不等式的性质(复习课)
第9章 不等式与不等式组 单元复习课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册
第9课时 《不等式与不等式组》单元复习
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或 式子),不等号的方向不变. (2)不等式的性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不 等号的方向不变. (3)不等式的性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不 等号的方向改变.
A.a－1＜b－1
B.－2a＞－2b
C.1a＋1＜1b＋1
2
2
D.ma＞mb
变式练习
8.(2021惠州模拟)已知x＞y,则下列不等式不成立的是( D )
A.x－6＞y－6
B.3x＞3y
C.－2x＜－2y
D.－3x＋6＞－3y＋6
9.【例2】不等式4x＋1＞x＋7的解集在数轴上表示正确的是 ( A)
3x＋86＞5(x-1) ,
3x＋86＜5(x-1)＋3
解得 44＜x＜45 1,
2
∵x为正整数,∴x＝45,∴3x＋86＝221. 答:该班有45名学生,本次一共种植221棵树.
12.关于 x 的不等式 3x－2a≤－2 的解集如图所示,则 a 的值
是
－1
2
.
4(x＋1)≤7x＋13,
13.解不等式组: x-4＜ ＞”填空:
(1)a＋2 ＞ b＋2;
(2)－4a ＜ －4b;
(3)a __＞___ b.
2
2
知识点二:解不等式 求不等式解集的过程称为解不等式.
2.利用不等式的性质解不等式3x＜2x＋1,得 x＜1 .
知识点三:解一元一次不等式 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)未知数的系 数化为1.在(1)~(5)的变形中,一定要注意不等号的方向是否需 要改变.
高考数学总复习 71 不等式的性质及解法课件 新人教B
(文)(2011·淄博统考)若 a＞0，b＞0，则不等式－b<1x
<a 等价于( )
A．－1b<x<0
或
1 0<x<a
B．－1a<x<b1
C．x<－1a或
1 x>b
D．x<－1b或
1 x>a
解析：由题意知 a>0，b>0，x≠0， (1)当 x>0 时，－b<1x<a⇔x>1a； (2)当 x<0 时，－b<1x<a⇔x<－b1. 综上所述，不等式－b<1x<a⇔x<－b1或 x>1a，故选 D.
答案：D
数的大小比较
[例 2] (1)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－ y2)(x＋y)的大小；
(2)设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
不等式复习教案人教版
- 不等式的性质：
- 性质1：不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等号的方向不变。
- 性质2：不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变。
- 性质3：不等式的两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变。
② 不等式的解法
- 重点知识点：解一元一次不等式、解不等式组、解含绝对值的不等式。
- 含绝对值不等式 |2x - 3| ≤ 1 的解集。
十．反思改进措施
（一）教学特色创新
1. 引入实际案例，激发学生学习兴趣：通过引入生活中的实际案例，如购物折扣、水池水量等，让学生感受到不等式的实际应用，提高学生的学习兴趣。
2. 分组讨论与合作，促进学生互动：通过分组讨论和合作解决问题的方式，鼓励学生之间相互交流和合作，促进学生的互动和团队合作能力。
3. 信息化资源：网络教学资源、数学软件、教育应用程序等。
4. 教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、投影展示等。
5. 教学辅助工具：数轴、不等式图形展示工具等。
6. 教学评价工具：习题、测验、课堂表现评估等。
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《不等式复习》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数大小的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索不等式的奥秘。
3. 不等式的解法
（1）解一元一次不等式：通过移项、合并同类项等步骤求解。
（2）解不等式组：分别解每个不等式，然后根据不等式的性质确定解集。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象 （a＞0） ax2+bx+c＞0 （a＞0）
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x 2、已知a≠b，解关于的不等式：
a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式
x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a x x b 0
ax b
b ( ＞a＞b＞0 ) a
＞0
2
=0
无实根
＜0
两相异实根
b b 4ac x 1 、2 = 2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
{x｜x＜x1或 {x｜x∈ R x＞x2 } 且X≠X1}
R
ax2+bx+c＜0 {X｜X1＜X （a＞0） ＜X2}
4、分式不等式的源自法x 0 （1）简单分式不等式的解法 如： 3 x
5、解关于x的不等式：
ax2-2(a+1)x+4＞0 6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7 (其中a≠0)
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
不等式的性质(复习课)
定理5 补充
若a＞b＞0 则n a ＞n b (n ∈N且 n＞1)
11
若a＞b且ab＞0 则 ＜
ab
定理：若a、b∈R，那么 a2+b2≥2ab （当且仅当a=b取“=”）
定理：如果是a、b正数，那么
a
2
b
≥
a b（当且仅当a=b取“=”）
（1） 两个定理中条件的区别 （2）两个定理的结构特征及应用 （3）要注意“=”的取到，事实上在“=”处是一种边界情况
v
2两火车的间距不得ຫໍສະໝຸດ 于 2 0 千米，那么这批物资全部到
达灾区最少需要 （ B ）小时
（A） 5 （B）10 （C）15 （D）20
；
安全柜 ；
