第六章回归分析
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第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
最新应用回归分析-第6章课后习题参考答案
第6章多重共线性的情形及其处理思考与练习参考答案6.1 试举一个产生多重共线性的经济实例。
答：例如有人建立某地区粮食产量回归模型，以粮食产量为因变量Y，化肥用量为X1，水浇地面积为X2，农业投入资金为X3。
由于农业投入资金X3与化肥用量X1，水浇地面积X2有很强的相关性，所以回归方程效果会很差。
再例如根据某行业企业数据资料拟合此行业的生产函数时，资本投入、劳动力投入、资金投入与能源供应都与企业的生产规模有关，往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。
6.2多重共线性对回归参数的估计有何影响？答：1、完全共线性下参数估计量不存在；2、近似共线性下OLS估计量非有效；3、参数估计量经济含义不合理；4、变量的显著性检验失去意义；5、模型的预测功能失效。
6.3 具有严重多重共线性的回归方程能不能用来做经济预测？答：虽然参数估计值方差的变大容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。
但如果利用模型去做经济预测，只要保证自变量的相关类型在未来期中一直保持不变，即使回归模型中包含严重多重共线性的变量，也可以得到较好预测结果；否则会对经济预测产生严重的影响。
6.4多重共线性的产生于样本容量的个数n、自变量的个数p有无关系？答：有关系，增加样本容量不能消除模型中的多重共线性，但能适当消除多重共线性造成的后果。
当自变量的个数p较大时，一般多重共线性容易发生，所以自变量应选择少而精。
6.5 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造设计矩阵X才可能避免多重共线性的出现？答：请参考第三次上机实验题——机场吞吐量的多元线性回归模型，注意利用二手数据很难避免多重共线性的出现，所以一般利用逐步回归和主成分回归消除多重共线性。
如果进行自己进行试验设计如正交试验设计，并收集数据，选择向量使设计矩阵X 的列向量（即X 1，X 2， X p ）不相关。
6.6对第5章习题9财政收入的数据分析多重共线性，并根据多重共线性剔除变量。
第6章 相关与回归分析习题解答
第六章 相关与回归分析思考与练习一、判断题1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。
答：错。
应是相关关系。
单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。
2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。
答：.错。
相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。
3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。
答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。
4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。
答：错。
两者是精确的函数关系。
5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。
答：对。
6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。
答：对。
因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。
二、选择题1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、da.正相关；b. 不相关；c. 完全相关；d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：aa. 10≤≤R ；b.11≤≤-R ；c.1≤≤∞-R ；d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、da.22R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102≤≤R ；d.比2R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、da 样本容量；b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差c 自变量预测误差；d 随机误差项的方差三、问答题1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。
答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。
然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。
第六章 多元回归分析
2
可决系数
ESS RSS R 1 TSS TSS
2
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使 得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和 与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除 变量个数对拟合优度的影响:
