第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律学习大数定律的定义，理解其意义。
学会运用大数定律进行推断。
4.2 中心极限定理学习中心极限定理的定义，了解其应用范围。
学会运用中心极限定理进行推断。
第五章：概率统计的应用5.1 抽样调查与估计了解抽样调查的基本原理，学会设计简单的抽样方案。
学习估计量的定义，掌握常用估计量的计算方法。
5.2 假设检验理解假设检验的基本原理，学会构造检验统计量。
学习常见假设检验方法，如Z检验、t检验、卡方检验等。
第六章：样本空间与概率分布6.1 样本空间的概念理解样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
概率与数理统计教案-(2)
《概率论与数理统计》教案东北农业大学信息与计算科学系第一次课（2 学时）教学内容：教材1-6页，主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B •Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
概率与统计教案
难点
教学重点：1、体会统计在实际生活中的应用，发展统计观念。 2、掌握可能性的基础知识，能计算一些简单事件发生的可能性。
教学难点：用自己的语言描述各种统计图的特点。
教具
学具
多媒体课件，实物投影
教
学
过
程
（一）课前整理知识
教师设计表格，学生自主进行整理。
1、预习课本96—99页，完成课本相应的练习。
（2）、清楚地表示各兴趣小组人数的多少，选用扇形统计图比较合适。（ ）
（3）掷硬币10次，恰好出现5次正面朝上，5次反面朝上。 （ ）
（4）画线条统计图时，应该注意直条的宽窄必须一样。 （ ）
3.综合练习（一组）
下面记录的是某班一次数学测验的成绩。将整理数据的结果填写在表格里。 甲组：98 76 80 94 88 94 75 96 87 95 98 58 100 100 95 53 92 乙组：78 92 97 82 85 89 96 79 96 95 92 86 80 94 89 84 76 分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下
教学内容
统计与概率
课时
1
课型
复习课
教学
目标
知识技能目标：复习已学过的统计的初步知识，加深学生对统计的意义及其应用的理解。掌握可能性的基础知识，能计算一些简单事件发生的可能性。
智力能力目标：培养学生归纳整理、灵活运用知识的能力。
情感态度目标：通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。
2、回顾我们学过哪些统计图？它们各自的特点是什么？
（二）课内分享交流
1.小组交流，分享学习成果
这是什么统计图班交流，建立知识系统
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案【篇一：概率论与数理统计教案】《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且p(x?x)?0，其中x为任意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
概率论与数理统计B教案第二章
第二章随机变量及其分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节随机变量的概念内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)X=(eX为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1(讲义例1)在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为S{正面, 反面},=记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面e e e X例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S = 记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH e易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.第二节 离散型随机变量及其分布函数内容要点:一、离散型随机变量及其概率分布定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =i x i , 称,2,1,}{===i p x X P i i为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数.常用表格形式来表示X 的概率分布:n i n p p p p x x x X 2121二、常用离散分布退化分布 两点分布 n 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在n 重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意这与试验的次数n 有关), 如果∞→n 时, λ→n np (0>λ为常数), 则对任意给定的k , 有λλ-∞→=e k p n k b kn n !),,(lim .例题选讲：离散型随机变量及其概率分布例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X 的概率分布.例2 (讲义例2) 设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k aK X P k.试确定常数a .二项分布例3 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.例4 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.