2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案
2002年全国高考文科数学试题(北京卷)
«« ★启用前2002年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(溜(卷)本试卷分第I卷(选样題)和第11卷(非选择題)两部分c第I卷丨至2页。
第U卷3 至9员，共150分.考试时间120分钟<第丨卷(迭择眩共60分)注意事项；I .衿第I卷前•号生务必将自己的姓名.准考证号•考试科目用铅笔涂写在答題卡上r 2•侮小題选出咨案百•用铅笔把答越K上对应题日的裕案标号涂黑■如需改动•用橡皮擦干净后•冉选涂其它答案•不ft|答It试題卷上3.号试结東•监占人将本试卷和答题卡一并收同：巧是符合■目要求的.(1)満足条件WU-ll = M,2.3i的集合M的个数是(A) 4 (B) 3 (C) 2 (0) I(2)任平面直角坐标系中•已知两点4(ca^.sin8(r),B(eo62(r,Mn2(y).则.4BI的值是(A)寺(B)亨(O (D) 1(3)下列四个旳数中•以穴为最小正周期•且在区间(歩“上为城函数的是•才公式：已角旳散怖枳化和彫公戌恋a心戶=t 7“ O ♦ /J) ♦ FW1< 口■ B)• g own p = *1iin( a ♦月)■ *m( a - .rt> aco 0 ■ g・I<Y*( o ♦ 3> ♦•*«(a■ P〉! >in own^3 ■ £、a * >?)- 2(o ■ 3)J一・迭择《L匸大题共12小題•毎小聽5疋棱台・叫台的僻血枳公式= 1 (r* ♦ r)/<* 上.下敲历聘来M友示餅高球体的休机公式V jt 二—吊Kt 的半栓共60分在每小■绐出的四个送项中•只有一(4)(D) r = - c*r(A) y = c<»x在下列四个止方体中.能得岀AB L(A)(B)(C)(D)(5) 64个直轻都为亍的球，记它们的体枳之和为心•我面积之和为.5 —个直径为。
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2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号 二
分数
17
18
(0,1)
(
2
,3)
C． f 2 (x), f3 (x) D． f 4 (x)
19
得分 评卷人 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横 线上.
13． arcsin( 2), arccos( 3), arctg( 5) 从小到大的顺序是54 Nhomakorabea4
14．等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且 a1，a3，a11 恰好是某等比数列的前三项，那么
该等比数列公比的值等于
.
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2002年全国卷高考理科数学试题及标准答案
20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。
2002年高考数学试题(北京文)及答案-2002年高考数学试题
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12．在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ︒︒︒︒B A 则|AB|的值是A ．21B ．22C ．23D ．13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是A ．x y cos =B ．|sin |2x y =C ．2cos xy = D ．ctgx y -=4．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是CD 5．64个直径都为4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则 A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙 B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙 C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙6．若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ 7．（1+i ）8等于 A ．16i B ．－16i C ．－16 D ．168．若1121=+-θθctg ctg ，则θ2cos 的值为A ．53 B ．－53 C ．552 D ．－552 9．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9610．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 分别表示球的半径D C D D11．已知)(x f 的定义在（0，3）上的函数，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是A ．（0，1）∪（2，3）B ．)3,2()2,1(ππC ．)3,2()1,0(πD ．)3,1()1,0(12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f第Ⅱ卷（非选择题 共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．πππ57,56cos ,52sintg 从小到大的顺序是 . 14．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 .15．关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）. 16．圆012222=+--+y x y x 的动点Q 到直线0843=++y x 距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式x x >+-212. 18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. （Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； （Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6h V =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.） 19．（本小题满分12分）数列{x n }由下列条件确定：.),(21,011N n x ax x a x nn n ∈+=>=+ （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有a x n ≥；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有1+≥n n x x ；20．（本小题满分12分）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题： 用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和∑=++++=ni n iv v v v v1321 .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.ABCDA 1 C 1B 1D 1abc d为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．（本小题满分13分）已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点.（Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G ，F ，H （Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹. 22．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅. （Ⅰ）求f （0），f （1）的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）若))(2(,2)2(N n f u f n n ∈==，求证)(1N n u u n n ∈>+.数学试题（文史类）（北京卷）参考解答说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．πππ5752sin 56costg << 14．4 15．①②③④⑤ 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解： ⎩⎨⎧<-≥-⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔>+-02012)2(12,02,0122122x x x x x x x x 或 221056,22<≤⎩⎨⎧<+-≥⇔x x x x 或2215222151,2<≤<≤⇔<≤⎩⎨⎧<<≥⇔x x x x x 或或521<≤⇔x .所以，原不等式组的解集为}521|{<≤x x .18．本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和 逻辑推理能力. 满分12分.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ,过B 1作B 1G ⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD ∥平 面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°，∴AB ⊥PQ ，AB ⊥ B 1P. ∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作 C 1H ⊥PQ ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二 面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形.h G B d b PG =-=1),(21又，),(21d b db h PG B tg >-=∠∴即所求二面角的正切值为d b h -2. （Ⅲ）V 估＜V.证明： ∵a ＞c ，b ＞d ，∴h d b c a d b c a ab cd h V V 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++=-估0))((12)])((3))((222[12>--=++-++++=d b c a hd b c a d b c a ab cd h ∴V 估＜V . 19．本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.（Ⅰ）证明：由)(21,011n n n x a x x a x +=>=+及，可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）.