高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换随堂检测(含解析)1

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2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A版

2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A版

2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A 版1.sin 20°cos 20°cos 50°=( )A .2B .22C . 2D .12解析:选D .sin 20°cos 20°cos 50°=12sin 40°cos 50°=12sin 40°sin 40°=12.2.若sin α=45,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-22cos α=( ) A .225B .-225C .425D .-425解析:选A .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-22cos α=sin αcos π4+cos α·sin π4-22cosα=45×22=225. 3.在△ABC 中,tan B =-2,tan C =13,则A 等于( )A .π4B .3π4C .π3D .π6解析:选A.tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-tan B+tan C1-tan Btan C=--2+131-(-2)×13=1.故A=π4.4.sin(180°+2α)1+cos 2α·cos2αcos(90°+α)等于( )A.-sin αB.-cos αC.sin αD.cos α解析:选D.原式=(-sin 2α)·cos2α(1+cos 2α)·(-sin α)=2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α=cos α.5.(xx·浙江杭州调研)已知tan(α+π4)=12,且-π2<α<0,则2sin2α+sin 2αcos(α-π4)=( )A.-255B.-3510C.-31010D.255解析:选A.由tan(α+π4)=tan α+11-tan α=12,得tan α=-13.又-π2<α<0,所以sin α=-10 10.6.设α是第二象限角,tan α=-43,且sin α2<cos α2,则cos α2=________.解析:∵α是第二象限角,∴α2可能在第一或第三象限.又sin α2<cos α2,∴α2为第三象限角,∴cos α2<0.∵tan α=-43,∴cos α=-35,∴cos α2=-1+cos α2=-55. 答案:-557.若sin x +cos x sin x -cos x=3,tan(x -y )=2,则tan(y -2x )=________.解析:由sin x +cos x sin x -cos x =3,得tan x +1tan x -1=3,即tan x =2.则tan(y -x )=-tan(x -y )=-2,∴tan(y -2x )=tan (y -x )-tan x 1+tan (y -x )tan x =-2-21-4=43.答案:438.2cos 5°-sin 25°sin 65°的值为________.解析:2cos 5°-sin 25°sin 65°=2co s 5°-sin(30°-5°)sin 65°=2cos 5°-12cos 5°+32sin 5°cos 25°=32sin 5°+32cos 5°cos 25°=3(sin 30°sin 5°+cos 30°cos 5°)cos 25°=3cos 25°cos 25°= 3.答案:39.已知tan α=-13,cos β=55,α∈(π2,π),β∈(0,π2),求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.解:由cos β=55,β∈(0,π2),得sin β=255,tan β=2.∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-13+21+23=1.∵α∈(π2,π),β∈(0,π2),∴π2<α+β<3π2,∴α+β=5π4.10.求值:1+cos 20°2sin 20°-sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫1tan 5°-tan 5°.解:原式=2cos210°2×2sin 10°cos 10°-sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°-sin 5°cos 5°=cos 10°2sin 10°-sin 10°·cos25°-sin25°sin 5°cos 5°=cos 10°2sin 10°-sin 10°·cos 10°12sin 10°=cos 10°2sin 10°-2cos 10°=cos 10°-2sin 20°2sin 10°=cos 10°-2sin(30°-10°)2sin 10°=cos 10°-2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°-32sin 10°2sin 10°=3sin 10°2sin 10°=32.[能力提升]1.tan 70°·cos 10°(3t an 20°-1)等于( ) A.1 B.2C.-1 D.-2=sin 70°cos 70°·cos 10°(3·sin 20°cos 20°-1)=cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°-cos 20°cos 20°=cos 10°·2sin(20°-30°)sin 20°=-sin 20°sin 20°=-1.2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd =ad -b C .若cos α=17,⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β=3314,0<β<α<π2,则β等于( )A .π12B .π6C .π4D .π3解析:选D .依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=3314,又0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,故cos(α-β)=1-sin 2(α-β)=1314, 而cos α=17,∴sin α=437,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =437×1314-17×3314=32. 故β=π3.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且2sin 2α-sin α·cos α-3cos 2α=0,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4sin 2α+cos 2α+1=________.解析:∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0,则(2sin α-3cos α)(sin α+cos α)=0,即2sin α=3cos α.又sin 2α+cos 2α=1,∴cos α=213, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4sin 2α+cos 2α+1=22(sin α+cos α)(sin α+cos α)2+(-sin 2α+cos 2α)=268. 答案:2684.若α、β是锐角,且sin α-sin β=-12,cos α-cos β=12,则tan(α-β)=________.解析:∵sin α-sin β=-12,cos α-cos β=12,两式平方相加得:2-2cos αcos β-2sin αsin β=1 2,即2-2cos(α-β)=12,∴cos(α-β)=34.∵α、β是锐角,且sin α-sin β=-12<0,∴0<α<β<π2.∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1-cos2(α-β)=-7 4 .∴tan(α-β)=sin(α-β)cos(α-β)=-73.答案:-7 35.已知函数f(x)=1-2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x-π4cos x.(1)求函数f(x)的定义域;(2)设α是第四象限角,且tan α=-43,求f(α)的值.解:(1)函数f (x )要有意义,需满足cos x ≠0,解得x ≠π2+kπ,k ∈Z ,即f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2+kπ,k ∈Z . (2)∵f (x )=1-2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4cos x=1-2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x -22cos 2x cos x=1+cos 2x -sin 2xcos x=2cos 2x -2sin x cos x cos x=2(cos x -sin x ),由tan α=-43得sin α=-43cos α,又sin 2α+cos 2α=1,∴cos 2α=925.∵α是第四象限的角,∴cos α=35,sin α=-45,∴f (α)=2(cos α-sin α)=145. 6.(选做题)已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-α)=210. (1)求sin α的值;(2)求β的值.解:(1)∵tanα2=12, ∴tan α=2tanα21-tan 2 α2=2×121-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=43,由⎩⎨⎧sin αcos α=43,sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=45(sin α=-45舍去).(2)由(1)知cos α=1-sin 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35,又0<α<π2<β<π,∴β-α∈(0,π),而cos(β-α)=210, ∴sin(β-α)=1-cos 2(β-α)=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫2102=7210,于是sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) =45×210+35×7210=22.精品文档实用文档 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴β=3π4.28397 6EED 滭35625 8B29 謩d 20529 5031 倱39921 9BF1 鯱j,39113 98C9 飉4634732 87AC 螬36796 8FBC 込uD。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(包含答案解析)(1)

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1.已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为( ) A1- B .1C.2D.12-2.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 2cos21αα-=,则cos α的值为( ) A .15BCD3.已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.1B.1--C .0D.-4.已知tan 2α=,则sin cos 2sin cos αααα+=-( )A .1B .1-C .2D .2-5.已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->,给出下列判断: ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2,则=2ω; ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称,则ω的最小值为5; ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增,则ω的取值范围为1(0,]2; ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为( ) A .1 B .2C .3D .46.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) AB. CD. 7.已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于( )A .92B .29C .9-2D .2-98.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin α的值等于( )A B C D . 9.已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α,则1sin22α= A .310 B .35 C .−310D .11010.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值,则ω的范围是( )A .3(0,]5B .13[,]25C .13[,]24D .15[,)2211.已知()4cos 5αβ+=,()1cos 5αβ-=,则tan tan αβ⋅的值为( ) A .12B .35C .310-D .3512.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形D .等边三角形二、填空题13.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠对应边分别为a ,b ,c ,且5a =,4b =,()31cos 32A B -=,则ABC 的边c =________. 14.已知α满足1sin 3α=,那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________. 15.若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭为偶函数,则ϕ=______.16.已知cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,则2αβ+的值为__________. 17.下列判断正确的有___________.①如果θ是第一象限角,那么恒有sin02θ>;②sin 200a ︒=,则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ,周期为4,且满足()()f x f x -=-,则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点; ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且cos tan x y x ⋅=,则x y <. 18.在直角三角形ABC 中,C ∠为直角,45BAC ∠>,点D 在线段BC 上,且13CD CB =,若1tan 2DAB ∠=,则BAC ∠的正切值为_____.19.在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形,则最大面积是________. 20.设,(0,)αβπ∈,cos α,cos β是方程26320x x -=-的两根,则sin sin αβ=_________.三、解答题21.(1)若3tan =4α-,求sin cos sin cos αααα+-的值;(2)已知锐角,αβ满足11cos()14αβ+=-,若sin()7αβ-=,求cos β的值.22.已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭,3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)对任意的[]12,0,x x t ∈,当12x x <时,均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立,求正实数t 的最大值;(2)在满足(1)的条件时,若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,求实数a 的取值范围.23.设函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间; (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值和最小值.24.已知函数()sin (cos )2f x x x x =+-. (1)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间;(2)若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,不等式()2m f x m <<+恒成立,求实数m 的取值集合. 25.已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)求512f π⎛⎫⎪⎝⎭;(2)求()f x 的单调递增区间及最小正周期.(3)若(0,)2πα∈,且()22f α=,求sin α.(4)若tan 2β=,求3()cos 22f ββ+的值.26.已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最值及取到最值时x 的值; (3)若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ,2x ,求实数m 的取值范围,并求()12tan x x +的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =,然后发现区间长度刚好是四分之一个周期,从而利用余弦函数的对称性,得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,求出此时的最大值和最小值,即可得到答案. 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=,所以函数()f x 的周期为22T ππ==,区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期, 因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t ,由函数cos 2y x =的对称性可知,当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于2y cos x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,即函数()()()g t M t N t =-取最小值,区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的中点为428t tt t ππ-+==-,此时()f t 取得最值±1, 不妨()f t 取得最大值()=1M t , 则有cos 2()18t π-=,解得224t k ππ-=,所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-. 故选:D . 【点睛】关键点睛:本题考查了三角函数的最值,涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用,解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小.2.D解析:D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα=因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=,所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选:D 【点睛】方法点睛:三角函数求值常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角、变名、变式).3.D解析:D 【分析】先将函数化简整理,根据相邻对称轴之间距离求出周期,确定1ω=,再求2f π⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=,所以2π2πω=,即1ω=,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质,关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.4.A解析:A 【分析】已知正切值要求正余弦值,可以利用商的关系将“弦化切”,代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选:A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法:一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α,化为tan α求解;二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 5.C解析:C 【分析】先将()f x 化简,对于①,由条件知,周期为π,然后求出ω;对于②,由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈,然后求出16()k k Z ω=-+∈,即可求解;对于③,由条件,得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩,然后求出ω的范围;对于④,由条件,得74221212πππππωωωω-<-,然后求出ω的范围;,再判断命题是否成立即可. 【详解】解:2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++, ∴周期22T ππωω==. ①.由条件知,周期为π,1w ∴=,故①错误;②.函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称,则2()612k k Z ωπππ+=∈, 16()k k Z ω∴=-+∈,(0)>ω∴ω的最小值为5, 故②正确;③.由条件,ππ[,]63x ∈-,ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩, 12ω∴≤, 又0>ω,102ω∴<, 故③正确.④.由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0,2]π上恰有7个零点,可得74221212πππππωωωω-<-, ∴41472424ω<, 故④正确; 故选:C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了转化思想和推理能力,属中档题.关键点点睛:利用整体思想,结合正弦函数的图像和性质是根据周期,对称,单调性,零点个数求求解参数的关键.6.C解析:C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos 152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 4545αα===cos ;所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.7.A解析:A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值,然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 29α=,又12tan tan sin 2ααα+=,将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭,所以4sin 29α=, 所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选:A. 【点睛】本题考查诱导公式,考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用,难度一般,解答时公式的变形运用是关键.8.C解析:C 【分析】 求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭,然后由两角差的正弦公式计算. 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭, ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⨯=故选:C .【点睛】本题考查两角差的正弦公式,考查同角间的三角函数关系,在应用三角公式化简求值时,要注意已知角与未知角之间的关系,以确定先用哪一个公式变形.9.A解析:A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值,再利用三角恒等变换,求出要求式子的值. 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=3,∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++, 故选A . 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,三角恒等变换,属于中档题.10.B解析:B 【分析】先化简函数,根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,则为函数含有零的增区间的子集,再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π,最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-,22sin sin sin x x x ωωω=+-,sin x ω=,令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈, 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤,令2,2x k k Z πωπ=+∈,因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值, 所以02ππω≤≤,所以12ω≥, 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.11.B解析:B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式,联立方程组,求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-,再结合三角函数的基本关系式,即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=,1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=,联立方程组,可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-, 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选:B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数,以及三角函数的基本关系式的化简、求值,其中解答中熟记三角恒等变换的公式,准确运算是解答的关键,着重考查运算与求解能力.12.B解析:B 【分析】利用两角和与差公式化简原式,可得答案. 【详解】因为sin 2sin cos B A C =, 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选:B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用,考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用,考查学生计算能力,属于中档题.二、填空题13.6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解:可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为:6【解析:6 【分析】由a b >可知A B >,然后由cos()A B -可求sin()A B -,再由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求cos B ,由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ,结合同角平方关系可求sin A ,代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-,进而可求cos C ,进而根据余弦定理可求c 的值.【详解】解:a b >, A B ∴>,31cos()32A B -=, ∴可知(0,)2A B π-∈,sin()A B ∴-==, 由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==, 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+,3sin B B ∴,sin cos 22B B 1+=,又B A <,可得3cos 4B =,3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=,可得sin A ,931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=,∴由余弦定理可得6c .故答案为:6. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用,同时考查了运算的能力,属于中档题.14.【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为:【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析:718【分析】 化简原式为21(12sin )2α-,即得解. 【详解】 由题得cos()cos()sin )+sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=. 故答案为:718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦,考查二倍角的余弦,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析:4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++,由偶函数的条件可知,0x =是函数的对称轴,则()42k k Z ππϕπ+=+∈,又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++,因为()f x 是偶函数,故0x =为其对称轴,()42k k Z ππϕπ+=+∈,则()4k k ϕπ=π+∈Z , 又因为2πϕ<,所以4πϕ=.故答案为:4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的奇偶性,对称性,属于中档题.16.【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为:【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析:4π. 【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-,再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+,然后可得角的大小. 【详解】∵cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,∴sin()25βα-==sin()2αβ-=,∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----==, 又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈,∴2αβ+4π=. 故答案为:4π. 【点睛】本题考查已知三角函数值求角.一般要求角可先这个角的某个三角函数值,最好先确定这个角的范围,选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小.17.③【分析】①利用来判断;②利用来判断;③通过来判断;④通过当时有恒成立来判断【详解】解:①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误;②是第三象限角所以则与矛盾错误;③由已知为奇函数故则又所以则有解析:③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断;②利用sin 2000a ︒=<来判断;③通过(0)0f =,(2)0f =来判断; ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解:①由已知22,2k k k Z ππθπ,则,24k k kZ θπππ,此时2θ在第一或第三象限,sin2θ有可能小于零,错误;②200︒是第三象限角,所以sin 2000a ︒=<, 则tan 2000︒=<,与tan 2000︒>矛盾,错误;③由已知()f x 为奇函数,故(0)0f =,则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====, 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-,所以(2)0f =,则有(2)(2)(6)0f f f =-==, 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点,正确; ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立,证明:单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,如图点P 为角α的终边与单位圆的交点,由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅,整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,tan cos tan tan x x x y y >=⋅>,所以x y >,故错误. 故答案为:③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用,考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用,考查角所在象限和三角函数值符号的关系,是中档题.18.3【分析】在直角三角形中设利用两角差的正切公式求解【详解】设则故故答案为:3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值关键在于合理构造角的和差关系其本质是利用两角差的正切公式求解解析:3 【分析】在直角三角形中设3BC =,3AC x =<,1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=,利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =,3AC x =<, 则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++, 故tan 3BAC ∠=. 故答案为:3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值,关键在于合理构造角的和差关系,其本质是利用两角差的正切公式求解.19.4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为:4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析:4 【分析】做出图像,由三角函数定义设其中一个顶点坐标,从而表示矩形的长与宽,进而表示面积,求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义,可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时,max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为:4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用,注意建模,再借助三角函数求最值,属于中档题.20.【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题 7【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+,由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ,然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式,再代入求值. 【详解】由cos α,cos β是方程26320x x -=-的两根 所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-, 从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>,从而sin sin 6αβ= 【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的平方关系,考查韦达定理,解题关键是利用平方关系化正弦为余弦,解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式,属于中档题.三、解答题21.(1)17-;(2)2【分析】(1)原式可变形,上下同时除以cos α,代入3tan =4α-后,计算结果;(2)利用角的变换,先求()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦,展开后代入三角函数值,化简求值,最后求cos β的值. 【详解】(1)原式上下同时除以cos α,变形为31tan 1143tan 1714αα-++==----; (2)0,022ππαβ<<<<,0αβπ∴<+<,22αβππ∴-<-<,()11cos 14αβ+=-,()sin 14αβ∴+==()sin 7αβ-=,()1cos 7αβ∴-=, ()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ=+-++-111147⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 12=,()20,βπ∈,236ππββ∴=⇒=,cos 2β∴=【点睛】思路点睛:本题第一问是关于sin ,cos αα的齐次分式,上下都是一次形式,则上下同时除以cos α,若上下都是二次形式,则上下同时除以2cos α,第二问是角的变换,将条件中的角看成一个整体,表示结论中的角,再求三角函数值. 22.(1)4π;(2)32a <.【分析】(1)构造()()()h x f x g x =-,由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数,结合正弦型函数的单调性,得出正实数t 的最大值.(2)方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解,可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++,在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,再根据()h x 的值域,求解实数a 的取值范围. 【详解】解:(1)依题可知:1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-,∴()()()()1122f x g x f x g x -<-, 令()()()h x f x g x =-,则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <,∴()h x 在[]0,t 上单调递增, ∵22222k x k ππππ-≤≤+,∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,∴4t π≤,即t 的最大值为4π. (2)∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=,∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=, ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++,即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解,∵1sin 21x -<<,∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.23.(1)T π=,单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;(2)最大值为12,最小值为14-. 【分析】(1)本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,然后通过周期计算公式即可求出最小正周期,通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间;(2)本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】(1)2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎝⎭221sin cos 2x x x x =++))2212cos 1sin 22sin 14x x x =-+-+112sin 22sin 2244x x x x x =+=111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则最小正周期22T ππ==, 当222232k x k πππππ-+≤-≤+, 即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,函数()f x 单调递增, 函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 由正弦函数的性质易知, 当236x ππ-=-,即12x π=时,函数()f x 取最小值,最小值为14-; 当232x ππ-=,即512x π=时,函数()f x 取最大值,最大值为12. 【点睛】 关键点点睛:本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质,能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键,考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法,是中档题.24.(1)2,单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数()f x ,代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭,用整体代换法求单调递增区间; (2)求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域,原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集,列出不等式组化简即可.【详解】解:(1))21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩ 所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t ),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间;(2)图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.25.(11(2)5[,],1212k k k Z ππππ-+∈,π(3)6(41+ 【分析】(1)化简函数解析式代入直接求值即可;(2)由正弦型函数的性质求解即可; (3)先求出cos()3πα-,sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可; (4)由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 (1)2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1cos21cos22x x x =-+-3sin2cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.(2)由(1)知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈, 函数()f x 的周期为22T ππ==. (3)(0,)2πα∈,且()22f α=,())1223f απα=-+=,即sin()33πα-=, 因为(0,)2πα∈,所以cos()33πα-=, 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=(4)33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3221cos 22βββ=-++sin 2112β=+=+1=+15=+ 【点睛】关键点点睛:涉及三角函数的求值化简问题,关键要根据式子结构特征,选择合适的公式,正用、逆用公式,并结合切化弦、弦化切思想,角的变换技巧,灵活运用公式,熟练运算,属于中档题.26.(1)最小正周期π,单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈;(2)4x π=时,()f x 取得最大值1;12x π=-时,()f x 取得最小值2-;(3))m ∈,()12tan x x +=. 【分析】 (1)利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,最后将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间;(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,利用正弦函数的定义域和值域,求得()f x 的最大值和最小值,并指出()f x 取得最值时对应的x 的值.(3)函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ,2x ,转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点;可求m 的范围,结合三角函数的图象可知,1x ,2x ,关于对称轴是对称的,可知12x x +,即可求()12tan x x +的值.【详解】解:(1)函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得:()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以函数的最小正周期22T ππ==, 由222232k x k πππππ-≤-≤+,解得:1212k x k π5ππ-≤≤π+, 所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)由于64x ππ-≤≤,可得22336x πππ-≤-≤, 当236x ππ-=,即4x π=时,()f x 取得最大值1; 当232x ππ-=-,即12x π=-时,()f x 取得最小值2-.(3)函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ',2x ',转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点,令23u x π=-,∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 可得sin y u =的图象(如图).从图可知:)3,2m ⎡∈⎣时,函数sin y u =与函数y m =有两个交点,其横坐标分别为1x ',2x '. 故得实数m 的取值范围是)3,2m ⎡∈⎣, 由题意可知1x ',2x '是关于对称轴是对称的: 那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=, 所以1256x x π''+=, 所以()1253tan tan63x x π''+==-.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点,进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象,根据数形结合思想求解,考查运算求解能力,化归转化思想,是中档题.。