例5 (讲义例5) 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布例6 (讲义例6) 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p , 求所需射击发数X 的概率分布. 泊松分布例7 (讲义例7) 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似例8 (讲义例8) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?例9 (讲义例9) 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数5=λ的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?例10 (讲义例10) 自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.课堂练习1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X 的概率分布.第三节 随机变量的分布函数当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.内容要点：一. 随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X 的概率分布为n i n p p p p x x x X 2121则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i p x X P x X P x F )()()(.例题选讲：随机变量的分布函数例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间],[b a 上投点, 记X 为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X 的分布函数.例2（讲义例2）判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ离散型随机变量的分布函数例3（讲义例3）设,2/16/13/1210i p X 求)(x F .例4 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.例5（讲义例4）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.课堂练习1．设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1421i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P第四节 连续型随机变量及其概率密度内容要点：一、 连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量X 的分布函数)(x F ,存在非负可积函数)(x f ,使得对于任意实数x 有.)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数. 关于概率密度的说明1. 对一个连续型随机变量X ,若已知其密度函数)(x f ,则根据定义,可求得其分布函数)(x F , 同时, 还可求得X 的取值落在任意区间],(b a 上的概率:⎰=-=≤<ba dx x f a Fb F b X a P )()()(}{2. 连续型随机变量X 取任一指定值)(R a a ∈的概率为0.3. 若)(x f 在点x 处连续, 则)()(x f x F =' (1)二、常用连续型分布 均匀分布定义 若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f 则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布, 记为),(~b a U X .指数分布定义 若随机变量X 的概率密度为0.,0,0,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ其它x e x f x则称X 服从参数为λ的指数分布.简记为).(~λe X正态分布定义 若随机变量X 的概率密度为.,21)(222)(∞<<∞-=--x e x f x σμσπ其中μ和)0(>σσ都是常数, 则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布. 记为).,(~2σμN X 注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0==σμ时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用)(x ϕ和)(x Φ表示:,21)(22x e x -=πϕ ⎰∞--=Φxt dt e x 2221)(π标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理 设),,(~2σμN X 则).1,0(~N X Y σμ-=标准正态分布表的使用：（1）表中给出了0>x 时)(x Φ的数值, 当0<x 时, 利用正态分布的对称性, 易见有);(1)(x x Φ-=-Φ（2） 若),1,0(~N X 则);()(}{a b b X a P Φ-Φ=≤< （3）若),(~2σμN X , 则),1,0(~N X Y σμ-=故X 的分布函数;}{)(⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=σμσμσμx x X P x X P x F⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤<-=≤<σμσμb Y a P b X a P }{.⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμσμa b例题选讲：连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π求其分布函数)(x F .例2（讲义例1）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数例3（讲义例2）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,0)(2求 (1) 概率}7.03.0{<<X P ; (2) X 的密度函数.常用连续型分布 均匀分布例4 （讲义例3）某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布例5（讲义例4）某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布例6（讲义例5）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 例7 设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？例8（讲义例6）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d ℃，液体的温度X （以℃计）是一个随机变量，且 )5.0,(~2d N X(1) 若 09=d ℃，求X 小于89℃ 的概率；(2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少为多少？例9（讲义例7）某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即166=μ分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B 得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工? 例10（讲义例8）在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.课堂练习1.已知)5.0,8(~2N X ，求 (1) );7(),9(F F (2) }105.7{≤≤X P ;(3) };1|8{|≤-X P(4) }.5.0|9{|<-X P2.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于0.9, x 至少为多少?第五节 随机变量函数的分布讲解注意：一、 随机变量的函数定义 如果存在一个函数)(X g , 使得随机变量Y X ,满足:)(X g Y =,则称随机变量Y 是随机变量X 的函数.注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律.一般地, 对任意区间I , 令})(|{I x g x C ∈=, 则},{})({}{C X I x g I Y ∈=∈=∈ }.{})({}{C X P I x g P I Y P ∈=∈=∈注: 随机变量Y 与X 的函数关系确定,为从X 的分布出发导出Y 的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X 的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i易见, X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量.如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值, 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是},{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈==== .}{}{}{∑∈==∈==ij C x ji i x X P C X P y Y P从而求得Y 的概率分布.三、 连续型随机变量函数的分布一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.设已知X 的分布函数)(x F X 或概率密度函数)(x f X , 则随机变量函数)(X g Y =的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=其中}.)(|{y x g x C y ≤=而}{y C X P ∈常常可由X 的分布函数)(x F X 来表达或用其概率密度函数)(x f X 的积分来表达:⎰=∈yC X y dx x f C X P )(}{进而可通过Y 的分布函数)(x F Y , 求出Y 的密度函数.定理1 设随机变量X 具有概率密度),(),(+∞-∞∈x x f X ,又设)(x g y =处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g ), 则)(X g Y =是一个连续型随机变量,其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0|,)(|)([)(βαy y h y h f y f Y其中)(y h x =是)(x g y =的反函数, 且)).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα例题选讲：离散型随机变量函数的分布例1（讲义例1）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -连续型随机变量函数的分布例2（讲义例2）对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.例3（讲义例3）设⎩⎨⎧<<=其它,040,8/)(~x x x f X X , 求82+=X Y 的概率密度.例4 设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.