(独家)回归分析概述和实例
回归分析实例PPT课件
线性回归分析的应用
预测
使用线性回归模型来预测因变 量的值，基于给定的自变量值
。
解释变量关系
通过线性回归分析来了解自变 量与因变量之间的数量关系和 影响程度。
控制变量效应
在实验或调查中，控制自变量 的影响，以观察因变量的变化 情况。
模型的建立和检验
模型的建立
首先需要收集数据，并进行数据 清洗和预处理，然后选择合适的 自变量和因变量，建立逻辑回归
模型。
模型的检验
通过多种检验方法对模型进行评 估，包括参数估计、假设检验、 模型诊断等，以确保模型的准确
性和可靠性。
模型的优化
根据检验结果对模型进行调整和 优化，包括参数调整、变量筛选
详细描述
收集产品在过去一段时间的销售数据，包括销售额、销售量等，作为自变量， 将未来某一段时间的产品销量作为因变量，建立回归模型。通过模型预测未来 产品销量，为企业制定生产和销售计划提供依据。
实例三：疾病风险预测
总结词
基于个人健康数据和疾病历史，建立回归模型预测疾病风险。
详细描述
收集个人的健康数据和疾病历史，包括血压、血糖、胆固醇等生理指标以及家族 病史等信息，作为自变量，将未来患某种疾病的风险作为因变量，建立回归模型 。通过模型预测个人患某种疾病的风险，为预防和早期干预提供参考。
线性关系的假设
自变量x与因变量y之间存在线性关系， 即随着x的增加（或减少），y也相应 地增加（或减少）。
模型的建立和检验
01
02
03
数据收集与整理
收集相关数据，并进行必 要的整理和清洗，以确保 数据的质量和可靠性。
回归分析的概念和分析(doc 20页)
回归分析的概念和分析(doc 20页)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第七章回归分折讨论随机变量与非随机变量之间的关系的问题称回归分析；讨论随机变量之间的关系的问题称相关分析．对于这两种问题，或统称回归分析，或统称相关分析都可以．但是，自然界的众多的变量间，还有另一类重要关系，我们称之为相关关系．例如，施肥量与农作物产量之间的关系，这种关系虽不能用函数关系来描述，但施肥量与产量有关系，这种关系就是相关关系，又比如，人的身高与体重的关系也是相关关系，虽然人的身高不能确定体重，但总的说来，身高者，体也重些，总之，在生产斗争与科学实验中，甚至在日常生活中，变量之间的相关关系是普遍存在的．其实，即使是具有确定性关系的变量间，由于实验误差的影响，其表现形式也具有某种的不确定性．回归分折方法是数理统计中一个常用方法，是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法,．它不仅提供了建立变量间关系的数学表达---通常称为经验公式的一般方法，而且还可以进行分析，从而能判明所建立的经验公式的有效性，以及如何利用经验公式达到预测与控制的目的．因而回归分析法得到了越来越广泛地应用． 回归分析主要涉及下列内容：(1)从一组数据出发，分析变量间存在什么样的关系，建立这些变量之间的关系式(回归方程)，并对关系式的可信度进行统计检验；(2)利用回归方程式，根据一个或几个变量的值，预测或控制男一个变量的取值；(3)从影响某一个变量的许多变量中，判断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的，从而可建立更实用的回归方程，(4)根据预测和控制所提出的要求，选择试验点，对试验进行设计．我们在本章，重点讨论一元线性回归，对多元回归只作简单地介绍．§1 一元线性回归一元线性回归分析中要考察的是：随机变量Y 与一个普通变量x 之间的联系。
对有一定联系的两个变量：x 与Y ，我们的任务是根据一组观察值1,12,2,(),(),,(),n n x y x y x y L判断Y 与x 是否存在线性关系y a bx ε=++，我们能否通过这组观察值将确定系数a 与b 出来呢?这就是回归问题要解决的问题，且判断Y 与x 是否真存在此线性关系.一 . 经验公式与最小二乘法:【例1】 纤维的强度与拉伸倍数有关．下表给出的是24个纤维样品的强度与拉伸倍数的实测记录．我们希望通过这张表能找出强度y 与拉伸倍数x 之间的关系式们将观察值,()(124)i i x y i ≤≤作为24个点，将它们画在平面上，这张图称为散点图，这散点图启示我们，这些点虽然是散乱的，但大体上散布在一条直线的周围．也就是说，拉伸倍数与强度之间大致成线性关系．我们用（＊）确定，是线性的，要完全确定经验公式，就要确定(＊)中的系数a 和b ，这里b 通常称为回归系数，关系式叫做回归方程．从散点图来看，要找出a 与b 是不困难的，在图上划一条直线，使该直线总的来看最“接近”这24个点．于是，这直线在y 轴上的截距就是所求的a ，它的斜率就是所求的b ．几何方法虽然简单，但是太祖糙，而对非线性形式的问题，就几乎无法实行．然 而，它的基本思想，即“使该直线总的说来最接近这24个点”，却是很可取的，问题是把这基本思想精确化，数量化．下面介绍一种方法，求一条直线使其“总的来看最接近这24个点”，这就是最小二乘法．给定的n 个点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L ,那么，对于平面上任意一条直线l : y a bx =+我们用数量2[()]i i y a bx -+来刻画点(,)i i x y 到直线l 的远近程度, 于是二元函数21(,)[()]ni i i Q a b y a bx ==-+∑ 就定量的描述了直线l 跟这n 个点的总的远近程度,这个量是随不同的直线而变化,或者说是随不同的a 与b 而变化的,于是要找一条直线, 使得该直线总的来看最“接近” 这 n 个点的问题就转化为:要找两个数a 与b , 使得二元函数(,)Q a b 在ˆˆ,a ab b ==处达到最小,即ˆˆ(,)min((,))Q ab Q a b = 由于(,)Q a b 是n 个量平方之和，所以“使(,)Q a b 最小”的原则称为平方和最小原则，习惯上称为最小二乘原则．由最小二乘原则求a 与b 估计值的方法称为最小二乘法．按照最小二乘原则，具体求ˆˆ,ab 的问题就是利用极值原理，求解二元一次联立方程组有唯一解:于是， 对于给定的n 个点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L ，先算出ˆb，再算出ˆa ，就得到了所求的回归方程:可计算【例１】的因此所求经验公式, 即回归方程为【例2】P ．236――― 例1.2对任意两个相关变量，即使它们不存在线性关系，都可以通过。
