好《解直角三角形应用举例》课件03
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《解直角三角形应用举例》课件
一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行.
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
2822 解直角三角形应用举例(第3课时)PPT课件
（1）坡角a和β;
（2）坝斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D
tanAFi1： 1.5 i=1:1.5
BF
6m
33.7
Bα
FE
i=1:3 β C
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tanDEi1:3
CE
18.4
如 图 所 示 ， 某 地 下 车 库 的 入 口 处 有 斜 坡 AB ， 其 坡 比
意见，也请写在上边
9
感谢聆听
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
讲师：XXXX
日期：20XX.X月
10
问题情境
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可 以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这 段山坡的高度h1=l1sina1.
lh α
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h.
l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ h = tan a.
l
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
例7. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
解直角三角形应用举例3(坡度)
2：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D点，在 D点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB.
A
60°
30°
C
EB
2.如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为
3√3米，DC=4米，∠B=600，求
（1）斜坡AD 的铅直高度是 （2）斜坡AD 的长是
（3）坡角A的度数是
（4）堤坝底AB的长是
（5）斜坡BC的长是
D
C
A
B
3. 如图,水库大坝的截面是梯
形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.
坡底BC=30m,∠ADC=1350.
呈等腰梯形状.已知燕尾槽的外口宽
AD是60mm,里口宽CB是140mm,深度
是40mm,求燕尾角∠C的度数.
A
D
B
C
A
D
B
E
F
C
例2．如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡
AB的坡度为
坡面AB的水平宽度
基面AD宽2m，
求路基高AE、坡角B和基底BC的宽.
巩固练习一
• 1．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中 给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1米）.
坡度、坡角的概念
h
h a
i= =tan h
a li = h l
a 为坡角 ( a 为坡角
= tan a
)
课前练习
1. 某人沿着坡角为45 °的斜坡走 了310 2 m， 则此人的垂直高度增 加了______m .
2. 沿斜坡AB向上前进18米，高 度升高9米，,ABCD
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这
人教版九年级数学下册第二十八章《28.2解直角三角形-应用举例》公开课 课件(共13张PPT)
A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
AF = AD2 DF 2 = 2x2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中，
30°
AF tan ABF =
tan 30 =
3x
BF
12 + x
解得x=6
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞 行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上 方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离 是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/272021/7/272021/7/272021/7/27
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
《解直角三角形及一般应用》PPT课件
知识点 4 方位角
知4－讲
【例3】〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l (如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正 北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往 救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处 入海，径直向B处游去．甲在乙入海10 s后赶到海 岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40 m，B在 C的北偏东35°方向上，甲、乙的游泳速度都是2 m/s.谁先到达B处？请说明理由．(参考数据：sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
知4－讲
导引：在Rt△BCD中，求出BC与BD的长，再求出甲、乙所
用的时间，比较其大小即可知道谁先到达B处．
解：乙先到达B处．理由：由题意得∠BCD＝55°，
∠BDC＝90°，
∵tan∠BCD＝ BD , CD
∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(m)，
CD
又cos∠BCD＝ ,
知4－练
1 (南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向， 距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯 塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是( ) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里
知4－练
2 如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起 初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上，2 小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方 向上，则灯塔B到船所在的航线AC的距离是( ) A．(18＋16 3 )千米 B．(19＋18 3 )千米 C．(20＋20 3 )千米 D．(21＋22 3 )千米
关
添设 辅助线解
《解直角三角形的应用》数学教学PPT课件(3篇)
1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有 关，而与直角三角形的大小无关. 2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边， 就可以求出其他的边和角
3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰 当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直 角三角形的问题.
温故知新
A
的测角仪测得东方明珠塔顶的仰
角为60°48 ′．
根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米，
CB= 200米，∠ADE=60°48'.
根据在前一学段学过的长 D
E
方形对边相等的有关知识，你 C
B
能求出AB 的长吗？
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB． A
例2 如图，某直升飞机执行海
上搜救任务，在空中A 处观测
到海面上有一目标B ，俯角是
α= 18°23 ' ，这时飞机的高度 为1500 米，求飞机A与目标B的 B 水平距离（精确到1 米）.
α
A
C
解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' .
因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂练习
1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN所形成的夹角∠ABN， ∠ACN分别为8°和15°， 大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1m）．
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m， 坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角α（长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
解直角三角形在实际问题中的运用优秀课件
AE＝ 352－252 ≈24.5,
O
∴cos∠AOE＝
25 35
∴∠AOE≈44.4°,
E
10 A
C
∴∠AOC≈88.8°
单位: 厘米
D
S扇形OAC≈
88.8×352π 360
≈948.8(㎝),
∴S＝S扇形OAC－S△AOC ≈948.8－612.5＝336(㎝2)
S△AOC≈ 12×2×24.5×25 ＝612.5(㎝2)
＝250(1+ 3 ) (m). 答:船的航速约为14km/h.
做一做
1.某船自西向东航行，在A处测得某岛在北偏东60°的
方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向
上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？
B
（2）轮船要继续前进多少千米？
30°
45°
A
8千米
D
C
例4、如图，两建筑物的水平距离BC为24m,从点A测得点D 的 俯角α＝30°,测得点C 的俯角β＝60°,求AB 和CD 两座建
例3、海防哨所0发现,在它的北偏西30°,距离哨所500 m的A 处有一艘船向正东方向行驶,经过3分时间后到达哨所东北方 向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精确到1km/h)?
北
A
B
30°
东
O
北
【解析】 在Rt△AOC中,
C
OA＝500 m, ∠AOC＝ A
B
∴3A0°C, ＝OAsin∠AOC
练一练
1.某人沿着坡角为45°的斜坡走了310 2 m，则此人的
垂直高度增加了__3_1_0__m .