例5（讲义例4）已知随机变量X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数, 证明)(X F Y =服从]1,0[上的均匀分布.例6（讲义例5）的线性函数试证明设随机变量X N X ).,(~2σμb aX Y +=)0(≠a 也服从正态分布.例7 （讲义例6） 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.例8 （讲义例8） (对数正态分布) 随机变量X 称为服从参数为2,σμ的对数正态分布, 如果X Y ln =服从正态分布),(2σμN . 试求对数正态分布的密度函数.注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（Black —Scholes 公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为0P , 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价格为一个随机变量, 记作1P , 设投资于该资产的连续复合收益率为r , 则有re P P 01=从而0101ln ln lnP P P P r -== 注意到0P 为当前价格, 是已知常数,因而假设价格1P 服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r 服从正态分布.例9（讲义例7）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.课堂练习1. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X -试求: (1) 2X 的分布列; (2) 2X 的分布列.2. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f求X Y sin =的概率密度.。
六年级数学上册《统计与概率》教案
六年级数学上册《统计与概率》教案第一章：认识统计与概率1.1 统计与概率的概念让学生了解统计与概率的定义和基本概念。
解释统计是对数据的收集、处理、分析和解释的过程，而概率是对事件发生可能性的度量。
1.2 数据的收集与整理引导学生了解如何收集数据，包括调查、观察和实验等方法。
教授学生如何整理和展示数据，例如使用表格、图表和统计图。
第二章：概率的基本概念2.1 随机事件与确定事件让学生理解随机事件和确定事件的区别。
通过实例解释必然事件、不可能事件和可能事件的概念。
2.2 概率的计算教授学生如何计算事件的概率，包括简单的概率计算方法。
引导学生运用概率的知识解决实际问题。
第三章：数据的描述与分析3.1 描述数据的统计量让学生了解平均数、中位数、众数等统计量的概念和计算方法。
解释统计量在描述数据集中趋势和离散程度方面的作用。
3.2 分析数据的图表教授学生如何使用条形图、折线图、饼图等图表来展示和分析数据。
引导学生通过图表发现数据中的规律和关系。
第四章：概率的应用4.1 随机抽样让学生了解随机抽样的方法和步骤。
教授学生如何进行随机抽样，并解释其在实际中的应用。
4.2 概率在日常生活中的应用引导学生了解概率在生活中的应用，例如天气预报、彩票等。
通过实例让学生运用概率知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
第五章：综合练习与拓展5.1 统计与概率的综合练习提供一些综合性的练习题目，让学生巩固所学的统计与概率知识。
引导学生运用统计与概率的知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
5.2 统计与概率的拓展介绍一些统计与概率的拓展知识，例如概率论的基本原理、统计学的应用等。
提供一些拓展性的练习题目，激发学生对统计与概率的兴趣和探究欲望。
第六章：频数与频率6.1 频数与频率的概念解释频数与频率的定义，让学生理解它们在统计学中的重要性。
举例说明频数与频率的区别和联系。
6.2 频数与频率的计算教授学生如何计算数据集中的频数与频率。
六年级数学上册《统计与概率》教案
六年级数学上册《统计与概率》教案第一章：认识统计与概率1.1 统计与概率的概念让学生了解统计与概率的定义和基本概念。
通过实例让学生理解统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程，而概率则是对事件发生可能性的大小进行量化描述的方法。
1.2 数据的收集与整理让学生掌握数据收集的方法，如调查、实验等。
学习如何将收集到的数据进行整理和分类，以便于后续的分析。
第二章：数据的描述与展示2.1 数据的描述方法学习使用图表来描述数据，包括条形图、折线图、饼图等。
理解图表能够直观地展示数据的分布和趋势。
2.2 数据的展示技巧学习如何选择合适的图表来展示数据，考虑到数据的类型和展示的目的。
练习制作图表，并通过图表来展示数据的分析结果。
第三章：概率的基础概念3.1 概率的定义与表示理解概率是用来描述事件发生可能性大小的数。
学习如何用概率来表示事件的发生可能性，如0表示不可能事件，1表示必然事件。
3.2 概率的计算方法学习如何通过实验来估计事件的概率。
掌握一些基本的概率计算公式，如互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式等。
第四章：概率的应用4.1 概率在实际问题中的应用通过实例让学生了解概率在现实生活中的应用，如天气预报、彩票等。
学习如何运用概率来解决问题，如估计事件的概率、计算期望值等。
4.2 概率与统计的关系理解概率与统计之间的联系和区别。
学习如何运用概率来支持统计分析，如假设检验、置信区间等。
第五章：概率的综合应用5.1 条件概率与贝叶斯定理学习条件概率的概念，即在给定另一个事件发生的情况下，某个事件发生的概率。
掌握贝叶斯定理的应用，通过已知的后验概率来计算未知的前验概率。
5.2 随机变量与概率分布学习随机变量的概念，即可能取不同值的变量。
学习概率分布的定义和性质，如均匀分布、正态分布等。
第六章：调查方法与数据分析6.1 调查方法的选择学习不同类型的调查方法，如全面调查、抽样调查等。
理解各种调查方法的优缺点及适用场景。