回归计算公式举例分析
回归计算公式举例分析回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系。
它可以帮助我们了解一个或多个自变量对因变量的影响程度，以及它们之间的关联性。
在实际应用中，回归分析被广泛应用于经济学、金融学、社会学、医学等领域，用于预测、解释和控制变量之间的关系。
回归分析的基本公式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0表示截距，β1、β2、...、βn表示自变量的系数，ε表示误差项。
下面我们以一个简单的例子来说明回归分析的计算公式。
假设我们想研究一个人的身高（Y）与其父母的身高（X1、X2）之间的关系。
我们收集了100对父母和子女的身高数据，并进行回归分析。
首先，我们需要建立回归方程：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε。
然后，我们使用最小二乘法来估计回归系数β0、β1、β2。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它可以最小化误差平方和，找到最优的回归系数。
假设我们得到了如下的回归方程：Y = 60 + 0.5X1 + 0.3X2 + ε。
接下来，我们可以使用这个回归方程来进行预测。
比如，如果一个孩子的父母身高分别为170cm和165cm，那么根据回归方程，这个孩子的身高预测值为：Y = 60 + 0.5170 + 0.3165 = 60 + 85 + 49.5 = 194.5。
这个预测值可以帮助我们了解一个孩子的身高可能在哪个范围内，以及父母的身高对孩子身高的影响程度。
除了预测，回归分析还可以帮助我们了解变量之间的关系。
比如，根据回归系数，我们可以得知父母的身高对孩子的身高有正向影响，而且父亲的身高对孩子的身高影响更大。
此外，回归分析还可以帮助我们检验变量之间的关系是否显著。
通过t检验或F检验，我们可以得知回归系数是否显著不等于0，从而判断变量之间的关系是否存在。
综上所述，回归分析是一种强大的统计方法，可以帮助我们了解变量之间的关系，进行预测和解释。
回归分析应用实例讲解
回归分析应用实例讲解回归分析是一种用于确定变量之间关系的统计方法，它可以帮助我们预测一个自变量对因变量的影响程度。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们解决各种问题。
下面将介绍几个常见的回归分析应用实例。
1.销售预测：回归分析可以帮助企业预测销售额。
通过收集历史销售数据和相关的市场因素（例如广告费用、季节性因素等），可以建立一个回归模型来预测未来的销售额。
这可以帮助企业做出合理的销售计划和预算安排。
2.金融风险管理：在金融领域，回归分析可以用来评估不同因素对金融资产价格的影响，以及它们之间的相关性。
例如，可以使用回归分析来确定利率、通货膨胀率、市场指数等因素对股票价格的影响程度。
这些信息可以帮助投资者制定投资策略和风险管理计划。
3.医学研究：回归分析在医学研究中也有广泛的应用。
例如，可以使用回归分析来确定其中一种药物对患者生存率的影响，或者确定特定因素（例如饮食、运动等）与心血管疾病的关系。
通过建立回归模型，可以帮助医生和研究人员制定更有效的治疗和预防策略。
4.市场调研：回归分析在市场调研中也是一个有用的工具。
例如，可以使用回归分析来确定广告投入与销售额之间的关系，以及其他市场因素（如竞争对手的市场份额、产品价格等）对销售额的影响。
这些信息可以帮助企业优化广告投放策略和市场定位。
5.人力资源管理：在人力资源管理中，回归分析可以用于预测员工绩效。
通过收集员工的个人特征和背景信息（如教育水平、工作经验等），并将其与绩效数据进行回归分析，可以确定哪些因素对员工绩效有着显著影响。
这可以帮助企业优化人员招聘和培训策略，提高人力资源管理的效率。
总之，回归分析可以在实际应用中帮助我们解决各种问题，从销售预测到金融风险管理，再到医学研究和市场调研，以及人力资源管理等领域。
通过建立回归模型，我们可以了解不同变量之间的关系，并利用这些信息做出更准确的预测和决策。
回归分析中的案例分析解读
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，它用于探讨自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们理解变量之间的相互影响，预测未来的趋势，以及解释一些现象背后的原因。
本文将通过几个实际案例，来解读回归分析在现实生活中的应用。
首先，我们来看一个销售数据的案例。
某公司想要了解广告投入对产品销量的影响，于是收集了一段时间内的广告投入和产品销量数据。
通过回归分析，他们得出了一个线性方程，表明广告投入对产品销量有显著的正向影响。
这个结论使得公司更加确定了增加广告投入的决策，并且在后续的实施中也取得了预期的销售增长。
接下来，我们来看一个医疗数据的案例。
一家医院想要探讨患者的年龄、性别、体重指数等因素对疾病治疗效果的影响。
通过回归分析，他们发现年龄和体重指数与治疗效果呈显著的负相关，而性别对治疗效果影响不显著。
这个研究结果为医院提供了重要的临床指导，使得医生们在治疗过程中更加关注患者的年龄和体重指数，以提高治疗效果。
除此之外，回归分析还可以应用在金融领域。
一家投资机构想要了解各种因素对股票价格的影响，于是收集了大量的股票市场数据。
通过回归分析，他们发现了一些关键的影响因素，比如市场指数、行业风险等，这些因素对股票价格都有一定的影响。
这些结论为投资机构提供了重要的决策参考，使得他们在投资过程中能够更加准确地评估风险和收益。
此外，回归分析还可以用于市场调研。
一家公司想要了解产品价格对销量的影响，于是进行了一次调研。
通过回归分析，他们发现产品价格与销量呈负相关关系，即产品价格越高，销量越低。