(完整word)高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解

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高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ,x ∈ R ,则函数 f(x) 是()1. (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)= cos 2(x + )- sin 2(x + )44A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为 π的偶函数πC .最小正周期为 2的奇函数πD .最小正周期为 2的偶函数 [答案]Aπ2π[分析]f(x)= cos(2x + 2)=- sin2x 为奇函数,周期T = 2 = π.( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y = sin 2x + sinxcosx 的最小正周期T = ()π π A . 2π B . πC.2D.3[答案] B[分析]y = sin 2x + sinxcosx = 1- cos2x 12+ sin2x2 = 1+ 2π,∴最小正周期T = π.2 2 sin 2x - 4232. (2010 重·庆一中 )设向量 a = (cos α, 2 )的模为2 ,则 cos2α= ()111 3 A .-4 B .- 2C.2D. 2[答案] B[分析]∵ |a|2= cos 2α+22= cos 2α+ 1= 3,22 4∴ cos 2α=1,∴ cos2α= 2cos 2α- 1=- 1.42α3.已知 tan 2= 3,则 cos α= ()444 3A. 5 B .- 5C.15D .-5[答案]Bα αα α cos 2- sin 222 2含详解答案高考总复习1- tan 2α= 2=1- 9=- 4,应选 B. 1+ tan 2α1+9522C4.在△ABC 中,若 sinAsinB = cos 2 ,则△ABC 是 ()A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角的三角形 [答案]B[ 分析 ] ∵ sinAsinB = cos 2C,211∴ 2[cos(A - B)- cos(A + B)] = 2(1+ cosC), ∴ cos(A - B)-cos( π-C)= 1+ cosC ,∴ cos(A - B)=1,∵- π<A -B<π,∴ A - B = 0,∴△ ABC 为等腰三角形.π5. (2010 ·阳市诊疗绵 )函数 f(x)= 2sin(x - 2) +|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B .πC . 2πD . 4π[答案]C[ 分析 ] f(x)=- 2cosx + |cosx|- cosx cosx ≥ 0=,画出图象可知周期为2π.- 3cosx cosx<016. (2010 揭·阳市模考 )若 sinx + cosx = 3, x ∈ (0, π),则 sinx - cosx 的值为 ()17171 17 A .± 3 B .- 3C.3D. 3[答案] D[分析]11 ,∴ sin2x =- 8π 由 sinx + cosx =两边平方得, 1+ 2sinxcosx = <0,∴ x ∈ , π,39 9 2∴ (sinx - cosx)2= 1- sin2x =17且 sinx>cosx ,9∴ sinx -cosx =17,应选 D.3高考总复习7. (文 )在锐角△ABC 中,设 x = sinA ·sinB , y = cosA ·cosB ,则 x , y 的大小关系是 ( )A . x ≤yB . x < yC . x ≥ yD . x >y[答案]Dπ[分析] ∵ π>A + B > ,∴ cos(A + B)<0,即 cosAcosB - sinAsinB < 0,∴ x > y ,故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中,角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ,假如 cos(2B + C)+ 2sinAsinB<0,那么a 、b 、c 知足的关系是 ()A . 2ab>c 2B . a 2+ b 2<c 2C . 2bc>a 2D . b 2+ c 2<a 2[答案]B[ 分析 ] ∵ cos(2B +C)+ 2sinAsinB<0,且 A +B + C = π,∴ cos( π- A +B)+ 2sinA ·sinB<0,∴ cos( π- A)cosB - sin( π- A)sinB + 2sinAsinB<0,∴- cosAcosB + sinAsinB<0 ,即 cos(A + B)>0,π π∴ 0<A + B< ,∴ C> ,22a 2+b 2-c 2由余弦定理得,cosC =<0,2ab∴ a 2+ b 2- c 2<0,故应选 B.8. (2010 ·林省调研吉 )已知 a = (cosx ,sinx),b = (sinx ,cosx),记 f(x)=a ·b ,要获得函数 y = sin 4x - cos 4x 的图象,只要将函数 y = f( x)的图象 ()πA .向左平移 2个单位长度πB .向左平移 4个单位长度πC .向右平移 2个单位长度πD .向右平移 4个单位长度[答案] D[分析]y = sin 4x - cos 4 x =(sin 2x + cos 2x)(sin 2x - cos 2x)=- cos2x ,π π π π将 f( x)= a ·b = 2sinxcosx = sin2x ,向右平移 4 个单位得, sin2 x -4 = sin 2x -2 =- sin - 2x=- cos2x ,故2选 D.高考总复习π 29. (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a = (cos2α, sin α), b = (1,2sin α- 1), α∈ 4, π,若 a ·b =5,π 则 tan α+4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[答案] C[分析]a ·b = cos2α+ 2sin 2α-sin α= 1- 2sin 2α+ 2sin 2α- sin α= 1- sin α=2,∴ sin α= 3,55π∵ <α<π,∴ cos α=- 4,∴ tan α=- 3,454π 1+ tan α 1 .∴ tan α+ ==41- tan α 75π 7π10. (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ,则 1+ sin α+ 1- sin α等于 ()α α A .- 2cos 2 B . 2cos 2α α C .- 2sin 2 D . 2sin 2[答案]C5π7π 5π α 7π[分析] ≤ α≤,∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1+ sin α+ 1- sin α=1+ 2sinα α 1- 2sin α α2 cos +cos222=α αα α2sin + cos2 +sin - cos2 222αα α α=- (sin + cos )- (sin - cos )2222α=- 2sin 2. 二、填空题π 311. (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2+ θ= 5,则 cos2θ= ________.[答案] 7 - 25π 3,∴ cos θ= 3,[分析] ∵ sin + θ=25 5∴ cos2θ= 2cos2θ- 1=- 257.高考总复习tanx- tan3 x12. (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y=的最大值与最小值的积是 ________.1+ 2tan2x+tan4x[答案]1-16[分析]y=tanx- tan3x tanx 1- tan2x2 4=2 21+ 2tan x+ tan x1+ tan x=tanx1- tan2x=sinxcosx cos2x- sin2x 2·22 2 +22 1+ tan x 1+ tan x cos x+ sin x cos x+ sin x 11=2sin2x·cos2x=4sin4x,1所以最大与最小值的积为-16.13. (2010 ·江杭州质检浙)函数 y= sin(x+ 10°)+ cos(x+ 40°),( x∈R )的最大值是 ________.[答案]1[ 分析 ]y= sinxcos10 °+ cosxsin10 +°cosxcos40 °- sinxsin40 =°(cos10 -°sin40 )sinx°+ (sin10 +°cos40 °)cosx,其最大值为=2+ 2 sin10 °cos40°- cos10°sin40 °=2+ 2sin - 30°= 1.θ14.(文 )如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD⊥ AB 于点 D ,且 AD= 3DB ,设∠COD =θ,则 tan22=________.[答案]1 3[分析]3r,∴ OD=r,∴ CD =3CD =3,设 OC= r,∵ AD = 3DB,且 AD+ DB=2r,∴ AD =222 r ,∴ tanθ=OD θ∵ tanθ=2tan2θ3,∴ tan =1- tan2θ23 (负值舍去 ),2θ1∴tan22=3.( 理)3tan12 -°3= ________. 4cos212°- 2 sin12 °[答案]- 43[分析]3tan12 -°3= 3 sin12 -°3cos12 °4cos212°-2 sin12° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12°- 60°3.=1=- 4三、解答题15. (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)=2cos2x + sin 2x - 4cosx.π(1) 求 f(3)的值;(2) 求 f(x)的最大值和最小值.[分析]π 2π π π 3 9 (1) f( )= 2cos+ sin 2- 4cos =- 1+-2=- .333344(2) f(x)=2(2cos 2 x - 1)+(1 -cos 2x)- 4cosx= 3cos 2x - 4cosx - 1= 3(cosx -23)2-73, x ∈ R由于 cosx ∈ [ - 1,1] ,所以当 cosx =- 1 时, f(x)取最大值 6;当 cosx =2时, f(x)取最小值-733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a =(cosx +sinx , sinx), b = (cosx - sinx,2cosx),设 f(x)= a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期;(2) 当 x ∈ 0,π时,求函数 f(x)的最大值及最小值.2[ 分析 ] (1) f(x)= a ·b = (cosx + sinx) ·(cosx - sinx)+ sinx ·2cosx = cos 2x -sin 2x + 2sinxcosx= cos2x + sin2x = 2222 cos2x + 2 sin2xπ = 2sin 2x +4 .∴ f(x)的最小正周期T = π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ,∴ ≤ 2x + ≤ 4,2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x +4= 2,即 x =8时, f(x)有最大值2;当 2x + 4= 4 ,即 x =2 时, f(x)有最小值- 1.π 16. (文 )设函数 f(x)= cos 2x + 3 + sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期;1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角,若 cosB =3, f(2 )=- 4,且 C 为锐角,求 sinA 的值.[分析] (1) f(x)= cos 2x + π π π 1- cos2x 1 - 3+ sin 2x = cos2xcos - sin2xsin + = 2sin2x ,3 3 3 2 2 所以函数 f(x)的最大值为1+ 3,最小正周期为π.2(2) f(C )=1- 3sinC =-1,所以 sinC =3π由于 C 为锐角,所以C = 3,在△ ABC 中, cosB =13,所以 sinB =2 3 2,所以 sinA = sin(B + C)= sinBcosC + cosBsinC=2 2 1 1 ×3 = 22+ 33 × + 26.2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角, OM = (sinB + cosB , cosC), ON = (sinC , sinB - cosB), OM ·ON =1- 5.(1) 求 tan2A 的值;2A(2) 2cos 2- 3sinA - 1的值.求π2sin A +4[分析]→ →(1) ∵OM ·ON = (sinB + cosB)sinC +1cosC(sinB - cosB)= sin(B + C)- cos(B + C) =- 5,∴ sinA + cosA =- 1①5两边平方并整理得: 2sinAcosA =- 24,25∵-24π, π ,25<0,∴ A ∈ 2∴ sinA - cosA = 1-2sinAcosA = 75②联立①②得: sinA = 3,cosA =- 4,∴ tanA =- 3, 5 5 4- 3∴ tan2A =2tanA2=224 .A=- 1-tan 1- 9 7163(2) ∵ tanA =- 4,A2cos 22 - 3sinA - 1 cosA -3sinA 1- 3tanA ∴ π= cosA +sinA =1+ tanA 2sin A +43=1-3× -4 =13.-341+π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值;π(2) 若点 A(x 0, y 0) 是 y = f( x)图象的对称中心,且 x 0∈ 0, 2 ,求点 A 的坐标.[ 分析 ] (1) f(x)= sin 2ax - 3sinaxcosax1- cos2ax3π 1= 2 - 2 sin2ax =- sin 2ax + 6 + 2,由题意知, m 为 f(x)的最大值或最小值,所以 m =- 12或 m =32,π 由题设知,函数f(x)的周期为,∴ a = 2,2所以 m =- 1或 m =3, a = 2. 2 2(2) ∵ f(x)=- sin 4x + π+1,6 2ππ∴令 sin 4x + 6 =0,得 4x +6= k π(k ∈ Z) ,∴ x = k π π-424(k ∈ Z),由 0≤ k π π π(k ∈ Z),得 k = 1 或 k = 2, 4 -24≤2所以点 A 的坐标为5π 1 或 11π1, ,24 224 2 .( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测)设向量 a = (sinx,1), b = (1, cosx),记 f(x)= a ·b , f ′ (x)是 f( x)的导函数.(1) 求函数 F(x)= f(x)f ′ (x)+ f 2(x)的最大值和最小正周期;(2) 若 f(x)= 2f ′ (x),求1+ 2sin 2x的值.cos 2x - sinxcosx[ 分析 ] (1) f(x)= sinx +cosx ,∴ f ′( x)= cosx -sinx ,∴ F(x)= f(x)f ′ (x)+ f 2(x) = cos 2x -sin 2x + 1+2sinxcosx= cos2x + sin2x + 1= 1+ 2sin π2x +4 ,π π π∴当 2x + = 2k π+ ,即 x = k π+ (k ∈ Z)时, F( x)max =1 + 2.42 8最小正周期为 T =2π= π.2(2) ∵ f(x)= 2f ′ (x),∴ sinx+ cosx= 2cosx- 2sinx,∴cosx= 3sinx,∴ tanx=1,3∴1+ 2sin2x= 3sin2x+ cos2x= 3tan2x+ 1=2.cos2x-sinxcosx cos2x-sinxcosx1- tanx。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(包含答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1.已知θ为锐角,且满足如tan 311tan θθ=,则tan 2θ的值为( ) A .34B .43 C .23D .322.已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω),周期2T π<,()3f π()f x 在6x π=处取得最大值,则ω的最小值为( )A .11B .12C .13D .143.已知,(0,2)αβπ∈,且满足1sin cos 2αα-=,1cos sin 2ββ-=,则sin()αβ+=( )A .1B .或1C .34-或1 D .1或-14.若sin 3cos 0θθ+=,则2cos sin 2θθ+的值( ) A .2B .2-C .12D .12-5.已知ππ2α<<,且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α的值为( )A .10B .10-C .10D .10-6.若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .78-B .78C .1516-D .15167.已知函数()sin cos f x a x b x =+,其中,a b ∈R ,且0ab ≠,若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,则( ). A .ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C .π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D .π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数8.函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>,若对任意1[0,]4x π∈,存在2[0,]4x π∈,使得12()()g x f x =成立,则实数m 的取值范围是( ) A .4(1,)3B .2(,1]3C .2[,1]3D .4[1,]39.已知α,β均为锐角,5cos()13αβ+=-,3sin()35πβ+=,则sin()3πα-=( )A .3365B .3365-C .6365D .566510.已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A .7B .17C .-17D .-711.若0||4πα<<,则下列说法①sin2α>sinα,②cos2α<cosα,③tan2α>tanα,正确的是( ) A .①B .②C .③D .①③12.已知()0,απ∈,sin cos αα+=cos2=α( ) A.BC.9-D.9二、填空题13.给出下列命题:①存在实数α使得sin cos 1αα=; ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=; ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数; ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程; ⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>, 其中正确命题的序号是______.14.设a ,b 是非零实数,且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-,则b a =_______.15.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且PB QD PQ +=,则PAQ ∠的大小为__________.16.()sin 5013tan10︒+︒的值__________. 17.已知cosα17=,cos(α﹣β)1314=,且0<β<α2π<,则sinβ=_____. 18.已知锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=,则()tan cot αβα+=______. 19.已知3tan 4α=-,()1tan 4αβ+=,则tan β=______. 20.已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且222cos cos cos 2αβγ++=,则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21.函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭,且最高点A 与B 的距离29AB π=+(1)求函数()f x 的解析式;(2)若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,求cos2α的值. 22.已知函数21()3cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭. (1)若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,都有()f x a ≥成立,求实数a 的取值范围;(2)若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图像,求函数1()3y g x=-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.23.已知3sin 5α=-,且α为第四象限角 (1)求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值; (2)求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值.24.先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. (1)求函数()f x 的解析式; (2)若α,β满足42()()3f f αβ⋅=,且4παβ+=,设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=,求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 25.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >,0>ω,ππ22ϕ-<<)的部分图像如图所示,π12,7π12是函数的两个相邻的零点,且图像过()0,1-点.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程. 26.(1)化简:(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°;(2)证明:()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-,再利用二倍角的正切化简前者,结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=,从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-, 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-,故21tan 4θ=, 因为θ为锐角,故1tan 2θ=,故1242tan 21314θ⨯==-, 故选:B. 【点睛】思路点睛:已知θ的三角函数值,求()*n n N θ∈的三角函数值,应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2.C解析:C 【分析】利用辅助角公式,求得()f x 的解析式,根据题意,可求得ϕ的表达式,根据tan a ϕ=,可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭,又根据()3f π=,可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据同角三角函数的关系,可求得a 的值,即可求得ω的表达式,根据ω的范围,即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=,因为22T ππω=<,所以1ω>,因为()f x 在6x π=处取得最大值,所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈,即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈,所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以1tan 6aπω⎛⎫= ⎪⎝⎭,因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得23a =,又0a >,所以a =1sin 62πω⎛⎫=⎪⎝⎭, 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈,解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈,又1ω>,所以ω的最小值为13. 故选:C 【点睛】解题的关键是根据题意,求得ϕ的表达式,代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭,cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式,再结合同角三角函数关系进行求解,计算量大,考查分析理解,计算化简的能力,属中档题.3.C解析:C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+,用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+,而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦,展开后计算,注意分类讨论. 【详解】∵1sin cos 2αα-=,∴αα=sin()4πα-=1cos sin 2ββ-=ββ-=,cos()44πβ+=,∴cos()44πα-=±,sin()44πα+=±, sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦,当7cos()sin()448ππαβ-+=时,17sin()188αβ+=+=, 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时,173sin()884αβ+=-=-, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查两角和与差正弦、余弦公式.解题关键是确定已知角和未知角之间的关系,本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+,未知角有()()44ππαβαβ+=-++,这样易确定使用的公式与顺序.4.D解析:D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-,再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.解:由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++, 故选:D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+,进而求解,考查运算求解能力,是中档题.5.D解析:D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再用两角差的余弦公式即可解题.【详解】 因为ππ2α<<,所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选:D 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关三角函数求值问题,解题方法如下: (1)利用同角三角函数关系式,结合角的范围,求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)凑角,利用差角余弦公式求得结果.6.B解析:B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,再利用二倍角公式化简求值.22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选:B 【点睛】方法点睛:三角恒等变换常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角变名变式),要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7.B解析:B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+,又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =,整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,利用正弦函数的单调性可判断A ,利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ,进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠,利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+,其中tan baϕ=, 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值,所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭, 即22221122a b ab a b +++=,所以2211022a b ab +-=,即()2102a b -=, 所以a b =,tan 1b a ϕ==,可得4πϕ=,所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于选项A :9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为5912202πππ<<,则59sin sin 1220ππ<,当0a >时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当0a <时,ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项A 不正确; 对于选项B:sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+,故选项B 正确;对于选项C:sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数,故选项C 不正确; 对于选项D:si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数,故选项D 不正确, 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立,知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x的最值,π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,属于中档题.8.D解析:D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-())12222222223sin x x sin x cos x sin x π==+=+()(), 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈,,(),(),, 对于22306g x mcos x m m π=--+()()(>),2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈,,(),,3[33]2g x m m ∴∈-+-(),, ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立,331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ,解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D .【点睛】本题考查三角函数恒等变换,其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键,9.B解析:B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭,3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭,利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α,β均为锐角,5cos()013αβ+=-<,,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,∴()12sin 13αβ+==,β均为锐角,5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45(4152>,舍去),()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号,属于中档题.10.B解析:B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α,再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式,考查基本求解能力.11.B解析:B 【分析】 取6πα=-判断①③,根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时,1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则①③错误;0||4πα<<,cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<,②正确; 故选:B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.12.A解析:A 【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值,然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈,sin cos 3αα+=,两边平方后得:112sin cos 3αα+=,即1sin cos 3αα=-,sin 0α∴>,cos 0α<,()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭,cos sin αα∴-=,则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+==故选:A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数平方关系的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;解析:③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式,结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①,111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦, 所以,不存在实数α使得sin cos 1αα=,①错误;对于命题②,sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以,不存在实数α使得3sin cos 2αα+=,②错误; 对于命题③,si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝, ()cos 2cos2x x -=,所以,函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数,③正确;对于命题④,当8x π=时,min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭, 所以,8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程,命题④正确; 对于命题⑤,取9244παππ=+=,4πβ=,αβ>,但tan 1tan αβ==,⑤错误.因此,正确命题的序号为③④. 故答案为:③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断,考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较,考查计算能力与推理能力,属于中等题.14.【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为(tanθ)∴∴tanθ=tan (kπ)∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-.利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+,即可求得结论.【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-,(tanθb a =) ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+.tanθ=tan (k π3π+)=∴ba=. 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用,考查了两角和的正切公式,属于中档题.15.【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解:设则因为是直角三角形所以由勾股定理得:化简得在中在中所以又因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查正切的和角公解析:4π【分析】先分别设PB x =,DQ y =,则在PCQ △中,由勾股定理得1xy x y -=+,再分别表示出tan BAP ∠,tan DAQ ∠,之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解:设PB x =,DQ y =,则1CP x =-,1CQ y =-, 因为PCQ △是直角三角形,PB QD PQ +=,所以由勾股定理得:()()()22211x y x y -+-=+,化简得1xy x y -=+, 在ABP △中,tan BPBAP x AB∠==, 在ADQ △中,tan DQDAQ y AD∠==, 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-,又因为02BAP DAQ π<∠+∠<,所以,=4PAQ π∠故答案为:4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式,数据处理能力与运算能力,是中档题.16.1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解:故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析:1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒,结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒,结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解: ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式,考查了辅助角公式,考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.17.【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析:2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值,由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<,则02πβ>->-,所以02παβ<-<,所以sin α==,()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.18.2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析:2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19.【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析:1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为:1613【点睛】本题考查两角差正切公式,考查基本分析求解能力,属基础题.20.【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21.(1)()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2 【分析】(1)根据最高点A 与点B 的距离AB ==,求得,T ω,点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.(2)由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】(1)最高点A 与点B 的距离AB ==,14,2T πω==, ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上, 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<,所以6πϕ=-,所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.(2)()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭, 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭, cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】 方法点睛:已知f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)五点法,由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ;(2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 22.(1)1a ≤-,(2)6π 【分析】(1)先对函数()f x 化简变形,然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值,则可得到实数a 的取值范围;(2)根据题意,利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律,先得到()g x 的解析式,函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点,即1sin 3x =的实数根,它的实数根共4个,再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解:(1)21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-, 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,都有()f x a ≥成立,则只需min ()f x a ≥即可, 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以552[,]666x πππ-∈-,所以当262x ππ-=-即π6x =-时,()f x 取得最小值为1-,所以1a ≤-, (2)先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得sin()6y x π=-的图像,然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像,函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点,即1sin 3x =的实数根,它的实数根共4个,设为1234,,,x x x x ,则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称,所以1234342x x x x π+++=,所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛:此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域,函数恒成立问题,函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律,第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解,属于中档题 23.(1)45;(2)34-. 【分析】(1)先求出4cos 5α=,再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.(2)先求出3tan 4α=-,再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.【详解】(1)因为3sin 5α=-,且α为第四象限角,故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-. (2)由(1)得4cos 5α=,故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛:三角函数的中的化简求值问题,我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析,处理次数差异的方法是升幂降幂法,解决函数名差异的方法是弦切互化,而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等,最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.24.(1)()2cos f x x =;(2)4.【分析】(1)先对函数化简变形可得cos 2y x =,再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式;(2)由已知条件可得cos cos 3αβ=,sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-,然后令tan [1,1]t x =∈-,则2()231h t t t =+-,从而可求出其最值【详解】(1)原函数化简得到2sin 2cos cos 2sin 2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦, 将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),可得2cos2y x =,再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x =所以()2cos f x x =.(2)由题意知cos cos 3αβ=, 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=,解得sin sin 6αβ=-()g x =.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos cos x x x x x⎤⎛++⋅⎥ ⎥⎝⎭⎣⎦= 22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-,2()231h t t t =+-, 则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】 关键点点睛:此题考查三角恒等变换公式的应用,考查三角函数图像变换规律,考查数学转化思想,解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=,再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-,再利用换元法可求得结果,属于中档题25.(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈. 【分析】 (1)先利用图象解得周期和ω,再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-,解得ϕ和A ,即得解析式;(2)先根据解析式化简()g x ,再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解:(1)由图可知7212122T πππ=-=,周期T π=,故22T πω==, 由π12,7π12是函数的两个相邻的零点,则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值, 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈,又ππ22ϕ-<<,故π6ϕ=-, 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,得2A =, 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭; (2)()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+,k Z ∈时,5ππ11ππ242242k k x +≤≤+,()g x 单调递增, 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 令ππ4π32x k -=+,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈. 【点睛】思路点睛:解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质,通常利用正弦函数的图象性质,采用整体代入法进行求解,或者带入验证.26.(1)2-;(2)详见解析.【分析】(1)首先变形sin 20tan 20cos 20=,再通分变形,利用辅助角公式化简求值;(2)利用诱导公式化简正切,即sin tan cos x x x =,代入后化简证明. 【详解】 (1)原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅ ⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2=- ;(2)原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x --==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin x x-=- 【点睛】 思路点睛:三角函数化简求值或证明,如果有正切,正弦和余弦时,第一步先正切化为正弦和余弦公式,第一题通分后利用辅助角公式化简;第二题,也可以左右都化简,证明等于同一个式子.。