之色/马开那双凌厉の眸子所过之处/这些人忍不住后退壹步/到最后开始溃败咯起来/马开就站在那里/以壹双眼睛/逼の这些人四处逃窜/这种威势/让为首の几佫人惊恐不已/就算荒原の最出名の凶人/都不可能凭借着目光让这些久经战斗の人溃败/可面前这佫少年做到咯/几佫人在见到马开目光落 在它们身上后/它们也再无战意/随着众人壹起逃离/钟薇见到这壹幕/忍不住向马开の侧脸/马开此刻の侧脸拾分坚毅/这种坚毅/让她の有些呆滞/感受到马开身体传来の温热/钟薇那绝美の脸蛋上/飘扬起无端の绯红/醉人美艳/"再坚持几滴/就能到器宗の实力范围咯/到时候/我们就安全咯/"马开背 着钟薇/对着她说道/"嗯/"钟薇点头道/"不过刀疤皇从那壹战后/就壹直没有出现/它见过你身上の不少好东西/肯定不会放过你/怕确定还有什么算计/它能有什么算计?无非确定找壹些强悍の人围杀我/"马开回答道/"它不来倒好/来の话先杀咯它/你不要轻敌/它见过你青莲の恐怖/要确定它还敢再来 /肯定会有把握/"钟薇对马开说道/&
高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法[自我校对]①含绝对值的不等式 ②比较法 ③综合法和分析法 ④反证法和放缩法值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．【例1】 (1)求函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值；(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，求y ＝1a ＋1b ＋1c的最小值．[精彩点拨] 根据条件，发现定值，利用基本不等式求最值． [规范解答] (1)y ＝52x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ＝52·x ·x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x . ∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，上式取等号．因此y max ＝4675.(2)y ＝1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c ，而b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取到等号，则y ≥9，即y ＝1a ＋1b ＋1c的最小值为9.1．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立.化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．1．公式法|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； |f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )． 2．平方法|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2. 3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．【例2】 解下列关于x 的不等式： (1)|x －x 2－2|>x 2－3x －4； (2)|x －2|－|2x ＋5|>2x .[精彩点拨] 去掉绝对值号，转化为没有绝对值的不等式求解．(1)x －x 2－2＝－x 2＋x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－74＜0；(2)通过分类讨论去掉绝对值． [规范解答] 法一：原不等式等价于x －x 2－2>x 2－3x －4或x －x 2－2<－(x 2－3x －4)，解得1－2<x <1＋2或x >－3，∴原不等式的解集为{x |x >－3}．法二：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2， ∴原不等式等价于x 2－x ＋2>x 2－3x －4⇔x >－3. ∴原不等式的解集为{x |x >－3}．(2)分段讨论：①当x <－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5>2x ，解得x <7，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5>2x ，解得x <－35.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x <－35. ③当x >2时，原不等式变形为x －2－2x －5>2x ， 解得x <－73，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－35.2．解不等式|x ＋1|＋|x |＜2.[解] 法一：当x ≤－1时，－x －1－x ＜2，解得－32＜x ≤－1；当－1＜x ＜0时，x ＋1－x ＜2，解得－1＜x ＜0； 当x ≥0时，x ＋1＋x ＜2，解得0≤x ＜12.因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法二：令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x ＜0)，－2x －3(x ＜－1).作函数f (x )的图象(如图)， 知当f (x )＜0时，－32＜x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法三：由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 法四：原不等式⇔0≤|x ＋1|＜2－|x |， ∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2， 即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2. ∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2， 解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12.次还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造函数法等，但这些方法不是孤立的，它们相互渗透、相辅相承，有的题可以有多种证法，而有的题目要同时用几种方法才能解决，因此我们在平时解题中要通过一题多解，一解多法的反复训练，加强对各种方法的区别与联系的认识，把握每种方法的长处和不足，从而不断提高我们分析问题和解决问题的能力．1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．【例3】 设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. [精彩点拨] 作差，变形，定号，下结论即可． [规范解答] 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． ∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0. 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．3．设实数a ，b ，c 满足等式①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2，试确定a ，b ，c 的大小关系．[解] 由②c －b ＝(a －2)2≥0，知c ≥b . 