这个结论使得公司意识到自己的产品定价策略可能存在问题，于是他们调整了产品价格，并且在后续销售中取得了更好的效果。
总的来说，回归分析在实际生活中有着广泛的应用。
通过对一些案例的解读，我们可以看到回归分析在不同领域中的作用，比如市场营销、医疗、金融等。
通过回归分析，我们可以更加深入地了解变量之间的关系，从而为决策提供科学的依据。
回归分析实验案例数据
回归分析实验案例数据引言：回归分析是一种常用的统计方法，用于探索一个或多个自变量对一个因变量的影响程度。
在实际应用中，回归分析有很多种，例如简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
本文将介绍一个回归分析实验案例，并分析其中的数据。
案例背景：一家汽车制造公司对汽车的油耗进行研究。
他们收集了一些汽车的相关数据，并希望通过回归分析来探究这些数据之间的关系。
数据收集：为了进行回归分析，他们收集了以下数据：1. 汽车型号：不同汽车型号的标识符。
2. 汽车价格：每辆汽车的价格，单位为美元。
3. 汽车速度：以每小时英里的速度来衡量。
4. 引擎大小：汽车引擎的容量大小，以升为单位。
5. 油耗：每加仑汽油行驶的英里数。
数据分析：通过对收集的数据进行回归分析，可以得出以下结论：1. 汽车价格与汽车引擎大小之间存在正相关关系。
即引擎越大，汽车价格越高。
2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。
即速度越高，油耗越大。
3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。
即引擎越大，油耗越大。
结论：基于以上分析结果，可以得出以下结论：1. 汽车价格受到引擎大小的影响，即引擎越大，汽车价格越高。
这一结论可以帮助汽车制造公司在制定价格策略时做出合理的决策。
2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。
这一结论可以帮助消费者在购买汽车时考虑速度对油耗的影响，从而选择更经济的汽车。
3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。
这一结论可以帮助汽车制造公司在设计引擎时考虑油耗因素，从而提高汽车的燃油效率。
总结：回归分析是一种有效的统计方法，可以用于探索数据间的关系。
通过对汽车制造公司收集的数据进行回归分析，我们发现了汽车价格、速度和引擎大小与油耗之间的关系。
这些分析结果对汽车制造公司制定价格策略、消费者购车以及提高燃油效率都具有重要的指导意义。
回归分析中的案例分析解读(Ⅲ)
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解和预测变量之间的关联性，对于数据分析和预测具有重要的作用。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们解决许多实际问题，比如市场营销、经济预测、医疗研究等领域。
在本文中，我将通过一些案例分析来解读回归分析在实际问题中的应用。
案例一：市场营销假设我们是一家电商平台，我们希望了解用户购买行为与广告投放之间的关系。
我们收集了每位用户的购买金额作为因变量，广告投放金额作为自变量，以及其他可能影响购买行为的因素，比如用户年龄、性别、地理位置等作为控制变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测用户购买金额与广告投放之间的关系。
通过这个模型，我们可以确定投放多少广告才能最大化用户购买金额，以及哪些因素对购买行为有显著的影响。
案例二：经济预测假设我们是一家投资公司，我们希望预测股票价格与宏观经济指标之间的关系。
我们收集了股票价格作为因变量，以及国内生产总值（GDP）、失业率、通货膨胀率等宏观经济指标作为自变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测股票价格与宏观经济指标之间的关系。
通过这个模型，我们可以了解哪些经济指标对股票价格有显著的影响，从而更好地进行投资决策。
案例三：医疗研究假设我们是一家医药公司，我们希望了解药物剂量与治疗效果之间的关系。
我们收集了药物剂量作为自变量，治疗效果作为因变量，以及患者的年龄、性别、疾病严重程度等因素作为控制变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过这个模型，我们可以确定最佳的药物剂量，从而更好地指导临床实践。
通过以上案例分析，我们可以看到回归分析在实际问题中的广泛应用。
它不仅可以帮助我们理解变量之间的关系，还可以帮助我们预测未来趋势和制定决策。
当然，回归分析也有一些局限性，比如对数据的假设要求较高，需要充分考虑自变量和因变量之间的因果关系等。
因此，在实际应用中，我们需要结合具体情况，慎重选择合适的回归模型，并进行充分的检验和验证。
概率论--回归分析
是有 EY= f(X) ，所以能够用f(X) 作为Y旳近似。
当X为随机变量时， 求Y对X旳条件期望，也有 E(Y|X)= f(X)
记
y=f(x)
则称 y=f(x) 为 Y对X旳回归方程
1、 f(x) 称为回归函数
2、随机误差 e 旳方差D e是回归模型旳主要参数， D e旳大小反应了f(X) 对Y 旳近似程度：
(3)所求回归直线为 yˆ ˆ0 ˆ1x
3、求最小二乘估计旳环节
(1)依所知数据求出
X
1 n
n
X
i 1
i
Y
1 n
n
Yi
i 1
L XX
n
(Xi
X )2
n
X
2 i
nX
2
i 1
i 1
n
n
n
LXY (X i X )(Yi Y ) (X i X )Yi X iYi nXY
i 1
i 1
i 1
Y= f(X1 ， X2 ， , Xp ) + e ，其中E e = 0
则称为多元回归模型
注：线性回归模型是在应用上最主要且在理论上发展最完善 旳回归模型
一、一元线性回归模型：
1、理论模型：是指回归模型 Y= f(X)+e 中旳 f(X) 为线性函数，
即有
Y= β0+ β1 X+e
E e = 0 ，0 D e = σ2
可用R来检验X 与Y旳线性有关性。