「精选」人教版最新高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解及参考答案-精选文档

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高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1.(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )=cos 2(x +π4)-sin 2(x +π4),x ∈R ,则函数f (x )是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数D .最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )=cos(2x +π2)=-sin2x 为奇函数,周期T =2π2=π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y =sin 2x +sin x cos x 的最小正周期T =( ) A .2πB .πC.π2D.π3[答案] B[解析] y =sin 2x +sin x cos x =1-cos2x 2+12sin2x =12+22sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4,∴最小正周期T =π. 2.(2010·重庆一中)设向量a =(cos α,22)的模为32,则cos2α=( ) A .-14B .-12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2=cos 2α+⎝⎛⎭⎫222=cos 2α+12=34,∴cos 2α=14,∴cos2α=2cos 2α-1=-12.3.已知tan α2=3,则cos α=( )A.45B .-45C.415D .-35[答案] B[解析] cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=1-91+9=-45,故选B.4.在△ABC 中,若sin A sin B =cos 2C2,则△ABC 是( )A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B =cos 2C2,∴12[cos(A -B )-cos(A +B )]=12(1+cos C ), ∴cos(A -B )-cos(π-C )=1+cos C , ∴cos(A -B )=1,∵-π<A -B <π,∴A -B =0, ∴△ABC 为等腰三角形.5.(2010·绵阳市诊断)函数f (x )=2sin(x -π2)+|cos x |的最小正周期为( )A.π2B .πC .2πD .4π[答案] C[解析] f (x )=-2cos x +|cos x |=⎩⎪⎨⎪⎧-cos x cos x ≥0-3cos x cos x <0,画出图象可知周期为2π. 6.(2010·揭阳市模考)若sin x +cos x =13,x ∈(0,π),则sin x -cos x 的值为( )A .±173B .-173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x +cos x =13两边平方得,1+2sin x cos x =19,∴sin2x =-89<0,∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π, ∴(sin x -cos x )2=1-sin2x =179且sin x >cos x ,∴sin x -cos x =173,故选D. 7.(文)在锐角△ABC 中,设x =sin A ·sin B ,y =cos A ·cos B ,则x ,y 的大小关系是( ) A .x ≤y B .x <y C .x ≥yD .x >y[答案] D[解析] ∵π>A +B >π2,∴cos(A +B )<0,即cos A cos B -sin A sin B <0,∴x >y ,故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,如果cos(2B +C )+2sin A sin B <0,那么a 、b 、c 满足的关系是( )A .2ab >c 2B .a 2+b 2<c 2C .2bc >a 2D .b 2+c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B +C )+2sin A sin B <0,且A +B +C =π, ∴cos(π-A +B )+2sin A ·sin B <0,∴cos(π-A )cos B -sin(π-A )sin B +2sin A sin B <0, ∴-cos A cos B +sin A sin B <0,即cos(A +B )>0, ∴0<A +B <π2,∴C >π2,由余弦定理得,cos C =a 2+b 2-c 22ab <0,∴a 2+b 2-c 2<0,故应选B.8.(2010·吉林省调研)已知a =(cos x ,sin x ),b =(sin x ,cos x ),记f (x )=a ·b ,要得到函数y =sin 4x -cos 4x 的图象,只需将函数y =f (x )的图象( )A .向左平移π2个单位长度B .向左平移π4个单位长度C .向右平移π2个单位长度D .向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y =sin 4x -cos 4x =(sin 2x +cos 2x )(sin 2x -cos 2x )=-cos2x ,将f (x )=a ·b =2sin x cos x =sin2x ,向右平移π4个单位得,sin2⎝⎛⎭⎫x -π4=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎫π2-2x =-cos2x ,故选D. 9.(2010·浙江金华十校模考)已知向量a =(cos2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈⎝⎛⎭⎫π4,π,若a ·b =25,则tan ⎝⎛⎭⎫α+π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b =cos2α+2sin 2α-sin α=1-2sin 2α+2sin 2α-sin α=1-sin α=25,∴sin α=35,∵π4<α<π,∴cos α=-45,∴tan α=-34, ∴tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=1+tan α1-tan α=17. 10.(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2,则1+sin α+1-sin α等于( ) A .-2cos α2B .2cos α2C .-2sin α2D .2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2,∴5π4≤α2≤7π4.∴1+sin α+1-sin α =1+2sin α2cos α2+1-2sin α2cos α2=(sin α2+cos α2)2+(sin α2-cos α2)2 =-(sin α2+cos α2)-(sin α2-cos α2)=-2sin α2.二、填空题11.(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2+θ=35,则cos2θ=________. [答案] -725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2+θ=35,∴cos θ=35,∴cos2θ=2cos 2θ-1=-725.12.(2010·江苏无锡市调研)函数y =tan x -tan 3x1+2tan 2x +tan 4x 的最大值与最小值的积是________.[答案] -116[解析] y =tan x -tan 3x 1+2tan 2x +tan 4x =tan x (1-tan 2x )(1+tan 2x )2=tan x 1+tan 2x ·1-tan 2x 1+tan 2x =sin x cos xcos 2x +sin 2x +cos 2x -sin 2x cos 2x +sin 2x=12sin2x ·cos2x =14sin4x , 所以最大与最小值的积为-116. 13.(2010·浙江杭州质检)函数y =sin(x +10°)+cos(x +40°),(x ∈R )的最大值是________. [答案] 1[解析] y =sin x cos10°+cos x sin10°+cos x cos40°-sin x sin40°=(cos10°-sin40°)sin x +(sin10°+cos40°)cos x ,其最大值为(cos10°-sin40°)2+(sin10°+cos40°)2 =2+2(sin10°cos40°-cos10°sin40°) =2+2sin (-30°)=1.14.(文)如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD ⊥AB 于点D ,且AD =3DB ,设∠COD =θ,则tan 2θ2=________.[答案] 13[解析] 设OC =r ,∵AD =3DB ,且AD +DB =2r ,∴AD =3r 2,∴OD =r 2,∴CD =32r ,∴tan θ=CDOD=3,∵tan θ=2tanθ21-tan 2θ2,∴tan θ2=33(负值舍去),∴tan 2θ2=13.(理)3tan12°-3(4cos 212°-2)sin12°=________. [答案] -4 3 [解析] 3tan12°-3(4cos 212°-2)sin12°=3(sin12°-3cos12°)2cos24°sin12°cos12°=23sin (12°-60°)12sin48°=-4 3.三、解答题15.(文)(2010·北京理)已知函数f (x )=2cos2x +sin 2x -4cos x . (1)求f (π3)的值;(2)求f (x )的最大值和最小值.[解析] (1)f (π3)=2cos 2π3+sin 2π3-4cos π3=-1+34-2=-94.(2)f (x )=2(2cos 2x -1)+(1-cos 2x )-4cos x =3cos 2x -4cos x -1 =3(cos x -23)2-73,x ∈R因为cos x ∈[-1,1],所以当cos x =-1时,f (x )取最大值6;当cos x =23时,f (x )取最小值-73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a =(cos x +sin x ,sin x ),b =(cos x -sin x,2cos x ),设f (x )=a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,求函数f (x )的最大值及最小值. [解析] (1)f (x )=a ·b =(cos x +sin x )·(cos x -sin x )+sin x ·2cos x =cos 2x -sin 2x +2sin x cos x =cos2x +sin2x =2⎝⎛⎭⎫22cos2x +22sin2x=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. ∴f (x )的最小正周期T =π. (2)∵0≤x ≤π2,∴π4≤2x +π4≤5π4,∴当2x +π4=π2,即x =π8时,f (x )有最大值2;当2x +π4=5π4,即x =π2时,f (x )有最小值-1.16.(文)设函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3+sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期;(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,若cos B =13,f (C 2)=-14,且C 为锐角,求sin A 的值.[解析] (1)f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3+sin 2x =cos2x cos π3-sin2x sin π3+1-cos2x 2=12-32sin2x , 所以函数f (x )的最大值为1+32,最小正周期为π.(2)f (C 2)=12-32sin C =-14,所以sin C =32,因为C 为锐角,所以C =π3,在△ABC 中,cos B =13,所以sin B =223,所以sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C =223×12+13×32=22+36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,OM →=(sin B +cos B ,cos C ),ON →=(sin C ,sin B -cos B ),OM →·ON →=-15.(1)求tan2A 的值;(2)求2cos 2A2-3sin A -12sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.[解析] (1)∵OM →·ON →=(sin B +cos B )sin C + cos C (sin B -cos B )=sin(B +C )-cos(B +C )=-15,∴sin A +cos A =-15①两边平方并整理得:2sin A cos A =-2425,∵-2425<0,∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2,π, ∴sin A -cos A =1-2sin A cos A =75②联立①②得:sin A =35,cos A =-45,∴tan A =-34,∴tan2A =2tan A 1-tan 2A=-321-916=-247. (2)∵tan A =-34,∴2cos 2A2-3sin A -12sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=cos A -3sin A cos A +sin A =1-3tan A1+tan A=1-3×⎝⎛⎭⎫-341+⎝⎛⎭⎫-34=13.17.(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )=sin 2ax -3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y =m 相切,相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值;(2)若点A (x 0,y 0)是y =f (x )图象的对称中心,且x 0∈⎣⎡⎦⎤0,π2,求点A 的坐标. [解析] (1)f (x )=sin 2ax -3sin ax cos ax =1-cos2ax 2-32sin2ax =-sin ⎝⎛⎭⎫2ax +π6+12, 由题意知,m 为f (x )的最大值或最小值, 所以m =-12或m =32,由题设知,函数f (x )的周期为π2,∴a =2,所以m =-12或m =32,a =2.(2)∵f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6+12, ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6=0,得4x +π6=k π(k ∈Z ), ∴x =k π4-π24(k ∈Z ),由0≤k π4-π24≤π2 (k ∈Z ),得k =1或k =2,因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24,12或⎝⎛⎭⎫11π24,12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a =(sin x,1),b =(1,cos x ),记f (x )=a ·b ,f ′(x )是f (x )的导函数.(1)求函数F (x )=f (x )f ′(x )+f 2(x )的最大值和最小正周期; (2)若f (x )=2f ′(x ),求1+2sin 2xcos 2x -sin x cos x 的值.[解析] (1)f (x )=sin x +cos x , ∴f ′(x )=cos x -sin x , ∴F (x )=f (x )f ′(x )+f 2(x ) =cos 2x -sin 2x +1+2sin x cos x=cos2x +sin2x +1=1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, ∴当2x +π4=2k π+π2,即x =k π+π8(k ∈Z )时,F (x )max =1+ 2.最小正周期为T =2π2=π.(2)∵f (x )=2f ′(x ),∴sin x +cos x =2cos x -2sin x , ∴cos x =3sin x ,∴tan x =13,∴1+2sin 2x cos 2x -sin x cos x =3sin 2x +cos 2x cos 2x -sin x cos x =3tan 2x +11-tan x =2.。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(有答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1.已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω),周期2T π<,()3f π()f x 在6x π=处取得最大值,则ω的最小值为( )A .11B .12C .13D .142.已知函数()f x 满足()cos 1cos21f x x -=-,则()f x 的解析式为( ) A .()()22420f x x x x =+-≤≤B .()()224f x x x x R =+∈C .()()2120f x x x =--≤≤D .()()21f x x x R =-∈3.在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形或直角三角形 D .等腰直角三角形4.已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ,若存在实数1x ,2x ,使得对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( ) A .2020πB .1010π C .505π D .4040π5.已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,则sin 2θ=( ) A .2425-B .1225-C .1225D .2425 6.若tan 2θ=,则cos2(θ= )A .45B .45-C .35D .35-7.角α的终边与单位圆的交点坐标为1,)22,将α的终边绕原点顺时针旋转34π,得到角β,则cos()αβ+=( )A B C D .08.若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点,则实数a 的取值范围( )A .⎡⎤⎣⎦B .94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .⎡-⎣D .94⎤⎥⎦9.已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A B .50C .25D .2510.在斜三角形ABC 中,sin A cos B·cos C ,且tan B·tan C =1,则角A 的值为( ) A .4πB .3π C .2π D .34π 11.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .3-B .3C .13-D .1312.若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,则tan α=( )A .3-B C . D 二、填空题13.在ABC 中,三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ,且4cos 5A =,则cos C ________.14.若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____. 15.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2sin cos a Bb C=,且()3sin sin 4A CB -=-,则sin B =_______.16.已知4cos 5θ=,且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 17.已知O 为单位圆,A 、B 在圆上,向量OA ,OB 的夹角为60°,点C 在劣弧AB 上运动,若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的取值范围___________. 18.已知方程23310x ax a +++=,()2a >的两根为tan α,tan β,α,,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则αβ+=________.19.已知25cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,310cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,则2αβ+的值为__________. 20.已知1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,则cos()αβ-=______. 三、解答题21.设函数()4sin cos 16f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π,其中0>ω.(1)求函数()f x 的递增区间; (2)若函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ,2x ,求实数m 的取值范围. 22.已知5sin25α=,()5cos 13αβ+=,()0,απ∈,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求sin 2α的值; (2)求sin β的值. 23.已知1sin cos 5αα+=,其中0απ<<. (1)求11sin cos αα+的值; (2)求tan α的值.24.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式. (2)若3()5f x =-,且36x ππ-<<,求cos2x 的值.25.已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)求()f x 的单调递增区间和最值;(2)若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点,求实数a 的取值范围. 26.求值:(1)cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-;(2)1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】利用辅助角公式,求得()f x 的解析式,根据题意,可求得ϕ的表达式,根据tan a ϕ=,可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭,又根据()3f π=,可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据同角三角函数的关系,可求得a 的值,即可求得ω的表达式,根据ω的范围,即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=,因为22T ππω=<,所以1ω>,因为()f x 在6x π=处取得最大值,所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈,即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈,所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以1tan 6aπω⎛⎫= ⎪⎝⎭,因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得23a =,又0a >,所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈,解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈,又1ω>,所以ω的最小值为13. 故选:C 【点睛】解题的关键是根据题意,求得ϕ的表达式,代入求得tan 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式,再结合同角三角函数关系进行求解,计算量大,考查分析理解,计算化简的能力,属中档题.2.A解析:A 【分析】利用换元法,设[]cos 12,0x t -=∈-,将原函数转化成关于t 的关系式,进行整理即得()f x 的解析式.【详解】函数()f x 满足()22cos 1cos212cos 112cos 2f x x x x -=-=--=-,设cos 1x t -=,则cos 1x t =+,由[]cos 1,1x ∈-知[]2,0t ∈-, 故原函数可转化为()()2221224f t t t t =+-=+,[]2,0t ∈-,即()f x 的解析式为()()22420f x x x x =+-≤≤.故选:A. 【点睛】方法点睛:求函数解析式的方法(1)待定系数法:已知函数类型,可用待定系数法求解,先设出()f x ,再利用题目中给的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数;(2)换元法:主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题,令()g x t =,解出x ,然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ,从而求得()f x ,要注意新元的取值范围;(3)配凑法:配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式,进而求出()f x 的解析式;(4)构造方程组法(消元法):主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系,利用变换形式构造不同的等式,通过解方程组求解.3.A解析:A 【解析】依题意,利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=,即sin sin cos A C B =,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,故sin cos 0B C =,三角形中sin 0B ≠,故πcos 0,2C C ==,故三角形为直角三角形,故选A. 4.B解析:B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值,对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,即12x x -半周期的整数倍,代入求最小值即可.【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,则220201010T ππ==,2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查正弦函数的性质,考查三角恒等变换,考查周期与最值的求法,属于中档题.5.D解析:D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--,代入即可求解.【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值,其中解答中熟记余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力.6.D解析:D 【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+,把已知条件代入运算,求得结果. 【详解】tan 2θ=,22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++, 故选D . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.7.A解析:A 【分析】先求α的正余弦三角函数,再求β的正余弦三角函数,然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2,得1sin ,cos 2αα==, 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的,所以3331sin sin()sin cos cos sin ()444222πππβααα=-=-=⨯-=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用,属于中档题.8.A解析:A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,令sin cos 2sin cos y x x x x =+-,通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点, 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,∴t ⎡⎤∈⎣⎦,212sin cos t x x =+,∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭,当0t =时,y 取得最大值1,当t =y 取得最小值1-,故可得111a ≤-≤,∴2a ≤≤. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用,考查了逻辑思维能力和运算求解能力,属于中档题.9.A解析:A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭,然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭,cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由两角差的余弦公式求得cos2α. 【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭,∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦72425225250=⨯+⨯=. 故选:A . 【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查平方关系同、二倍角公式,解题时需要确定角的范围,才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解.10.A解析:A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =,进而得cos cos A C B =,由于sin cos A B C =, 所以sin cos A A =,可得4A π=,故选A.11.A解析:A 【分析】首先根据三角函数诱导公式,可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=;再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解:()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴由三角函数诱导公式化简得:sin 2cos αα-=-,即得tan 2α=,tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题型.12.A解析:A 【分析】由两角和的正弦公式化简,并引入锐角β,cos β=,sin β=,已知条件化为sin()1αβ-=,这样可得22k παβπ=++,k Z ∈,代入tan α,应用切化弦公式及诱导公式可得结论. 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=,设cos β=,sin β=,且β为锐角,cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=, ∴22k παβπ-=+,k Z ∈,即22k παβπ=++,k Z ∈,tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式,考查诱导公式及同角间的三角函数关系,化简变形求值是解题的基本方法.二、填空题13.【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为:【点睛】关键点睛:本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算解析:410【分析】利用2A+C =B 及A B C π++=易得3B π=,由同角三角函数的关系易得sinA 的值,然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】因为2A+C =B ,又A B C π++=, 所以3B π=,因为4cos 5A =,所以3sin 5A ===,()4134cos cos cos cos sin sin 525210C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯=.故答案为:410. 【点睛】关键点睛:本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14.【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件解得φ的值【详解】因为f(x)=sin2x+cos2x=sin 所以y=fsin 则有φ++kπ因此φ=+kπ(k ∈Z)当k解析:π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件,解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性,考查基本分析求解能力.15.【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题 解析:12【分析】sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4A CB -=-,展开整理得32cos sin 4A C =,①2sin cos a B b C=化为22sin cos sin A C B =,与①式相加得 ()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+,转化为关于sin B 的方程,求解即可得出结论.【详解】因为()3sin sin 4A CB -=-,所以()()3sin sin 4A C A C -=+-,所以32cos sin 4A C =,因为2sin cos a B b C=,所以22sin cos sin A C B =,则()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+, 整理得23sin 2sin 04B B -+=,解得1sin 2B =. 故答案为:12. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化,考查三角函数化简求值,属于中档题.16.【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为:【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析:17【分析】 由4cos 5θ=,且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求得3sin 5θ=-,得到3tan 4θ=-,再结合两角和的正切公式,即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=,且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,可得3sin 5θ===-,所以sin 3tan cos 4θθθ==-, 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+.故答案为:1 7 .【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式,以及两角和的正切公式的化简、求证,其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式,准确运算是解答的关键,着重考查运算与求解能力.17.【分析】以O为原点OA为x轴正方向建立直角坐标系可得AB的坐标设点根据题干条件可得x+y的表达式根据三角函数图像与性质结合的范围即可得答案【详解】由题意以O为原点OA为x轴正方向建立直角坐标系如图所解析:231,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】以O为原点,OA为x轴正方向建立直角坐标系,可得A,B的坐标,设点(cos,sin),[0,]3Cπθθθ∈,根据题干条件,可得x+y的表达式,根据三角函数图像与性质,结合θ的范围,即可得答案.【详解】由题意,以O为原点,OA为x轴正方向建立直角坐标系,如图所示:由题意得:13(1,0),(,223A B AOBπ∠=,则(1,0)OA=,13(,22OB=,设点(cos,sin),[0,]3Cπθθθ∈,则(cos,sin)OCθθ=,因为OC xOA yOB=+,所以1cos23sin2x yyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,整理得323cos)3x yπθθθ+=+=+,因为03πθ≤≤,得2333πππθ≤+≤,所以sin()123πθ≤+≤,即1sin()333πθ≤+≤,所以x y +的取值范围为⎡⎢⎣⎦.故答案为:⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、辅助角公式的应用、正弦型函数的图像与性质,难点在于根据所给条件,在适当位置建系,再进行求解,考查分析理解,求值化简的能力及数形结合的思想,属中档题.18.【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析:34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=,()2a >的两根为tan α,tan β,得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+,由两角和的正切公式得到()tan αβ+,再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=,()2a >的两根为tan α,tan β, 所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+, 则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅,因为2a >,所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>, 所以tan 0,tan 0αβ<<,α,,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭, (),0αβπ+∈-,所以34παβ+=-. 故答案为:34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为:【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析:4π. 【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-,再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+,然后可得角的大小. 【详解】∵cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,∴sin()2βα-==sin()2αβ-10=, ∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----5105102=⨯-=, 又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈,∴2αβ+4π=. 故答案为:4π. 【点睛】本题考查已知三角函数值求角.一般要求角可先这个角的某个三角函数值,最好先确定这个角的范围,选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小.20.【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得:①②将①和②相加可得:即解得故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析:5972-【分析】把两个条件平方相加,再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值. 【详解】1cos cos2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,将两式平方可得: 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①,221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②, 将①和②相加可得:1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=, 即1322cos()36αβ+-=,解得59cos()72αβ-=-. 故答案为:5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.三、解答题21.(1)递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(]2,1--.【分析】(1)利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简,再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案; (2)由x 的范围求出26x π-及sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围,利用换元法分析()2sin F u u =的单调性和最值,结合()y F u =与y m =-两函数的图象的交点个数可得答案. 【详解】(1)()24sin cos 1cos 2sin 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭2cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,∵()f x 的最小正周期为π,且0>ω,∴22ππω=,解得1ω=, ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,设26u x π=-, ∵函数sin y u =的递增区间是()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 由()222262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ,得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ,∴函数()f x 的递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,520,66u x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦, 令()2sin F u u =,则5166F F ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵()2sin F u u =在0,2u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增,在5,26u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减, ∴()max 22F u F π⎛⎫== ⎪⎝⎭,∵函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点, ∵.函数()y f x =与y m =-两图象在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点, ∴函数()y F u =与y m =-两图象在50,6u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点, ∴12m ≤-<,解得21m -<≤-, ∴实数m 的取值范围是(]2,1--. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质,关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简和利用三角函数的性质解题,考查了学生分析问题、解决问题的能力. 22.(1)2425;(2)1665.【分析】(1)由二倍角公式求得cos α,再由平方关系得sin α,然后由正弦的二倍角公式得sin 2α;(2)确定α的范围,得αβ+范围,从而可求得sin()αβ+,再由两角差的正弦公式计算. 【详解】(1)由已知223cos 12sin 12255αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,又(0,)απ∈,∴(0,)2πα∈,∴sin 45α==, ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=;(2)∵(0,)2πβ∈,∴(0,)αβπ+∈,∴12sin()13αβ+=,∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=. 【点睛】关键点点睛:本题考查二倍角公式,两角和与差的正弦公式,同角间的三角函数关系,解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系,确定选用的公式和应用公式的顺序.在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性.如在sin ,cos αβ,求cos()a β+时,,αβ是单角,αβ+是两个单角的和,但象本题中求sin β时,αβ+作为一个单角,α作为一个单角,()βαβα=+-.由此直接应用公式求解. 23.(1)115sin cos 12αα+=-;(2)4tan 3α=-. 【分析】(1)将等式1sin cos 5αα+=两边平方,可求出sin cos αα的值,进而可求得11sin cos αα+的值; (2)法一:利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值,结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组,解出sin α、cos α的值,进而可求得tan α的值;法二:由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++,可得出关于tan α的二次方程,由已知条件可得出tan 1α<-,由此可求得tan α的值. 【详解】(1)由1sin cos 5αα+=①,得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-,所以,111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--; (2)法一:由(1)知12sin cos 25αα=-,0απ<<,sin 0α>,cos 0α<,sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=,7sin cos 5αα∴-=②.由①②得,4sin 5α,3cos 5α=-,sin 4tan cos 3∴==-ααα; 法二:由(1)知12sin cos 25αα=-,22sin cos 1αα+=,22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+.2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+,即2tan 12tan 125αα=-+,整理可得212tan 25tan 120αα++=,得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<,所以sin 0α>,cos 0α<, 又1sin cos 05αα+=>,所以sin cos αα>,tan 1α∴<-,所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛:在利用同角三角函数的基本关系求值时,可利用以下方法求解:(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二; (2)关于sin α、cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子. 24.(1)()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2. 【分析】(1)根据最大值求出A ,根据周期求出ω,根据极大值点求出ϕ (2)根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,利用两角和与差的余弦公式展开,求解即可.【详解】(1)由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<,,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ (2)3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ,236262x x πππππ-<<-<+<,又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.25.(1)()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()()min max 30,2f x f x ==;(2)3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】(1)利用两角差的余弦公式,二倍角公式和辅助角法,将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再利用正弦函数的性质求解.(2)将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点,转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点,利用数形结合法求解. 【详解】(1)函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭,12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭,2cos sin cos 2x x x x =++,112cos 2222x x =++,1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以()()min max 30,2f x f x ==. (2)因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点,所以()f x a =有且仅有一个零点,即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点,如图所示:由图象知:32a =或 [0,1)a ∈, 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛:1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式.2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2T ωπ=,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T πω=. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质.26.(1)0(2)2【分析】(1)利用诱导公式化简,即可求解; (2)先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+,由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-, 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用(1)原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;22︒︒︒=⨯︒+-+=-+-+= (2)原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin102sin102︒︒︒︒︒︒-=== 【点睛】关键点点睛:三角函数化简求值,需要根据式子的结构特征选择合适的公式,并且要注意公式的正用、逆用,特别是复杂式子的灵活运用,属于难题.。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(包含答案解析)(1)