又①－②，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，故c ≥b >a .2．综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因寻果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．【例4】 已知a ，b ，c 均为正数，且互不相等，又abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.[精彩点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向，左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc ＜1b ＋1c 2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[规范解答] 法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .4．已知a ＞0，a 2－2ab ＋c 2＝0且bc ＞a 2，试证明：b ＞c . [证明] ∵a 2－2ab ＋c 2＝0， ∴a 2＋c 2＝2ab .又a 2＋c 2≥2ac ，且a ＞0，∴2ab ≥2ac ，∴b ≥c . 若b ＝c ，由a 2－2ab ＋c 2＝0，得a 2－2ab ＋b 2＝0，∴a ＝b .从而a ＝b ＝c ，这与bc ＞a 2矛盾． 从而b ＞c .【例5】 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10. 求证：log a c ＋log b c ≥4lg c .[精彩点拨] 本题采用综合法比较困难，可采用分析式法转化为同底的对数寻找方法． [规范解答] 由于a ＞1，b ＞1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ， 只要证明lg c lg a ＋lg clg b ≥4lg c .又c ＞1，故lg c ＞0，所以只要证1lg a ＋1lg b ≥4，即lg a ＋lg blg a lg b ≥4，因ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1， 只要证明1lg a lg b≥4.(*)由a ＞1，b ＞1，故lg a ＞0，lg b ＞0，所以0＜lg a lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即(*)式成立．所以，原不等式log a c ＋log b c ≥4lg c 得证．5．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， 求证：a ＋12＋b ＋12≤2.[证明] 要证a ＋12＋b ＋12≤2，只要证⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＋b ＋122≤4，即证a ＋b ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4. 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1，也就是要证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，即上式成立．故a ＋12＋b ＋12≤2.3．反证法和放缩法证明不等式证明不等式除了三种基本方法，还可运用反证法，放缩法等，若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明，若不等式较复杂，可将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明目的．【例6】 若a ，b ，c ，x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[精彩点拨] 在题目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的结论时，用直接法证明比较困难，往往采取反证法．[规范解答] 假设a ，b ，c 都不大于0， 则a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0， 由题设知，a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3， ∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根． [证明] 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立． 故方程f (x )＝0没有负数根．【例7】 求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n ＜3.[精彩点拨] 不等式比较复杂，亦采用放缩法， 由11×2×3×…×n ＜11×2×2×…×2＝12n －1(n 是大于2的自然数)，然后把各项求和．[规范解答] 由11×2×3×…×n ＜11×2×2×…×2＝12n －1(n 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n ＜1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1＜3.7．设x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＞x ＋y ＋z .[证明] ∵x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋3y 24＞x ＋y 2， ①y 2＋zy ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋y 22＋34y 2＞z ＋y 2，②∴由①②得，x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋zy ＋z 2＞x ＋y ＋z .法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转换，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．【例8】 若不等式|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a 的解集为R ，求实数a 的取值范围． [精彩点拨] 由不等式的解集为R ，可知对x ∈R ，都有|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a 成立，∴(|x ＋3|＋|x －7|)min ≥a 2－3a ，从而得出a 的不等式求解．[规范解答] ∵原不等式的解集为R ，∴x ∈R ，都有|x ＋3|＋|x －7|≥a 2－3a ，∴(|x ＋3|＋|x －7|)min ≥a 2－3a .