给当定e~检N验(0水,σ2平),且，e1 选，用e2，统…计e量n相互F 独 立( n时1，2R)当2R假2 设H0 :β0=0 成
立时，F~F(1,n-2)
假设H0 :β0=0 旳拒绝域为： P( P r ( n 2 ))
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
回归分析概述及案例分析
“回归” 一词的由来英国著名统计学家高尔顿研究发现父母身高与儿女身高之间有这么一种关系：父母高⟹子女高 父母矮⟹子女矮父母双亲都异常高或异常矮⇏儿女身高也普遍异常高或异常矮研究表明：孩子的身高会“回归”到中等身高。
我们把这种后代的身高向中间靠拢的趋势称为“回归现象”。
回归分析概念：指的是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
回归分析回归分析主要解决的问题：1、确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；2、根据一个或几个变量的值，预测另一个或几个变量的值，且要估计这种预测可以达到何种精确度。
回归分析的步骤1、确认是否是预测问题；2、确认因变量、自变量分别是什么；3、收集数据，判断自变量与因变量之间的关系；4、计算模型，检验结果5、进行预测。
一元线性回归➔只考虑一个因变量Y与一个自变量X之间的关系具体案例分析某公司在新品上市前，会提前进行宣传，并进行预约。
虽然最终上市以后，并非只有预约用户买，但是如果能通过预约人数，预测销售情况，就能提前预判商品会不会受欢迎，从而把控库存情况。
具体数据如表所示：散点图1、该案例目的是预测销售额。
2、确认因变量和自变量。
该案例中因变量（要预测的）为销售额，自变量（影响预测结果的）为预约人数。
3、收集数据，判断两个指标之间的关系，并选取合适的模型。
判断关系，最简单的方法是画散点图。
由画出的散点图可知，因变量和自变量之间有明显的线性关系，因此可以用线性回归来预测。
4一元线性回归模型：�=�+푏 +�回归参数的估计：��∧=�∧+푏∧ �，称为回归值或拟合值。
令� �,푏 = �=1� ��−�−푏 � 2，则a,b 的最小二乘估计是指使� �∧,푏∧ =푚��� �,푏 成立。
假设检验为：�0：푏=0 �1：푏≠0案例分析4、计算模型，检验结果。
由上表可知，F=74.25，P值远小于0.05，故拒绝原假设，接受备择假设，认为y与x之间具有显著的线性相关关系；由判定系数的值为0.90可知该方程的拟合度很高，样本观察值有90%的信息可以用回归方程进行解释，故拟合效果较好，认为y与x具有显著的线性相关关系。
回归分析举例
回归分析举例回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：1.Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。
回归分析数据案例
回归分析数据案例回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，它用来探索变量之间的关系并预测一个变量对另一个或多个变量的影响。
在这篇文档中，我们将通过一个实际的数据案例来介绍回归分析的应用和方法。
案例背景。
假设我们是一家电子商务公司的数据分析师，我们收集了一些关于用户购买行为的数据，包括用户的年龄、性别、购买金额、购买频率等信息。
我们希望通过这些数据来分析用户的购买行为受到哪些因素的影响，以及如何预测用户的购买金额。
数据分析。
首先，我们需要对收集到的数据进行整理和清洗，确保数据的准确性和完整性。
然后，我们可以利用回归分析来探索不同因素与购买金额之间的关系。
我们可以建立一个多元线性回归模型，将购买金额作为因变量，年龄、性别、购买频率等作为自变量。
通过对数据进行回归分析，我们可以得到各个自变量对购买金额的影响程度，以及它们之间的相互关系。
结果解释。
通过回归分析，我们可以得到一些结论和预测结果。
比如，我们发现用户的年龄对购买金额有显著影响，年龄越大的用户往往购买金额更高；购买频率也对购买金额有一定的影响，购买频率越高的用户购买金额也越高。
此外，我们还可以利用回归分析的结果来预测用户的购买金额。
通过输入用户的年龄、性别、购买频率等信息，我们可以得到一个预测的购买金额范围，从而更好地进行市场营销和产品推广。
结论。
通过这个数据案例，我们可以看到回归分析在探索变量之间关系和预测结果方面的重要作用。
在实际工作中，我们可以利用回归分析来解决各种问题，比如销售预测、市场分析、用户行为分析等。
总之，回归分析是一个强大的工具，可以帮助我们更好地理解数据背后的规律，并做出有效的决策。
希望这个案例可以帮助大家更好地理解回归分析的应用和方法。
回归分析中的案例分析解读(Ⅱ)
回归分析是统计学中一种常用的分析方法，它可以用来研究变量之间的相互关系。
在实际应用中，回归分析通常被用来预测一个变量的值，或者研究不同变量之间的因果关系。
在本文中，我们将通过几个实际案例来解读回归分析的应用，以及如何正确地理解和解释回归分析的结果。
案例一：销售量与广告投入的关系假设我们想要研究公司的销售量与广告投入之间的关系。
我们收集了过去一年的销售数据以及每个月的广告投入情况，然后进行了回归分析。
结果显示广告投入与销售量之间有显著的正相关关系，即广告投入的增加会导致销售量的增加。
但是在解释结果时，我们需要注意到回归分析只能表明两个变量之间的相关性，而不能证明因果关系。
因此，我们不能简单地说是广告投入导致了销售量的增加，可能还有其他因素的影响。
案例二：工资水平与工作经验的关系另一个常见的案例是研究工资水平与工作经验之间的关系。
我们收集了一组员工的工资水平和工作经验数据，进行了回归分析。
结果显示工资水平与工作经验之间存在着正相关关系，即工作经验的增加会导致工资水平的增加。
但是在解释结果时，我们需要考虑到可能存在其他影响工资水平的因素，比如教育水平、职位等级等。
因此，在进行回归分析时，需要尽可能地控制其他可能的影响因素，以确保结果的可靠性。
案例三：股票价格与市场指数的关系最后一个案例是研究股票价格与市场指数之间的关系。
我们收集了一组股票的价格数据以及市场指数的数据，进行了回归分析。