[ RSS ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ Fk ,n1 n2 2 k ( RSS1 RSS2 ) /(n1 n2 2k )
例6-1：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域
面积＝0.95
面积＝0.05
0 2.76 拒绝区域
例6-2：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型：
6.2 参数的最小二乘估计
拟合值和残差的重要性质
（1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合
值与残差之间的样本协方差也为0；
（3）点( X 2 , X 3 ,
, X k , Y ) 总位于OLS回归线上；
ˆ ˆ X ˆX Y 1 2 2 3 3
（i=2，3…k）
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0： 2=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F
e
2 ˆ y i 2 i
n2 ˆ 2
e
ˆ 2 x2 2 i
2 i2) xi2
ˆX k k
随机误差项的均值为0，方差的估计量为：
ee ˆ nk
2
6.3 最小二乘估计量的性质
第六章相关与回归分析
3. 有总体相关系数与样本相关系数之分：
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
6.1第六章回归分析
第六章 回归分析
变量之间的联系
确定型的关系：指某一个或某几个现象的变动必然会 引起另一个现象确定的变动，他们之间的关系可以使 用数学函数式确切地表达出来，即y=f(x)。当知道x的 数值时，就可以计算出确切的y值来。如圆的周长与 半径的关系：周长=2πr。 非确定关系：例如，在发育阶段，随年龄的增长，人 的身高会增加。但不能根据年龄找到确定的身高，即 不能得出11岁儿童身高一定就是1米40公分。年龄与 身高的关系不能用一般的函数关系来表达。研究变量 之间既存在又不确定的相互关系及其密切程度的分析 称为相关分析。
（3）方差齐性检验
方差齐性是指残差的分布是常数，与预测变量或 因变量无关。即残差应随机的分布在一条穿过0点 的水平直线的两侧。在实际应用中，一般是绘制 因变量预测值与学生残差（或标准化残差）的散 点图。在线性回归Plots对话框中的源变量表中,选 择SRESID或ZRESID（学生氏残差或标准化残差） 做Y轴；选择ZPRED（标准化预测值）做X轴就 可以在执行后的输出信息中显示检验方差齐性的 散点图。
要认真检查数据的合理性。
2、选择自变量和因变量
3、选择回归分析方法
Enter选项，强行进入 法，即所选择的自变量 全部进人回归模型，该
选项是默认方式。
Remove选项，消去法， 建立的回归方程时，根
据设定的条件剔除部分
自变量。
选择回归分析方法
Forward选项，向前选择 法，根据在option对话框中 所设定的判据，从无自变 量开始。在拟合过程中， 对被选择的自变量进行方 差分析，每次加入一个F值 最大的变量，直至所有符 合判据的变量都进入模型 为止。第一个引入归模型 的变量应该与因变量间相 关系数绝对值最大。
得到它们的均方。
变量之间的联系
确定型的关系：指某一个或某几个现象的变动必然会 引起另一个现象确定的变动，他们之间的关系可以使 用数学函数式确切地表达出来，即y=f(x)。当知道x的 数值时，就可以计算出确切的y值来。如圆的周长与 半径的关系：周长=2πr。 非确定关系：例如，在发育阶段，随年龄的增长，人 的身高会增加。但不能根据年龄找到确定的身高，即 不能得出11岁儿童身高一定就是1米40公分。年龄与 身高的关系不能用一般的函数关系来表达。研究变量 之间既存在又不确定的相互关系及其密切程度的分析 称为相关分析。
（3）方差齐性检验
方差齐性是指残差的分布是常数，与预测变量或 因变量无关。即残差应随机的分布在一条穿过0点 的水平直线的两侧。在实际应用中，一般是绘制 因变量预测值与学生残差（或标准化残差）的散 点图。在线性回归Plots对话框中的源变量表中,选 择SRESID或ZRESID（学生氏残差或标准化残差） 做Y轴；选择ZPRED（标准化预测值）做X轴就 可以在执行后的输出信息中显示检验方差齐性的 散点图。
要认真检查数据的合理性。
2、选择自变量和因变量
3、选择回归分析方法
Enter选项，强行进入 法，即所选择的自变量 全部进人回归模型，该
选项是默认方式。
Remove选项，消去法， 建立的回归方程时，根
据设定的条件剔除部分
自变量。
选择回归分析方法
Forward选项，向前选择 法，根据在option对话框中 所设定的判据，从无自变 量开始。在拟合过程中， 对被选择的自变量进行方 差分析，每次加入一个F值 最大的变量，直至所有符 合判据的变量都进入模型 为止。第一个引入归模型 的变量应该与因变量间相 关系数绝对值最大。
得到它们的均方。
概率论 高等院校概率论课件JXHD6-1
第六章回归分析回归分析是研究变量间相关关系的一个统计分支，它主要解决以下面几个问题：（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预测或控制可达到什么样的精确度；（3）进行因素分析，在共同影响一个变量的许多变量(因素)之间找出哪些因素重要，哪些因素次要，这些因素之间有什么关系等。
回归分析一元线性回归多元线性回归逐步回归非线性回归与回归诊断一元线性回归建立模型参数估计显著性检验预测预报一.建立模型引例1.一个作匀速直线运动的质点，在时刻t 的位置是S ，则S a bt =+,其中 a 为质点在t =0时刻的初始位置,b 为平均速度。