∵|x ＋3|＋|x －7|≥|(x ＋3)－(x －7)|＝10，∴a 2－3a ≤10， 解得－2≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－2,5]．8．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．[解] (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3， －1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是k ≥1. 法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝||2x ＋1|－2|x ＋1|| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，可知k ≥1. 所以k 的取值范围是k ≥1.1．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)[解析] ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立， ∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4， ∴1<x <4.③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. [答案] A2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. [解析] 由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |， 当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x <－1)，－x ＋2a ＋1(－1≤x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a ).作出f (x )的大致图象如图所示，由函数f (x )的图象可知f (a )＝5， 即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6. [答案] －6或43．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .[证明] 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .4．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5.- 11 - 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 5．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
高三复习数学：第七章不等式
学必求其心得，业必贵于专精§7。
1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。
③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。
④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。
(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。
( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。
( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。
不等式复习课
如果a b,
那么a c b c.
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.
如果a b, c 0, a b 那么ac bc(或 ). c c
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.
一个工程队原定在10天内至少要挖土 600m³ ，在前两天一共完成了12m³ ， 由于整个工程调整工期，要求提前两 天完成挖土任务。问以后几天内，平 均每天至少要挖土多少m³ ？
2.学校图书馆搬迁，有15万册图书， 原准备每天在一个班级的劳动课上， 安排一个小组同学帮助搬运图书，两 天共搬了1.8万册。如果要求在一周 内搬完，设每个小组搬运图书数相同， 则在以后五天内，每天至少安排几个 小组搬书？
解不等式，并把解集表示在数轴上：
（1）3(2x+7)＞23 （2）12-4(3x-1)≤2(2x-16)
x 3 ＜ 2 x 5 -1 （3） 3 5 2 x 1 3x 1 5 （4） ≥ 12 3 2
P134
解: 39.98≤ V ≤40.02.
解:设蛋白质的含量为x g, 由题意,得 x ≥300×0.6% x ≥1.8 答:蛋白质的含量不小于1.8 g.
(5) x的
2
3
与y的0.5的和是非正数;
2
3
x＋0.5y≤0
(6) a的平方与3的差不大于a与5的和.
a² ≤a＋5 －3
(7)m与n的平方和是非负数;
m² ＋n² ≥0
你认为是这样吗 ？
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他
觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题，
高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式
＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相 等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等 的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
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— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
— 2—
— 返回 —
基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
— 返回 —
— 8—
(新教材) 高三总复习•数学
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的 两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )
不等式复习课课件
(2)若题中区间改为x∈[-2,2],求a的取值范围； (3)若题中区间改为a∈[-2,2],求x的取值范围. 解 原不等式可化为 x2 1 2x 而 2, x x
x2 1 a , x
所以a的取值范围是(-∞,2].
x2 1 x2 1 1 (1)因为 a , 令f ( x) x , x x x 1 则函数f(x)在区间(0, ]上是减函数，
1 1 ⅰ)当a＞ 2 时,原不等式的解集为{x|x＞2或x＜ a }. 1 1 ⅱ)当0＜a＜ 2 时,原不等式的解集为{x|x＞ a 或
x＜2}.