从而有)()(211N n a x ax x a x xnn n n n ∈=⋅≥+=+，所以，当n ≥2时，a x n ≥成立.（Ⅱ）证法一：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以021)(2121≤-⋅=-+=-+nn nnn n n x x a x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 证法二：当n ≥2时，因为)(21,01nn n n x a x x a x +=>≥+，所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n n n x x x x a x x x a x x x ，故当n ≥2时，1+≥n n x x 成立. 20．本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.21．本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心)3,31(c b G +，外心F )2,21(22c b c b -+，垂心)3,(2b b b H -.当21=b 时， G ，F ，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21≠b 时，设G ,H 所在直线的斜率为GH k ，F ，G 所在直线的斜率为FG k .因为)21(33313222b c b b c b b c b b c kGH--+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG--+=-+-+-=，所以FG GH k k =，G ，F ，H 三点共线. 综上可得，G ，F ，H 三点共线.（Ⅱ）解：若FH//OB ，由0)21(3322=--+=b c b b c k FH ，得)21,0(0)(322≠≠=+-b c c b b ， 配方得1)23()21()21(,43)21(3222222=+-=+-c b c b 即，即1)23()21()21(2222=+-y x )0,21(≠≠y x . 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点.22．本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.（Ⅰ）解：0)0(0)0(0)00()0(=⋅+⋅=⋅=f f f f . 因为)1(1)1(1)11()1(f f f f ⋅+⋅=⋅=， 所以0)1(=f（Ⅱ）)(x f 是奇函数. 证明：因为0)1(0)1()1(])1[()1(2=-=----=-=f f f f f 所以， ),()1()()1()(x f xf x f x f x f -=-+-=⋅-=-因此，)(x f 为奇函数. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明).(0)2(N n f u n n ∈>=（1）当n=1时，02)2(1>==f u ；（2）假设当n=k 时，,0)2(>=k k f u 那么当n=k +1时，)2(2)2(2)2(11f f f u k k k k +==++02)2(21>+=+k k f .由以上两步可知，对任意0)2(,>=∈n n f u N n .因为)(0N n u n ∈> 所以)(22)2(2)2(2)2(111N n u u f f f u n n n n n n n ∈>+=+==+++。
2002年全国卷高考理科数学试题及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3(2）复数3)2321(i +的值是 （A)i - (B)i (C ）1- （D)1 (3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是(A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x (C)}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x (4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C))45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M(6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22(其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 (D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A)43 （B ）54 (C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 (C ）︒45 (D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是 （A)0≥b (B)0≤b (C ）0>b （D ）0<b （10)函数111--=x y 的图象是（11)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 (C ）16种 (D)20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 (C)127000亿元 (D ）135000亿元第II 卷（非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线． （13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝ 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18)如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3)当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数,函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ (1）讨论)(x f 的奇偶性; (2)求)(x f 的最小值(22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I)当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式; (II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 (i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13)2 （14）1 （15）1008 （16)27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ,a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时,22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG , ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解:设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ,即x y 2±=,0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=,因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆,3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ,x b b +⨯=94.012对于1>n ,有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x,即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解:（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时,)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i)当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ,则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减,从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ,则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(,且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ,则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22)解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说,当1+=k n 时,2)1(1++≥+k a k 据①和②,对于所有1≥n ,有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ）,对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002高考数学全国卷及答案理2002高考数学全国卷及答案理