三、统计与概率2、可能性(教案)五年级上册数学人教版
教案：可能性年级：五年级学科：数学教材版本：人教版教学目标：1. 让学生理解可能性的概念，能够用分数、小数和百分数表示简单事件发生的可能性。
2. 培养学生运用可能性知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作、探究的学习精神。
教学重点：1. 可能性的概念。
2. 事件发生的可能性大小的表示方法。
教学难点：1. 事件发生的可能性大小的计算。
2. 可能性在实际生活中的应用。
教学准备：1. 课件、教具。
2. 学生分组。
教学过程：一、导入1. 教师出示一个袋子，袋子里面有红球和白球，让学生猜一猜，从袋子中任意取出一个球，取出红球的可能性大还是取出白球的可能性大？2. 学生分小组讨论，发表自己的观点。
二、新课1. 教师引导学生通过实际操作，感受可能性的大小。
a. 让学生从袋子中取出10个球，记录取出红球和白球的次数。
b. 让学生计算取出红球和白球的可能性，并用自己的语言描述可能性的大小。
2. 教师引导学生用分数、小数和百分数表示可能性的大小。
a. 教师讲解分数、小数和百分数的表示方法。
b. 学生练习用分数、小数和百分数表示可能性的大小。
3. 教师讲解可能性在实际生活中的应用。
a. 抛硬币游戏：让学生抛硬币，记录正反面朝上的次数，计算正反面朝上的可能性。
b. 抽奖活动：让学生设计一个抽奖活动，计算中奖的可能性。
三、巩固练习1. 让学生独立完成课本PXX页的练习题。
2. 教师讲解练习题，解答学生的疑问。
四、课堂小结1. 教师引导学生总结本节课所学内容。
2. 学生分享自己的学习心得。
五、作业布置1. 让学生完成课本PXX页的作业题。
2. 预习下一节课的内容。
教学反思：本节课通过实际操作，让学生直观地感受了可能性的大小，学会了用分数、小数和百分数表示可能性。
在教学过程中，要注意引导学生运用可能性知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
同时，要加强课堂管理，确保每个学生都能参与到课堂活动中来。
重点关注的细节：可能性在实际生活中的应用在数学教学中，理论知识的学习最终都要回归到实际应用中，因此，将可能性知识应用于实际生活是本节课的重点，也是学生理解的难点。
西师大版六年级数学教案《统计与概率第2课时》
西师大版六年级数学教案《统计与概率第2课时》教科书第119~120页例2和第121页课堂活动，练习二十三的第5~7题。
教学目标1．通过复习使学生能进一步熟练地判断简单事件发生的可能性。
2．通过复习使学生能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。
3．通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。
教学过程一、导入教师：在老师的盒子里有5个球，从中摸出1个球，如果摸到的球是红色就可获得奖品。
你希望里面的球是些什么颜色，为什么？如果你是老师你会装些什么颜色的球？为什么？刚才的活动涉及我们学过的什么知识？这节课我们一起来复习可能性。
板书课题：概率复习。
二、回顾整理有关可能性的知识（1）教师：有关可能性的知识你还记得哪些？请在小组内交流。
（2）请学生汇报，并请其他同学补充。
学生：事件发生的可能性是有大小的。
学生：有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。
学生：有些事件的发生是一定的，有些事件的发生是有可能的，还有些事件的发生是不可能的。
三、教学例21．复习体会简单事件发生的三种可能性教师出示一副扑克，当众从中取走J，Q，K和大小王。
教师：现在从中任抽一张，请你判断下面事件发生的可能性。
（1）抽到的牌上的数比11小。
学生：一定发生，因为剩下的所有扑克点数都比11小。
（2）抽到的牌是黑桃Q。
学生：不可能发生，因为所有的Q都被拿走了。
（3）抽到的牌是方块2。
学生：有可能发生，因为方块2还在老师手中。
2．复习体会事件发生的可能性有多少种教师：从老师手中的扑克中任意抽取一张，会有哪些可能的结果呢？教师：按照花色分有黑桃、红桃、方块和梅花四种可能性。
教师：按照数字分有1到10共十种可能性。
3．用分数表示事件发生的概率教师：抽到各种牌的可能性究竟是多少呢？请大家独立完成第120页算一算的5道题。
学生独立完成之后全班交流。
学生：抽到黑桃的可能性是14，因为一共只有四种花色的扑克；还可以这样理解，一共有40张扑克，其中有10张黑桃，所有抽到黑桃的可能性是14。
第二章-概率电子教案
例: A: {点数>3} B : {1,2}
4、对立事件
定义：事件A和B必有一个事件发生，但二 者不能同时发生， 即A+B=U（全集），AnB=V 例：大豆发芽事件为A，不发芽为B，则B为 A的对立事件，记A 例: A: {点数>3}
B : {1,2,3}
注意
对立事件一定是互斥事件, 但互斥事件不一定是对立事件
P(A/B)=P(AB)/P(B)
例
对200位成人进行性别 与文化程度的调查,,酰
小学 中学 大学
随机抽取一人,已知此 男 28 38 22
人是女性,求此人是大 学文化的概率.
女 34 61 17
例:A) 存活(A )
甲药物 (B) 96
24
乙药物( B ) 64
2.1.5概率的一般运算
1、加法法则(additive law of probability)：（事 件和概率的计算） 任意事件： P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B） AB互斥： P（A∪B）=P（A）+P（B）， n 个互斥事件: P（A1+A2+……An）=P（A1）+P（A2） +……+P（An）。
(1)击中目标 A+B+C (2)只有第一枪击中目标 ABC (3)只击中一枪ABC+ABC+ABC (4)三枪都击中ABC (5)没有击中目标A+B+C
2．1．3 概率的统计定义
1、：随机试验共进行k次，事件A成功了l次， 则称l/k是k次试验成功的频率。 2、当K越来越大时，l/k将围绕某一常数p波 动，则p即为事件A的概率。
统计与概率教学设计教案