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题1.在ABC中,cos A =,1tan 3B =,则()tan A B -=( )A .2-B .12-C .12D .22.若()π,2πα∈,πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. B .0C.2D.或0 3.化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A .12B1C .14D.14.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin x 的值为( ) A.10-BCD.10-5.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫=⎪⎝⎭( ) A.10B.10-CD.10-6.设等差数列{}n a 满足:()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+,公差()1,0d ∈-.若当且仅当11n =时,数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值,则首项1a 的取值范围是( ) A .9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知25cos2cos αα+=,()4cos 25αβ+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( ) A .45-B .44125C .44125-D .458.已知α,β均为锐角,5cos()13αβ+=-,3sin()35πβ+=,则sin()3πα-=( )A .3365B .3365-C .6365D .56659.若α∈(2π,π),且3cos 2α=sin(4π-α),则sin 2α的值为( ) A .-118 B .118C .-1718D .171810.设a 、b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ,则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为( ) A .7B .11C .14D .2811.已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A B .50C .25D12.已知()0,απ∈,sin cos 3αα+=cos2=α( )A .B .3C .D 二、填空题13.有下列5个关于三角函数的命题:①0x R ∃∈00cos 3x x +=;②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称; ③x R ∀∈,1sin 2sin x x+≥;④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-;⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时,cos x =. 其中是真命题的是______.14.已知函数()2cos cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增,则实数m 的最大值是______.15.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2sin cos a B b C=,且()3sin sin 4A CB -=-,则sin B =_______.16.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且PB QD PQ +=,则PAQ ∠的大小为__________.17.求值:sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______18.已知tan (3π+α)=2,则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.19.设,(0,)αβπ∈,cos α,cos β是方程26320x x -=-的两根,则sin sin αβ=_________.20.已知6sin 46πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2θ=___________. 三、解答题21.已知函数2()3sin 22sin f x x x =+.(1)求函数()f x 的单调递减区间; (2)当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的值域. 22.①角α的终边上有一点()2,4M ;②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13;③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.问题:已知角α的顶点在原点O ,始边在x 轴的非负半轴上,___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答记分.23.在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并进行解答. ①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+(0>ω,||2ϕπ<)的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象,()g x 图象关于原点对称;②函数()3)cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->; ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭;问题:已知________,函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3f α=,求α的值.24.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >,0>ω,ππ22ϕ-<<)的部分图像如图所示,π12,7π12是函数的两个相邻的零点,且图像过()0,1-点.(1)求函数()f x 的解析式; (2)求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程. 25.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式. (2)若3()5f x =-,且36x ππ-<<,求cos2x 的值.26.已知02πα<<,02πβ-<<,cos α=cos()42πβ-=.(1)求cos()4πα+的值;(2)求sin()2+βα的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值,然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos A =且()0,A π∈,所以34A π=,所以tan 1A =-,所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯,故选:A. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.2.B解析:B 【分析】根据题意,化简得到cossin222αα+=-,所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,取得1sin 2α=-,再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式,即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,可得22cos sin cos sin 02222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭,即cossincos sin 02222αααα⎛⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为(),2αππ∈,所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos sin 022αα-≠,解得cos sin22αα+=,所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以11sin 2α+=,所以1sin 2α=-,又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以cos α==,所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结:1、给角求值:一般给出的角是非特殊角,要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题;2、给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系;3、给值求角:实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).3.A解析:A 【分析】由原式利用二倍角公式,和同角三角函数基本关系进行化简,即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+,所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选:A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值,涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换,属于中档题.4.B解析:B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,展开后计算得出正确选项. 【详解】 由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=,故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.5.C解析:C 【分析】 根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 4545αα===cos ;所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.6.D解析:D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+,所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+,再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+,即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+,再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+.由于{}n a 是等差数列,因此1827a a a a +=+,即1827sin()sin()a a a a +=+,所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-,则()55,0d ∈-,所以5210d d ππ=-⇒=-,故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+,即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,其对称轴是1202a n ππ+=,由题设可得1202123222a ππ+<<,即11110a ππ<<,应选答案D .点睛:解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简,再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-,然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++,借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<,进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<. 7.B解析:B 【分析】先根据二倍角余弦公式求cos α,解得cos2α,最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选:B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式,考查基本分析求解能力,属中档题.8.B解析:B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭,3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭,利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α,β均为锐角,5cos()013αβ+=-<,,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,∴()12sin 13αβ+==,β均为锐角,5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45(4152>,舍去),()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号,属于中档题.9.C解析:C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin αα+=,对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-, 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,可知cos sin 0αα-≠, 于是()3cos sin 2αα+=,所以112sin cos 18αα=+, 故17sin 218α=-, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用,属于中档题.10.D解析:D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈,[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合,求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解,可得出d 的可能取值,进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭, ①当2a =时,则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩;②当2a =-时,则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =,即2sin cos cos x x x =,可得()2sin 1cos 0x x -=,即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时,解方程1sin 2x =,可得6x π=、56π、136π、176π;解方程cos 0x =,可得2x π=、32π、52π. 所以,d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.因此,符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选:D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用,同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解,考查计算能力,属于中等题.11.A解析:A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再由两角差的余弦公式求得cos2α. 【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭,∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7242525==. 故选:A . 【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查平方关系同、二倍角公式,解题时需要确定角的范围,才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解.12.A解析:A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值,然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈,sin cos 3αα+=,两边平方后得:112sin cos 3αα+=,即1sin cos 3αα=-,sin 0α∴>,cos 0α<,()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭,cos sin 3αα∴-=-,则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选:A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数平方关系的应用,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①:则①错误;②:关于轴对称②正确解析:②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误,然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确,再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误,=cos02x 判断出④正确,最后通过将函数转化为()()f x x p =+,根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 2262x x x x x π+⎛⎫⎛⎫+=+=≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,00cos 3x x +≠,①错误;②:()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-,关于y 轴对称,②正确;③:因为sin x 可以为负值,所以1sin 2sin x x+≥错误,③错误; ④:因为[]π,2πx ∈,所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 02x ,cos2x===-,④正确;⑤:()2sin cos sin cos55f x x x x x⎫=+=+⎪⎪⎭()x p=+,(注:5sin p ,25cos p),当函数()f x取最大值时,22x p kππ+=+,即()22x p k k Zππ=-++∈,此时cos cos n2si2=p kx pππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭⑤正确,故答案为:②④⑤.【点睛】关键点点睛:本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确,考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用,考查计算能力,考查化归与转化思想,是中档题.14.【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解:当时∵在区间上单调递增∴得即m的最大值为故答案为:【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题解析:6π【分析】利用辅助角公式进行化简,结合函数的单调性进行求解即可.【详解】解:()1cos212sin22262xf x x xπ+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭,当0x m≤≤时,266x mππ≤≤+,∵()f x在区间[]0,m上单调递增,∴262mππ+≤,得6mπ≤,即m的最大值为6π.故答案为:6π.【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简,考查三角函数的单调性,属于基础题.15.【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题 解析:12【分析】sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4A CB -=-,展开整理得32cos sin 4A C =,①2sin cos a B b C=化为22sin cos sin A C B =,与①式相加得 ()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+,转化为关于sin B 的方程,求解即可得出结论.【详解】因为()3sin sin 4A CB -=-,所以()()3sin sin 4A C A C -=+-,所以32cos sin 4A C =,因为2sin cos a B b C=,所以22sin cos sin A C B =,则()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+, 整理得23sin 2sin 04B B -+=,解得1sin 2B =. 故答案为:12. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化,考查三角函数化简求值,属于中档题.16.【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解:设则因为是直角三角形所以由勾股定理得:化简得在中在中所以又因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查正切的和角公解析:4π【分析】先分别设PB x =,DQ y =,则在PCQ △中,由勾股定理得1xy x y -=+,再分别表示出tan BAP ∠,tan DAQ ∠,之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解:设PB x =,DQ y =,则1CP x =-,1CQ y =-, 因为PCQ △是直角三角形,PB QD PQ +=,所以由勾股定理得:()()()22211x y x y -+-=+,化简得1xy x y -=+, 在ABP △中,tan BPBAP x AB∠==, 在ADQ △中,tan DQDAQ y AD∠==, 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-,又因为02BAP DAQ π<∠+∠<,所以,=4PAQ π∠故答案为:4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式,数据处理能力与运算能力,是中档题.17.【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒,代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值,需要根据所给的角度与特殊角的关系,并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.18.2【分析】计算化简得到原式计算得到答案【详解】原式故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式化简齐次式意在考查学生的计算能力解析:2 【分析】计算tan 2α=,化简得到原式tan tan 1αα=-,计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为:2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简,齐次式,意在考查学生的计算能力.19.【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题解析:6【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+,由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ,然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式,再代入求值. 【详解】由cos α,cos β是方程26320x x -=-的两根 所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-, 从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>,从而sin sin αβ= 【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的平方关系,考查韦达定理,解题关键是利用平方关系化正弦为余弦,解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式,属于中档题.20.【分析】根据可得的值将平方结合正弦的二倍角公式即可计算出的值【详解】因为所以所以所以且所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是通过展开得到的值再根据与之间的关系:去完成求解解析:23【分析】根据sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得sin cos θθ-的值,将sin cos θθ-平方结合正弦的二倍角公式即可计算出sin 2θ的值. 【详解】因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos θθ-=sin cos θθ-=, 所以()21sin cos 3θθ-=且22sin cos 1θθ+=, 所以112sin cos 3θθ-=,所以2sin 23θ=, 故答案为:23. 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是通过展开sin 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭得到sin cos θθ-的值,再根据sin cos θθ-与sin 2θ之间的关系:()2sin cos 1sin 2θθθ-=-去完成求解. 三、解答题21.(1)()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;(2)[]1,1-【分析】(1)首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再求函数的单调递减区间; (2)先求26x π-的范围,再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围,最后求函数的值域. 【详解】(1)因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭, 令3222262k x k πππππ+≤-≤+,解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2),312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,36x ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦,52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,[]2sin 211,16x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】方法点睛:本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用,()sin y A x ωϕ=+的性质:(1)周期2π.T ω=(2)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴,由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.(3)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22.答案见解析 【分析】选条件①,则根据三角函数定义得cosα=,sin α=,进而根据二倍角公式得3cos25α=-,4sin 25α=,再结合余弦的和角公式求解即可;选条件②,由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=,sin 3α=,进而根据二倍角公式得7cos 29α=-,sin 2α=,再结合余弦的和角公式求解即可; 选条件③,由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--,并结合题意得1tan 22α=,故cos 2α=,sin 2α=【详解】解:方案一:选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-,4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭314525=-⨯-310+=-. 方案二:选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13,所以1cos 3α=,sin α==所以27cos 22cos 19αα=-=-,sin 22sin cos 9ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭719292=-⨯-⨯=. 方案三:选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---,结合2α为锐角,解得1tan 22α=, 所以cos 2α=,sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα,进而根据三角恒等变换求解,考查运算求解能力,是基础题.23.(Ⅰ)()2sin(2)6f x x π=+(Ⅱ)12πα=或4πα=【分析】分别选择①,②,③求出函数()2sin(2)6f x x π=+, (Ⅰ)根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间; (Ⅱ)代入()f α,根据α的范围可求出结果. 【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.所以22T ππ=⨯=, 选择①,则22ππω=,得1ω=,所以()2sin(2)f x x ϕ=+, 所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+, 因为()g x 的图象关于原点对称,所以()g x 为奇函数,所以(0)0g =, 所以2sin()06πϕ-=,所以6k πϕπ-=,k Z ∈,所以6k πϕπ=+,k Z ∈,因为||2ϕπ<,所以0,6k πϕ==,所以()2sin(2)6f x x π=+, 选择②,())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+,所以22ππω=,所以1ω=,所以()2sin(2)6f x x π=+, 选择③,()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-=14cos cos 122x x x ωωω⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x x ωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以22ππω=,所以1ω=,所以()2sin(2)6f x x π=+, (Ⅰ)由222262k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,得36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππk πk π-++,k Z ∈.(Ⅱ)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)6πα+=,因为02πα<<,所以72666πππα<+<, 所以263ππα+=或2263ππα+=,得12πα=或4πα=. 【点睛】 关键点点睛:根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.24.(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈. 【分析】 (1)先利用图象解得周期和ω,再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-,解得ϕ和A ,即得解析式;(2)先根据解析式化简()g x ,再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解:(1)由图可知7212122T πππ=-=,周期T π=,故22T πω==, 由π12,7π12是函数的两个相邻的零点,则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值, 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈, 又ππ22ϕ-<<,故π6ϕ=-, 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,得2A =, 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭; (2)()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+,k Z ∈时,5ππ11ππ242242k k x +≤≤+,()g x 单调递增, 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 令ππ4π32x k -=+,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈.【点睛】思路点睛:解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质,通常利用正弦函数的图象性质,采用整体代入法进行求解,或者带入验证.25.(1)()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;(2)310. 【分析】(1)根据最大值求出A ,根据周期求出ω,根据极大值点求出ϕ(2)根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,利用两角和与差的余弦公式展开,求解即可. 【详解】(1)由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T 又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+ 又||2πϕ<,,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ (2)3()5f x =- 所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ,236262x x πππππ-<<-<+<, 又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4313525210=⨯-⨯= 【点睛】已知f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ. (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.26.(1;(2)15. 【分析】(1)根据02πα<<,cos α=10sin α=,再利用两角和的余弦公式求解..(2)由(1)求得sin()45+=πα,再由02πβ-<<,求得sin()42πβ-=,然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα,利用两角差的正弦公式求解. 【详解】(1)因为02πα<<,cos α=所以sin α=所以cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-,1021025=⋅-=. (2)因为02πα<<, 所以3444πππα<+<,所以sin()45+=πα, 因为02πβ-<<,所以4422ππβπ<-<,所以sin()42πβ-=, 所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα, sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα,== 【点睛】 方法点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:①一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;②二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;③三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式一般要升幂”等.。