2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 （A ）21（B ）23 （C ）1 （D ）3（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ （C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ （5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 （B ）54 （C ）53 （D ）53- （8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数111--=x y 的图象是（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是（16）已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围聘进来的员工化学教案有两个星期的无薪试用期化学教案如果在这两个星期内的表现没有令老板满意化学教案（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；ADE（II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有（i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形14.∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22==)20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN（II ）由（I ） 21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--m y m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得 222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1xx x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅l c c S )(21+'=台侧)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅其中c '、c 分别表示上、下底面)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅球体的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或2．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（）A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 23．“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β5．极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线6．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A ．π2B ．π23C ．π332D ．π218．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种9．若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（）A ．2411B ．2417C ．2419D ．242510．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．kk a a a a a a 2122122111+++ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.12．以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是13．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值..16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.18．（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y 轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件：（i ）;0)1()1(==-f f （ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有（Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A 2．D 3．A 4．B5．D 6．B7．C8．C9．C10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．)();(x g x f 12．)4(362--=x y 13．)(212b a r +π14．44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xx x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x 所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T （Ⅱ）解：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n=（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x 所以.12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x 时,)1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x时，.12)1()1(212x nx x x x Sn n n----=+17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1，∴四边形BDB 1C 1是平行四边形，∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点，.2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
2002年天下高考数学试题数学(北京理)
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式 sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2 cos sin 1 [sin( ) sin( )]
2 cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2 sin sin 1 [cos( ) cos( )]
2
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．满足条件 M∪{1}={1，2，3}的集合 M 的个数是
1
正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧
1 (c 2
c)l
其中 c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示
斜高或母线长
球体的体积公式
V球
4 R3 3
其中 R 表示球的半径
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识会 发发国和力刚十靠的社主 展展的实，刚大教概会义 才要第践发建关坚育括主本 是求一的展立系2持。，义质 硬、，要基生，》以人一，理 道发大务本产还重发才方从论 理展力是成力没要展资面而把 ，才促由果，有讲社的源强为我 把是进中，消完话会办是调四中们 发（硬先国抓灭全中主法第必、国对 展2道进共住剥建提三义解一）须科的社 生理生产“削立出、经决资采解学社会 产，产党什，（代济前源取放技会主 力是力的么消还1表基进。从和术主义 作）对的执是除不中础科低发是义1的 为吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发认 社二国5会展地会极全先本问技到6生一设展识 会、内主，年位主分巩进建题术高产生在才提 主发外义是底所义化固生立，实级力产改是高 义1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬到 建是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道了 设党积经共对的样终想年平的时行国家一放理一 的执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，个 根政因教党业是设到（月再展我革教本面探是新 本兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一执会同毛调求的放水义出第出创应科 务在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了三一造.时学 ，社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解节条性代水 符会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放、发地主平 合阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和社展提题。 马级务为。会，本是识个1总主 会有也党是式发会更9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展主快了化会 思6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生义、社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产的人会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力根民主要本 基.主变事所平化向业也，1整度 制，大要小国家的本享9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手社任受社理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段会务到1会论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和主社基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目义会3本提 是节论，基关改会现义社了.从为 ，富立共社文，社主的一改主矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。、造义盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基中的建和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本国基设两进 发一会意。靠不造要本担义民国 界是共以财的国基制内特本成类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵色完果矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包伴社成最盾推 会中本要的证并，论史国发 四必领泽于标接正度确括随会，大的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（着主是，学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.社义我能说采革 制色论也。会实着章出要对），步 一持人出，和理立中会建国够，取开 度社的发的践中。马把到奠 的民要社支经，国经设社充强积放 的会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历济道会分调极和 必主出了定明历思放会了 方主以下建4广史制路主体要引社 然义变，.史主和主把制 大专苏义的设大上度初义现严导会 要二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最和步经的出格、主 求设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深社探济本对区逐义 。