统计与概率教学设计教案第一篇：统计与概率教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能：掌握整理数据、编制统计表、绘制统计图。
过程与方法：比较不同统计图的特点及不同统计图的画法。
情感态度与价值观：通过对统计知识的整理和复习，提高统计意识。
2.教学重点/难点教学重点：运用统计图解决实际生活中的问题。
教学难点：能根据实际情况选择合适的统计图。
3.教学用具课件4.标签教学过程（一）、引入新课：统计在我们的生活中有着广泛的应用，例如，公司要了解一种产品的销售情况，就需要了解顾客群体，需求状况等数据，统计就是帮助人们整理和分析数据的知识方法。
这节课我们就一起来复习统计的初步知识。
1.总体回顾。
师：我们以前都学过哪些统计的知识?（1）组织学生独立回答.（2）教师做适当评价和补充。
学生可能的回答有：我们学过简单的统计表，还有统计图。
统计表里分为单式统计表和复式统计表。
统计图里分为条形统计图、折线统计图和扇形统计图，引导学生说一说上述统计图表的优缺点。
2.学生自主整理。
师：同学们说的很全面，我们以前学习了这么多关于统计的知识，现在就请同学们用你们喜欢的方法，把这些知识进行系统的整理下。
（1）独立整理（2）组内交流。
（教师巡视指导，参与小组活动）（3）交流汇报。
（师多找几个小组汇报，在对比中引导学生完善知识结构，优化整理方法，并完善板书。
）3.师：谁知道统计知识有什么用处？（1）找不同学生独立回答.（1）教师做适当评价和补充。
在日常生活、生产和科学研究中，经常需要用到统计知识。
例如，为了了解学生的身体发育情况，经常要测量学生的身高和体重，把测量得到的数据进行收集和整理，再制成统计表或统计图进行分析。
又如，工厂要了解每天、每周、每月、或者每年的生产进度或产量，就需要进行统计；要了解本单位的工作效率，产品的质量，计算产品的合格率等，也需要进行统计。
”(教师还可以帮助学生结合本地区的实际，再举出一些例子，说明统计知识的用处。
概率与统计教案
本学段只要求学生能够用一些诸如“一定”“经常”“偶尔”“不可能”“可能”等词语来描述事件发生的可能性，并不要求学生求出可能性的具体大小。
二、第二学段实施教学应注意问题
学段总目标：经历简单数据的统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出判断与预测；进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。（第27页）
（2）引导学生收集、整理、描述和分析数据，使学生对这一过程有所体验。
本学段学生很难理解统计的全过程，教学时教师要有意识地设计一些统计活动，包括统计过程中的几个重要环节，但不要一开始就要求他们能严格区分统计过程中的这些环节。教师可以通过提出一个涉及统计且需要合作才能回答的问题统计与概率”教学内容的变化
（一）《标准》对“统计与概率”教学内容的调整
现行大纲中只在小学高年级和初三代数中设立一章介绍有关统计初步的内容，几乎没有涉及概率内容，同时仍然采取“定义——公式——例题——习题”的体系呈现统计初步知识，使得学生很难得体会这部分内容与现实的联系，统计与概率对决策的作用。因此，《标准》中大大增加了“统计与概率”的内容，在三个学段根据学生的认知特点，分别设置了相应的内容，结合实际问题，体现了统计与概率的基本思想：1、反映数据统计的全过程：收集和整理数据、表示数据、分析数据、作出决策、进行交流。2、体全随机观念和用样本估计总体的初步思想，将概率统计方法作为制定决策的有力手段。3、根据数据作出推理和合理的论证，并初步学会用概率统计语言进行交流。
教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：授课班级：初教125地点：509
1、熟练掌握小学生统计意识的培养，
概率与统计的基本概念与运算教学设计方案
● 02
第2章 概率的基本运算
概率的加法规则
取值为连续范围 内的任意值的随
机变量
概率密度函 数
描述连续随机变 量在某一取值处
的概率密度
离散随机变 量
取值有限个或可 数个的随机变量
● 03
第3章 统计的基本运算
抽样方法
01 随机抽样
每个样本被选中的概率相等
02 分层抽样
按层次分层，再在每层中随机抽样
03 整群抽样
按群体进行抽样，适用于相似群体
统计的基本概念
总体
研究对象的整体
统计量
用来描述数据特 征的指标
抽样
从总体中选择样 本的过程
样本
从总体中选取的 一部分
概率与统计的关系
01 基础与推断
概率为统计提供基础，统计利用概率进行推 断
02 密切相关
两者相互支撑，共同构建数学分析框架
03 应用广泛
在科学、工程、经济等领域都有重要应用
概率与统计的综合应用
描述统计
集中趋势
均值 中位数 众数
离散程度
方差 标准差 离散系数
分布形状的统计量
峰度 偏度
推论统计
推断总体参数的统计 方法，其中包括点估 计、区间估计和假设 检验等内容，是统计 学的重要部分。
方差分析与回归分析
方差分析
用于比较多个总 体均值是否相等
线性回归
通过拟合直线来 描述变量间的关
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普通高等教育“十一五”国家级规划教材概率论与数理统计第四版浙江大学盛骤谢式千潘承毅教案第二章 随机变量及其分布2．1 随机变量、离散型随机变量及其分布 教学目标：1．理解随机变量的概念2．理解离散型随机变量及其分布律，掌握两点分布，二项分布，泊松分布并能利用这些分布求有关概率 教学重点、难点：教学重点：1. 