结果显示股票价格与市场指数之间存在着正相关关系，即市场指数的增加会导致股票价格的增加。
在解释结果时，我们需要注意到股票价格受到多种因素的影响，比如公司业绩、行业发展等。
因此，我们不能简单地认为市场指数的增加就会导致股票价格的增加，还需要综合考虑其他可能的影响因素。
综上所述，回归分析是一种强大的工具，可以用来研究变量之间的关系。
但是在进行回归分析时，需要注意到结果只能表明相关性，不能证明因果关系。
因此，在解释和应用回归分析的结果时，需要谨慎思考，综合考虑可能的影响因素，以确保结果的可靠性。
一文轻松读懂回归分析（理论案例）
⼀⽂轻松读懂回归分析（理论案例）⼀、理论部分简单地说，⼀元线性回归和多元线性回归都属于简单线性回归范畴，最直接的差异在于⼀元线性回归的⾃变量只有⼀个，⽽多元线性回归的⾃变量存在多个。
尽管主要的解决思路⼀致，⼤家可以把⼀元线性回归看作多元线性回归的特例，但在解决多元的问题上，咱们还是有⽐较多的问题需要注意。
回到咱们的回归⽅程，针对于此问题，我们需要关注的重点有3个：（1）参数估计（2）假设检验与评价（3）变量选择为了便于讨论，我们把上式改写成向量形式：其中我们的数据集D中⼀共有n个样本，每个样本均可以由m个属性进⾏描述：数据集D表⽰成矩阵X，第⼀列置为1，表⽰回归⽅程中的常数项问题1：参数估计针对于该⽅程中的未知参数，我们同样可以利⽤最⼩⼆乘法进⾏估计，损失函数⽅程有：问题2：假设检验与评价（1）F检验与⼀元回归分析不⼀样，我们现在存在多个⾃变量。
为了衡量整体⽅程的有效性，我们需要研究整体变量X是否有对y产⽣影响，也即意味着，我们需要验证的命题是：也即对应的原假设：为了验证该命题，我们可以借助F检验。
F检验是根据平⽅和分解式，从回归模型效果的⾓度进⾏验证。
平⽅和分解式有：其中各项定义有：通过以上的平⽅和分解式，我们成功把因变量的波动情况（SST）成功分解为两部分：（1）能够通过⾃变量x解释的部分（SSR）；（2）不能由⾃变量x解释的部分（SSE）；因此构造F统计量如下：在正态假设的前提下，当原假设成⽴时，上述的F统计量将服从⾃由度为（m,n-m-1）的F分布，当F⼤于临界值时，我们可以拒绝原假设，即认为在显著⽔平a下，回归⽅程的整体⾃变量x与因变量y有显著的线性关系。
（2）t检验正如在F检验中介绍的，通过原假设，F检验只能说明整体变量X与Y之间有关系，但是并不能说明某个⾃变量x是否与因变量y有关系，因此我们仍然需要t检验来判断每个⾃变量的显著性由⼀元线性回归的t检验进⾏推⼴：假若我们需要检验某个变量xi是否显著（即对应的回归系数bi 是否不为0），则可以⽣成原假设：（3）偏F检验事实上，即使是⼀元回归分析，我们也是可以使⽤F检验来判断回归⽅程的显著性，只是在⼀元回归分析中的t检验与F检验是完全等价的，⽽在多元回归分析中，则没有那么直接。
手把手带你入门回归分析,两个实例一学就会
干货手把手带你入门回归分析，两个实例一学就会导语为了确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系，参数及非参数检验都不好使。
这里就要用到回归分析。
这里介绍简单的线性回归和Logistic回归在SPSS中怎么去做。
除了资料相互之间进行比较的统计学方法外，临床研究中还存在另外一种情况：研究2组资料之间是否相互联系。
先看一个具体例子：12名大一女生体重与肺活量这里，如果我们想要研究肺活量是否随体重变化而变化，就要用到统计学上一种重要的统计方法：回归分析。
先看一个简单的方程式：?=a bx。
怎么样？象不象初中学的最简单的一次函数？其实，这就是最简单的一次函数。
只是统计学家们给它起了个高大上的名字：回归方程。
如果将两个事物的取值分别定义为变量x和y，x为自变量，y为因变量，即y 因为x的变化而变化。
在上面这个例子中，体重就是x，而肺活量就是y。
一般而言，回归分析的数据需要满足以下四个条件：1. 线性趋势：x和y的关系是线性的。
如果不是，则不能进行线性回归分析;2. 独立性：因变量y的取值相互独立，它们之间没有联系;3. 正态性：因变量y的取值呈正态分布;4. 方差齐性：因变量y的方差相同。
后两个条件其实没有这么重要。
一般的临床研究只是建立回归方程，探讨x和y的关系，后两个条件不用管它们。
那么如何判断x和y的关系是否是线性的呢？这就要用到另外一个重要的工具：散点图。
散点图就是数据（x，y）在直角坐标系上的分布图。
这其实也是初中代数的内容。
图1，图2和图3都有明显的线性关系。
只不过图1，图2是直线，图3是曲线。
而图4却杂乱无章，不成线性关系。
所以，判断x和y的关系是否是线性关系就是做散点图。
现在市面上的统计学软件，比如SPSS，都可以做散点图和计算回归方程。
我们只要输入一系列x值和y值。
结果会输出a值和b值。
就形成了一个回归方程。
上面那个例子：?=0.000419 0.058826x。
这里，如果b﹥0，则y随着x的增大而增大，反映在散点图上，就是一条斜向上的直线；如果b﹤0，则y随着x的增大而减小，反映在散点图上，就是一条斜向下的直线。
数据分析中的回归分析方法及应用案例
数据分析中的回归分析方法及应用案例数据分析是当今社会中必不可少的一个行业，随着技术的迅速发展和互联网的普及，数据分析在各类行业中得到了越来越广泛的应用。
而回归分析则是数据分析中经常使用的一种方法，用来确定一个或多个变量与某个特定结果变量之间的关系。
一、回归分析的基本原理回归分析是一种统计学上的方法，主要用于探究因变量与自变量之间的关系，并预测因变量的值。
在回归分析中，因变量通常被称为“响应变量”或“目标变量”，而自变量则被称为“预测变量”。
回归分析通过数据建立一个数学模型，以预测因变量的值。
该模型的形式取决于所用的回归类型，例如，线性回归模型是最常用的一种类型，它基于一系列自变量来预测因变量。
线性回归模型的基本形式如下：y = a + bx其中，y表示因变量的值，a和b分别是回归方程的截距和行斜率，x是自变量的值。
二、应用案例1.房价预测房价预测是回归分析的一个经典案例，通过分析房价与各种因素之间的关系，建立一个回归模型以预测房价。
这些因素包括房屋的面积、建造年份、地理位置等等。
在这种情况下，房价是因变量，而这些因素则是自变量。