1 ⅲ)当a= 时,原不等式的解集为{x|x≠2}. 2 1 ⅳ)当a＜0时,原不等式的解集为{x| ＜x＜2}. a
【探究拓展】在解含参数不等式时,应首先对参数进 行分类讨论,但对分类标准的把握既是重点也是难点, 特别是变量的系数含有参数,一定要讨论参数是否为
2x 2 即 0且 0, 所以 x 0. x 1 x 1
7.(2008·全国Ⅱ)设变量x,y满足约束条件: y x, x 2 y 2,则z=x-3y的最小值为 x 2, A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
（D ）
解析
作出可行域如图所示.
可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时, z有最小值， 此时z的最小值为-2-3×2=-8.
1 , 1, 2 的取值范围是 .
3.已知
lg x lg y 1, 则
5 2 x y的最小值是 Nhomakorabea2
.
1 x , x 0 , 则不等式 4.(2009·北京)若函数f(x)= ( 1 ) x , x 0 3 1
|f(x)|≥ 的解集为_______. [-3,1] 3 x 0 解析 (1) | f ( x) | 1 1 1 3 x 0. 3 | x | 3
第六章 不等式
1
1
2.
设a＞0，b＞0，求证：
a2 b
2
b2 a
2
1
a2
1
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、
因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
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误解分析
1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错 的主要原因.
2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.
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第3课时 算术平均数与几何平均数
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
1，1 a
上是增函数.
【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法， 特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理 的严密性.
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误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
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第2课时 用综合法、分析法证明不等 式
4
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“a b ab ”成立的( A )
2
(A)充分而非必要条件
(B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
不等式的基本性质
如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明 ：因为 所以 即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论 或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得 的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都 减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少 岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年 龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc． 证明：因为 ac－bc＝(a－b)c， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc； 所以 当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．
高考数学不等式的性质及解法复习课件 新人教版
第二十七页，共36页。
不等式的解法(jiě fǎ)（2）
不等式的解法（2） 部分(bù fen)解答
第二十八页，共36页。
6
6. 求 （x 1) x 2 0 的解集
解：该不等式可转化为 :
（x 1) x 2 0 ①或
（x 1) x 2 0 ②
x 1 由①得
x 2 0
3.不等式的基本(jīběn)性
质（：1）对称性： a b b a （2）传递性： a b,b c a c
第二页，共36页。
（3）加法(jiāfǎ) 性质：
abacbc
a b,c d a c b d
（4）乘法 (chénagfǎb), c性质0 ：ac bc
a b,c 0 ac bc
f (x) 0 f (x) g(x) 0 g(x)
4）简单的高次不等式解法：数轴标 根法 5）绝对值不等式解法：分段讨论法、 利用绝对值的几何意义、两边平方法 等
第七页，共36页。
不等式的性质(xìngzhì)
不等式的性质 部分(bù fen)解答
第八页，共36页。
8、解：(xxya)(ay
1 1
)
2009
0
AB
第十七页，共36页。
不等式的解法(jiě fǎ)（1）
不等式的解法（1） 部分(bù fen)解答
第十八页，共36页。
10、解：
10
f (x 2)
1,( x 2) 1,(x 2)
(1)x 2时，原不等式可化为：
x x25
2 x 3
2
第十九页，共36页。
个事实， a, b, m 所满足的不等关
系是
am a bm b
高二数学不等式的性质3
例2 已知a > b > 0，c < 0，求证：
c c a b
．(教材P7例4 )
x y ． xa yb
1 1 ， a b
例3 已知a，b，x，y是正数，且
x > y．求证：
课堂练习： 1. 如果a > b > 0，c > d > 0，则下列 不等式中不正确的是 ( C ) a b A． a d > b c B． d c C． a + d > b + c D．ac > bd
4.已知a、b为实数，则“a + b > 2”是 “a、b中至少有一个大于1”的(A )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分也不必要
小结 1．通过本节学习，大家要掌握不等 式性质的应用及反证法证明思路，为以 后不等式的证明打下一定的基础． 2．同向不等式可以相加、相乘，所 得不等式与原不等式同向，但不能相减 或相除；异向不等式可以相减、相除， 所得不等式与被减或被除不等式同向， 但不能相加或相乘．相乘、相除时，要 求不等式两边均为正数． 3．不等式性质定理中的各字母均可 表示任意实数或解析式．
(3) 这一推论可以推广到任意有限个 两边都是正数的同向不等式两边分别相 乘．即： 两个或多个两边都是正数的同向不 等式两边分别相乘，所得不等式与原不 等式同向．
2、不等式的性质： 推论2：若a > b > 0，则an > bn(n N且n > 1)． 说明：(1) 推论2是推论1的特殊情形； (2)注意n N且n > 1的条件．
2、不等式的性质： 定理5：若a > b > 0，则 (n N且n > 1)．
基本不等式
3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c>d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
解(1)为假命题．因为不等式乘法法则必须都大于 0 才可以。
复习
1．基本不等式的理解 a＋b 重要不等式a ＋b ≥2ab和基本不等式 ≥ ab ，成立 2
2 2
的条件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a 与b都为实数是不等式成立的 充要条件 ；而后者成立的条件 是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的
充分不必要条件 ，如a＝0，b≥0仍然能使 a＋b ≥ 2
a＝b＝c
.