观测到的数据是ε+=s y ,其中ε是随机误差（测量误差）。
于是我们有ε+=s y ε++=bt a （6-1） 其中t 是非随机的，ε是随机的，通常认为E ε=0，显然y 也是随机的。
为了估计a 、b ，现在 n 个不同时刻作观察，得n 组观察值)(i i y t ，n i ,21 ，，=。
即 y i =i i bt a ε++ (i n =12，，， )用向量矩阵形式表示如下：εβ+=X Y 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n εεεε 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t t t X 21111，⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a β。
问题:如何利用Y X 、的观测值来估计参数a 、b ，进一步预测未来时刻t 质点的位置。
引例2.在硝酸钠（3NaNO ）的溶解度试验中，测得在不同温度C X 0下溶解于100份水中的硝酸钠份数y 数据见下表:x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68y i 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125试找出X 与Y 之间的关系。
图6-1bx a +εy =+(6-2)20406080100120140020406080 Y X =+βε 问题：如何利用观测值来估计参数a 、b ，从而确定y 与x 的近似线性关系。
第六章非线性回归分析预测法
某商店商品流通率与商品零售额资料
年份 零售额 x 流通费率 y 1991 10.2 7 1992 11.7 6.2 1993 13 5.8 1994 15 5.3 1995 16.5 5 1996 19 4.8 1997 22 4.6 1998 25 4.3 1999 28.5 4.2 2000 32 4.1
变量变换后的回归模型为
' ˆ y 2.64459 41.9742x
而
故
1 x x 1 ˆ 2.64459 41.9742 y x
'
§6.2 非线性回归模型应用
用原变量表示的回归模型为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y x 预测：2001年该商品零售额为36.33进
2001年流通费用率预测为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y 3.79946 36 .33
§6.2 非线性回归模型应用
三、不能化为线性回归的非线性回归的处理 一般用分段求和法
§5.2
多元线性回归预测法
二、检验模型 本例： m ＝3， n ＝10，取检验水平为0.05
F0.05 (m 1, n m) F0.05 (2,7) 4.74
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 2.64459 0.12936 20.4443 3.4E-08 2.34629 X Variable 41.9742 1 2.05571 20.4183 3.5E-08 37.2337
§6.2 非线性回归模型应用
而 P 0.000276 满足 F F (m 1, n m) 或 P 故线性关系显著
F 32.874
年份 零售额 x 流通费率 y 1991 10.2 7 1992 11.7 6.2 1993 13 5.8 1994 15 5.3 1995 16.5 5 1996 19 4.8 1997 22 4.6 1998 25 4.3 1999 28.5 4.2 2000 32 4.1
变量变换后的回归模型为
' ˆ y 2.64459 41.9742x
而
故
1 x x 1 ˆ 2.64459 41.9742 y x
'
§6.2 非线性回归模型应用
用原变量表示的回归模型为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y x 预测：2001年该商品零售额为36.33进
2001年流通费用率预测为
1 ˆ 2.64459 41.9742 y 3.79946 36 .33
§6.2 非线性回归模型应用
三、不能化为线性回归的非线性回归的处理 一般用分段求和法
§5.2
多元线性回归预测法
二、检验模型 本例： m ＝3， n ＝10，取检验水平为0.05
F0.05 (m 1, n m) F0.05 (2,7) 4.74
Coefficients 标准误差 t Stat P-valueLower 95% Intercept 2.64459 0.12936 20.4443 3.4E-08 2.34629 X Variable 41.9742 1 2.05571 20.4183 3.5E-08 37.2337
§6.2 非线性回归模型应用
而 P 0.000276 满足 F F (m 1, n m) 或 P 故线性关系显著
F 32.874
06第六章 相关与回归分析
3 r — 只是对线性相关关系的 度量 。
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
17
2.2 相关系数的特征及判别标准
2. 相关关系密切程度的划分 — 无直线相关； 1 r 0 . 3 2 0 . 3 r 0 . 5 — 低度相关； 3 0 . 5 r 0 . 8 — 显著相关 — 高度相关 4 r 0 . 8
2
y y
0.1017 0.00937 0.0827 0.0677 -0.0143 0.0207 -0.0373 -0.0913 -0.0763 -0.1453