离散型随机变量的分布律 2. n 重伯努利试验的二项分布 教学难点： 求某随机变量X 的分布律 教学内容： 一、随机变量的定义 解决问题：将试验结果数量化例：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，样本空间是：S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}以X 记三次抛掷得到正面H 的总数，则S 中的每一个样本点e ，X 都有一个数与它对应：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======TTT e TTH THT HTT e THH HTH HHT e HHH e e X X ,0,,,1,,,2,3)(定义：随试验结果而变的量X 为随机变量如图：X=X(e)－－为S 上的单值函数，X 为实数 二、离散型随机变量的分布律1、离散型随机变量定义：取值有限或可列无限的随机变量为离散型随机变量2、离散量的概率分布(分布律)设离散型随机变量X 所有可能取值为k x （ ,2,1=k ），X 取各个可能直的概率，即事件}{k x X =的概率为k k p x X P ==}{， ,2,1=k则离散型随机变量X 的分布律为例1 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律解：以p 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，则X 的分布律为， 其中5.0=p或者 4)1(}4{,3,2,1,0,)1(}{p X P k p p x X P k k -===-== 三、三种典型的离散型随机变量 （一）、0-1分布设随机变量只可能取两个值0与1，它的分布律是 1,0,)1(}{1=-==-k p p k X P k k 1,0=k 则称X 服从以p 为参数的0-1分布或两点分布该分布也可指随机试验的样本空间只包含两个元素的情况。
（二）、伯努利实验、二项分布1.定义：若试验E 只有两个可能的结果A A ,，该试验称为伯努利实验，若重复独立进行n 次，称这一串重复的独立的试验为n 重伯努利实验。
例如：放回抽样2.分布律以X 表示n 重伯努利实验中事件A 发生的次数，各次试验相互独立，指定有k 次试验中事件A 发生，在其他k n -次试验中事件A 不发生，则其概率为： k n k p p --)1( ，p 为事件A 发生的概率又这种指定方式有⎪⎪⎭⎫⎝⎛k n 种，这些指定方式下的试验结果两两互不相容，所以在n 次试验中发生k 次A 事件的概率为kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)1(，即 k n k p p k n k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1(}{，n k ,,2,1,0 = n 重伯努利试验的分布又称为二项分布，记作),(~p n b X 注：1=n 时二项分布为0-1分布例：按规定某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，问这20只元件中恰有k 只为一级品的概率是多少？分析：这是不放回抽样，但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件数量相对很小，所以可看成是20重伯努利实验解：kk p p k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==20)1(20}{，20,,2,1,0 =k ，.02=p 20)2.01(020}0{-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，19)2.01(2.0120}1{-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，…… 例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率？解：该实验为400重伯努利实验kk k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==400)02.01(02.0400}{，400,,2,1,0 =k 则至少击中两次的概率为}1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 39940098.002.040098.01⨯⨯--= 练习：习题二6,7,8 （三）、泊松分布设随机变量X 所有可能取得值为0，1，2，……，而取各个值的概率为 !}{k e k X P k λλ-==， ,2,1,0=k其中0>λ是常熟，则称X 服从参数λ的泊松分布，记作)(~λπX 讲解习题二11,12,13 2.2 随机变量的分布函数教学目标：1．掌握泊松分布，超几何分布，并能利用这些分布求有关概率 2．理解随机变量的分布函数的概念及其性质 教学重点、难点：教学重点：1. 泊松分布及其应用2. 离散型随机变量的分布函数的求解3. 根据分布函数求某一区间的概率 教学难点： 求随机变量X 的分布函数 教学内容：首先研究的是随机变量所取的值落在一个区间],(21x x 的概率 }{21x x x P ≤<=}{}{12x x P x x P ≤-≤ 下面定义}{x X P ≤一、分布函数设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数}{)(x X P x F ≤=，∞<<∞-x 称为X 的分布函数。
所以，对于任意实数)(,2121x x x x <，有}{21x x x P ≤<=}{}{12x x P x x P ≤-≤=)()(12x F x F - 二、分布函数的性质 。
1.)(x F 是一个不减函数对于任意实数21,x x ，当21x x <时，有)()(21x F x F ≤。
2.1)(0≤≤x F ，且 0)(=-∞F ，1)(=∞F 三、分布函数及全歼概率的求解 例1：设随机变量X 的分布律为求X 的分布函数，并求}32{},2523{},21{≤≤≤<≤X P X P X P解： 略练习：习题二17（2）2.3 连续型随机变量及其概率密度教学目标：1．掌握概率密度的性质及有关计算；2．掌握均匀分布，指数分布，正态分布的性质与有关计算 教学重点、难点：教学重点：1. 离散型随机变量的分布函数的求解 2. 根据分布函数求某一区间的概率 教学难点： 求随机变量X 的分布函数及概率密度 教学内容：一、定义： 对于随机变量X 的分布函数)(x F , 若存在非负的函数)(x f ，使对于任意实数x 有：则称X 为连续型随机变量，)(x f 称为X 的概率密度函数，简称概率密度 二、概率密度)(x f 的性质 。