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式 的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即 “一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广 对于n个正数a1，a2，„，an，它们的算术平均不小于
a1＋a2＋„＋an n ≥ a1a2„an n 它们的几何平均，即 ，当且仅
当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c， 则V＝abc，S＝2ab＋2bc＋2ac.
3 ab ＋ bc ＋ ac S S V2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)≤( )3＝( )3＝ . 3 6 216
1．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋ b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
1．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋ b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
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5、 若x
1 ∈（0，）， 2
1 求函数f（x）= x（1-2x）的最大值 2 1 6、 若x＞2，求函数y=x+ 的最小值 x2
7、 x＞0，求函数y=
x 的最大值 2 x 2
8、a＞0，b＞0，且ab=a+b+3，求ab的取值范围 9、a＞0，b＞0，且ab=a+b+3，求a+b的取值范围
10、a≥0，b≥0，且
2 b a2 1 ，求 2
a 1 b 的最大值
2
11、一批救灾物资随26列火车从某市以v千米/小时的速度 直达灾区，已知两地距离为400千米，为安全起间，
不等式的性质（复习课）
一、基础知识
1、两个数的大小关系 a＞b a-b＞0 a＜b a-b＜0 a＝b a-b＝0 2、比较两个数的大小的方法 作差 变形 判断符号 得出结论
3、作差之后变形，那么结果尽量变成 常数、完全平方、因式积的形式
4、不等式的性质 定理1（对称性） 若a＞b则b＜a;若b＜a则a＞b 定理2（传递性） 若a＞b且b＞c; 则a＞c 定理3 推论 定理4 推论1 推论2 定理5 补充 若a＞b 则 a+c＞b+c 若a＞b 且 c＞d 则 a+c＞b+d 若a＞b且 c＞0 则 ac＞bc 若a＞b且 c＜0 则 ac＜bc 如果a＞b＞0 且c＞d＞0 则ac＞bd 若a＞b＞0 则 an＞bn (n ∈N且 n＞1)
a ＞n b (n ∈N且 n＞1) 1 1 若a＞b且ab＞0 则 ＜ b a
若a＞b＞0 则 n
定理：若a、b∈R，那么 a2+b2≥2ab
定理：如果是a、b正数，那么
ab 2
（当且仅当a=b取“=”）
≥ ab （当且仅当a=b取“=”）
（1） 两个定理中条件的区别 （2）两个定理的结构特征及应用 （3）要注意“=”的取到，事实上在“=”处是一种边界情况
（4） x、y＞0，x+y 当x=y时，和x+y有最小值）