y y x x y y
2
0.01034289 0.00877969 0.00651249 0.00458329 0.00020449 0.00042849 0.00139129 0.00833567 0.00582169 0.02111209
ˆ yi
x n ，y n
残差平方和
Q x1 ，y1
0
2014-3-30
y
i
ˆ yi
2
2 ˆ ˆ yi yˆ y ！！！ β0 β2 xi i i — 1最小的直线
x
第六章 相关与回归分析
29
3.2 一元线性回归模型的参数估计
最小二（平方）乘法：
别 自、因变量—随机变量 因变量是随机变量
2014-3-30
第六章 相关与回归分析
12
1.5 相关分析与回归分析的关系
注意：
1. 进行相关和回归分析时要坚持定性分
析和定量分析相结合的原则，在定性 分析的基础上开展定量分析。
2. 只有当变量间存在高度相关时，才进
第六章相关与回归分析
80 可支配收
60
入
18 25 45 60 62 75 88 92 99 98
40
20
0
0
20
40
60
80
可支配收入
2019/8/7
10
如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量 的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
任务二 进行相关分析
2.1 相关关系的测定 2.2 相关系数 2.3 相关系数的特点
2.1 相关关系的测定 P189
1. 单相关系数的定义 X 、Y 的协方差
总体 相关系数：
CovX ，Y VarX VarY
样本
r
X
的标准n1差
x x Yy的 标y 准差
相关系数：
1
n
xx
2
1 n
y y
2
2019/8/7
13
2.2 相关系数 P222
120
100
80
60
300
400
500
600
700
800
2019/8/7
人均 收入
900
5
1.2 相关关系的种类 P188
分类标志
类别
相关程度 完全相关 不完全相关 不相关
相关方向 正相关 负相关
相关形式 线性相关 非线性相关
变量多少 单相关 复相关 偏相关
2019/8/7
6
1.3 相关分析和回归分析 P189 相关分析 — 用一个指标来表明现象间相
互依存关系的密切程度。
相关系数 r
r
较大 — 现象间依存关系强
实验数据分析方法_回归分析
0.10
0.9877 0.9000 0.8054 0.7293 0.6694 0.6215 0.5822 0.5494 0.5214 0.4973 0.4762 0.4575 0.4409 0.4259 0.4124 0.4000 0.3887 0.3783 0.3687 0.3598 0.3233 0.2960 0.2746 0.2573 0.2428 0.2306 0.2108 0.1954 0.1829 0.1726 0.1638
上式右边第二项是回归值ŷ与平均值 y 之差的平方和，我们
称它为回归平方和，并记为U： U (y ˆ k y ) 2 ( b 0 b x k b 0 b x ) 2
k
b2 (xkx)2.
— 可以看出，回归平方和U是由于x的变化而引起的。因
此U反映了在y的总的变化中由于x和y的线性关系而引起
解之可得:
b
xkyk
xk yk N
(xk x)(yk y)
xk2N 1( xk)2
(xk x)2
b0N 1( ykb xk)ybx,
实验数据分析方法_Chap.6
8
其中 1 N
1N
xNk1xk,
y Nk1
yk.
在给定参数估计值b, b0后，可得到相应的回归方程 (或回归函数)为: yˆ b0 bx.
0.05
0.9969 0.9500 0.8783 0.8114 0.7545 0.7067 0.6664 0.6319 0.6021 0.5760 0.5529 0.5324 0.5139 0.4973 0.4821 0.4683 0.4555 0.4438 0.4329 0.4227 0.3809 0.3494 0.3246 0.3044 0.2875 0.2732 0.2500 0.2319 0.2172 0.2050 0.1946
spss统计分析及应用教程-第6章 相关和回归分析课件PPT
实验二 偏相关分析
❖ 实验目的
准确理解偏相关分析的方法原理和使用前提； 熟练掌握偏相关分析的SPSS操作； 了解偏相关分析在中介变量运用方法。
实验二 偏相关分析
❖ 准备知识
偏相关分析的概念
在多元相关分析中，由于其他变量的影响，Pearson相关系数 只是从表面上反映两个变量相关性，相关系数不能真正反映两 个变量间的线性相关程度，甚至会给出相关的假想。因此，在 有些场合中，简单的Pearson相关系数并不是测量相关关系的 本质性统计量。当其他变量控制后，给定的任意两个变量之间 的相关系数叫做偏相关系数。偏相关系数才是真正反映两个变 量相关关系的统计量。
（3）点击“选项”按钮，见图，选择 零阶相关系数（也就是两两简单相关系 数，可以用与偏相关系数比较）。点击 “继续”按钮回到主分析框。点击“确 定”按钮。
❖ 实验结果
描述性统计分析
偏相关分析
实验三 简单线性回归分析
❖ 实验目的
准确理解简单线性回归分析的方法原理； 熟练掌握简单线性回归分析的SPSS操作与分析； 了解相关性与回归分析之间关系； 培养运用简单线性回归分析解决实际问题的能力。
实验二 偏相关分析
❖ 实验步骤
（1）在SPSSl7.0中打开数据文件6-2.sav，通过选择“文件— 打开”命令将数据调入SPSSl7.0的工作文件窗口 。
❖ 旅游投资数据文件
（2）从菜单上依次选择“分析-相关-偏相关”命令，打开其 对话框，如图所示。选择“商业投资”与“经济增长”作为相 关分析变量，送入变量框中；选择“游客增长率”作为控制变 量，用箭头送入右边的控制框中。