确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻会索结质资分步现立路民大社数产基的。 了过本会，是义发民最经的构和本过代社的对的会千逐发力本改社渡原主探全经展真伟济理发根主正渡化会初于促主年步展概完造会时则义索民济中正大结论生本义确的建新主步经进义的实，括成和主期。基自共的成构了任优处方设中义探济了改阶现对为，对义总本己同国一为社的果根务越理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会根本性两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变一本的类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革、变化道不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，社化路同这大，的发事主度会国的过结立 是节要。会义关人也会，社1性场的标重展业义的主特本.渡合极 世、内人主有系解和是主我会奠质巨思志大的的工结（义色质时起大 界社容民义初。决社2义国主定的大想着意需发业束3工社0。期来地 社（会被民原级了会基社义）世了矛而武我义要展化，业会（。，提 会2主概则和3在生本会经把纪理盾深器国同），同实化主2党把高 主对义括专，高一产制的济资中）论，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资度阶成本国强基在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料的级分主又调础新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（初关已义一消，民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步系占工次灭开主要是变4收义不互集平方民（义渡大）渡义级 上民会中 社国三已展）分为人确也绝商划剥阔主正中革官能利中改针主3社时的用时工和 又主全 会的改成生坚。主立发对）业时削了义确国，僚命满、的造，主会期理和期商广 一主义会确”为产持初题生优正者代，广2革处革不资阶足典计解对义的论平.的业大 个义改提立。无，积级资的了势确改的消阔命理命仅√本段人型划决于向五总和赎总搞劳 历革造出 改“产第极形本、根，分造历除前理人的没中而民示体了在社3种路实买路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（本社.析成史两景论民具有国形基需党范制诸深会经线践的线成人 性理历中 ，化级是导的义后√1的会农为巨极。的内体对革成本要的和如刻主济的意）方和为民 的论史国 党”专共、工的中变主村自分邓指部实生命的结建国初实的义成主积法总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国化义的食。小导矛际产在走社束状设家步现社的分体。极改任食积 大以验稳 政社；致步资业殖革 社。公阶其们平下盾出力一农会和况。帮构社会转—。引造务其极 胜一毛步 府会人富前本的民命 会有级力吐对1，。发的个村主社之加助想会变—要导资.，力性 利、泽地 采主民。进农社地第必 的制和出社中（，发以包义会间强的，变革社从农本是的和 。适东由 取义代”的业会半二须 阶已社了会国3不展农围的主党原要革中社会根民主）要社创合为农 了工表这方是、主封节走 级成层会最主共拘造民城国义矛的则求与保会主本组义从在会造中主业 积大段针国手义建、农 构为状主终义产泥成为市营改盾建，2中经持主义上织工全一主性国要极化会话，家工改的.社村 成我况义达本党武于破主、经造，设以央济社义性改起商体个义。特代转 ��
2002年全国卷高考理科数学真题及答案
2002年全国卷高考理科数学真题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 A ．21B ．23C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是 A ．i -B ．iC ．1-D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x xD ．1|{<x x 且}1-≠x4．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ5．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则A ．N M =B ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．∅=N M6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A ．43B ．54C ．53D ．53-8．正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是 A ．︒90B ．︒60C ．︒45D ．︒309．函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤bC ．0>bD ．0<b10．函数111--=x y 的图象是11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为 A ．115000亿元 B ．120000亿元 C ．127000亿元 D ．135000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． 13．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ 14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 15．72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是16．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2,0(πα∈，求αsin 、αtg 的值18．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小19．设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？21．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值22．设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ADE参考答案（13）2 （14）1 （15）1008 （16）27 三、解答题（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+ααα∵)2,0(πα∈∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α∴01sin 2=-α，即21sin =α ∴6πα=∴33=αtg （18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形∴PQ MN =由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2==BF AC ，a BQ CP 22== )20( 21)22( )2()21( )1(22222<<+-=+-==+-==a a a a BQ CP PQ MN22cos (2sin 1)(sin 1)0ααα-+=（II ）由（I ）21)22( 2+-=a MN 所以，当22=a 时，22=MN 即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α又46==BG AG ，所以，由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角为31arccos -=πα（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2||||=x y ，即x y 2±=，0≠x 因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得2||||||||=<-MN PN PM∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故112222=--my m x 将x y 2±=代入112222=--m y m x ，并解得222251)1(mm m x --=，因012>-m 所以0512>-m 解得55||0<<m 即m 的取值范围为)55,0()0,55( -（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b +⨯=94.012对于1>n ，有)94.01(94.0 94.0211x b xb b n n n ++⨯=+⨯=-+ 所以)94.094.094.01(94.0211nn n x b b +++++⨯=+x b nn06.094.0194.01-+⨯=n x x 94.0)06.030(06.0⨯-+= 当006.030≥-x，即8.1≤x 时 3011=≤≤≤+b b b n n当006.030<-x，即8.1>x 时 数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近06.0x 06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim 1x x x b n n n n =⨯-+=-+∞→+∞→ 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60≤n b （ ,3,2,1=n ）则6006.0≤x，即6.3≤x 万辆 综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ．若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．（22）解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+．（ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a nk k nk k nk k。
2002年全国卷高考理科数学试题与答案
