第十章 电子衍射
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电子衍射
（1）由于电子波波长很短，一般只有千分之几nm， 按布拉格方程2dsin=可知，电子衍射的2角很小（一 般为几度），即入射电子束和衍射电子束都近乎平行 于衍射晶面。
由衍射矢量方程（s-s0）/=r*，设K=s/、K=s0/、 g=r*，则有
K-K=g
（8-1）
此即为电子衍射分析时（一般文献中）常用的衍射矢 量方程表达式。
H3=H1+H2、K3=K1+K2和L3＝L1+L3。
单晶电子衍射花样的标定
立方晶系多晶体电子衍射标定时应用的关 系式：R21:R22:…:R2n=N1:N2:…:Nn 在立方晶 系单晶电子衍射标定时仍适用，此时R=R。 单晶电子衍射花样标定的主要方法为： 尝试核算法 标准花样对照法
“180不唯一性”或“偶合不唯一性”现象的产生，根 源在于一幅衍射花样仅仅提供了样品的“二维信息”。
通过样品倾斜(绕衍射斑点某点列转动)，可获得另一晶带 电子衍射花样。而两个衍射花样组合可提供样品三维信息。
通过对两个花样的指数标定及两晶带夹角计算值与实测 (倾斜角)值的比较，即可有效消除上述之“不唯一性”。
（8-7）
式中：N——衍射晶面干涉指数平方和，即 N=H2+K2+L2。
多晶电子衍射花样的标定
对于同一物相、同一衍射花样各圆环而言，（C2/a2） 为常数，故按式（8-7），有
R12：R22：…：Rn2=N1：N2：…：Nn
（8-8）
此即指各衍射圆环半径平方（由小到大）顺序比等于
各圆环对应衍射晶面N值顺序比。
一、电子衍射基本公式
电子衍射基本公式的导出
设样品至感光平面的距离为L（可称为 相机长度），O与P的距离为R，
由图可知
电子的衍射原理
电子的衍射原理电子的衍射原理是指当电子束通过一个尺寸与其波长接近的孔或经过晶体时，会发生衍射现象。
这个现象与光波的衍射原理非常相似，但是由于电子的特殊性质，使得电子的衍射具有一些独特的特点。
首先，我们知道根据德布罗意波动方程，物质粒子也具有波动性质。
对于电子来说，它的波长可以由德布罗意公式λ = h/p计算得出，其中h是普朗克常数，p为电子的动量。
电子的衍射主要是通过电子与晶体或孔的相互作用来产生的。
当电子束遇到晶格的时候，晶格的周期性结构会对电子束产生散射，这种散射就是电子的衍射。
晶格常数决定了衍射的微细结构，而晶体的平面则决定了衍射的方向性。
衍射的过程可以通过惠更斯-菲涅尔原理来描述。
根据该原理，每个点上的波前都可以看作是一系列波源发出的次级波的叠加，这些次级波形成了新的波前。
在电子的衍射过程中，散射的电子波可以视为次级波，而晶体或孔则形成了作为波前的电子波传播的界面。
电子的衍射表现出了一些有趣的现象。
首先是衍射图样的特点，类似于光的衍射，电子的衍射图样也会出现干涉条纹。
这些条纹的形状和分布可以提供关于晶体结构的有用信息，因此电子衍射技术在材料科学中有着重要的应用。
另一个有趣的现象是衍射的相对强度。
电子的散射过程中，不同方向的电子波会相互干涉，形成强度不均匀的衍射图样。
这些强度的变化可以通过使用衍射模型和计算方法来解释。
电子衍射原理在很多领域都有重要的应用，特别是在材料科学、凝聚态物理和电子显微镜技术中。
使用电子衍射技术，科学家们可以研究材料的晶体结构、晶格常数、晶格缺陷等重要的性质。
此外，电子衍射还可用于表征纳米材料、薄膜以及生物分子的结构，为相关研究提供了强有力的工具。
总之，电子的衍射原理是基于电子的波动性而实现的一种衍射现象。
通过电子与晶体或孔的相互作用，电子束会发生散射，形成干涉和衍射的图样。
电子衍射原理的理解和应用对于探索材料的微观结构、研究纳米领域以及发展电子显微镜技术都具有重要的意义。
《电子衍射原理》课件
透射电子显微镜技术
透射电子显微镜技术是一种利用透射 电镜观察物质内部微细结构的方法， 具有高分辨率和高放大倍数的特点。 随着科技的不断进步，透射电子显微 镜技术的应用范围越来越广泛，在材 料科学、生物学、医学等领域得到广 泛应用。