实验一 相关分析
❖ 实验内容
❖ 某大学一年级12名女生的胸围（cm）、肺活量（L）身 高（m）,数据见表6-1-1。试分析胸围与肺活量两个变 量之间相关关系。
统计学实验—SPSS与R软件应用与实例-第6章回归分析-SPSS
（2）计算简单相关系数，分析身高x、体 重z和肺活量y的之间是否存在直线相关关 系；
（3）计算偏相关系数，分析身高x、体重z 和肺活量y的之间的偏相关关系。
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
给定容量为n的一个样本 ，样本简单相关 系数（correlation coefficient）r的计算公 式如下
(6.9)
2019/8/8
yˆ0t2(n2)ˆ 11 nn(x(0x i xx )2)2 i1 《统计学实验》第6章回归分析
(6.10)
（1） 绘制变量散点图计算相关系数和一元 线性回归
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【菜单方式】
打开数据文件li6.2.sav 选择Graphs→Legacy Diaglogs→ Scatter/Dot →Simple Scatterplot 将y选入Y Axis，将x选入X Axis→点击OK，即
( 6 . 6 )
对于一元线性回归来说，有两种等价的方法，即 F检验和t检验。F检验的统计量为:
F SSR SSE/(n2)
(6.7)
t检验的统计量如下:
t
ˆ
ˆ 1
n
(xi x)2
i1
(6.8)
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
yˆ0t2(n2)ˆ 1 nn(x(0x ixx)2)2 i1
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【软件操作】
选择Analyze→Correlate→Partial 将身高x和肺活量y两个变量同时选入
Variables 再将控制变量体重z选入Controlling for中，
（3）计算偏相关系数，分析身高x、体重z 和肺活量y的之间的偏相关关系。
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
给定容量为n的一个样本 ，样本简单相关 系数（correlation coefficient）r的计算公 式如下
(6.9)
2019/8/8
yˆ0t2(n2)ˆ 11 nn(x(0x i xx )2)2 i1 《统计学实验》第6章回归分析
(6.10)
（1） 绘制变量散点图计算相关系数和一元 线性回归
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【菜单方式】
打开数据文件li6.2.sav 选择Graphs→Legacy Diaglogs→ Scatter/Dot →Simple Scatterplot 将y选入Y Axis，将x选入X Axis→点击OK，即
( 6 . 6 )
对于一元线性回归来说，有两种等价的方法，即 F检验和t检验。F检验的统计量为:
F SSR SSE/(n2)
(6.7)
t检验的统计量如下:
t
ˆ
ˆ 1
n
(xi x)2
i1
(6.8)
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【统计理论】
yˆ0t2(n2)ˆ 1 nn(x(0x ixx)2)2 i1
2019/8/8
《统计学实验》第6章回归分析
【软件操作】
选择Analyze→Correlate→Partial 将身高x和肺活量y两个变量同时选入
Variables 再将控制变量体重z选入Controlling for中，
第六章回归分析
2. 对每一个自变量都要单独进行检验 3. 应用 t 检验 4. 在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验
1. 提出假设
– H0： i = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： i 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
2. 计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策
▪ tt2，拒绝H0； t<t2，接受H0
异方差性
多元回归 中的问题
• 方差不齐性：随机误差项的方差不齐性 • 异方差性带来的问题： • 参数估计值不是有效的
– 参数的显著性检验失效 – 回归方程的应用效果极不理想 • 诊断：残差图分析法 • 处理方法：加权最小二乘法
误差等分散性假设： 特定X水平的误差，除了应呈随机
化的常态分布，其变异量也应相等，称为误差等分散性。
一元线性回归模型的假定
Yˆ1
f ( y) uY (x1)
E( ) 0
2 2 2
y ( x1)
y ( x2 )
y ( xi )
y
x0 x x1 x x2 x x3
Yˆ a bX
x
一元线性回归分析
共线性分析表
共线性问题
残差值统计量，包括预测值、残差值、 标准化预测值、标准化残差。观察是
否在三个标准差以内
满足残 差为正 态分布 的假设
Y值为预测值 的累积比率， X轴为观测值 的累积比率， 散点图最好呈 直线分布而满 残差为正态分
布的假设
Y轴为标准化残差，用于观测残差是否随因变量而变化， 如果随之发生变化，表明方差不齐性