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高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ,x ∈ R ,则函数 f(x) 是()1. (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)= cos 2(x + )- sin 2(x + )44A .最小正周期为 π的奇函数B .最小正周期为 π的偶函数πC .最小正周期为 2的奇函数πD .最小正周期为 2的偶函数 [ 答案 ] Aπ2π[ 解析 ] f(x)= cos(2x + 2)=- sin2x 为奇函数,周期 T = 2 = π. ( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y = sin 2x + sinxcosx 的最小正周期 T = ()π π A . 2π B . πC.2D.3[ 答案 ] B[ 解析 ] y = sin 2x + sinxcosx = 1- cos2x 12+ sin2x2 = 1+ 2π,∴最小正周期 T = π.2 2 sin 2x - 4232. (2010 重·庆一中 )设向量 a = (cos α, 2 )的模为 2 ,则 cos2α= ()111 3 A .- 4 B .- 2C.2D. 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ |a|2= cos 2α+ 2 2= cos 2α+ 1= 3,2 2 4∴ cos 2α=1,∴ cos2α= 2cos 2α- 1=- 1.42α3.已知 tan 2= 3,则 cos α= ()444 3A. 5 B .- 5C.15D .- 5[ 答案 ] Bαααα cos2- sin2222含详解答案高考总复习1- tan 2α= 2 =1- 9=- 4,故选 B. 1+ tan 2α 1+ 9522C4.在△ABC 中,若 sinAsinB = cos 2 ,则△ABC 是 ()A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .既非等腰又非直角的三角形 [ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ sinAsinB = cos 2C,211∴ 2[cos(A - B)- cos(A + B)] = 2(1+ cosC), ∴ cos(A - B)-cos( π-C)= 1+ cosC ,∴ cos(A - B)=1,∵- π<A -B<π,∴ A - B = 0,∴△ ABC 为等腰三角形.π5. (2010 ·阳市诊断绵 )函数 f(x)= 2sin(x - 2) +|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B .πC . 2πD . 4π[ 答案 ] C[ 解析 ] f(x)=- 2cosx + |cosx|- cosx cosx ≥ 0=,画出图象可知周期为2π.- 3cosx cosx<016. (2010 揭·阳市模考 )若 sinx + cosx = 3, x ∈ (0, π),则 sinx - cosx 的值为 ()17171 17 A . ± 3 B .- 3C.3D. 3[ 答案 ] D[ 解析 ]11 ,∴ sin2x =- 8π 由 sinx + cosx = 两边平方得, 1+ 2sinxcosx = <0,∴ x ∈ , π,3 99 2∴ (sinx - cosx)2= 1- sin2x =17且sinx>cosx , 9∴ sinx -cosx =17,故选 D.3高考总复习7. (文 )在锐角△ABC 中,设 x = sinA ·sinB , y = cosA ·cosB ,则 x , y 的大小关系是 ( )A . x ≤yB . x < yC . x ≥ yD . x >y[ 答案 ] Dπ[ 解析 ] ∵ π>A + B > ,∴ cos(A + B)<0,即 cosAcosB - sinAsinB < 0,∴ x > y ,故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中,角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ,如果 cos(2B + C)+ 2sinAsinB<0,那么 a 、 b 、 c 满足的关系是 ()A . 2ab>c 2B . a 2+ b 2<c 2C . 2bc>a 2D . b 2+ c 2<a 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ cos(2B +C)+ 2sinAsinB<0,且 A +B + C = π,∴ cos( π- A +B)+ 2sinA ·sinB<0,∴ cos( π- A)cosB - sin( π- A)sinB + 2sinAsinB<0,∴- cosAcosB + sinAsinB<0 ,即 cos(A + B)>0,π π∴ 0<A + B< ,∴ C> ,22a 2+b 2-c 2由余弦定理得,cosC =<0,2ab∴ a 2+ b 2- c 2<0,故应选 B.8. (2010 ·林省调研吉 )已知 a = (cosx ,sinx),b = (sinx ,cosx),记 f(x)=a ·b ,要得到函数 y = sin 4x - cos 4x 的图象,只需将函数 y = f( x)的图象 ()πA .向左平移 2个单位长度πB .向左平移 4个单位长度πC .向右平移 2个单位长度πD .向右平移 4个单位长度[ 答案 ] D[ 解析 ] y = sin 4x - cos 4 x =(sin 2x + cos 2x)(sin 2x - cos 2x)=- cos2x ,π π π π将 f( x)= a ·b = 2sinxcosx = sin2x ,向右平移 4 个单位得, sin2 x -4 = sin 2x -2 =- sin - 2x=- cos2x ,故2 选 D.高考总复习π 29. (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a = (cos2α, sin α), b = (1,2sin α- 1), α∈ 4, π,若 a ·b =5,π 则 tan α+4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[ 答案 ] C[ 解析 ]a ·b = cos2α+ 2sin 2α-sin α= 1- 2sin 2α+ 2sin 2α- sin α= 1- sin α= 2,∴ sin α= 3,5 5 π∵ <α<π,∴ cos α=- 4,∴ tan α=- 3,454π 1+ tan α 1 .∴ tan α+ = =4 1- tan α 75π 7π10. (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ,则 1+ sin α+ 1- sin α等于 ()α α A .- 2cos 2 B . 2cos 2α α C .- 2sin 2 D . 2sin 2[ 答案 ]C5π7π 5π α 7π[ 解析 ] ≤ α≤,∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1+ sin α+ 1- sin α=1+ 2sin α α 1- 2sin α α2 cos + cos22 2 =α α α α2sin + cos2 +sin - cos2 2 22αα α α=- (sin + cos )- (sin - cos )2222α=- 2sin 2. 二、填空题π 311. (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2+ θ=5,则 cos2θ= ________. [ 答案 ] 7 - 25π 3,∴ cos θ= 3,[ 解析 ] ∵ sin + θ=2 5 5∴ cos2θ= 2cos2θ- 1=- 257.高考总复习tanx- tan3 x12. (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y=的最大值与最小值的积是 ________.1+ 2tan 2x+tan4x[ 答案 ]1 -16[ 解析 ] y=tanx- tan3x tanx 1- tan2x2 4=2 21+ 2tan x+ tan x 1+ tan x=tanx 1- tan2x=sinxcosx cos2x- sin2x2 · 2 2 2 + 2 2 1+ tan x 1+ tan x cos x+ sin x cos x+ sin x 1 1=2sin2x·cos2x=4sin4x,1所以最大与最小值的积为-16.13. (2010 ·江杭州质检浙)函数 y= sin(x+ 10°)+ cos(x+ 40°),( x∈R )的最大值是 ________.[ 答案 ] 1[ 解析 ]y= sinxcos10 °+ cosxsin10 +°cosxcos40 °- sinxsin40 =°(cos10 -°sin40 )sinx°+ (sin10 +°cos40 °)cosx,其最大值为=2+ 2 sin10 °cos40°- cos10°sin40 °=2+ 2sin - 30°= 1.θ14.(文 )如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD⊥ AB 于点 D ,且 AD= 3DB ,设∠COD =θ,则 tan22=________.[ 答案 ] 1 3[ 解析 ]3r,∴ OD=r,∴ CD = 3 CD =3,设 OC= r,∵ AD = 3DB,且 AD+ DB=2r,∴ AD =2 2 2 r ,∴ tanθ=OD θ∵ tanθ=2tan2 θ3,∴ tan =1- tan2θ 2 3 (负值舍去 ),2θ1∴tan22=3.( 理)3tan12 -°3= ________. 4cos212 °- 2 sin12 °[ 答案 ] - 4 3[ 解析 ]3tan12 -°3 = 3 sin12 -°3cos12 °4cos212°-2 sin12 ° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12 °- 60°3. = 1 =- 4三、解答题15. (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)=2cos2x + sin 2x - 4cosx.π(1) 求 f(3)的值;(2) 求 f(x)的最大值和最小值.[ 解析 ] π 2π π π 3 9 (1) f( )= 2cos+ sin2- 4cos =- 1+-2=- .3 33344(2) f(x)=2(2cos 2 x - 1)+(1 -cos 2x)- 4cosx= 3cos 2x - 4cosx - 1= 3(cosx -23)2-73, x ∈ R因为 cosx ∈ [ - 1,1] ,所以当 cosx =- 1 时, f(x)取最大值 6;当 cosx =2时, f(x)取最小值-733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a =(cosx +sinx , sinx), b = (cosx - sinx,2cosx),设 f(x)= a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期;(2) 当 x ∈ 0,π时,求函数 f(x)的最大值及最小值.2[ 解析 ] (1) f(x)= a ·b = (cosx + sinx) ·(cosx - sinx)+ sinx ·2cosx = cos 2x -sin 2x + 2sinxcosx= cos2x + sin2x = 2222 cos2x + 2 sin2xπ = 2sin 2x +4 .∴ f(x)的最小正周期 T = π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ,∴ ≤ 2x + ≤ 4 ,2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x +4= 2,即 x =8时, f(x)有最大值 2;当 2x + 4= 4 ,即 x =2 时, f(x)有最小值- 1.π16. (文 )设函数 f(x)= cos 2x + 3 + sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期;1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角,若 cosB =3, f(2 )=-4,且 C 为锐角,求 sinA 的值. [ 解析 ] (1) f(x)= cos 2x + π π π 1- cos2x 1 - 3 + sin 2x = cos2xcos - sin2xsin + = 2 sin2x ,3 3 3 2 2所以函数 f(x)的最大值为1+ 3,最小正周期为π.2(2) f(C )= 1- 3sinC =- 1,所以 sinC = 3π因为 C 为锐角,所以C = 3,在△ ABC 中, cosB =13,所以 sinB =2 3 2,所以 sinA = sin(B + C)= sinBcosC + cosBsinC= 2 2 1 1 × 3 = 22+ 33 × + 26 .2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角, OM = (sinB + cosB , cosC), ON = (sinC , sinB - cosB), OM ·ON =1- 5.(1) 求 tan2A 的值;2A(2) 2cos 2- 3sinA - 1 的值.求π2sin A +4[ 解析 ]→ →(1) ∵OM ·ON = (sinB + cosB)sinC +1cosC(sinB - cosB)= sin(B + C)- cos(B + C) =- 5,∴ sinA + cosA =- 1①5两边平方并整理得: 2sinAcosA =- 24,25∵-24π, π ,25<0,∴ A ∈ 2∴ sinA - cosA = 1-2sinAcosA = 75②联立①②得: sinA = 3,cosA =- 4,∴ tanA =- 3, 5 5 4- 3∴ tan2A =2tanA2=224 . A =- 1-tan 1- 9 7163(2) ∵ tanA =- 4,A2cos 22 - 3sinA - 1 cosA -3sinA 1- 3tanA ∴ π= cosA +sinA =1+ tanA 2sin A +43=1-3× -4 = 13.-341+π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值;π(2) 若点 A(x 0, y 0) 是 y = f( x)图象的对称中心,且 x 0∈ 0, 2 ,求点 A 的坐标. [ 解析 ] (1) f(x)= sin 2ax - 3sinaxcosax1- cos2ax3π 1= 2 - 2 sin2ax =- sin 2ax + 6 + 2,由题意知, m 为 f(x)的最大值或最小值,所以 m =- 12或 m =32,π 由题设知,函数f(x)的周期为,∴ a = 2,2所以 m =- 1或 m =3, a = 2. 2 2(2) ∵ f(x)=- sin 4x + π+1,6 2ππ∴令 sin 4x + 6 =0,得 4x +6= k π(k ∈ Z) ,∴ x = k π π-424(k ∈ Z),由 0≤ k π π π(k ∈ Z),得 k = 1 或 k = 2,4 -24≤2 因此点 A 的坐标为 5π 1 或 11π1 , ,24 2 24 2.( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测 )设向量 a = (sinx,1), b = (1, cosx),记 f(x)= a ·b , f ′ (x)是 f( x)的导函数.(1) 求函数 F(x)= f(x)f ′ (x)+ f 2(x)的最大值和最小正周期;(2) 若 f(x)= 2f ′ (x),求1+ 2sin 2x的值.cos 2x - sinxcosx[ 解析 ] (1) f(x)= sinx +cosx ,∴ f ′( x)= cosx -sinx ,∴ F(x)= f(x)f ′ (x)+ f 2(x) = cos 2x -sin 2x + 1+2sinxcosx= cos2x + sin2x + 1= 1+ 2sin π2x +4 ,π π π ∴当 2x + = 2k π+ ,即 x = k π+ (k ∈ Z)时, F( x)max =1 + 2.428最小正周期为 T = 2π= π.2(2) ∵ f(x)= 2f ′ (x),∴ sinx+ cosx= 2cosx- 2sinx,∴cosx= 3sinx,∴ tanx=1,3∴1+ 2sin2x = 3sin2x+ cos2x = 3tan2x+ 1=2.cos2x-sinxcosx cos2x-sinxcosx 1- tanx。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题1.已知23cos sin 2αβ+=,1sin sin cos 3αββ+=,则)os(c 2αβ+=( )A .49B .59C .536D .518-2.已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为( )A 1-B .1C .2D .12-3.已知2tan 23θ=,则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为( ) A .23 B .23-C .32D .32-4.已知sin cos x x +=,则1tan tan x x +=( ) A .6-B .7-C .8-D .9-5.已知ππ2α<<,且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α的值为( )A .10B .10-C .10D .10-6.在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形或直角三角形 D .等腰直角三角形7.函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是( )A .(,)()44k k k Z ππππ-+∈B .3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C .(,)()4k k k Z πππ+∈D .(,)()42k k k Z ππππ++∈8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称,则ω的最小值为( ) A .13B .23C .43D .839.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值,则ω的范围是( )A .3(0,]5B .13[,]25C .13[,]24D .15[,)2210.若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点,则实数a 的取值范围( )A.⎡⎤⎣⎦B.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎣D.94⎤⎥⎦11.已知()1sin 30cos 3αα︒+=+,则()sin 230α+︒=( ) A .79-B .79CD. 12.若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,则tan α=( ) A.3-BC. D二、填空题13.函数2cos sin y x x =+的最大值为____________. 14.已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,10sin α=,()cos 5αβ+=,则()cos 2αβ+=______.15.已知tan 2α=,则2sin 2cos αα+=________.16.已知tanα=2tan 8π,则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____.17.已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,则2αβ+的值为__________. 18.已知函数()sin f x x x =+,则下列命题正确的是_____.(填上你认为正确的所有命题序号) ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦;②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称; ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是6π; ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ,则12373x x x π++=. 19.设函数()cos f x x x -的图像为C ,有如下结论: ①图象C 关于直线2π3x =对称; ②()f x 的值域为[]22-,; ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈; ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.(写出所有正确结论的序号).20.已知角θ的终边经过点(4,3)P -,则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________.三、解答题21.设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. (1)求函数的单调递减区间;(2)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44ππ-上的值域. 22.已知函数21()cos sin 2f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)若(,)123A ππ∈,1()3f A =,求5cos(2)6A π-的值. 23.(1)若角α的终边上有一点()1,3P ,求值:()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e-+⋅-+︒.24.已知函数()cos23f x x =-,()2cos 4g x a x a =-.(1)求函数()()2h x x f x =+的最大值;(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()f x g x >恒成立,求a 的取值范围.25.在①2sin 3sin 2αα=,②cos2α=,③tan α=个,补充在下面问题中,并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,_______,求cos β. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.26.已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ,3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (1)求实数b 的值; (2)求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=,22sin sin 23αβ+=,然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①,在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②,将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+,解得()5cos 236αβ+=.故选:C. 【点睛】思路点睛:出现两个角的三角函数的和差,求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减,化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2.D解析:D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =,然后发现区间长度刚好是四分之一个周期,从而利用余弦函数的对称性,得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,求出此时的最大值和最小值,即可得到答案. 【详解】 函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=,所以函数()f x 的周期为22T ππ==,区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期,因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ,最小值为()N t ,由函数cos 2y x =的对称性可知,当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,关于2y cos x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,即函数()()()g t M t N t =-取最小值,区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的中点为428t tt t ππ-+==-,此时()f t 取得最值±1, 不妨()f t 取得最大值()=1M t , 则有cos 2()18t π-=,解得224t k ππ-=,所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为12-. 故选:D . 【点睛】关键点睛:本题考查了三角函数的最值,涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用,解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小.3.A解析:A根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解:根据半角公式得:22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-,sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++, 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得: 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选:A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,进而构造齐次式求解即可,考查运算求解能力,是中档题. 4.C解析:C 【分析】将等式sin cos x x +=sin cos x x 的值,利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=,可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=,得1sin cos 8x x =-,因此,221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.【点睛】方法点睛:应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二.5.D解析:D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<,所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355=-+= 故选:D 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关三角函数求值问题,解题方法如下: (1)利用同角三角函数关系式,结合角的范围,求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)凑角,利用差角余弦公式求得结果.6.A解析:A 【解析】依题意,利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=,即sin sin cos A C B =,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,故sin cos 0B C =,三角形中sin 0B ≠,故πcos 0,2C C ==,故三角形为直角三角形,故选A. 7.D解析:D 【分析】先利用二倍角公式化简整理,再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可.由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==, 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+, 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈,又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间,利用复合函数单调性的性质, 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选:D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用,对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.8.C解析:C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈,可得出关于ω的表达式,即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由于该函数的图象关于直线8x π=对称,则()832k k Z πππωπ+=+∈,得()483k k Z ω=+∈, 0ω>,当0k =时,ω取得最小值43.故选:C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数,解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简,并通过对称性列出参数的表达式求解,考查计算能力,属于中等题.9.B解析:B 【分析】先化简函数,根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,则为函数含有零的增区间的子集,再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值,则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π,最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭, ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-,22sin sin sin x x x ωωω=+-,sin x ω=,令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈,则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈, 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数, 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得35ω≤,令2,2x k k Z πωπ=+∈,因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值, 所以02ππω≤≤,所以12ω≥, 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.10.A解析:A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,令sin cos 2sin cos y x x x x =+-,通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点, 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,∴t ⎡⎤∈⎣⎦,212sin cos t x x =+,∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭,当0t =时,y 取得最大值1,当t =y 取得最小值1-,故可得111a ≤-≤,∴2a ≤≤. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用,考查了逻辑思维能力和运算求解能力,属于中档题.11.B解析:B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=,再利用角的变换,得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒,再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+,得11cos cos 23ααα=+,化简得()1sin 303α-︒=; ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B . 【点睛】本题考查三角恒等变换,重点考查转化的思想,计算能力,属于基础题型.12.A解析:A 【分析】由两角和的正弦公式化简,并引入锐角β,cos β=,sin β=,已知条件化为sin()1αβ-=,这样可得22k παβπ=++,k Z ∈,代入tan α,应用切化弦公式及诱导公式可得结论. 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=,设cos β=,sin β=,且β为锐角,cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=, ∴22k παβπ-=+,k Z ∈,即22k παβπ=++,k Z ∈,tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin 3cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式,考查诱导公式及同角间的三角函数关系,化简变形求值是解题的基本方法.二、填空题13.【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为:【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析:98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++,且有1sin 1x -≤≤,利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,且1sin 1x -≤≤,因此,当1sin 4x =时,函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为:98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值,利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.14.【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为:【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析:2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值,然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0αβ<+<π,又10sin,()cos αβ+=cos α==()sin 5αβ+==, 所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为:2.【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数基本关系的应用,考查计算能力,属于中等题.15.1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解:∵∴或①当且时;②当且时故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析:1 【分析】本题先求出sin α、cos α,再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解:∵ tan 2α=,sin tan cos ααα=,22sin cos 1αα+=, ∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①当sin 5α=且cos 5α=时,222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα+=⋅+=+=⎝⎭; ②当sin 5α=-且cos α=时,222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα⎛⎛⎛+=⋅+=⨯⨯+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系,二倍角公式,是基础题.16.3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为:3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析:3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--,用两角和差公式展开,分子分母同除cos cos8πα,即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为:3 【点睛】 本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识,考查了运算求解能力,属于基础题目.17.【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为:【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析:4π. 【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-,再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+,然后可得角的大小. 【详解】∵cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,∴sin()25βα-==sin()2αβ-=, ∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----2==, 又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈,∴2αβ+4π=. 故答案为:4π. 【点睛】本题考查已知三角函数值求角.一般要求角可先这个角的某个三角函数值,最好先确定这个角的范围,选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小.18.①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解:的单调增区间为当增区间为∴①正确;∴②不正确;函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确;若解析:①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解:13()sin 3cos 2sin cos 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴①正确; 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴②不正确;函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭,由题意得32m k πππ+=+,6m k ππ=+,则m 的最小值是6π,∴③正确;若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ,结合这两个函数图像可知,必有10x =,32x π=,此时()2sin 33f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,另一个解为23x π=,12373x x x π∴++=,∴④正确. 故答案为:①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用,正弦函数的性质的综合应用,属于中档题.19.①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①;求出的最值可判断②;求出函数的单调递减区间可判断③;求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确;因为的最大值为2最小值为所以的解析:①②④. 【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①;求出()f x 的最值可判断②;求出函数()f x 的单调递减区间可判断③;求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④. 【详解】()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当2π3x =时,22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,取得最大值2,故①正确; 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为2,最小值为2-,所以()f x 的值域为[]22-,,故②正确; 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈,得252233k x k ππππ+≤≤+, 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈,故③错误; 图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数,故④正确.故答案为:①②④. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简()f x 的解析式,再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.20.7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解:由角的终边经过点得所以故答案为:7【点睛】任意角的三角函数值:(1)角与单位圆交点则;(2)角终边任意一点则;解析:7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-,将所求分式用倍角公式、和差公式化简,化为齐次式,代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解:由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为:7 【点睛】任意角的三角函数值:(1)角α与单位圆交点(,)P x y ,则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠; (2)角α终边任意一点(,)P x y,则sin tan (0)yx xααα===≠; 三、解答题21.(1)511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈;(2)3[2-. 【分析】(1)由二倍角公式,两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数的单调区间求解.(2)由图象变换得出()g x ,由整体法可求值域. 【详解】 解:(1)()23()22sin 12f x x x =+-=32cos22x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为:3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈(2)由题可知, ()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤,所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛:本题考查两角差的正弦公式,二倍角公式,考查正弦函数的性质.此类问题的解题方法是:利用二倍角公式降幂,利用诱导公式、两角和与差的正弦(余弦)公式展开与合并,最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,然后结合正弦函数性质求解. 如果求函数值域,则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围,然后由正弦函数性质得值域.22.(1)(,)()63k k k ππππ-++∈Z ;(2 【分析】(1)先把21()cos sin 2f x x x x =+-化为“一角一名一次”结构,利用“同增异减”讨论单调区间;(2)由1()3f A =,得到1sin(2)cos(2)6363A A ππ-=-=,,利用两角差公式求5cos(2)6A π-的值. 【详解】解:(1)21cos 1()2sin(2)2226x f x x x π-=+-=-,令222262k x k πππππ-+<-<+,解得,63k x k k Z ππππ-+<<+∈.所以()f x 的单调增区间为(,)()63k k k ππππ-++∈Z .(2)1()sin(2)63f A A π=-=,令26A πθ=-,则02πθ<<,所以1sin 3θ=,cos 3θ=, 则5222cos(2)cos()cos cos sin sin 6333A πθπθπθπ-=-=+11()32326=⨯-+⨯=. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键: (1)角的范围的判断; (2)根据条件进行合理的拆角,如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-,等. 23.(1)47-;(2)0. 【分析】(1)由三角函数定义求得tan α,用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子,代入tan α可得.(2)由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算. 【详解】解:(1)由已知3tan 31α,原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+;(2)原式()242320lg log 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=. 【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的定义,考查诱导公式和同角间的三角函数关系,考查对数的运算法则.在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式,一般利用商数关系化为tan α的代数式,代入tan α求值.当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题.24.(1)-1;(2)()4-+∞ 【分析】(1)易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,再利用正弦函数的性质求解.(2)将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()f x g x >恒成立,转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立,令[]cos 0,1t x =∈,利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】(1)因为函数()cos23f x x =-,所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭, 当22,32x k k Z πππ+=+∈,即 ,12x k k Z ππ=+∈时, sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以()h x 的最大值是-1; (2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()f x g x >恒成立, 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos232cos 4x a x a >--恒成立, 所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立, 令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+-当02a≤,即 0a ≤时, ()()min 0440r t r a ==->,解得 1a >,此时无解; 当012a <<,即 02a <<时, ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭,解得44-<+,此时42a -<;当12a≥,即 2a ≥时, ()()min 1220r t r a ==->,解得 1a >,此时2a ≥;综上:a 的取值范围是()4-+∞ 【点睛】方法点睛:恒成立问题的解法:若()f x 在区间D 上有最值,则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>;()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<;若能分离常数,即将问题转化为:()a f x >(或()a f x <),则()()max a f x a f x >⇔>;()()min a f x a f x <⇔<.25 【分析】①②③任选一个条件,均可求出sin ,cos αα,求出sin()αβ+,利用()βαβα=+-,结合两角差的余弦公式,即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=,所以2sin 32sin cos ααα=⨯,即1cos 3α=.因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin α==因为1cos()4αβ+=-,由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=, 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以0αβ<+<π,所以sin()αβ+=所以cos cos[()]βαβα=+- cos()cos sin()sin αβααβα=+++114343=-⨯+112=. 若选条件②因为cos 2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=,得28sin 9α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 3α= 以下同①的解法.若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=,解得sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法.【点睛】关键点点睛:本题根据不同的条件,利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α,cos α,再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+,根据角的变换()βαβα=+-求解是关键,属于中档题.26.(1)b =2). 【分析】 ()1根据题意,利用韦达定理列出关系式,利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值,利用3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-,求出sin cos θθ-的值,代入原式即可.【详解】(1)∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根,∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩, 所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===,即21144b =+,解得b =520∆=->, 又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴sin cos 0θθ+>,∴b = (2)由(1),得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin cos θθ>, ∴sin cos 2θθ-===,∴12+12sin cos 1cos sin 62θθθθ⨯+==--.【点睛】关键点点睛:本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合,通过利用韦达定理得到sin cos θθ+和cos sin θθ的表达式,再结合()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+是求解本题的关键;其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)(1)