2.市场销售预测回归分析也可以用于市场销售预测。
在这种情况下，预测变量可能是广告预算、营销策略等等。
通过回归分析进行预测，就可以在市场竞争中更加有效地规划营销策略。
3.贷款违约率预测在贷款业务中，银行经常使用回归分析预测贷款违约率。
在这种情况下，预测变量可能包括借款人的信用评级、负债率等等。
通过回归分析预测违约率，可以对借款者进行个性化评估，同时也可以确保银行的风险控制。
三、结论回归分析是数据分析中非常重要的一个方法，它可以用来探究各种因素与因变量之间的关系，并预测因变量的值。
而在实践中，回归分析的应用非常广泛，从房价预测到市场营销，再到贷款业务中的风险控制，都可以进行有效的预测与规划。
因此，回归分析在当今社会中的地位和重要性是不可替代的。
回归分析之理解和实例
回归分析
◆回归分析概述
●功能：回归分析是研究一个变量（即因变量）（或多
个变量）对于一个或多个其他变量（即解释变量）的 依存关系，并用数学模型加以模拟，目的在于根据已知
的或在多次重复抽样中固定的解释变量之值，估计、预 测因变量的总体平均值
◆涵义：一般地，把在研究回归模型时所采用的估计、
本例子选择“Model fit”项。
6）绘图选项
在主对话框单击“Plots”按钮，将打开如图所示的对话 框窗口。该对话框用于设置要绘制的图形的参数。图 中的“X”和“Y”框用于选择X轴和Y轴相应的变量。
左上框中各项的意义分别为：
“DEPENDNT”因变量。
“ZPRED”标准化预测值。
“ZRESID”标准化残差。
多重共线性的对策
增大样本量（不太可能） 多种自变量筛选方法结合（选择最优方程） 人为去除次要变量（定性分析为较次要，或无需分析） 主成分回归分析（提取因子作为影响因素）
多元回归应用实例
某地区病虫测报站用相关系数法选取了以下4 个预报因子；
x1为最多连续10天诱蛾量(头)； x2为4月上、中旬百束小谷草把累计落卵量(块
1）准备分析数据
在SPSS数据编辑窗口中，创建“年份”、“蛾量”、“卵量”、“降水量”、“ 雨日”和“幼虫密度”变量，并输入数据。再创建蛾量、卵量、降水量、 雨日和幼虫密度的分级变量“x1”、“x2”、“x3”、“x4”和“y”，它们对应的 分级数值可以在SPSS数据编辑窗口中通过计算产生。
单击SPSS主菜单的“Analyze”下的“Regression” 中“Linear”项，将打开线性回归过程窗口。
②“Include constant in equation”选择此项表示在 回归方程中有常数项。
回归分析方法应用实例
4、回归分析方法应用实例在制定运动员选材标准时，理论上要求先对不同年龄的运动员，各测试一个较大的样本，然后，计算出各年龄的平均数、标准差，再来制定标准。
但是，在实际工作中，有时某些年龄组不能测到较大的样本。
这时能不能使用统计的方法，进行处理呢？我们遇到一个实例。
测得45名11至18岁男田径运动员的立定三级跳远数据。
其各年龄组人数分布如表一。
由于受到许多客观因素的限制，一时无法再扩大样本，因此决定使用统计方法进行处理。
第一步，首先用原始数据做散点图，并通过添加趋势线，看数据的变化趋势是否符合随年龄增长而变化的趋势，决定能否使用回归方程制定标准。
如果趋势线不符合随年龄增长而变化的趋势，或者相关程度很差就不能用了。
本例作出的散点图如图1，图上用一元回归方法添加趋势线，并计算出年龄和立定三级跳远的：一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X相关系数 r＝0.7945（P<0.01）由于从趋势线可以看出，立定三级跳远的成绩是随年龄增加而逐渐增加，符合青少年的发育特点。
而且, 相关系数r＝0.7945，呈高度相关。
因此，可以认为计算出的一元回归方程，反映了11至18岁男运动员年龄和立定三级跳远成绩的线性关系。
决定用一元回归方程来制定各年龄组的标准。
第二步，用一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 推算出各年龄的立定三级跳远回归值，作为各年龄组的第2等标准。
第三步，用45人的立定三级跳远数据计算出标准差为：0.8271。
由于在正态分布下，如把平均数作为标准约有50%的人可达到标准，用平均数-0.25标准差制定标准则约有60%的人可达到，用平均数+0.25、+0.52、+0.84标准差制定标准约有40%、30%、20%的人可达到标准。
本例用各年龄组回归值-0.25标准差、+0.25标准差、+0.52标准差、+0.84标准差计算出1至5等标准如表2、图2。
2、应用方差分析方法进行数据统计分析的研究。
实用回归分析案例
实用回归分析案例参与者:李庆春汪园芳马方方贺芳张玲改革开放多年来，中国经济高速增长。
如此高速增长其原因是多方面的。
不同学者都有各自观点，大致说来有关经济增长因素的研究可以分为三类，第一类是传统经济学理论，认为劳动力、资本和技术进步是推动经济发展的主要力量，一切经济发展都得归集为这三种经济因素的贡献。
第二类是从制度的角度考虑经济发展，认为完善的经济制度可以使经济资源得到合理配置，促进经济增长。
第三类是从国际贸易的角度来考虑经济增长，强调外贸、外资在经济增长过程中重要作用，认为世界经济紧密联系，市场国际化是经济发展原动力。
我们今天探索经济增长因素结构，运用计量手段通过回归分析建立数学模型，对经济增长因素进行分析研究。
为了进一步的分析经济增长因素的结构,在这里我们主要研究国内产值(Y) 与物质资本(X1)、人力资本（X3）、劳动要素(X2)、知识资本（X4）的关系；为此，我们找来如下数据：一：指标来源国内产值（GDP）以《2006年中国统计年鉴》上的国内生产总值来反映；劳动要素（L）的投入用《2006年中国统计年鉴》上获得的就业总人数来反映，物质资本投入（K）采用《2006年中国统计年鉴》上的固定资产投资额来计算；知识资本（RD）采用《2006年中国统计年鉴》中科学研究试验费用来反映；人力资本（HC）一般用劳动者受教育的程度来反映，其大小等于在某个时期劳动者获得这样的教育水平所需要的国家教育投资，本文以《2006中国统计年鉴》中国家财政性教育经费来反映二：回归分析：由以上可知，此模型的因变量为国内生产总值（Y），自变量为X1、X2、X3、X4;对他们做线性分析，计算增广矩阵如下：从增广矩阵可以看出Y与X1、X2、X4有显性的线性关系。