2002 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第 I 卷 (选择题 )和第 II 卷 (非选择题 ) 两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷 3至 9页．共 150分．考试时间 120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60 分 )一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第 I 卷 (选择题 ) 和第 II卷 (非选择题 )两部分．第 I 卷 1至2页．第 II 卷3 至 9页．共 150 分．考试时间 120 分钟．（1）圆 ( x 1) 2y 21 的圆心到直线 y3x 的距离是3（A ）1（ B ） 3（C ）1（D ） 322（2）复数 (13 i )3 的值是22（A ） i（ B ） i （C ） 1（D ）1（3）不等式 (1 x)(1 | x |) 0 的解集是（A ） { x | 0 x 1}（ B ） { x | x 0 且 x 1}（C ） { x | 1 x 1}（ D ） { x | x 1且 x1}（4）在 (0,2 ) 内，使 sin x cosx 成立的 x 的取值范围是（A ）( ,2)( ,5)（B ） (, ) （C ） ( ,5)（D ）(,)(5,3) 4444 444 2（5）设集合 M { x | xk 1, k Z}，N{ x | xk 1,kZ} ，则2442（A ）MN（B ）MN（C ）MN（D ）MN（6）点 P(1,0) x t 2 R ）上的点的最短距离为到曲线（其中参数 ty2t（A ）0（B ） 1（C ） 2（D ）2（ 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）3（B ）4（C ）3（D ）34555（8）正六棱柱ABCDEF A 1 B 1C 1 D 1E 1 F 1 的底面边长为 1，侧棱长为2 ，则这个棱柱侧面对角线 E 1 D 与 BC 1 所成的角是（A ） 90（B ） 60（C ） 45（D ） 30（9）函数 y x 2bx c （[0, ) ）是单调函数的充要条件是（A ） b 0（ B ） b 0（ C ） b（ D ） b 0（10）函数 y11的图象是x 1yyyy1111-1O1O1x-1OxOxx(A)(B)(C)(D)（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（A ）8种（B ）12 种（C ）16 种 （D ）20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 ：“ 2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十 ?五”期间（ 2001 年－ 2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 ?五”末我国国内年生产总值约为 （A ） 115000 亿元 （ B ） 120000 亿元 （ C ） 127000 亿元（ D ） 135000 亿元第 II 卷(非选择题共 90 分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．（13 ）函数 y a x在 [0,1] 上的最大值与最小值这和为3，则 a ＝（14 ）椭圆 5x 2ky 25 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k（15 ） ( x21)( x 2) 7 展开式中 x 3 的系数是（16 ）已知 f ( x)x 2，那么 f (1) f (2) f ( 1)f (3) f (1)f (4)f ( 1) ＝1 x 2234三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17 ）已知 sin 22sin 2 coscos 21，(0, ) ，求 sin、 tg的值2（18 ）如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直 点M 在 AC 上 移 动 ， 点 N 在 BF 上 移 动 ， 若 CM BN aC（ 0a 2 ）（1）求 MN 的长；DP（2） a 为何值时， MN 的长最小；MBQ（3）当 MN 的长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的E大小N（19）设点 P 到点 ( 1,0) 、 (1,0) 距离之差为 2m ，到 x 、 y 轴的A F距离之比为 2，求 m 的取值范围（20）某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设 a 为实数，函数 f (x)x 2| x a | 1 ， xR（1）讨论 f (x) 的奇偶性；（2）求 f ( x) 的最小值（22）设数列 {a n } 满足： aa2na1 ， n 1,2,3,n 1 nn（I ）当 a 1 2 时，求 a 2 , a 3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式；（II ）当 a 1 3 时，证明对所的 n 1 ，有（i ） a nn 2（ii ）11 11 11 a 11 a2 1 a 31 a n2参考答案 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCBBCBABBC二、填空题 （13） 2（14）1（15） 1008（16）72三、解答题（17）解：由 sin 2 2sin 2 coscos2 1，得 4 sin 2 cos 2 2sin cos 22cos 22 cos 2 (2 sin 2 sin 1) 02 cos 2 (2 sin1)(sin1)∵(0, )2∴ sin 1 0 ， cos 2∴ 2sin10 ，即 sin1 2∴6∴ tg33（18）解（ I ）作 MP ∥ AB 交BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP NQ ，即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ由已知 CM BN a ， CB ABBE1∴ ACBF2 ， CP BQ2 a2MNPQ(1 CP)2 BQ 2 (1a )2 (a)222(a2 ) 2 1 ( 0 a2)2 2（II ）由（ I ）MN(a 2 )2122所以，当 a22时， MN22即当M、N分别为 AC、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为2 2（III ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵ AM AN,BM BN，G为MN的中点∴ AG MN,BG MN ，即AGB即为二面角的平面角又AG BG 6，所以，由余弦定理有4( 6 )2(6 )21cos441663244故所求二面角为arccos13（19）解：设点P的坐标为( x, y)，依题设得| y |2 ，即 y 2 x ，x 0| x |因此，点 P( x, y) 、 M (1,0) 、 N (1,0) 三点不共线，得||PM ||PN || |MN |2∵||PM ||PN|| 2 | m | 0∴0 | m | 1因此，点 P 在以 M 、N为焦点，实轴长为 2 | m |的双曲线上，故x2y21m21m2将 y2x 代入x2y 21，并解得m 2 1 m22m 2 (2 )2x1 m，因 1 m1 5m2所以 1 5 m 2解得 0 | m |55即 m 的取值范围为 (5,0)(0, 5 )55（20）解：设 2001 年末汽车保有量为 b 1 万辆， 以后各年末汽车保有量依次为 b 2 万辆， b 3 万辆，⋯，每年新增汽车x 万辆，则b 1 30 ， b 2 b 1 0.94 x对于 n 1 ，有bn 1b n 0.94 xb n 1 0.942 (1 0.94)x所以 b n1b10.94 n x (1 0.94 0.942b 1 0.94 n 1 0.94 n x0.06 x(30x ) 0.94 n0.060.06当 30x 0 ，即 x 1.8 时0.06b n 1bnb 130当 30x0 ，即 x1.8时0.06x数列 { b n } 逐项增加，可以任意靠近0.06xxlim b nlim [ (30) 0.94n 1]nn0.060.0660 万辆，即因此，如果要求汽车保有量不超过0.94 n )x0.06b n 60 （ n 1,2,3, ）则 x60 ，即 x 3.6 万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆（21）解：（ I ）当 a0 时，函数 f ( x) ( x) 2 | x | 1f ( x)此时， f (x) 为偶函数当 a 0 时， f (a)a 2 1， f ( a)a 22 | a |1，f (a) f ( a) ， f (a)f ( a)此时 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数（II ）（i ）当 x a 时， f ( x) x 2x a 1 ( x1 )2 a 3124当 af (x) 在 (, a] 上单调递减，从而函数f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为，则函数2f ( a) a 21．若 a1 ，则函数 f (x) 在 ( , a] 上的最小值为f (1)22（ii ）当 xa 时，函数 f ( x) x 2 x a 1( x 1 )223 a ，且 f ( 1) f ( a) ． 4 23a4若 a1 ，则函数 f ( x) 在 ( , a] 上的最小值为 f (1 )3 a ，且 f ( 1) f (a)2 2 4 2若 a1 ，则函数 f (x) 在 [ a,) 上单调递增，从而函数f (x) 在 [ a,) 上的最小值为2f ( a) a 21．综上，当 a1时，函数 f (x) 的最小值为 3a2 411 当a时，函数 f ( x) 的最小值为 a 2 121 2 3当 a 的最小值为a ．时，函数 f ( x)42（22）解（ I ）由 a 12 ，得 a2a 2a1 1 31由 a 2 3 ，得 a 3 a 2 22a 2 1 4 由 a 34 ，得 a 423a 3 1 5a 3由此猜想 a n 的一个通项公式： a nn1 （ n 1）（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当 n1时， a 1 3 1 2 ，不等式成立．②假设当 nk 时不等式成立，即 a kk2 ，那么a k 1 a k (a kk) 1 (k 2)( k 2 k ) 1 2k 5 k 3 ． 也就是说，当 n k 1时， a k 1 (k 1) 2据①和②，对于所有n 1，有 a nn 2 ．（ii ）由 a n 1 a n ( a n n) 1及（ i ），对 k 2 ，有a kak 1(ak 1k 1) 1a k 1 (k 1 2 k 1) 1 2a k 1 1⋯⋯ak2k 1 a2k 22 1 2k 1( a 1) 111于是11 1 ， k 21 a k 1 a 1 2k 1n11 1n1 1 n1 2 2 1k 11 a k1 a 11 a 1 k2 2 k 1 1 a 1 k 1 2k 11 a 11 3 2。
2002年高考试题——数学文(北京卷)(含答案),推荐文档
sinsin 1 [cos( ) cos( )] 2
正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧
1 (c 2
c)l
其中c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示
斜高或母线长
球体的体积公式
V 4R3 球3
其中 R 分别表示球的半径
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
得分 评卷人 横
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中 线上.