2.已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上
比赛课件：解直角三角形应用举例
tacn oBbsABB的的si邻对nb边边B
b a
计算器
由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角
温故而知新
B
c a
┌
A
b
C
解直角三角形的原则 （：1）有角先求角，无角先求边
（2）有斜用弦, 无斜用切.
复习引入，知识储备
问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平 线来说可有几种情况？
变题4：（2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升 飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的 P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如 图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米， 参考数据2 1.414， 3 1.732 ）.
答案：AB≈520（米 ）
Q 60°30° P
B
解决？怎样解决？
αD 在直角三角形中，已知一锐角和 A β 与这个锐角相邻的直角Байду номын сангаас，可以利用
解直角三角形的知识求这个锐角所对 的直角边，再利用两线段之和求解．
C
应用知识，解决问题
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
∵
tan α=
BD ，tan β= AD
CD ． AD
∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°
β B
归纳与提高
α β
β
α
a
O
B
A
Pα
a
β
D
O
B
数学建模及 方程思想
简单实 际问题
构建
数学模型
思想与方法
解方程
解
解
直角三角形
三角形 梯形
组合图形
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交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
先构造直 角三角形!
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原 背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的 坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01) 2.0
C
D
1:2.5
1:2
B E F
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
相信你能行
1.如图所示，轮船以32海里每小时的速 度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮 船的北偏东30 °处，半小时航行到B处， 发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求 灯塔Q到B处的距离（画出图像后再计算）
B Q
30°
A
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法;
3. 坡角在解题中的作用;
4. 探索解题过程.
19.4.6
作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知 DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）. DE 4.2 tan 32 在Rt△ADE中，因为 i AE AE 所以 AE 4.2 6.72 (米)
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 PQ 点． PQ 的长就是地面上P、Q 的长需 两点间的距离，为计算 PQ 先求出∠POQ（即a）
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
图2
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（3）
α
A
C
B
课本P92
例4
（第 2 题）
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m（根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm （根号保留）． 2
2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯 塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/ 时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处 看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与 渔船的距离是( A )
D
A. 7 2 海里 14 2 海里 B.. C.7海里 D.14海里
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风 在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点 生成，测得 OB 100 6km． 台风中心从点B以 40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海 面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．
A
D 30°
C E
x x
F B
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=12飞机A到控制点B的距离.
2. 两座建筑 AB 及 CD ，其 地面距离AC为50.4米，从 AB的顶点B测得CD的顶部D 的仰角 β ＝ 300, 测得其底 部 C 的俯角 a ＝ 600, 求两 座建筑物AB及CD的高.
OQ 6400 cos a 0.95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18
∴ PQ的长为
18 6400 3.14 640 2009.6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
AF tan i 11.5 ： BF
i=1:1.5 B
6m
F
α
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
如图一段路基的横断面是梯形，高为4米， 上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角 分别是45°和30°．求路基下底的宽．
A
200 20 6 30
5 6 11
D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（4）
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i=1∶6. 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（2）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
A C
60° P
30°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDEBD
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线
俯角 视线
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
A
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
l
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D i=1:3 E β C
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
C
D
B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达 D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
在Rt△BCF中，同理可得
4. 2 BF 7.90 (米) tan 28
tan 32
因此
AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）． 答： 路基下底的宽约为27.13米．
图 19.4.6
A B 咋 办
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
先构造直 角三角形!
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原 背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的 坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01) 2.0
C
D
1:2.5
1:2
B E F
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
相信你能行
1.如图所示，轮船以32海里每小时的速 度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮 船的北偏东30 °处，半小时航行到B处， 发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求 灯塔Q到B处的距离（画出图像后再计算）
B Q
30°
A
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法;
3. 坡角在解题中的作用;
4. 探索解题过程.
19.4.6
作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知 DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）. DE 4.2 tan 32 在Rt△ADE中，因为 i AE AE 所以 AE 4.2 6.72 (米)
分析：从飞船上能最远直接
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 PQ 点． PQ 的长就是地面上P、Q 的长需 两点间的距离，为计算 PQ 先求出∠POQ（即a）
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
图2
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（3）
α
A
C
B
课本P92
例4
（第 2 题）
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m（根号保留）．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm （根号保留）． 2
2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯 塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/ 时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处 看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与 渔船的距离是( A )
D
A. 7 2 海里 14 2 海里 B.. C.7海里 D.14海里
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风 在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点 生成，测得 OB 100 6km． 台风中心从点B以 40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海 面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．
A
D 30°
C E
x x
F B
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=12飞机A到控制点B的距离.
2. 两座建筑 AB 及 CD ，其 地面距离AC为50.4米，从 AB的顶点B测得CD的顶部D 的仰角 β ＝ 300, 测得其底 部 C 的俯角 a ＝ 600, 求两 座建筑物AB及CD的高.
OQ 6400 cos a 0.95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18
∴ PQ的长为
18 6400 3.14 640 2009.6 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
AF tan i 11.5 ： BF
i=1:1.5 B
6m
F
α
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
如图一段路基的横断面是梯形，高为4米， 上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角 分别是45°和30°．求路基下底的宽．
A
200 20 6 30
5 6 11
D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（4）
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i=1∶6. 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
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§28.2 解直角三角形（2）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
A C
60° P
30°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDEBD
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
视线
仰角 水平线
俯角 视线
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
A
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
l
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D i=1:3 E β C
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
C
D
B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达 D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
在Rt△BCF中，同理可得
4. 2 BF 7.90 (米) tan 28
tan 32
因此
AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）． 答： 路基下底的宽约为27.13米．
图 19.4.6
A B 咋 办