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1.已知,(0,2)αβπ∈,且满足1sin cos 2αα-=,1cos sin 2ββ-=,则sin()αβ+=( ) A .1 B .22-或1 C .34-或1 D .1或-12.已知函数2()2sin cos 23sin (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .13- B .13--C .0D .23-3.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin 2cos21αα-=,则cos α=( ) A .15B .5 C .35D .254.已知4sin cos 3θθ+=,,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos θθ-的值为( ) A .13-B .13C .23-D .235.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sin 2θ的值为( )A .12B 3C .1225D .24256.若()π,2πα∈,πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .B .0C .2D .或0 7.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin x 的值为( )A .10-B .10C .10D .10-8.已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,则sin 2θ=( ) A .2425-B .1225-C .1225D .24259.已知cos α=,,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .13 B .3C .13D .13-10.已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴,则ω=( ) A .2 B .4C .6D .811.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .3-B .3C .13-D .1312.人体满足黄金分割比的人体是最美人体,0.618是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示为2cos72︒,则22cos 271︒-( )A .4B 1C .2D 1二、填空题13.tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.14.已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,10sin α=,()cos 5αβ+=,则()cos 2αβ+=______.15.若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点,则m 的取值范围是________. 16.已知cosα17=,cos(α﹣β)1314=,且0<β<α2π<,则sinβ=_____.17.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________. 18.在ABC 中,已知tansin 2A BC +=,给出以下四个论断:①tan tan A B =,②1sin sin A B <+≤22sin cos 1A B +=,④222cos cos sin A B C +=,其中正确的是__________.19.已知函数()sin f x x x =+,则下列命题正确的是_____.(填上你认为正确的所有命题序号) ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦; ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称; ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后,所得的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是6π; ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ,则12373x x x π++=.20.已知x 是第二象限的角.的值为____________. 三、解答题21.①角α的终边上有一点()2,4M ;②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13;③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并加以解答.问题:已知角α的顶点在原点O ,始边在x 轴的非负半轴上,___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答记分.22.设函数()2cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间.23.(1)若角α的终边上有一点()1,3P ,求值:()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒.24.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且sin cos 222αα-=. (1)求cos α的值; (2)若()4sin 5αβ-=,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求cos β的值. 25.在①2sin 3sin 2αα=,②cos2α=,③tan α=个,补充在下面问题中,并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,_______,求cos β. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 26.已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调增区间; (2)当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+,用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+,而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦,展开后计算,注意分类讨论. 【详解】∵1sin cos 2αα-=,∴sin 224αα-=sin()44πα-=,1cos sin 2ββ-=ββ-=,cos()4πβ+=,∴cos()44πα-=±,sin()44πα+=±, sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦,当7cos()sin()448ππαβ-+=时,17sin()188αβ+=+=, 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时,173sin()884αβ+=-=-, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查两角和与差正弦、余弦公式.解题关键是确定已知角和未知角之间的关系,本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+,未知角有()()44ππαβαβ+=-++,这样易确定使用的公式与顺序.2.D解析:D 【分析】先将函数化简整理,根据相邻对称轴之间距离求出周期,确定1ω=,再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=,所以2π2πω=,即1ω=,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质,关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.3.D解析:D 【分析】先利用二倍角公式化简整理得到1sin cos 2αα=,再利用同角三角函数的平方关系,结合范围解出cos α即可. 【详解】由2sin 2cos21αα-=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,得2sin 21cos2αα=+,cos 0α>, 所以24sin cos 2cos ααα=,即2sin cos αα=,故1sin cos 2αα=, 代入22sin cos 1αα+=得,25cos 14α=,故24cos 5α=,因为cos 0α>,所以cos α=. 故选:D. 【点睛】 关键点点睛:本题解题关键在于熟记公式并准确运算,还要注意角的范围的限制,才能突破难点.4.D解析:D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=,再计算()22sin cos 9θθ-=,根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=,所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=, 所以72sin cos 9θθ=, 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=, 因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin cos θθ>,即sin θcos θ0,所以sin cos 3θθ-=.故选:D . 【点睛】易错点睛:本题求sin cos θθ-的值时,采用的方法是先对其平方而后再开方,再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号,从而得到正确的答案.5.D解析:D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1,设直角边分别为a ,根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边,然后得出sin θ,代入二倍角公式即可得出答案. 【详解】由题意可知小正方形的边长为1,直角边长度差为1,大正方形的面积为25, 边长为5,大正方形的边长是直角三角形的斜边长, 设直角三角形的直角边分别为a ,b 且a b <,则1b a =+,所以()2222125a b a a +=++=,得2120a a +-=,所以3a =或4a =-舍去, 所以4b =,∴3sin 5θ=,4cos 5θ=,24sin 22sin cos 25θθθ==. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算,解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边,考查了学生的运算求解能力.6.B解析:B 【分析】根据题意,化简得到cos sin 222αα+=-,所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,取得1sin 2α=-,再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式,即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭,即cossincos sin 022222αααα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为(),2αππ∈,所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos sin 022αα-≠,解得cossin222αα+=-,所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以11sin 2α+=,所以1sin 2α=-,又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以cos 2α==,所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结:1、给角求值:一般给出的角是非特殊角,要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题;2、给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系;3、给值求角:实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).7.B解析:B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,展开后计算得出正确选项. 【详解】由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=,故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.8.D解析:D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--,代入即可求解.【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭, 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选:D.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值,其中解答中熟记余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力.9.D解析:D 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出tan α,再代入两角和的正切公式求tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】cos α=,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,sin 5α∴==-,sin tan 2cos ααα==-, 1tan 121tan 41tan 123πααα+-⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭.故选:D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式,两角和的正切公式,重点考查计算能力,属于基础题型.10.B解析:B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质的应用求出结果. 【详解】解:函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-, 令:5()2432k k Z πππωπ-=+∈,解得244()5kk Z ω=+∈, 由于08ω<, 所以4ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,11.A解析:A 【分析】首先根据三角函数诱导公式,可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭求出tan 2α=;再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解:()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴由三角函数诱导公式化简得:sin 2cos αα-=-,即得tan 2α=,tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选:A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式,考查运算求解能力,属于基础题型.12.C解析:C 【分析】根据2cos72m ︒=,结合三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算,即可求解.【详解】根据题意,可得2cos72m ︒=, 则2sin144cos54︒==︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值,其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.二、填空题13.【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解:根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为:【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析: 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简,即可得所求的值. 【详解】解:根据两角和的正切公式,可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=,所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为:. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用,考查化简运算能力,属于基础题.14.【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为:【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析:2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值,然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0αβ<+<π,又10sin,()cos αβ+=cos 10α==,()sin 5αβ+==, 所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为:2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值,同时也考查了同角三角函数基本关系的应用,考查计算能力,属于中等题.15.【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解:因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示:依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析:[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+,做出函数的图象,数形结合可得m 的取值范围. 【详解】解:因为()23sin 2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈ 所以()23sin 2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+,[0,]x π∈,由[]0,x π∈,可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 则函数()f x ,[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点,即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解,画出()f x 的图象如下所示:依题意可得46m ≤<时,函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点,故答案为:[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.16.【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值,由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<,则02πβ>->-,所以02παβ<-<,所以sin α==,()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==故答案为:2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.17.【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析:22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tanaAPFm+∠=,2tanaBPFm-∠=,∴()2222tan tan221a aa am mAPB APF BPFa ab bmm m m+--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+,当且仅当()2bm mm=>,即当m b=时,等号成立,此时APB∠最大,即APB∆的外接圆面积取最小值.点P的坐标为()2,b,代入22221x ya b-=,可得a=b=∴双曲线的方程为22122x y-=.故答案为:22122x y-=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.18.②④【分析】已知式子变形可得逐个选项判定即可【详解】解:因为所以整理得所以①中:因为所以不一定等于故①不正确;②中:因为又因为所以所以故②正确;③中:不一定成立故③不正确;④中:所以故④正确【点睛】解析:②④【分析】已知式子变形可得2A Bπ+=,逐个选项判定即可.【详解】解:因为tan sin2A BC+=所以sin22sin cos22cos2A BA B A BA B+++=+整理得()cos0A B+= .所以2A Bπ+=.①中:因为2A B π+=,所以tan A 不一定等于tan B ,故①不正确;②中:因为sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭又因为3444A πππ<+<,所以sin 124A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以1sin sin A B <+≤故②正确;③中:22222sin cos sin si n 12n si A B A A A ==+=+,不一定成立,故③不正确; ④中:2222cos cos cos sin 1A A B A +==+,22sin si 1n 2C π==,所以222cos cos sin A B C +=.故④正确. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式,命题的真假的判断,属基础题.19.①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解:的单调增区间为当增区间为∴①正确;∴②不正确;函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确;若解析:①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解:1()sin 2sin 2sin 223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴①正确; 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴②不正确;函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭,由题意得32m k πππ+=+,6m k ππ=+,则m 的最小值是6π,∴③正确;若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ,结合这两个函数图像可知,必有10x =,32x π=,此时()2sin 33f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,另一个解为23x π=,12373x x x π∴++=,∴④正确. 故答案为:①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用,正弦函数的性质的综合应用,属于中档题.20.【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为:【点睛】关键点睛:本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析:2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+--+进行化简即可得到结果. 【详解】因为x 是第二象限的角,所以cos 0x <, 1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+--+()()22221sin 1sin 1sin 1sin x x xx+-=--()()()()22221sin 1sin cos cos x x x x +-=1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为:2tan x -. 【点睛】关键点睛:本题主要考查三角函数式的化简,利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键.三、解答题21.答案见解析 【分析】选条件①,则根据三角函数定义得cosα=,sin α=,进而根据二倍角公式得3cos25α=-,4sin 25α=,再结合余弦的和角公式求解即可;选条件②,由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=,sin 3α=,进而根据二倍角公式得7cos 29α=-,sin 29α=,再结合余弦的和角公式求解即可; 选条件③,由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--,并结合题意得1tan 22α=,故cos 2α=,sin 2α=【详解】解:方案一:选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-,4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭314525=-⨯-310+=-. 方案二:选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13,所以1cos 3α=,sin α==所以27cos 22cos 19αα=-=-,sin 22sin cos 9ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭719292=-⨯-⨯=. 方案三:选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---,结合2α为锐角,解得1tan 22α=, 所以cos 2α=,sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα,进而根据三角恒等变换求解,考查运算求解能力,是基础题. 22.(1)π3x k π=-,k Z ∈时,()f x 取得最大值;(2)()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】(1)利用两角和的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式对()f x 化简,再利用三角函数性质即可求解;(2)由(1)知()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,解不等式3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈即可求解.【详解】(1)()1cos 221cos 222f x x x x =-+-sin 216x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即2262x k πππ+=-,k Z ∈,即π3x k π=-,k Z ∈时,()f x 取得最大值.(2)由(1)知,()sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,要求其单调单增区间,只需求sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间, 令3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈, 解得:263k x k ππππ+≤≤+,k Z ∈ 所以()f x 的单调递增区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛:已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式,然后将x ωϕ+看成一个整体,根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.23.(1)47-;(2)0. 【分析】(1)由三角函数定义求得tan α,用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子,代入tan α可得.(2)由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算. 【详解】解:(1)由已知3tan 31α,原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+;(2)原式()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=. 【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的定义,考查诱导公式和同角间的三角函数关系,考查对数的运算法则.在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式,一般利用商数关系化为tan α的代数式,代入tan α求值.当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题.24.(1);(2. 【分析】(1)将已知条件两边平方,求得sin α的值,进而求得cos α的值.(2)先求得()cos αβ-的值,然后利用cos cos[()]βααβ=--,结合两角差的余弦公式,求得cos β的值. 【详解】(1)将sincos22αα-=两边同时平方,得11sin 2α-=,则1sin 2α=,又2παπ∈(,),所以cos α==.(2)由(1)知,1sin ,cos 22αα==-, 因为2παπ∈(,),2βπ∈π(,),所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=,所以3cos()5αβ-,所以cos cos[)]βααβ=--( cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯, 【点睛】关键点点睛:对于三角函数给值求值的问题,关键在于运用已知角的和,差,二倍的运算表示待求的角,再选择相关公式得以求值.25 【分析】①②③任选一个条件,均可求出sin ,cos αα,求出sin()αβ+,利用()βαβα=+-,结合两角差的余弦公式,即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=,所以2sin 32sin cos ααα=⨯,即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin α== 因为1cos()4αβ+=-,由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=, 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以0αβ<+<π,所以sin()αβ+=所以cos cos[()]βαβα=+- cos()cos sin()sin αβααβα=+++114343=-⨯+112=. 若选条件②因为cos 23α=,所以21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=,得28sin 9α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 3α= 以下同①的解法.若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=,解得sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 31cos 3αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法.【点睛】关键点点睛:本题根据不同的条件,利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α,cos α,再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+,根据角的变换()βαβα=+-求解是关键,属于中档题.26.(1)5[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈(2m << 【分析】(1)化简()f x 的解析式,根据正弦函数的增区间可得结果;(2)转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点,根据二次函数列式可得结果.【详解】(1)()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 222x x x =++-1cos 212cos 2222x x x +=++-32cos 222x x =+)3x π=+, 由222232k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈, 得51212k x k ππππ-≤≤+,k Z ∈, 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈.(2)当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,52(0,)36x ππ+∈,())3f x x π=+∈, 因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点,令()t f x =,则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在2内有两个零点,所以22144016020m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<<⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩,即222316043160m m m <<⎪⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩,解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<, 所以实数m的取值范是1144m <<. 【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(包含答案解析)(1)