13. sin 2, cos 6, tg 7从小到大的顺序是
.
5
55
14. 等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且 a1，a3，a11 恰好是某等比数列的前三项，
那么
该等比数列公比的值等于
.
15. 关于直角 AOB 在定平面 α 内的射影有如下判断：①可能是 0°的角；②可能是锐角；
1
2
2
2
1
2
A． f1 (x), f3 (x) B. f2 (x)
C． f2 (x), f3 (x) D． f 4 (x)
注意事项：
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
1. 第Ⅱ卷共 7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 二
17
18
19
20
21
分数
总分 22
2ctg 1
C． ( , )
32
C．－16
D．[ , ]
62
D．16
3
A.
5
3
继承·创新·导向—2002年高考数学(北京卷)评析
问 题 ， 省 了 大 量 的 时 间 ． 思 维 的 不 同 层 次 节 从
上 区 分 ， 考 查 学 生潜 能 和 素 质 的有 效 途 径 ． 是
１ 继 承
１１ ． 突 出 对 基 础 知 识 的 考 查 ， 知 识 网 络 的 在 交 汇 点 设 计 命 题 在 试 题 的 知 识 内 容 上 ， 持 从 中 学 数 学 坚
的基 础 知 识 、 点 内 容 、 本 方 法 出 发 设 计 命 重 基
题 ， 中 学 数 学 的 主 体 内 容 进 行 了 重 点 的 考 对
查 ．函 数 、 等 式 、 列 、 体 几 何 与 解 析 几 何 不 数 立
方 法 ， 各 种 不 同 的 层 次 融 入 试 题 之 中 ， 过 以 通 考 查 学 生 对 数 学 思 想 方 法 的 自 觉 运 用 ． 对 来
（５ １ ）等 题 ， 科 （ ） （ １ 、 １ ） （ ５ 等 题 ； 理 １ 、１）（３、１）
数 形 结 合 思 想 —— 如 文 科 （ 、 ３ 、６ 、 ２） （ ） （ ）
（１ １）、（ ２） 等 题 ， 理 科 （ １ ２）、 （ ３）、（ ６）、 （ ７）、 （ １１） １ 、（ ２）等 题 ；
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２０ ０ ２年 第 ９ 期
中 学 数 学
１
继 承 ・ 新 ・ 向 创 导
２０ ０ ２年 高 考 数 学 （ 京 卷 ） 析 北 评
１ ０ ８ 中 国人 民 大 学 附 中（ 级教 师 ） 周 建 华 ００ ０ 特
２ ０ 年 高 考 （ 京 卷 ）是 由 北 京 市 首 次 自 ０ ２ 北 练 而 机 械 记 忆 的 方 法 来 解 答 ，即 便 做 出 正 确 答 案 ， 要 花 费 大 量 时 间 ； 思 维 层 次 高 的 考 也 而 生 则 能 抓 住 问 题 的 本 质 ， 根 据 定 义 、 利 用 或 或 基 本 性 质 、 通 过 几 何 意 义 、 构 造 反 例 、或 或 或
2002年普通高校招生全国统一考试(北京卷)数学(文史类)
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）。
共150分，考试时间120分钟。
第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= 点 S 台侧=l c c )(21+'儿)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= 其中c ′c 分别表示上、下底面周长，)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+= 球体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 满足条件M ⋃{1}={1，2，3}的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12． 在平面直角坐标系中，已知两点)20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos ooooB A ，则|AB|的值是 A ．21B ．22C ．23D ．13． 下列四个函娄各，以为最小正周期，且在区间（ππ,2）上为减函数的是 A ．x y cos = B ．|sin |2x y = C ．2cosxy = D ．ctgx y -= 4． 在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 是5． 64个直径都为的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面为S 乙，则A ．V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B ．V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲 ＝S 乙 6． 若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．)3,6[ππ B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2,6[ππ7． 8)1(i +等于A ．16iB ．-16iC ．-16D ．16 8． 若1121=+-θθctg ctg ，则θ2cos 的值为A ．53 B ．53- C ．552 D ．552-9． 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为A ．480B ．240C ．120D ．9610．已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43±= 11．已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图所示，那么不等式0cos )(πx x f 的解集是A ．)3,2()1,0(⋃B ．)3,2()2,1(ππ⋃ C ．)3,2()1,0(π⋃ D ．)3,1()1.0(⋃12．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和)]()([21)2(,21212x f x f x x f x +≤+恒成立”的只有 A ．)(),(31x f x f B ．)(2x f C ．)(),(32x f x f D ．)(4x f第二卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
普通高等学校招生全国统一测验理科数学北京卷
5．已知某曲线的参数方程是
x
轴， 长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
A． 1
y
B． cos 2 1
sec tg
,(
B．V 甲＜V 乙且 S 甲＜S 乙
D．V 甲＝V 乙且 S 甲＝S 乙
为参数）.若以原点为极点，x
6．给定四条曲线：① x 2 y 2 5 ，② x 2 y 2 1，③ x 2 y 2 1 ，④ x 2 y 2 1.其中
“直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 是正方体”.那么，甲是乙的
A．充分必要条件
C．必要非充分条件
11．已知 f (x) 的定义在（－3，3）上的奇函数，当 0＜x＜3 时， f (x) 的图象如图所示，那
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案