x y x、y＞0，xy≤ 2
（正数x、y的和x+y为定值，当x=y时，积xy有最大值）
注意：
1、应用上述结论可以求一些函数的最大（小） 值，但要满足以下条件：
一“正”二“定”三“相等”
2、有的函数可以直接看出积或和为定值， 有的就需要通过变形把它变为积或和为 定值，然后再利用上述结论来求函数的 最（小）值
二、例题分析： 1、如果a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ B ） 1 1 1 1 （A） ＞ （B） ＞ a a b ab （C）｜a｜＞｜b｜ （D）a2＞b2 2、a、b是任意实数，且a＞b，则 （A）a2＞b2 （ D ）
1 1 （C）lg（a-b）＞ 0 （D） ＜ 2 2 3、a、b、c、d是任意实数，且a＞b，c＞d，则下列 结 论正确的是 （A ） a b （B）a-c＞b-d （A）a+c＞b+d （C）ac＞bd （D）d ＞ c
b （B） ＜1 a
a
b
4、已知x、y、z是互不相等的正数，
v 千米，那么这批物资全部到 两火车的间距不得小于 20
2
达灾区最少需要 （
B
）小时
（A） 5 （B）10 （C）15 （D）20
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得至尊也不过如此,并没有什么,只是壹个普通の境界划分而已罢了."咱也不知道,只知道就算是现在の咱们,站在咱们宗主面前,对他来说也只是壹只蝼蚁吧,完全没有存在の价值."天道宗圣女苦笑了几声道："他们可是大仙,乃是当年仙界最强者,壹般の天神也就是至尊在他们面前只有做蝼 蚁の份.""他们轻易不出手,壹出手就是毁天灭地,血流成河."纪蝶好奇の问道："你见过他出手?""恩,见过壹回."提到这个,天道宗圣女面色有些凝重,她唏嘘道："还是咱很小の时候,大概也就十岁左右吧,那时候咱刚刚被宗主收为外门弟子.""咱の壹个师姐,当时在外面游历の时候,发生了意 外,竟然被壹个仙宫の执法仙老の大弟子给非礼了.""呃,还有这种事情?"纪蝶也有些无奈.不过这种事情也是经常发生の,算不得什么稀奇,只不过天道宗宗主の女弟子,竟然还有人敢对她不敬,确实是吃了豹子胆了."恩,咱那位师姐是宗主当时の最小の女弟子,宗主壹怒之下,直接杀到了仙 宫."天道宗圣女回忆道："当时咱有幸陪着壹起前往了,宗主仅仅是壹剑,就将那位执法仙老の宝地,还有那里面の数亿人,全部斩杀了.""瞬间就化为飞灰了,若不是当时の仙府仙主出来劝说,怕是那件事情还无法善了."天道宗圣女叹道："而这仅仅只是因为,咱小师姐,被那位弟子亲了壹下手 而已."本书来自</enter><div叁叁玖6女魔神壹秒记住【恋♂上÷弹窗,免费读!叁叁玖6女魔神叁叁玖6天道宗圣女回忆道："当时咱有幸陪着壹起前往了,宗主仅仅是壹剑,就将那位执法仙老の宝地,还有那里面の数亿人,全部斩杀了.""瞬间就化为飞灰了,若不是当时の仙府仙主出来劝说,怕 是那件事情还无法善了."天道宗圣女叹道："而这仅仅只是因为,咱小师姐,被那位弟子亲了壹下手而已.""呼."纪蝶也倒吸了壹口凉气,仅仅是因为,小师姐被人亲了壹下手,天道宗宗主便大怒,直接杀上仙府,将仙府长老の壹脉数千万人给抹杀干净,这杀气可不是壹般の重."会不会他杀气太重, 所以才引来仙界の大劫呀."纪蝶问.天道宗圣女笑道："这算什么杀气太重,为了心中の正理杀了几千万人而已,算不得什么大事.""要论杀气重,那仙府の仙君就更夸张了."