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1.已知函数2()2sin cos 23sin (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .13-B .13--C .0D .23-2.已知4sin cos 3θθ+=,,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos θθ-的值为( ) A .13-B .13C .23-D .233.已知3sin cos x x +=,则1tan tan x x +=( ) A .6-B .7-C .8-D .9-4.已知tan 2α=,则sin cos 2sin cos αααα+=-( )A .1B .1-C .2D .2-5.德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC 中,512BC AC -=.根据这些信息,可得sin126=( )A 125- B 35+ C 15+ D 45+ 6.若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=( ) A .2B .1C .45D .35-7.已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ,若存在实数1x ,2x ,使得对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12A x x -的最小值为( ) A .2020π B .1010π C .505π D .4040π 8.函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是( )A .(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B .3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C .(,)()4k k k Z πππ+∈D .(,)()42k k k Z ππππ++∈ 9.已知3(,)4παβπ∈,,3sin()5αβ+=-,12sin()413πβ-=,则cos()4πα+=( ) A .5665-B .3365-C .5665D .336510.若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点,则实数a 的取值范围( )A .⎡⎤⎣⎦B .94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .⎡-⎣D .94⎤⎥⎦11.人体满足黄金分割比的人体是最美人体,0.618是黄金分割比12m =的近似值,黄金分割比还可以表示为2cos72︒( )A .4B 1C .2D 112.若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,则tan α=( )A .BC .D 二、填空题13.已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠)过定点P ,且点P 在角6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的终边上cos α=_______. 14.给出下列命题:①存在实数α使得sin cos 1αα=; ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=;③5 sin22y xπ⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数;④8xπ=是函数5sin24y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程;⑤若α、β是第一象限角,且αβ>,则tan tanαβ>,其中正确命题的序号是______.15.经过点(4,1)P-作圆2220x y y+-=的切线,设两个切点分别为A,B,则tan APB∠=__________.16.已知tan2α=,则22sin cosαα-=______________.17.如图,在边长为1的正方形ABCD中,P,Q分别在边BC,CD上,且PB QD PQ+=,则PAQ∠的大小为__________.18.()sin5013︒+︒的值__________.19.已知1cos cos2αβ+=,1sin sin3αβ+=,则cos()αβ-=______.20.已知正n边形的边长为a,其外接圆的半径为R,内切圆的半径为r.给出下列四个结论:①2sinaRnπ=;②2π2sinaRn=;③2tan2aR rnπ+=;④π2tanaR rn+=.其中正确结论的序号是______.三、解答题21.已知钝角α满足tan2α.(1)求()cos60α+的值;(2)求22sin sin cos2cosαααα+-的值?22.已知函数()22cos7cosf x a x x x a=-,其中x∈R,a为常数.(1)当1a=时,若函数()()cos2f x A xθ=+,求A与tanθ的值;(2)若函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方,求a 的取值范围23.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >,0>ω,ππ22ϕ-<<)的部分图像如图所示,π12,7π12是函数的两个相邻的零点,且图像过()0,1-点.(1)求函数()f x 的解析式; (2)求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程. 24.(1)若角α的终边上有一点()1,3P ,求值:()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e-+⋅-+︒.25.已知函数()22sin cos 2331444x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ (2)将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度,再将其横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变得到函数()g x ,若()024g x =,05,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭,求0sin x 的值. 26.在①364f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,②()f x 的最大值在12x π=处取到,③当()()121f x f x -=,则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个,补充并解答下面问题.问题:已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,(]0,3ω∈.若_______,求实数ω的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先将函数化简整理,根据相邻对称轴之间距离求出周期,确定1ω=,再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=,所以2π2πω=,即1ω=,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质,关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式,还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题,属于中档题.2.D解析:D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=,再计算()22sin cos 9θθ-=,根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=,所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=,所以72sin cos 9θθ=, 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=, 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以sin cos θθ>,即sin θcos θ0,所以sin cos 3θθ-=. 故选:D . 【点睛】易错点睛:本题求sin cos θθ-的值时,采用的方法是先对其平方而后再开方,再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号,从而得到正确的答案.3.C解析:C 【分析】将等式sin cos 2x x +=两边平方可求得sin cos x x 的值,利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=,可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=,得1sin cos 8x x =-,因此,221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选:C. 【点睛】方法点睛:应用公式时注意方程思想的应用,对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子,利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二.4.A解析:A 【分析】已知正切值要求正余弦值,可以利用商的关系将“弦化切”,代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选:A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法:一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α,化为tan α求解; 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 5.C解析:C 【分析】 计算出51cos 724=,然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值,即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形,所以,72ACB ∠=,则12cos72cos BCACB AC =∠==,()sin126sin 9036cos36=+=, 而2cos722cos 361=-,所以,13cos36+====. 故选:C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值,考查计算能力,属于中等题.6.C解析:C 【分析】先利用切化弦结合两角和的公式展开,平方后由二倍角正弦公式可得结果. 【详解】∵πsin πsin cos 4tan 3π4cos sin cos 4ααααααα⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭, ∴()()22sin cos 9cos sin αααα+=-,即1sin 291sin 2αα+=-,解得4sin 25α=, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了两角和公式以及切化弦思想的应用,等式两边平方是解题的关键,属于中档题.7.B解析:B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值,对任意的实数x ,总有()()()12f x f x f x ≤≤成立,即12x x -半周期的整数倍,代入求最小值即可.【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,则220201010T ππ==,2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查正弦函数的性质,考查三角恒等变换,考查周期与最值的求法,属于中档题.8.D解析:D 【分析】先利用二倍角公式化简整理,再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==, 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+, 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈,又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间,利用复合函数单调性的性质, 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选:D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用,对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.9.A解析:A 【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--,利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈,, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-,故选:A 【点睛】本题主要考查了角的变换,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式,属于中档题.10.A解析:A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,令sin cos 2sin cos y x x x x =+-,通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点, 所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解,设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,∴t ⎡⎤∈⎣⎦,212sin cos t x x =+,∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭,当0t =时,y 取得最大值1,当t =y 取得最小值1-,故可得111a ≤-≤,∴2a ≤≤. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用,考查了逻辑思维能力和运算求解能力,属于中档题.11.C解析:C 【分析】根据2cos72m ︒=,结合三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算,即可求解. 【详解】根据题意,可得2cos72m ︒=,则22cos722sin1442cos 271cos54cos54︒==︒-︒︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值,其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式,诱导公式和余弦的倍角公式,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.12.A解析:A 【分析】由两角和的正弦公式化简,并引入锐角β,cos β=,sin β=,已知条件化为sin()1αβ-=,这样可得22k παβπ=++,k Z ∈,代入tan α,应用切化弦公式及诱导公式可得结论. 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=,设cos β=,sin β=,且β为锐角,cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=,∴22k παβπ-=+,k Z ∈,即22k παβπ=++,k Z ∈,tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式,考查诱导公式及同角间的三角函数关系,化简变形求值是解题的基本方法.二、填空题13.【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数(且)过定点所以所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用展开求解解析:16【分析】由指数为0时可得定点P ,进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭,利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=,所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠)过定点P ,所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭,cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.故答案为:16. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14.③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;解析:③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误;利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误;化简函数解析式,结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误;利用代入检验法可判断④的正误;利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①,111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦, 所以,不存在实数α使得sin cos 1αα=,①错误;对于命题②,sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭, 所以,不存在实数α使得3sin cos 2αα+=,②错误; 对于命题③,si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝, ()cos 2cos2x x -=,所以,函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数,③正确;对于命题④,当8x π=时,min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭, 所以,8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程,命题④正确; 对于命题⑤,取9244παππ=+=,4πβ=,αβ>,但tan 1tan αβ==,⑤错误.因此,正确命题的序号为③④. 故答案为:③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断,考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较,考查计算能力与推理能力,属于中等题.15.【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径,进而可以求出25PD =,1DA =,从而求出tan APD ∠的值,由2APB APD ∠∠=,利用二倍角的正切公式,可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=,则圆心为()0,1D ,半径为r =1,设APD ∠θ=,AP DA ⊥,()2241125PD =+--=,2220119PA PD r =-=-=,则19tan 1919DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的性质,考查了两点间的距离公式,二倍角的正切公式,属于基础题.16.【分析】原式分母看做利用同角三角函数间的基本关系化简将的值代入计算即可求出值【详解】∵∴原式故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用熟练掌握基本关系是解本题的关键属于基础题解析:35【分析】原式分母看做“1”,利用同角三角函数间的基本关系化简,将tan α的值代入计算即可求出值. 【详解】 ∵tan 2α=,∴原式22222222sin cos tan 1413sin cos sin cos tan 1415αααααααα---=-====+++,故答案为35. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键,属于基础题.17.【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解:设则因为是直角三角形所以由勾股定理得:化简得在中在中所以又因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查正切的和角公解析:4π【分析】先分别设PB x =,DQ y =,则在PCQ △中,由勾股定理得1xy x y -=+,再分别表示出tan BAP ∠,tan DAQ ∠,之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解:设PB x =,DQ y =,则1CP x =-,1CQ y =-, 因为PCQ △是直角三角形,PB QD PQ +=,所以由勾股定理得:()()()22211x y x y -+-=+,化简得1xy x y -=+, 在ABP △中,tan BPBAP x AB ∠==, 在ADQ △中,tan DQDAQ y AD∠==, 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-,又因为02BAP DAQ π<∠+∠<,所以,=4PAQ π∠故答案为:4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式,数据处理能力与运算能力,是中档题.18.1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解:故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析:1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒,结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒,结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解: ()sin501sin50︒+︒=︒⨯()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式,考查了辅助角公式,考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.19.【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得:①②将①和②相加可得:即解得故答案为:【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析:5972-【分析】把两个条件平方相加,再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值. 【详解】1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3αβ+=,将两式平方可得: 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①,221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②, 将①和②相加可得:1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=, 即1322cos()36αβ+-=,解得59cos()72αβ-=-. 故答案为:5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.20.①③【分析】首先根据正边形的某个边作出内切圆和外接圆的半径的图形分析与角的关系判断选项【详解】如图是正边形的外接圆的半径是内切圆的半径设在中综上可知正确的选项是①③故答案为:①③【点睛】关键点点睛:解析:①③ 【分析】首先根据正n 边形的某个边,作出内切圆和外接圆的半径的图形,分析,R r 与角的关系,判断选项. 【详解】如图,OA 是正n 边形的外接圆的半径,OB 是内切圆的半径, 设,OA R OB r ==,nπα=,2a AB =, 在Rt OAB 中,2sin2sina a R nnππ==cos cos2sina n r R nnπππ=⋅=,21cos 2cos 22sin 4sin cos22a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴+===cos 22sin 2tan 22a a n n n πππ=, 综上可知正确的选项是①③.故答案为:①③ 【点睛】关键点点睛:本题的关键是作图,根据正n 边形的某个边,作出示意图,同时相邻的R 与r 的夹角是nπ,下面的问题就迎刃而解. 三、解答题21.(1)215510-;(2)0. 【分析】(1)利用同角公式求出sin α和cos α,再根据两角和的余弦公式计算可得结果; (2)弦化切可得结果. 【详解】(1)因为tan 2α,且α为钝角,所以sin 2cos αα=-,所以22(2cos )cos 1αα-+=,所以21cos 5α=,所以5cos α=(正值已舍),∴5sin 5α=,∵()cos60cos cos60sin sin 60ααα+=-12⎛=⨯= ⎝⎭ (2)∵tan 2α,cos 0α≠,所以222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos αααααααααα+-+-=+22tan tan 24220tan 141ααα+---===++. 【点睛】关键点点睛:第(2)问弦化切求解是解题关键.22.(1)A,tan θ=;(2)a . 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式将()y f x =()()2cos 2x A x ϕθ-=+,进而可得答案;(2)问题等价于()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,即cos22a x x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,可得sin 211cos2tan x a x x ≤-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立,从而可得答案 【详解】 (1)当1a =时,()22cos 1cos cos 2222f x x x x x x x x ⎫=-=+=+⎪⎪⎭)()()cos cos2sin sin 22cos 2x x x A x ϕϕϕθ=+=-=+∴A =,sin tan tan tan cos ϕθϕϕϕ=-=-=-==()(2)由函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方可知,()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立故cos22a x x a +≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立即2sin 22sin cos 121cos 222sin 2tan x x x a x x x ≤⨯=⨯=-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立.∵min11tan tan 3x π⎫==⎪⎪⎝⎭∴a ≤【点睛】方法点睛:对于求不等式恒成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法. 23.(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭;(2)5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈. 【分析】 (1)先利用图象解得周期和ω,再结合π3f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ()01f =-,解得ϕ和A ,即得解析式;(2)先根据解析式化简()g x ,再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可. 【详解】 解:(1)由图可知7212122T πππ=-=,周期T π=,故22T πω==,由π12,7π12是函数的两个相邻的零点,则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值, 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈,又ππ22ϕ-<<,故π6ϕ=-, 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,得2A =, 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+,k Z ∈时,5ππ11ππ242242k k x +≤≤+,()g x 单调递增,所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 令ππ4π32x k -=+,对称轴方程为5π244k x π=+,k Z ∈. 【点睛】 思路点睛:解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质,通常利用正弦函数的图象性质,采用整体代入法进行求解,或者带入验证. 24.(1)47-;(2)0. 【分析】(1)由三角函数定义求得tan α,用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子,代入tan α可得.(2)由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算. 【详解】解:(1)由已知3tan 31α,原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+;(2)原式()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=.【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的定义,考查诱导公式和同角间的三角函数关系,考查对数的运算法则.在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式,一般利用商数关系化为tan α的代数式,代入tan α求值.当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题.25.(1)最小正周期为4π,单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2). 【分析】(1)利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简()f x ,再求最小正周期及()f x 的单调递减区间;(2)求出()f x 的图象变换后的解析式,再求出04x π-的正余弦值利用凑角可得答案.【详解】()22sin cos 112sin cos 1cos 1444442x x x x x x f x ⎛⎫⎫=+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin 2sin 2sin 22222223x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)()f x 的最小正周期为4T π=, 由3222232x k k πππππ+≤-≤+,k ∈Z ,解得5114433k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z , 所以函数()f x 的单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度,得到函数62sin 2sin 2324x x y πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,再将其横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变得到函数()2sin 4g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,据题意有0sin 48x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且03,44x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,则0cos 48x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 则0000sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦==. 【点睛】 本题考查了三角函数的图象和性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简()f x 的解析式,再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考了学生的计算能力,属于基础题. 26.①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,1ω=; ②()f x 的最大值在12x π=处取到,1ω=;③当()()121f x f x -=,则12min2x x π-=,1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式,再利用其性质逐一求解.【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos sin 22x x x ωωω=⋅-11cos 2sin 2422x x ωω-=-11sin 2cos 22224x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 223x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 033ωππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭,()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-,(]0,3ω∈,1ω∴=选②()f x 的最大值在12x π=处取到,则有sin 163ωππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+,(]0,3ω∈,1ω∴=选③当()()121f x f x -=,则12min 2x x π-= 代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,12min 2x x π-= 意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛:对于三角函数,解决最小正周期和最值,单调区间,对称轴等问题时,可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式,再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=,最大值为A B +,最小值为A B -+.。

年高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)

年高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)

(福建专用)2013年高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)一、选择题1.下列各式中,值为12的是( )A .sin15°cos15°B .2cos2π12-1 C.1+cos30°2 D.tan22.5°1-tan 222.5° 解析:选D.tan22.5°1-tan 222.5°=12×2tan22.5°1-tan 222.5°=12×tan45°=12. 2.(2011·高考辽宁卷)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=13,则sin2θ=( )A .-79B .-19C.19D.79解析:选A.sin2θ=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2θ=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ.由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=13,代入得sin2θ=-79.3.已知f (x )=2tan x -2sin 2x2-1sin x 2cos x 2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A .4 3B.833C .4D .8解析:选D.f (x )=2tan x +2cos x sin x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x +cos x sin x =2cos x sin x =4sin2x ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12=4sinπ6=8.4.(2012·宁德调研)设a =sin14°+cos14°,b =sin16°+cos16°,c =62,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .b <c <a C .a <c <b D .b <a <c解析:选C.a =2sin59°,c =2sin60°,b =2sin61°,∴a <c <b . 5.tan70°·cos10°(3tan20°-1)等于( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2 解析:选C.tan70°·cos10°(3tan20°-1)=sin70°cos70°·cos10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin20°cos20°-1=cos20°cos10°sin20°·3sin20°-cos20°cos20°=cos10°·2sin 20°-30° sin20°=-sin20°sin20°=-1. 二、填空题6.设α是第二象限的角,tan α=-43,且sin α2<cos α2,则cos α2=________.解析:∵α是第二象限的角,∴α2可能为第一或第三象限角,又sin α2<cos α2,∴α2为第三象限的角,∴cos α2<0. ∵tan α=-43,∴cos α=-35,∴cos α2=-1+cos α2=-55. 答案:-557.已知锐角α、β满足: sin α=55,cos β=31010,则α+β=________. 解析:∵锐角α、β,且sin α=55,cos β=31010, ∴cos α=255,sin β=1010,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=22, 又∵0<α+β<π,∴α+β=π4.答案:π48.sin6°sin42°sin66°sin78°=________. 解析:原式=sin6°cos48°cos24°cos12°= 16cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=cos6°16cos6°=116.答案:116三、解答题9.已知sin x 2-2cos x2=0.(1)求tan x 的值;(2)求cos2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x ·sin x 的值.解:(1)由sin x 2-2cos x 2=0⇒tan x2=2,∴tan x =2tanx21-tan 2x 2=2×21-22=-43.(2) 原式=cos 2x -sin 2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x -22sin x sin x= cos x -sin x cos x +sin x cos x -sin x sin x=cos x +sin x sin x =1tan x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+1=14. 10.设向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且0<α<β<π,若a·b =45,tan β=43,求tan α的值. 解:∵a·b =cos αcos β+sin αsin β=45,∴cos(α-β)=45.又∵0<α<β<π, ∴-π<α-β<0,∴sin(α-β)=-35,∴tan(α-β)=-34.又∵tan β=43,∴tan α=tan[(α-β)+β]=tan α-β +tan β1-tan α-β tanβ=-34+431-⎝ ⎛⎭⎪⎫-34×43=724.一、选择题1.(2012·三明调研)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是( ) A .sin(α+β)>sin α+sin β B .cos(α+β)>cos αcos β C .sin(α+β)>sin(α-β) D .cos(α+β)>cos(α-β) 解析:选C.∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.又∵α、β都是锐角,∴cos αsin β>0, 故sin(α+β)>sin(α-β). 2.已知450°<α<540°,则12+12·12+12cos2α的值为( ) A .-sin α2 B .cos α2C .sin α2D .-cos α2解析:选A.因为450°<α<540°,所以α为第二象限角,α2为第三象限角.原式= 12+12cos 2α= 12+12-cos α = 12()1-cos α=⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=-sin α2. 二、填空题3.(2012·天津质检)若锐角α、β满足(1+3tan α)(1+3tan β)=4,则α+β=________.解析:由(1+3tan α)(1+3tan β)=4,可得tan α+tan β1-tan αtan β=3,即tan(α+β)= 3.又α+β∈(0,π),∴α+β=π3.答案:π34.3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=________. 解析:原式=3sin12°cos12°-32 2cos 212°-1 sin12° =23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°=23sin -48° 2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24°=-23sin48°12sin48° =-4 3. 答案:-4 3 三、解答题5.已知tan α=-13,c os β=55,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f (x )=2sin(x -α)+cos(x +β)的最大值.解:(1)由cos β=55,β∈(0,π),得sin β=255,tan β=2.∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-13+21+23=1.(2)∵ta n α=-13,α∈(0,π),∴sin α=110,cos α=-310.∴f (x )=2sin x cos α-2cos x sin α+cos x cos β-sin x sin β=-355sin x -55cos x +55cos x -255sin x=-5sin x .故f (x )的最大值为 5.6.(2012·济宁质检)已知△ABC 在平面直角坐标系内,若点P ⎝⎛⎭⎪⎫2sin C 2,sin A -B 2 满足|OP →|=62. (1)试问tan A tan B 是否为定值,若是定值,请求出,若不是,请说明理由; (2)求C 的最大值,并判断此时△ABC 的形状.解:(1)由|OP →|= 2sin 2C 2+sin 2A -B 2=2cos2A +B2+sin2A -B2=62,可得1+cos(A +B )+1-cos A -B 2=32,cos A cos B -sin A sin B -cos A cos B +sin A sin B2=0,12-3tan A tan B 2=0,所以tan A tan B =13(定值). (2)由(1)可知A 、B 为锐角,tan C =-tan(A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B=-3 tan A +tan B 2≤-3tan A tan B =-3,所以C 的最大值为2π3,此时△ABC 为钝角三角形.。

2022年高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)

2022年高考数学总复习 第三章第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)