因此对他们做线性分析是合理的，Y与X3有负线性关系，由于在现实世界里，影响经济的因素很多，所以我们对模型做进一步分析，得到如下的结果：Ⅰ）模型的参数估计：从以上计算结果可以看出，1）回归方程为：y=-378310.556+1.3X1+6.19X2-4.702X3+2.340 X42)复相关系数R=1,决定系数为0.999，由决定系数看回归方程显著；3）方差分析表，F=1580，P值=0.000，表明回归方程高度显著，说明X1,X2,X3,X4整体上对Y有高度显著地线性影响；4）回归系数的显著性检验：X1，X2对Y 具有显著影响，从P可以看出X3，X4对Y 没有显著影响；用后退法分别剔除X3、X4。
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§4 逐步回归分析１、逐步回归分析的主要思路在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除)。
相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。
将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。
接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。
２、逐步回归分析的主要计算步骤(1) 确定检验值在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。
检验水平要根据具体问题的实际情况来定。
一般地, 为使最终的回归方程中包含较多的变量,水平不宜取得过高, 即显著水平α不宜太小。
水平还与自由度有关, 因为在逐步回归过程中, 回归方程中所含的变量的个数不断在变化, 因此方差分析中的剩余自由度也总在变化, 为方便起见常按计算自由度。
为原始数据观测组数,为估计可能选人回归方程的变量个数。
例如, 估计可能有2～3个变量选入回归方程, 因此取自由度为15-3-1＝11, 查分布表, 当α＝0.1, 自由度,时, 临界值, 并且在引入变量时, 自由度取,,检验的临界值记, 在剔除变量时自由度取,,检验的临界值记, 并要求, 实际应用中常取。
(2) 逐步计算如果已计算步(包含＝0), 且回归方程中已引入个变量, 则第步的计算为:()计算全部自变量的贡献(偏回归平方和)。
()在已引入的自变量中, 检查是否有需要剔除的不显著变量。
这就要在已引入的变量中选取具有最小值的一个并计算其值, 如果, 表示该变量不显著, 应将其从回归方程中剔除, 计算转至()。
如则不需要剔除变量, 这时则考虑从未引入的变量中选出具有最大值的一个并计算值, 如果, 则表示该变量显著, 应将其引人回归方程, 计算转至()。
如果, 表示已无变量可选入方程, 则逐步计算阶段结束, 计算转人(3)。
()剔除或引人一个变量后, 相关系数矩阵进行消去变换, 第步计算结束。
其后重复()～()再进行下步计算。
由上所述, 逐步计算的每一步总是先考虑剔除变量, 仅当无剔除时才考虑引入变量。
实际计算时, 开头几步可能都是引人变量, 其后的某几步也可能相继地剔除几个变量。
当方程中已无变量可剔除, 且又无变量可引入方程时, 第二阶段逐步计算即告结束, 这时转入第三阶段。
(3) 其他计算, 主要是计算回归方程入选变量的系数、复相关系数及残差等统计量。
逐步回归选取变量是逐渐增加的。
选取第个变量时仅要求与前面己选的-1个变量配合起来有最小的残差平方和, 因此最终选出的个重要变量有时可能不是使残差平方和最小的个, 但大量实际问题计算结果表明, 这个变量常常就是所有个变量的组合中具有最小残差平方和的那一个组合, 特别当不太大时更是如此, 这表明逐步回归是比较有效的方法。
引人回归方程的变量的个数与各变量贡献的显著性检验中所规定的检验的临界值与的取值大小有关。
如果希望多选一些变量进人回归方程, 则应适当增大检验水平α值, 即减小的值, 特别地, 当时, 则全部变量都将被选入, 这时逐步回归就变为一般的多元线性回归。
相反, 如果α取得比较小, 即与取得比较大时, 则入选的变量个数就要减少。
此外, 还要注意, 在实际问题中, 当观测数据样本容量较小时, 入选变量个数不宜选得过大, 否则被确定的系数的精度将较差。
多元回归分析经典例子的计算均匀设计的数据处理多采用回归分析方法, 以下是均匀设计版本3.00的“数据建模分析”模块对部分回归分析经典例子的计算结果, 这些计算采用与经典例子相同的回归分析方法, 所得结果与经典例子中给出的结果是相同的。
均匀设计版本3.00提供的四种回归分析方法和计算的例子如下:全回归法计算的例子和结果例１高磷钢的效率()与高磷钢的出钢量()及高磷钢中的含量()有关, 所测数据如表１, 请用线性回归模型拟合上述数据。
出钢量()含量()效率()注: 本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》, 化学工业出版社, 1989年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 效率单位: ?因素１名称: 出钢量单位: ?因素２名称: FeO含量单位: ?