2. 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和 (SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是 否显著 – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 – 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
生统：第六章一元回归及简单相关分析
S XX
17 . 92
a y b x 108 . 57 11 . 16 2 . 4 81 . 79
2回0归21方/6程/19：
Yˆ 81 . 79 11 . 16 X
20
• 图10-4为该例的散点图和回归线。
2021/6/19
21
• 例：下表为某品系小麦的穗长与穗重的数据，根据 表中数据求回归方程，并预测穗长40厘米的麦穗 重。
2021/6/19
6
2021/6/19
7
2021/6/19
8
图a和b两变量间关系是直线型，图c曲线型。图a的两个变 量关系较图b密切，且正向，图b负向。
散点图表示两个变量间关系的定性研究。
2021/6/19
9
P177-179
表10-1、图10-1单位叶面积干物质和NaCl含量之 间呈直线关系，点不完全在一直线上。 表10-2、图10-2增加每一NaCl含量下的观测次数， 取平均数做散点图基本为一直线。 实际中，不能进行多次的重复，在有限点上，用回 归方法将其理论关系推导出来。
间的关系。
2021/6/19
1
1、按两变量相关的程度分类
（1）完全相关：一变量的值定后，另一变量的值可 通过某公式求出来，即一个变量的值可由另一个变 量所完全决定。
（2）不相关：变量之间完全没有任何关系。一个变 量的值不能提供另一个变量的任何信息。
（3）统计相关(不完全相关) ：介于上述两种情况之
12
回归分析需满足以下假定：
(1) X 的任一观测值都对应着 一个 Y的分布，
Y ~ N （ X , 2） （2）随机误差 是给定 X ， Y的观测值与直
线 Y .X 的离差 , 是相互独立 , 且作正态分布。
第6章回归分析
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-13
表 6.3 初一男生身高、体重和肺活量偏相关系数表
Correlations
Control Variables
x 身高，cm y 肺活量，L
z 体重，kg x 身高，cm Correlation
1.000
.186
Significance (2-tailed)
《统计学》第3章参数估计
6-12
表 6.2 初一男生身高、体重和肺活量的相关系数表
Correlations
x 身高，cm z 体重，kg y 肺活量，L
x 身高，cm Pearson Correlation
1
.810**
.650**
Sig. (2-tailed)
.000
.006
z 体重，kg
N Pearson Correlation
y
ˆ1x
(6.12)
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-21
记回归残差 ei yi yˆi ，可以求得随机 误差项的方差的 LSE 为
n
ei2
ˆ 2 i1
n2
(6.15)
2019/7/30
《统计学》第3章参数估计
6-22
定理 6.1 在模型(6.8)下，最小二乘估计具有以下性质
nˆ0
nx ˆ1
ny
nx
ˆ0
n
xi2ˆ1
n
xi yi
i 1
i 1
(6.11)
方程组(6.11)称为正规方程组，解这个方程组容易求得
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经济与管理应用软件
②在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，打开 “数据分析”对话框如下图所示。
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③在“分析工具”列表中选择“回归”选项，单击 “确定”按钮，打开“回归”对话框如下图所示。
经济与管理应用软件
④在Y值输入区域中输入C1:C16。 ⑤在X值输入区域中输入B1:B16。
50 0
0
y = 5x + 60 R2 = 0.9027
5
10
15
20
25
30
经济与管理应用软件
回归分析中的工作表函数
? 截距函数INTERCEPT 功能：利用已知的 x 值与 y 值计算回归直线在y 轴 的截距。 语法结构： INTERCEPT(known_y's,known_x's)
? 斜率函数SLOPE 功能：返回根据 known_y‘和s known_x's 中的数据 点拟合的线性回归直线的斜率。 语法结构：SLOPE(known_y's,known_x's)
⑤在单元格B21中输入公式： “=STEYX(C2:C15,B2:B15)”，单击回车键。
⑥在单元格B22中输入公式： “=RSQ(C2:C15,B2:B15)”，单击回车键。
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6.3 回归分析工具
? 回归分析工具是通过对一组观察值使用“最小 平方法”进行直线拟合，以分析一个或几个自 变量对单个因变量的影响方向与影响程度的方 法。它是Excel中数据分析工具的一个内容。回 归分析的对话框如图5所示 。
⑥选择“标志”，置信度选择95%。 ⑦在“输出选项”中选择“输出区域”，在其右边的位置输入
“D1”，单击 “确定”按钮。输出结果如下图所示。
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回归分析工具的输出解释
Excel的回归分析工具计算简便 ,但内容丰富， 计算结果共分为三个模块： ? 回归统计表 ? 方差分析表 ? 回归参数