(福建专用)2022年高考数学总复习第三章第4课时简单的三角恒等变换课时闯关(含解析)一、选择题1.下列各式中,值为错误!的是A.in15°co15°B.2co2错误!-1C 错误!解析:选=错误!×错误!=错误!×tan45°=错误!2.2022·高考辽宁卷设in错误!=错误!,则in2θ=A.-错误!B.-错误!解析:选θ=-co错误!=-错误!由于in错误!=错误!,代入得in2θ=-错误!3.已知f=2tan-错误!,则f错误!的值为A.4错误!C.4 D.8解析:选=2tan+错误!=2错误!=错误!=错误!,所以f错误!=错误!=84.2022·宁德调研设a=in14°+co14°,b=in16°+co16°,c=错误!,则a、b、c的大小关系是A.a<b<c B.b<c<aC.a<c<b D.b<a<c解析:选=错误!in59°,c=错误!in60°,b=错误!in61°,∴a<c<b5.tan70°·co10°错误!tan20°-1等于A.1 B.2C.-1 D.-2解析:选°·co10°错误!tan20°-1=错误!·co10°错误!=错误!·错误!=错误!=错误!=-1二、填空题6.设α是第二象限的角,tanα=-错误!,且in错误!<co错误!,则co错误!=________ 解析:∵α是第二象限的角,∴错误!可能为第一或第三象限角,又in错误!<co错误!,∴错误!为第三象限的角,∴co错误!<0∵tanα=-错误!,∴coα=-错误!,∴co错误!=-错误!=-错误!答案:-错误!7.已知锐角α、β满足: inα=错误!,coβ=错误!,则α+β=________解析:∵锐角α、β,且inα=错误!,coβ=错误!,∴coα=错误!,inβ=错误!,∴coα+β=coαcoβ-inαinβ=错误!,又∵0<α+β<π,∴α+β=错误!答案:错误!°in42°in66°in78°=________解析:原式=in6°co48°co24°co12°=错误!=错误!=错误!=错误!答案:错误!三、解答题9.已知in错误!-2co错误!=01求tan的值;2求错误!的值.解:1由in错误!-2co错误!=0⇒tan错误!=2,∴tan=错误!=错误!=-错误!2 原式=错误!=错误!=错误!=错误!+1=错误!+1=错误!10.设向量a=coα,inα,b=coβ,inβ,且0<α<β<π,若a·b=错误!,tanβ=错误!,求tanα的值.解:∵a·b=coαcoβ+inαinβ=错误!,∴coα-β=错误!又∵0<α<β<π,∴-π<α-β<0,∴inα-β=-错误!,∴tanα-β=-错误!又∵tanβ=错误!,∴tanα=tan[α-β+β]=错误!=错误!=错误!一、选择题1.2022·三明调研设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是A.inα+β>inα+inβ B.coα+β>coαcoβC.inα+β>inα-β D.coα+β>coα-β解析:选C∵inα+β=inαcoβ+coαinβ,inα-β=inαcoβ-coαinβ又∵α、β都是锐角,∴coαinβ>0, 故inα+β>inα-β.2.已知450°<α<540°,则错误!的值为A.-in错误!B.co错误!C.in错误!D.-co错误!解析:选A因为450°<α<540°,所以α为第二象限角,错误!为第三象限角.原式=错误!=错误!=错误!=错误!=-in错误!二、填空题3.2022·天津质检若锐角α、β满足1+错误!tanα1+错误!tanβ=4,则α+β=________解析:由1+错误!tanα1+错误!tanβ=4,可得错误!=错误!,即tanα+β=错误!又α+β∈0,π,∴α+β=错误!答案:错误!=________解析:原式=错误!=错误!=错误!=错误!=错误!=-4错误!答案:-4错误!三、解答题5.已知tanα=-错误!,coβ=错误!,α,β∈0,π.1求tanα+β的值;2求函数f=错误!in-α+co+β的最大值.解:1由coβ=错误!,β∈0,π,得inβ=错误!,tanβ=2∴tanα+β=错误!=错误!=12∵tanα=-错误!,α∈0,π,∴inα=错误!,coα=-错误!∴f=错误!incoα-错误!coinα+cocoβ-ininβ=-错误!in-错误!co+错误!co-错误!in=-错误!in故f的最大值为错误!6.2022·济宁质检已知△ABC在平面直角坐标系内,若点P错误!满足|错误!|=错误! 1试问tan A tan B是否为定值,若是定值,请求出,若不是,请说明理由;2求C的最大值,并判断此时△ABC的形状.解:1由|错误!|=错误!=错误!=错误!,可得1+co A+B+错误!=错误!,co A co B-in A in B-错误!=0,错误!-错误!=0,所以tan A tan B=错误!定值.2由1可知A、B为锐角,tan C=-tan A+B=-错误!=-错误!≤-3错误!=-错误!,所以C的最大值为错误!,此时△ABC为钝角三角形.。

高考数学总复习 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析) 新人教版

高考数学总复习 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析) 新人教版

2013年高考数学总复习 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换课时闯关(含解析) 新人教版一、选择题1.(2012·东营调研)已知α是锐角,且sin(π2+α)=34,则sin(α2+π)的值等于( )A.24 B .-24C.144D .-144解析:选B.由sin(π2+α)=34,得cos α=34,又α为锐角.∴sin(α2+π)=-sin α2=-1-cos α2=-1-342=-18=-24.2.已知tan α=12,则cos2α+sin2α+1cos 2α等于( ) A .3 B .6C .12 D.32解析:选A.cos2α+sin2α+1cos 2α=2cos 2α+2sin α·cos αcos 2α=2+2tan α=3.故选A.3.若tan α+1tan α=103,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为( )A .-210 B.210C.5210D.7210解析:选 A.由tan α+1tan α=103⇒(tan α-3)(3tan α-1)=0,得tan α=3或tan α=13,由α∈(π4,π2)得tan α>1,故tan α=13舍去,而sin(2α+π4)=22×sin2α+cos2α1=22×2sin αcos α+cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α,将分式的分子与分母同除以cos 2α得:sin(2α+π4)=22×2tan α+1-tan 2α1+tan 2α=-210. 4.tan70°·cos10°(3tan20°-1)等于( )A .1B .2C .-1D .-2解析:选C.tan70°·c os 10°(3tan20°-1) =sin70°cos70°·cos10°(3·sin20°cos20°-1) =cos20°cos10°sin20°·3sin20°-cos20°cos20°=cos10°·2sin 20°-30°sin20°=-sin20°sin20°=-1.5.已知sin(π6+α)=13,则cos(2π3-2α)的值等于( )A.79B.13 C .-79 D .-13解析:选C.由已知2π3-2α=π-2(π6+α),则cos(2π3-2α)=cos[π-2(π6+α)]=-cos2(π6+α)=2sin 2(π6+α)-1=2×(13)2-1=-79,故选C.二、填空题 6.(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角,sin α=35,则tan2α=________. 解析:由于α是第二象限的角,且sin α=35,∴cos α=-45.∴tan α=-34,∴tan2α=2tan α1-tan 2α=2×-341--342=-321-916=-247. 答案:-2477.在△ABC 中,tan A =-2,tan B =13,则C =________.解析:∵tan A =-2,tan B =13,∴tan(A +B )=tan A +tan B1-tan A tan B =-2+131+2×13=-5353=-1.∵A +B ∈(0,π),∴A +B =34π.∴C =π-34π=π4.答案:π48.若sin α+cos αsin α-cos α=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________.解析:∵sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=3,∴tan α=2.又tan(α-β)=2,∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] =-tan[(α-β)+α]=-tan α-β+tan α1-tan α-βtan α=43.答案:43三、解答题9.(2011·高考广东卷)已知函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -π6,x ∈R .(1)求f (0)的值; (2)设α,β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ⎝⎛⎭⎪⎫3α+π2=1013,f (3β+2π)=65,求sin (α+β)的值.解:(1)f (0)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=-2sin π6=-1.(2)由题意知,α,β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α+π2=1013,f (3β+2π)=65,即2sin α=1013,2cos β=65, ∴sin α=513,cos α=1213;cos β=35,sin β=45.∴sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=513×35+1213×45=6365. 10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 两点的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:(1)由已知条件及三角函数的定义可知,cos α=210,cos β=255.因α为锐角,故sin α>0,从而sin α=1-cos 2α=7210,同理可得sin β=55.因而tan α=7,tan β=12. 所以tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=7+121-7×12=-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=-3+121--3×12=-1.又0<α<π2,0<β<π2,故0<α+2β<3π2,从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=3π4.11.(探求选做)已知向量a =(1-tan x,1),b =(1+sin2x +cos2x,0),记f (x )=a ·b .(1)求函数f (x )的解析式并指出它的定义域;(2)若f (α+π8)=25,且α∈(0,π2),求f (α).解:(1)f (x )=a ·b=(1-tan x,1)·(1+sin2x +cos2x,0) =(1-tan x )(1+sin2x +cos2x )=(1-sin x cos x )(1+cos2x +sin2x )=cos x -sin x cos x(2cos 2x +2sin x cos x )=2(cos x -sin x )(cos x +sin x )=2(cos 2x -sin 2x )=2cos2x ,由cos x ≠0,得x ≠k π+π2,k ∈Z ,所以f (x )=2cos2x ,其定义域为{x |x ≠k π+π2,k ∈Z }.(2)若f (α+π8)=25,则2cos(2α+π4)=25,即cos(2α+π4)=210.又由于α∈(0,π2),所以π4<2α+π4<5π4.又由cos(2α+π4)>0,得π4<2α+π4<π2.所以sin(2α+π4)=1-2102=9810=7210.所以f (α)=2cos2α=2cos[(2α+π4)-π4]=2cos(2α+π4)cos π4+2sin(2α+π4)sin π4=2×210×22+2×7210×22=15+75=85.科学睡眠 健康成长——在国旗下的发言各位尊敬的老师、各位亲爱的同学:大家上午好!我是来自预备二班的***。

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(有答案解析)(1)

(易错题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(有答案解析)(1)

一、选择题1.若160,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A .53B .3- C .53- D .3 2.已知2tan 23θ=,则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为( ) A .23 B .23-C .32D .32-3.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sin 2θ的值为( )A .12B 3C .1225D .24254.化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A .12B 21C .14D .2215.已知3cos 25α=,()0,2απ∈,则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A 10B .10 C 310D .3106.已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称,则ω的最小值为( )A .13B .23C .43D .837.若tan 2θ=,则cos2(θ= )A .45B .45-C .35D .35-8.函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为( )A B .C .D .3+9.已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α,则1sin22α= A .310 B .35 C .−310D .11010.已知直线524x π=是函数21()sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴,则ω=( ) A .2B .4C .6D .811.已知cos()6πα+=sin(2)6πα-的值为( )A .3B .13C .13-D .3-12.若sin 25α=,()sin 10βα-=,且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,则αβ+的值是( ) A .74π B .94πC .54π或74πD .54π或94π 二、填空题13.tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.14.将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++(0A >,0>ω,π2ϕ<)的形式为______.15.已知tan 2α=,则2sin 2cos αα+=________. 16.已知π0π2αβ<<<<,3cos 5α=,()3sin 5αβ+=-,则cos β的值为______.17.tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________. 18.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且222A Bsin+=1﹣cos 2C ,cos(B +C )>0,则ab的取值范围为_____. 19.化简4cos803tan10︒︒+=________. 20.设()2sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,3c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.三、解答题21.函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭,且最高点A 与B 的距离29AB π=+(1)求函数()f x 的解析式;(2)若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,求cos2α的值.22.已知23()3sin cos 222x x x f x =-. (1)求()f x 图象的对称轴方程;(2)若存在0[0,]x π∈,使()02f x t ≤+,求实数t 的取值范围.23.已知5sin 2α=,()5cos13αβ+=,()0,απ∈,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (1)求sin 2α的值; (2)求sin β的值.24.已知0πx <<,5sin cos x x +=. (Ⅰ)求sin cos x x -的值;(Ⅱ)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.25.已知函数()21sin cos 12f x x x x =+-(x ∈R ) (1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值,并分别写出相应的x 的值. 26.已知函数()2sin 22cos 1f x a x x =+-,再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知,求:(Ⅰ)()f x 的最小正周期; (Ⅱ)()f x 的单调递增区间.条件①:()f x 图像的对称轴为8x π=;条件②:14f π⎛⎫=⎪⎝⎭;条件③:a =注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭,所以3444πππα<+<,sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因为02πβ-<<,所以4422ππβπ<-<,又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选:A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.2.A解析:A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解:根据半角公式得:22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-,sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++, 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得: 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选:A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-,进而构造齐次式求解即可,考查运算求解能力,是中档题. 3.D解析:D由图形可知三角形的直角边长度差为1,设直角边分别为a ,根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边,然后得出sin θ,代入二倍角公式即可得出答案. 【详解】由题意可知小正方形的边长为1,直角边长度差为1,大正方形的面积为25, 边长为5,大正方形的边长是直角三角形的斜边长, 设直角三角形的直角边分别为a ,b 且a b <,则1b a =+,所以()2222125a b a a +=++=,得2120a a +-=,所以3a =或4a =-舍去, 所以4b =,∴3sin 5θ=,4cos 5θ=,24sin 22sin cos 25θθθ==. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算,解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边,考查了学生的运算求解能力.4.A解析:A 【分析】由原式利用二倍角公式,和同角三角函数基本关系进行化简,即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+,所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选:A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值,涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换,属于中档题.5.C解析:C根据2α是4α的二倍角求出sin α的值,再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角,所以2311cos152sin 4225αα--===, 又()0,2απ∈,所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 44αα===cos所以sin sin sin cos cos sin 4444444απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了同角公式,考查了两角和的正弦公式,属于中档题.6.C解析:C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈,可得出关于ω的表达式,即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,由于该函数的图象关于直线8x π=对称,则()832k k Z πππωπ+=+∈,得()483k k Z ω=+∈, 0ω>,当0k =时,ω取得最小值43.故选:C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数,解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简,并通过对称性列出参数的表达式求解,考查计算能力,属于中等题.7.D解析:D 【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+,把已知条件代入运算,求得结果. 【详解】tan 2θ=,22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++, 故选D . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.8.A解析:A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ,由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以()f x 22=. 故选:A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数的最值的求法,属于中档题.9.A解析:A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值,再利用三角恒等变换,求出要求式子的值. 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=3,∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++, 故选A . 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率,三角恒等变换,属于中档题.10.B解析:B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质的应用求出结果. 【详解】解:函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-, 令:5()2432k k Z πππωπ-=+∈,解得244()5kk Z ω=+∈, 由于08ω<, 所以4ω=. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,11.B解析:B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.12.A解析:A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围,根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值,再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 2α=∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,cos 2α=∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴()cos 10βα-=-, ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦2⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭. 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦, ∴74αβπ+=. 故选:A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用,难度一般.解答时,要注意三角函数值的正负问题,注意目标式与条件式角度之间的关系,然后通过和差角公式求解.二、填空题13.【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解:根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为:【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析: 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简,即可得所求的值. 【详解】解:根据两角和的正切公式,可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=,所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为:. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用,考查化简运算能力,属于基础题.14.【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为:【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析:π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为:π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式,属于基础题.15.1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解:∵∴或①当且时;②当且时故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析:1 【分析】本题先求出sin α、cos α,再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解:∵ tan 2α=,sin tan cos ααα=,22sin cos 1αα+=, ∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①当sin 5α=且cos 5α=时,222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα+=⋅+=+=⎝⎭; ②当sin 5α=-且cos α=时,222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα⎛⎛⎛+=⋅+=⨯⨯+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系,二倍角公式,是基础题.16.【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题解析:2425-【分析】根据角的范围,求出sin α和cos()αβ+的值,再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】 因为02πα<<,且3cos 5α=,所以4sin 5α, 因为π0π2αβ<<<<,所以322ππαβ<+<, 因为3sin()5αβ+=-,所以4cos()5αβ+=-, 所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为:2425-【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式,考查了学生的计算能力,属于中档题.17.【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为:【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒,展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用,意在考查学生的计算能力.18.(2+∞)【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos (A+B )=2cos2C ﹣1即﹣cosC =2cos2C ﹣1整解析:(2,+∞) 【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ,然后结合正弦定理及同角基本关系可求.【详解】 ∵222A Bsin+=1﹣cos 2C , ∴1﹣222A Bsin+=cos 2C , ∴cos (A +B )=2cos 2C ﹣1, 即﹣cosC =2cos 2C ﹣1,整理可得,(2cosC ﹣1)(cosC +1)=0, ∵cosC ≠﹣1, ∴cosC 12=, 0C π<<∴C 13π=,∵cos (B +C )>0, ∴11032B ππ+<<, ∴06B π<<,由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==(),2sinB sinB+=,12=+, ∵06B π<<,∴03tanB <∴1tanB122, 故ab的范围(2,+∞). 故答案为:(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于中档题.19.1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为:【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析:1 【分析】利用诱导公式,得到cos80sin10︒︒=,通分整理后,由()sin 20sin 3010︒︒︒=-,利用两角差的正弦公式,展开化简后,得到答案. 【详解】4cos80︒︒2sin 20cos10︒︒︒+=()2sin 3010cos10︒︒︒︒-=2sin 30cos102sin10cos30cos10︒︒︒︒︒︒-+=cos10cos110︒︒︒︒+==. 故答案为:1.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值,利用两角差的正弦公式进行化简求值,属于中档题.20.【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为:【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析:c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式,二倍角公式,诱导公式,即可将,a b 化简,再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系. 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622a =︒+︒=︒+︒=, 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==,sin 602c ==, 所以,c a b <<. 故答案为:c a b <<. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式,二倍角公式,诱导公式的应用,以及正弦函数的单调性的应用,属于基础题.三、解答题21.(1)()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2 【分析】(1)根据最高点A 与点B 的距离AB ==,求得,T ω,点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.(2)由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】(1)最高点A 与点B 的距离AB ==,14,2T πω==, ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上, 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<,所以6πϕ=-,所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)()43sin 22663f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭, 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以cos 263πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭, cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 【点睛】 方法点睛:已知f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:(1)五点法,由ω=2Tπ即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0,则令ωx 0+φ=0(或ωx 0+φ=π),即可求出φ;(2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A ,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 22.(1)对称轴方程6x k ππ=-+,k ∈Z ;(2)3t ≥-.【分析】(1)先运用降幂公式、辅助角公式,将原函数的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的形式,然后运用整体法求解对称轴;(2)根据题目条件,只需使min ()2f x t ≤+成立即可,然后三角函数的图象及性质求解()f x 的最小值,然后解得t 的取值范围.【详解】解:(1)2()sin cos 222x x x f x =-1sin 2x x =-cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 令6x k ππ+=,得6x k ππ=-+,k ∈Z ,所以()f x 图象的对称轴方程为6x k ππ=-+,k ∈Z .(2)若存在0[0,]x π∈,使()02f x t ≤+,则min ()2f x t ≤+, 由[0,]x π∈得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,根据余弦函数的性质可得,当6x ππ+=, 即56x π=时,函数取得最小值1-, 所以12t -≤+,故3t ≥-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用,解答的一般思路如下: (1)利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时,先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简,将原函数解析式化简为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等;(2)解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时,要注意参数分离、整体思想的运用,将问题转化为处理函数最值问题来解决. 23.(1)2425;(2)1665.【分析】(1)由二倍角公式求得cos α,再由平方关系得sin α,然后由正弦的二倍角公式得sin 2α;(2)确定α的范围,得αβ+范围,从而可求得sin()αβ+,再由两角差的正弦公式计算. 【详解】(1)由已知223cos 12sin 1225αα=-=-⨯=⎝⎭,又(0,)απ∈,∴(0,)2πα∈,∴sin 45α==,∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=; (2)∵(0,)2πβ∈,∴(0,)αβπ+∈,∴12sin()13αβ+=,∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=. 【点睛】关键点点睛:本题考查二倍角公式,两角和与差的正弦公式,同角间的三角函数关系,解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系,确定选用的公式和应用公式的顺序.在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性.如在sin ,cos αβ,求cos()a β+时,,αβ是单角,αβ+是两个单角的和,但象本题中求sin β时,αβ+作为一个单角,α作为一个单角,()βαβα=+-.由此直接应用公式求解. 24.(1;(2)415【分析】(1)先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值,再把sin cos x x -平方即可求出;(2)结合(1)求sin x ,cos x 的值,最后利用商数关系求得tan x 的值,代入即可得解. 【详解】(1)∵sin cos 5x x +=, ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=, ∴2sin cos 5x x =-, ∵0πx <<,∴sin 0x >,cos 0x <,sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=,∴sin cos 5x x -=. (2)sin cos 5x x +=,sin cos 5x x -=解得sin 5x =,cos 5x =-, ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-,24sin 5x =,∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+. 【点睛】方法点睛:三角恒等常用的方法:三看(看角、看名、看式),三变(变角、变名、变式).25.(1)π;(2)当3x π=时,()max1f x =;当12x π=-时,()min32f x =-. 【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式,将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.. (2)根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,再利用正弦函数的性质求解.【详解】(1)()21sin cos 12f x x x x =+,1sin 2cos 2144x x =--, 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. (2)∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,当233x ππ-=,即3x π=,()max14f x =-, 当232x ππ-=-,12x π=-时,()()min 131122f x =⨯--=-. 【点睛】方法点睛:1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式. 2.函数y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2T ωπ=,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为T πω=. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t =ωx +φ,将其转化为研究y =sin t 的性质. 26.(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)答案见解析. 【分析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后,使用辅助角公式化简得())f x x ϕ=+ ,根据对称轴求得ϕ的值,进而求得a 的值,得到函数的解析式,求得最小正周期;(Ⅱ) 根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+,根据选择的条件求得a 的值,得到函数的解析式,并利用辅助角公式化简,然后求得()f x 的最小正周期; (Ⅱ)根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后,使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6x π=+然后求得()f x 的最小正周期;(Ⅱ)根据正弦函数的单调性,利用整体代换法求得()f x 的递增区间. 【详解】选① (()f x 图像的一条对称轴为8x π=)解:(Ⅰ) ()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+22x x ⎛⎫=+⎪⎭)x ϕ=+(其中1tan aϕ=) 因为()f x 图像的一条对称轴为8x π=所以()1sin()84f ππϕ=+=即有,42k k Z ππϕπ+=+∈所以,4k k Z πϕπ=+∈所以1tan tan()tan 144k aππϕπ=+===1a故())4f x x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω=== (Ⅱ) +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k , 选② (()1)4f π= 解:(Ⅰ)()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+()sin cos 1422f a πππ∴=+= 1a()sin 2cos 2f x x x =+2(22)22x x =+)4x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω=== (Ⅱ) +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ,选③(a =解:(I )()222cos 1f x x x =+-2cos2x x =+312(sin 2cos 2)2x x 2sin(2)6x π=+ 所以()f x 的最小正周期为:22||2T πππω===(Ⅱ) +22+2,262k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 2+22+2,33k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36k Z ππππ-∈+k , 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质,关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后,并使用辅助角公式化简.。

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