2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=;)]sin()[sin(21cos cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=; )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=正棱台、圆台的侧面积公式1c c)2S '=+台体（l 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件}3,2,1{}1{=Y M 的集合M 的个数是（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )42．在平面直角坐标系中，已知两点()00020sin ,20cos ),80sin ,80(cos B A ，则AB 的值是（ ）(A )21(B )22 (C )23 (D )13．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）(A )x y 2cos = (B ) x y sin 2= (C )xy cos 31⎪⎭⎫ ⎝⎛= (D ) x y cot -=4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ ） (A )乙甲乙甲且S S ,V V >>(B ) 乙甲乙甲〈且〈S S ,V V (C ) 乙甲乙甲且S S ,V V >= (D ) 乙甲乙甲且S S ,V V ==5．已知某曲线的参数方程是)(,tan sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x ，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）(A )1=ρ (B )12cos =θρ(C )12sin 2=θρ6．给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x ．其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（ ）(A )①②③ (B )②③④ (C )①②④ (D ) ①③④ 7．已知1z ，C z ∈2，且11=z ．若221=+z z ，则21z z -的最大值是（ ）(A )6 (B ) 5 (C ) 4 (D )3Oxyf(x)1O x yf(x)1O xyf(x)1O xyf(x)18．若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（ ） (A )3 (B )-3 (C ) -2 (D )21-9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）(A )4448412C C C 种 (B ) 44484123C C C 种 (C ) 3348412P C C 种 (D ) 334448412/P C C C 种10．设命题：“直四棱柱1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体”，那么，甲是乙的（ ）(A )充分必要条件 (B )充分非必要条件 (C )必要非充分条件 (D )即非充分又非必要条件11．已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）(A ))3,2()1,0()2,3(ππY Y -- (B ) )3,2()1,0()1,2(ππY Y -- (C ))3,1()1,0()1,3(Y Y -- (D ) )3,1()1,0()2,3(Y Y π--12．如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）(A ))(),(21x f x f (B ) )(2x f (C ) )(),(32x f x f(D ) )(4x f二．填空题：13．)45arctan(),43arccos(),52arcsin(---从大到小的顺序是 ． 14．等差数列}{n a ，中，21=a ，公差不为零，且n a a a ,,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．15．关于直角AOB 在平面α内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是0180的角．其中正确的序号是 ．（注：把你认为正确判断的序号都填上）． 16．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆082222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．解不等式212<--x x18．如图，在多面体1111D C B A ABCD -中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与F E ,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为d c ,与b a ,，且d b c a >>,，两底面间的距离为h ．AD E F BCA 1B 1C 1D 1abd c（1）求侧面11A ABB 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）证明：ABCD EF 面//；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式h S V ⋅=中截面估来计算，已知它的体积公式是)4(6hV 下底面中底面上底面S S S ++=试判断估V 与V 的大小关系，并加以证明． （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）19．数列}{n a 由下列条件确定：01>=a x ，N n x ax x nn n ∈+=+),(211． （1）证明：对2≥n ，总有a x n ≥；（2）证明：对2≥n ，总有1+≥n n x x ； （3）若数列}{n a 的极限存在，且大于零，求nn xlim ∞→的值．20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21Λ的和n ni iv v v v+++=∑=Λ211，计算开始前，n个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机 （2）当128=n 时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．已知)0,0(O ，)0,1(B ，),(c b C 是OBC ∆的三个顶点．（1）写出OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明H F G ,,三点共线； （2）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．22．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(=f ，)()2(N n nf u n n ∈=-，求数列}{n u 的前n 项的和n S参考解答说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
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2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=;)]sin()[sin(21cos cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=;)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+=正棱台、圆台的侧面积公式1c c)2S '=+台体（l 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足条件}3,2,1{}1{= M 的集合M 的个数是（ ）(A )1 (B )2 (C )3 (D )42．在平面直角坐标系中，已知两点()000020sin ,20cos ),80sin ,80(cos B A ，则AB 的值是（ ）(A )21 (B )22 (C )23 (D )1 3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）(A )x y 2cos = (B ) x y sin 2= (C )xy cos 31⎪⎭⎫ ⎝⎛= (D ) x y cot -=4．64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ ） (A )乙甲乙甲且S S ,V V >>(B ) 乙甲乙甲〈且〈S S ,V V (C ) 乙甲乙甲且S S ,V V >= (D ) 乙甲乙甲且S S ,V V ==5．已知某曲线的参数方程是)(,tan sec 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x ，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）(A )1=ρ (B )12cos =θρ(C )12sin 2=θρ6．给定四条曲线：①2522=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④1422=+y x ．