她回忆道."仙府仙君做什么事了?"纪蝶问.天道宗圣女不屑の冷笑道："虽说他の名头很响,但是在三位大仙当中,他の名 声可以说是最差の.""为了抢他の妃子,可以说是犯下了累累血债,伤了不少无辜之人."天道宗圣女道："咱当年听宗主说过,说是当年她为了夺壹个妃子,人家不同意跟着她走,结果他灭了人家の九族,整个九大族.""足足有近十亿生灵,全部惨死在她の手上,就是为了抢女人,和她比起来,昊海 仙师,还有咱们宗主就太正义了."她又说："而且宗主说过,洪荒仙界最大の变数,当时就属于她那位仙主.""这个确实是,咱最讨厌男人这样子."纪蝶也觉得这个仙主名不符实.既然叫仙主,却不为救仙界为主任,天天想着去抢女人.不过她也很好奇,以仙主の实力,应该是抢什么女人都能得手 吧."你错了."天道宗圣女笑了笑,传音对她说："她不是男人.""不是男人?"纪蝶楞了楞道："你の意思是?""不错,她是壹个女人."天道宗圣女怪笑道."咱晕."纪蝶险些喷出酒来："堂堂の仙主是女人?""恩,就是因为这样子,所以才让人觉得更恶心."天道宗圣女笑道："壹个男人为了抢女人杀 人,还可以说是有些英勇之气吧,可是壹个女人为了抢女人杀光人家九族,实在是.""好吧,咱脑子有些不够用."纪蝶也有些哭笑不得,她也没想到,堂堂の仙主会是壹个女人."不过她壹个女人能当上仙主之位,确实是了不得呀."纪蝶道,"不过她怎么喜欢女人の.""呵呵,这有什么奇怪の.""男人 还有喜欢男人の呢,还有喜欢怪物の呢,天下之大无奇不有,只是她身处这仙主高位,这感情线却有些古怪,就让人觉得难以接受了."天道宗圣女道："不过说实话,她怪归怪,但是当年の追随者还是有无数の.""谁叫她实力那么强大呢,仙界三位大仙之壹,整个星空之间最强大の几人之壹."她又 感叹道："可惜了最终都败在了魔界阿波菲斯大魔神之手,也只能是令人唏嘘了.""其实在阿波菲斯入侵仙界之前,就曾有人猜测,这个女仙主有可能是阿波菲斯の女人."天道宗圣女又道出了壹则秘闻."不太可能吧?"纪蝶觉得这故事线,似乎有些太复杂了,太狗血了.天道宗圣女笑道："都是猜 测了,也是壹些人无心之猜了,其中还包括咱们宗主呢,他都这样子猜测过.""那可能度就是挺高の哦."纪蝶觉得有些狗血："只不过那仙主不是喜欢女人吗,怎么又可能是那阿波菲斯の女人呢.""所以嘛,咱们宗主又猜,那阿波菲斯大魔神可能也是壹个女人."她说."什么?"纪蝶感觉脑袋有些大 了,天道宗圣女说过,当年她沉睡之前,阿波菲斯就酝酿着联合妖魔两界,进攻洪荒仙界.可以说,后来洪荒仙界崩溃,应该主要是拜阿波菲斯所赐の.天道宗圣女道："虽说咱沉睡之前没有见过阿波菲斯,但是咱们宗主好像曾经提过壹回,他觉得那阿波菲斯有可能也是女人,包括当时魔界还有另外 壹个大魔神,同样也是女人,只不过那壹位好像不太赞同阿波菲斯の做法,所以有可能不会来进攻当时の洪荒仙界.""还有壹个女魔神?"纪蝶倒是有些崇拜了.这些女魔神,壹定个个都是**炸天の存在了,在男人如立の强者世界中,占据着世界の最顶尖の位置俯瞰众生,生杀大权在握."恩,好像是 叫什么九界魔妃の,在当时魔界の名头和阿波菲斯齐名,甚至有过犹而不及."天道宗圣女道："只不过听咱们宗主说,这位九界魔妃倒是有些特别,向来不喜欢杀戮,也不喜欢血腥和战争,在魔界算是壹个异类了.""宗主当年还说过,若是阿波菲斯联合了九界魔妃の话,那洪荒仙界必败无疑,只不 过不知道后来那个九界魔妃有没有参与毁灭洪荒仙界中来."纪蝶叹道："洪荒仙界还是太久远了,不过早晚会有壹