1.0)(≥x f 。
2.⎰∞∞-=1)(dx x f。
3.对任意实数)(,2121x x x x ≤}{21x x x P ≤<=)()(12x F x F -=⎰21)(x x dx x f。
4.若)(x f 在点x 处连续，则有)()(x f x F =' 三、相关计算例：设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他0432230)(x xx kx x f(1)确定常熟k ，（2）求X 的分布函数)(x F ，（3）求}271{≤<x P解：（1）由 ⎰∞∞-=1)(dx x f ⇒ 61=k （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+<≤<=⎰⎰⎰414321261306100)(3030x x xdx xdx x xdx x x F x x （3）}271{≤<x P =4841)1()27(=-F F练习：习题二19注：对于连续型随机变量X 来说，它取任意指定实数值a 的概率均为0，即0}{==a X P四：三种重要的连续型随机变量 （一）、均匀分布1.定义 若连续型随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他1)(b x a ab x f则称X 在）（b a ,上服从均匀分布，记作b)U(a,~X 则其分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<==⎰∞-bx b x a a b ax a x dx x f x F x1)()( 2应用和计算例：设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在Ω--Ω1100900，求R 的概率密度及R 落在Ω--Ω1050950的概率. 解：R 服从均匀分布，则⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他11009002001)(x x fdx x f x P ⎰=≤≤1050950)(}1050950{练习：习题二25（二）、指数分布1.定义 若连续型随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他01)(x ex f xθθ 其中0>θ为常数，则称X 服从参数为θ的指数分布。
则其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-==-∞-⎰其他101)()(x e dx x f x F xxθ2. 应用和计算例：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （min ）服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他051)(5x ex f xX 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，它就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求}1{≥Y P ?解：Y 服从5重伯努利实验，该试验中事件A 表示未等到服务而离开，则),5(~p b Yp 为事件A 发生的概率，即 210)(}10{-∞==>=⎰e x f X P p X52)1(1}0{1}1{---==-=≥e Y P Y P（三）、正态分布1.定义 若连续型随机变量X 具有概率密度为 22)(21)(δμδπ--=x ex f ，∞<<∞-x其中δμ,为常数，则称X 服从参数为δμ,的正态分布或高斯分布。
记作),(~2δμN X当1,0==δμ时为标准正态分布，其概率密度为=)(x ϕ2221)(x ex f -=π2.4 随机变量的函数的分布 教学目标：1. 掌握离散型随机变量的分布律2. 掌握连续型随机变量函数的概率密度教学重点、难点：教学重点：1. 由离散型随机变量的分布律求函数的分布律 2. 由连续型随机变量的概率密度求函数的概率密度 1．教学难点： 求函数2X Y =的概率密度函数 教学内容：本节讨论的是：已知随机变量X 的概率分布，去求得它的函数)(x g Y =的概率分布。
例1：设随机变量X 具有以下的分布律，试求2)1(-=X Y 的分布律 解：Y 所有可能的取值为0,1,4，由1.0}1{}0)1{(}0{2====-==X P X P Y P7.04.03.0}2{}0{}20{}1)1{(}1{2=+==+===⋃===-==X P X P X X P X P Y P 2.0}1{}4)1{(}4{2=-===-==X P X P Y P得Y 的分布律为练习：设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律例2：设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他408)(x x x f X求随机变量82+=X Y 的概率密度解：分别X,Y 的分布函数为)(),(y F x F Y X ，则 }82{}{)(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=)28(}28{-=-≤=y F y X P X )28()()(-'='=y F y F y f XY Y =)28)(28('--y y f X ⎪⎩⎪⎨⎧<-<⋅-⋅=其他04280212881y y 例2：设随机变量X 具有概率密度)(x f X ，∞<<∞-x ，求2X Y =的概率密度 解：}{}{)(2y X P y Y P y F Y ≤=≤==}{y x y P ≤≤-)()(y F y F X X --= ))()(()()('--='=y F y F y F y f X X Y Y)()(y F y F X X-'-'= '---'=))(()(y y f y y f X X))()((21y f y f yX X -+ 0>y0 0≤y 练习：习题二38 习题二讲解=。