VS
例如，在材料科学领域，透射电子显 微镜技术可用于研究材料的晶体结构 和相变行为，为新材料的开发和优化 提供有力支持。在生物学领域，透射 电子显微镜技术可用于研究细胞器和 生物大分子的结构和功能，为生命科 学和医学研究提供新的视角。
电子显微镜的放大倍数较高，能够观察到非常细微的结构细节，是研究物质结构和 形貌的重要工具之一。
电子源
电子源是电子显微镜中的核心部件之一，它能够产生用于观察和成像的 电子束。
电子源通常由加热阴极、栅极和加速电极等部分组成，通过加热阴极使 得电子逸出并经过栅极和加速电极的调制和加速，形成用于成像的电子
电子衍射可以揭示细胞内部的超微 结构，有助于理解细胞的生理和病 理过程。
在表面科学中的应用
表面晶体结构
电子衍射可以用于研究固体表面 的晶体结构和化学组成，对表面 改性和催化等应用具有指导意义
。
表面应力分析
通过电子衍射可以分析表面应力 状态，有助于理解表面行为的物
理机制。
表面吸附和反应
电子衍射可以研究表面吸附分子 的结构和反应活性，对表面化学 和工业催化等领域有重要意义。
05
电子衍射的发展前景
高能电子衍射技术
高能电子衍射技术是一种利用高能电子束进行物质结构分析的方法，具有高分辨 率和高灵敏度的特点。随着科技的不断进步，高能电子衍射技术的应用范围越来 越广泛，在材料科学、生物学、医学等领域发挥着重要作用。
例如，在材料科学领域，高能电子衍射技术可用于研究材料的微观结构和晶体取 向，为新材料的开发和优化提供有力支持。在生物学领域，高能电子衍射技术可 用于研究生物大分子的结构和功能，为药物设计和疾病治疗提供新的思路。
电子衍射
电子衍射电子衍射实验对确立电子的波粒二象性和建立量子力学起过重要作用。
历史上在认识电子的波粒二象性之前，已经确立了光的波粒二象性．德布罗意在光的波粒二象性和一些实验现象的启示下，于1924年提出实物粒子如电子、质子等也具有波性的假设。
当时人们已经掌握了Ｘ射线的晶体衍射知识，这为从实验上证实德布罗意假设提供了有利因素．1927年戴维孙和革末发表他们用低速电子轰击镍单晶产生电子衍射的实验结果。
两个月后，英国的汤姆逊和雷德发表了用高速电子穿透物质薄片的办法直接获得电子花纹的结果。
他们从实验测得电子波的波长与德布罗意波公式计算出的波长相吻合，证明了电子具有波动性，验证了德布罗意假设，成为第一批证实德布罗意假说的实验，所以这是近代物理学发展史上一个重要实验。
利用电子衍射可以研究测定各种物质的结构类型及基本参数．本实验用电子束照射金属银的薄膜，观察研究发生的电子衍射现象。
一 实验目的1 拍摄电子衍射图样，计算电子波波长。
2 验证德布罗意公式。
二 实验原理电子衍射是以电子束直接打在晶体上面而形成的。
在本仪器中我们在示波器的电子枪和荧光屏之间固定一块直径约为2.5cm 的圆形金属膜靶，电子束聚焦在靶面上，并成为定向电子束流。
电子束由13KV 以下的电压加速，通过偏转板时，被引向靶面上任意部位。
玻壳上有足够大的透明部分，可以观察内部结构，电子束采用静电聚焦及偏转。
若一电子束以速度ν通过极薄的晶体膜，这些电子束的德布罗意波的波长为：p h='λ （1）式中普朗克常数，p 为动量。
设电子初速度为零，在电位差为U 的电场中作加速运动。
在电位差不太大时，即非相对论情况下，电子速度c <<ν（光在真空中的速度），故02201/m c m m ≈-=ν，其中0m 为电子的静止质量。
它所达到的速度ν可由电场力所作的功来决定：m p m eU 22122==ν （2）将式（2）代入（1）中，得：U em h 12='λ （3） 式中e 为电子的电荷，m 为电子质量，h 为普朗克常量，然后将0m 、h 、e 代入（3）得U 225.1='λ （4）其中加速电压U 的单位为V ，λ的单位为1010-米。
10 电子衍射
9
10 电子衍射