其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是（ ）(A )①②③ (B )②③④ (C )①②④ (D ) ①③④ 7．已知1z ，C z ∈2，且11=z ．若221=+z z ，则21z z -的最大值是（ ）(A )6 (B ) 5 (C ) 4 (D )38．若11cot 21cot =+-θθ，则θθ2sin 12cos +的值为（ ）(A )3 (B )-3 (C ) -2 (D )21-9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）(A )4448412C C C 种 (B ) 44484123C C C 种 (C ) 3348412P C C 种 (D ) 334448412/P C C C 种10．设命题：“直四棱柱1111D C B A ABCD -中，平面1ACB 与对角面D D BB 11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111D C B A ABCD -是正方体”，那么，甲是乙的（ ）(A )充分必要条件 (B )充分非必要条件 (C )必要非充分条件 (D )即非充分又非必要条件11．已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）(A ))3,2()1,0()2,3(ππ-- (B ) )3,2()1,0()1,2(ππ -- (C ))3,1()1,0()1,3( -- (D ) )3,1()1,0()2,3( π--12．如图所示，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）(A ))(),(21x f x f (B ) )(2x f (C ) )(),(32x f x f(D )二．填空题：13．)45arctan(),43arccos(),52arcsin(---从大到小的顺序是 ． 14．等差数列}{n a ，中，21=a ，公差不为零，且n a a a ,,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．15．关于直角AOB 在平面α内的射影有如下判断：①可能是00的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是直角；⑤可能是0180的角．其中正确的序号是 ．（注：把你认为正确判断的序号都填上）． 16．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆082222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17．解不等式212<--x x18．如图，在多面体1111D C B A ABCD -中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与F E ,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为d c ,与b a ,，且d b c a >>,，两底面间的距离为h ．AD E F BCA 1B 1C 1D 1abd c（1）求侧面11A ABB 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）证明：ABCD EF 面//；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式h S V ⋅=中截面估来计算，已知它的体积公式是)4(6hV 下底面中底面上底面S S S ++=试判断估V 与V 的大小关系，并加以证明． （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．）19．数列}{n a 由下列条件确定：01>=a x ，N n x ax x nn n ∈+=+),(211． （1）证明：对2≥n ，总有a x n ≥；（2）证明：对2≥n ，总有1+≥n n x x ； （3）若数列}{n a 的极限存在，且大于零，求nn xlim ∞→的值．20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和n ni iv v v v+++=∑= 211，计算开始前，n个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机（2）当128=n 时，要使所有机器都得到∑=i iv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21．已知)0,0(O ，)0,1(B ，),(c b C 是OBC ∆的三个顶点．（1）写出OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明H F G ,,三点共线； （2）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．22．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅．（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(=f ，)()2(N n nf u n n ∈=-，求数列}{n u 的前n 项的和n S参考解答说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. C 8. A 9. A 10. C 11. B 12. A二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13. 523arctan()arcsin()arccos()454-<-<- 14. 415. （1）（2）（3）（4）（5）16. 22三. 解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12分。
解：原不等式⇔--<-->-⎧⎨⎪⎩⎪212212x x x x 因为212212210202122x x x x x x x x --<⇔-<+⇔-≥+≥-<+⎧⎨⎪⎩⎪()⇔≥++>⎧⎨⎪⎩⎪⇔≥x x x x 12250122 又212210202122x x x x x x -->-⇔-≥-≥->-⎧⎨⎪⎩⎪()或21020x x -≥-<⎧⎨⎩⇔≥-+<⎧⎨⎩x x x 26502或122≤<x⇔≥<<⎧⎨⎩x x 215或122≤<x⇔≤<25x 或122≤<x⇔≤<125xC 所以，原不等式组⇔≥≤<⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇔≤<x x x 12125125因此，原不等式的解集为{|}x x -≤<12518. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
（1）解：过B C 11作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B G PQ 1⊥,垂足为Ｇ平面ABCD//平面A B C D 1111，∠=A B C 11190∴⊥AB PQ ，AB B P ⊥1∴∠B PG 1为所求二面角的平面角过C 1作C H PQ 1⊥，垂足为H ，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B PQC 11为等腰梯形∴=-PG b d 12()又B G h 1=∴∠=->tg B PG hb d b d 12()∴∠=-B PG arctg h b d 12，即所求二面角的大小为arctg h b d 2-（2）证明： AB 、CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB//CD 又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线∴AB//面CDEF EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线 ∴AB//EF AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外∴EF//面ABCD（3）V V 估<证明： a c >，b d >∴-=++⨯+⨯+-+⨯+V V h cd ab a c b d a c b d h 估642222()=++++-++h cd ab a c b d a c b d 122223[()()()()]=-->ha cb d 120()() ∴<V V 估 19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12分。