------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.10拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2)回归系数 b(i):b(0)＝ 74.6b(1)＝ 0.213b(2)＝-0.790标准回归系数 B(i):B(1)＝ 0.678B(2)＝-0.340复相关系数Ｒ＝0.6770决定系数Ｒ^2＝0.4583修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4090回归方程显著性检验:变量分析表样本容量Ｎ＝13, 显著性水平α＝0.10, 检验值Ｆt＝4.230, 临界值Ｆ(0.10,2,10)＝2.924, Ｆt＞Ｆ(0.10,2,10), 回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝3.91回归系数检验值:ｔ检验值(df＝10):ｔ(1)＝ 2.818ｔ(2)＝-1.412Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10):Ｆ(1)＝ 7.940Ｆ(2)＝ 1.993偏回归平方和 U(i):U(1)＝121U(2)＝30.4偏相关系数ρ(i):ρ1,2＝ 0.6653ρ2,1＝-0.4077各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):U(1)＝121, U(1)/U＝93.9%U(2)＝30.4, U(2)/U＝23.6%第２方程项[Ｘ(2)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:检验值Ｆ(2)＝1.993, 临界值Ｆ(0.10,1,10)＝3.285,Ｆ(2)≤Ｆ(0.10,1,10), 此因素(方程项)不显著。
残差分析:残差分析表------------------ 回归分析结束 ------------------全回归法建立的回归方程为, 在显著性水平α＝0.10上是显著的, 第二因素()在显著性水平α＝0.10上不显著。
例２某种产品的得率()与反应温度()、反应时间()及某反应物的浓度()有关, 现得如表２所示的试验结果, 设与、和之间成线性关系, 试建立与、和之间的三元线性回归方程, 并判断三因素的主次。
反应温度()反应时间()反应物浓度()得率()注: 本例子引自李云雁胡传荣编著,《试验设计与数据处理》, 化学工业出版社, 2005年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 得率单位: %因素１名称: 反应温度单位: ℃因素２名称: 反应时间单位: h因素３名称: 反应物浓度单位: %------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.01拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3)回归系数 b(i):b(0)＝ 2.19b(1)＝ 4.88e-2b(2)＝ 6.38e-2b(3)＝ 1.31标准回归系数 B(i):B(1)＝ 0.316B(2)＝ 0.413B(3)＝ 0.850复相关系数Ｒ＝0.9965决定系数Ｒ^2＝0.9929修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9901回归方程显著性检验:变量分析表样本容量Ｎ＝８, 显著性水平α＝0.01, 检验值Ｆt＝187.0, 临界值Ｆ(0.01,3,4)＝16.69, Ｆt＞Ｆ(0.01,3,4), 回归方程显著。
剩余标准差ｓ＝0.184回归系数检验值:ｔ检验值(df＝4):ｔ(1)＝ 7.506ｔ(2)＝ 9.815ｔ(3)＝ 20.21Ｆ检验值(df1＝1, df2＝4):Ｆ(1)＝ 56.33Ｆ(2)＝ 96.33Ｆ(3)＝ 408.3偏回归平方和 U(i):U(1)＝1.90U(2)＝3.25U(3)＝13.8偏相关系数ρ(i):ρ1,23＝ 0.9663ρ2,13＝ 0.9799ρ3,12＝ 0.9951各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):U(3)＝13.8, U(3)/U＝72.8%U(2)＝3.25, U(2)/U＝17.2%U(1)＝1.90, U(1)/U＝10.0%第１方程项[Ｘ(1)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:检验值Ｆ(1)＝56.33, 临界值Ｆ(0.01,1,4)＝21.20,Ｆ(1)＞Ｆ(0.01,1,4), 此方程项显著。
残差分析:残差分析表------------------ 回归分析结束 ------------------得率()与反应温度()、反应时间()及某反应物的浓度()之间具有非常显著的线性相关关系(在显著性水平α＝0.01上显著)。
由偏回归平方和的大小得知三因素的主次顺序为。
后退法计算的例子和结果例３研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况, 得到表１所示的18组数据。
其中为土壤中所含无机磷浓度, 为土壤中溶于溶液并被溴化物水解的有机磷, 为土壤中溶于但不溶于溴化物的有机磷, 为栽在20℃土壤中的玉米内的可给态磷, 请建立它们的相关关系。
注: 本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》, 化学工业出版社, 1989年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):指标名称: 可给态磷单位: ppm因素１名称: 无机磷浓度单位: ppm因素２名称: K2CO3+Br 单位: ppm因素３名称: K2CO3-Br 单位: ppm------------------- 多元回归分析 -------------------回归分析采用后退法, 显著性水平α＝0.05拟建立回归方程:ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3)回归系数 b(i):b(0)＝ 43.7b(1)＝ 1.78b(2)＝-8.34e-2b(3)＝ 0.161标准回归系数 B(i):B(1)＝ 0.671B(2)＝-4.21e-2B(3)＝ 0.273复相关系数Ｒ＝0.7412决定系数Ｒ^2＝0.5493修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4893回归方程显著性检验:变量分析表样本容量Ｎ＝18, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝5.689, 临界值Ｆ(0.05,3,14)＝3.344, Ｆt＞Ｆ(0.05,3,14), 回归方程显著。