• 区别：缺点 • 电子衍射强度有时几乎与透射束相当，以致两者产生 交互作用，使电子衍射花样，特别是强度分析变得复 杂，不能象X射线那样从测量衍射强度来广泛的测定结 构。 • 此外，散射强度高导致电子透射能力有限，要求试样 薄，这就使试样制备工作较X射线复杂；在精度方面也 远比X射线低。
8
10 电子衍射
• 电子波长短，单晶的电子衍射花样婉如晶体的倒易点 阵的一个二维截面在底片上放大投影，从底片上的电 子衍射花样可以直观地辨认出一些晶体的结构和有关 取向关系，使晶体结构的研究比X射线简单。 • 物质对电子散射主要是核散射，因此散射强，约为 X 射线一万倍，曝光时间短。 • 电子衍射能在同一试样上将形貌观察与结构分析结合 起来。
已知晶体结构--斑点指数化 1.尝试法
①选择靠近中心斑点,且不在同一直线上的几个斑点,测量 它们的Ri。根据相机公式 R = lL 1 ，算出 di
di
②每一di为某一晶面族的间距。根据晶体结构、晶格常 数及面间距公式，列出。如立方晶系,
HKL1 ③测量各衍射斑点间夹角 R
已知a、d1可求出
Ewald图解法:
A: 以入射束与反射面的交 点为原点，作半径为 1/ l 的 球，与衍射束交于O*. B: 在反射球上过 O* 点画晶 体的倒易点阵; C: 只要倒易点落在反射球 上，即可能产生衍射.
q G
N
埃瓦尔德反射球作图法
13
10.1 电子衍射原理
立方晶体[001]晶带倒易平面
14
10.1 电子衍射原理 • 零层倒易截面
R1 R2 = R3
32
10.2 单晶体衍射花样的产生及其标定
⑦根据晶带轴定律，确定零层倒易截面法线 uvw 方向。 任行两晶面(HKL)1、(HKL)2 ，得到晶面指数。
第10章 电子衍射
四. 结构因子——倒易阵条件：
⑴ 布拉格方程；
⑵ 结构因子︱F︱ ≠0，才有衍射线出现（I∝︱F︱ ） Fhkl为（hkl）晶面族的结构振幅，表示晶体的正点阵 晶胞内所有原子对电子波的散射波在衍射方向上的合成 振幅。
2 2
︱F︱ =0时产生结构消光。
2
ghkl ha kb lc
两点性质：a.倒易矢量垂直于正点阵中相应的（hkl) 晶面； b.倒易点阵中的一个阵点代表正点阵中的 一组晶面。如图10-3。 3).倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒 数：
g hkl
1 d hkl
4）. 对正交点阵（立方、正方）
a 正点阵
2、 倒易点阵的性质
1）.
a a bb cc 1
a b=a c b a b c c a c b 0
由此可见，正点阵与倒易点阵异名基矢点 乘为0，同名基矢点乘为1。
2）. 在倒易点阵中由原点指向任意坐标为hkl的阵点 的矢量 g hkl 称为倒易矢量，有：
由于α=β=γ=90°
a*∥a
b*∥b
a*⊥bc决定的平面
c*∥c
a a a a cos a，a
1
∴
1 1 b a b a 1 c c
5）.只有在立方点阵中，晶面法向与同指
数的晶向重合（平行），因此，倒易 矢量ghkl与相应指数的晶向[hkl]平行。
（hkl）衍射晶面的特性，故又称作衍射晶面 矢量。
总结：
⑴ 爱瓦尔德球图解法直观地用几何图形表达了布拉格方 程。爱瓦尔德球内的三个矢量 K 、 '、 g hkl，清楚地描 K 述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系。
第十章 电子衍射
衍射方程规定只有当入射电子束与点阵平面的夹 角正好满足布拉格方程式（倒易阵点必须严格地 与反射球面相交 ），才能产生衍 射束，偏离这一方向，衍射束的 强度为零。
倒易阵点是数学意义的几何点 真实晶体的大小都是有限的，晶 体内部都有各式各样的晶体缺陷， 相应的倒易阵点也有一定的大小 和几何形状。衍射束的强度分布 有一定的角度范围。
① 晶带定理：hu +kv +lw = 0 ② 消光规律
相机长度
(hkl)
S/= k
S0/= k0 ghkl 000
Rhkl
21