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操作过程：
①打开“饭店.xls”工作簿，选择“饭店” 工作表，如下图所示。
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②从“插入”菜单中选择“图表”选项，打开“图表向导”对话 框如下图所示。在“图表类型”列表中选择XY散点图，单击 “下一步”按钮。
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③在数据区域中输入 B2:C11，选择“系列产生在 —— 列”，如下图所示，单击“下一步”按钮。
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例 某房地产经纪人从政府部门列举的地 区中随机抽取了 15户居民作为样本， 记录了他们的家庭住房面积及其相应 的价格，他想确认一下住房面积（平 方米）与价格（千元）的关系，并想 据此拟合住房价格的回归方程。
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操作过程：
①打开“住房 .xls”工作簿，选择“住房”工作表如下图所 示。
②在单元格A19、A20、A21和A22中分别输入“截距 b0”、“斜率b1”、“估计标准误差”和“测定系 数” 。
③在单元格B19中输入公式： “=INTERCEPT(C2:C15,B2:B15)”，单击回车键。
④在单元格B20中输入公式： “=SLOPE(C2:C15,B2:B15)”，单击回车键。
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例 某企业希望确定其产品制造过程中的每
月成本支出与产量之间的关系，以制定 生产计划。试根据该企业选择历年的产 量(吨)和成本支出(千元)的样本，计算 上面四个函数值。
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操作过程：
①打开“成本产量.xls”工作簿，选择“成本产量”工作表， 如下图所示。
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1. 回归统计表
回归统计表包括以下几部分内容： ? Multiple R（复相关系数R）：R2的平方根，又称为相
关系数，它用来衡量变量x和y之间相关程度的大小。 上节例中：R为0.848466，表示二者之间的关系是 高度正相关。 ? R Square(复测定系数R2 )：用来说明用自变量解释因 变量变差的程度，以测量同因变量y的拟合效果。 上节例中：复测定系数为 0.719894，表明用自变量可 解释因变量变差的71.99%。
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第六章 Excel在回归分析中的应用
6.1 概述
? 现实世界中大多数现象表现为相关关系，人们 通过大量观察，将现象之间的相关关系抽象概 括为函数关系，并用函数形式或模型来描述与 推断现象间的具体变动关系，用一个或一组变 量的变化来估计与推算另一个变量的变化。这 种分析方法称为回归分析。
经济与管理应用软件
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⑦打开“类型”页面，选择“线性”选项， Excel将显示一条拟合数 据点的直线。
⑧打开“选项”页面如图 3所示，在对话框下部选择“显示公式”和 “显示R平方根”选项，单击“确定”按钮，便得到趋势回归图如 图4所示。
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250 200 150 100
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回归分析的主要内容
?回归参数估计 ?方程拟合效果评价 ?回归参数的推断
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6.2 图表分析与回归函数分析
例 近年来国家教育部决定将各高校的后勤社 会化。某从事饮食业的企业家认为这是一 个很好的投资机会，他得到十组高校人数 与周边饭店的季销售额的数据资料，并想 根据高校的数据RSQ 功能：返回根据 known_y‘和s known_x's 中数 据点 计算得出的 Pearson 乘积矩相关系数的平方。 语法结构：RSQ(known_y's,known_x's)
? 估计标准误差函数STEYX 功能：返回通过线性回归法计算 y 预测值时所产生 的标准误差。标准误差用来度量根据单个 x 变量计算出的 y 预测值的误差量。 语法结构：STEYX(known_y's,known_x's)
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④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如下图所 示。
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⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图所示。
250 200 150 100
50 0 0
5
10
15
20
25
30
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⑥如图1所示，用鼠标激活散点图，把鼠标放在任一数据点上，单击鼠标 右键，打开菜单，在菜单栏里选择“填加趋势线”选项，打开趋势线 对话框如图2所示。