10.2.4 结构因子-------倒易点阵的权重 (有关结构消光的讨论)
系统消光
• 由于晶体结构的差异引起衍射电子束消失的现 象称为系统消光或点阵消光。衍射图中是否出 现系统消光主要取决于单胞的类型。由于单胞 的类型有4种（初级单胞，底心单胞，体心单 胞和面心单胞），它们产生的系统消光有不同 的规律。对于初级单胞来讲，只含有位于原点 处（0 0 0）的一个阵点，在面心和体心位置没 有阵点存在，计算得到的结构因数不为0，因 此可知，所以初级单胞不产生系统消光。 • 晶体结构中存在的微观对称操作元素如滑移反 其中 映面和螺旋轴可以引起电子衍射的系统消光。
16
爱瓦尔德球图解法 布拉格定律的几何表达形式
衍射花样的特征取决于和 反射球面相交的那些倒易 阵点的分布。所以电子衍 射的几何特征通常是由一 个反射球面与倒易点阵相 交截出的倒易空间曲面决 定。
A
回顾
θ (hkl) O θ Nhkl
1/λ
k
k'
G ghk
hkl
l
k' - k = g
O*
D
2d sin
倒易阵点是数学意义的几何点 真实晶体的大小都是有限的，晶 体内部都有各式各样的晶体缺陷， 相应的倒易阵点也有一定的大小 和几何形状。衍射束的强度分布 有一定的角度范围。
① 晶带定理：hu +kv +lw = 0 ② 消光规律
相机长度
(hkl)
S/= k
S0/= k0 ghkl 000
Rhkl
21
10.2.4 结构因子-------倒易点阵的权重 (有关结构消光的讨论)
系统消光
• 由于晶体结构的差异引起衍射电子束消失的现 象称为系统消光或点阵消光。衍射图中是否出 现系统消光主要取决于单胞的类型。由于单胞 的类型有4种（初级单胞，底心单胞，体心单 胞和面心单胞），它们产生的系统消光有不同 的规律。对于初级单胞来讲，只含有位于原点 处（0 0 0）的一个阵点，在面心和体心位置没 有阵点存在，计算得到的结构因数不为0，因 此可知，所以初级单胞不产生系统消光。 • 晶体结构中存在的微观对称操作元素如滑移反 其中 映面和螺旋轴可以引起电子衍射的系统消光。
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爱瓦尔德球图解法 布拉格定律的几何表达形式
衍射花样的特征取决于和 反射球面相交的那些倒易 阵点的分布。所以电子衍 射的几何特征通常是由一 个反射球面与倒易点阵相 交截出的倒易空间曲面决 定。
A
回顾
θ (hkl) O θ Nhkl
1/λ
k
k'
G ghk
hkl
l
k' - k = g
O*
D
2d sin
电子衍射原理
。倒易原点是入射电子束通过埃瓦尔德球心
和球面相交的那一点。
（ ）表示平面，*表示倒易， 0表示零 层倒易面。
这个倒易平面的法线即正空间晶带轴 [uvw]的方向，倒易平面上各个倒易点分别 0 代表着正空间的相应晶面。
四、晶带定律与零层倒易截面
r
g
r g 0
g
ha
*
kb *
1c
*
r ua vb wc
b* O*
a*
某一倒易基矢垂直于正点阵中和自 己异名的二基矢所成平面。
三、倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 倒易点阵的性质
1、正倒点阵异名基矢点乘为零，同名基矢点乘为一。
a
*
b
a*
c
b*
a
b*
c
c*
a
c*
b
0
a*
a
b*
b
c*
c
1
2、在倒易空间中，任意g 矢h量a*的大kb小* 和l方c*向可以用倒易矢量g来表示。
G
2d hk l
透
衍
射
射衍射是把实际 晶体点阵转换为倒易点阵记 录下来，得到的图像叫做电 子衍射花样或叫电子衍射图。
1
:
L
1 d
:
R
Rd L
照相底板
七、电子衍射基本公式 电子衍射基本公式推导
电子衍射基本公式为
Rd L
单位： mm Å 或者 mm nm
mm Å mm nm
R：照相底板上中心斑点到衍射斑点的距离。 d：衍射晶面间距。 L：样品到底板的距离，通常叫相机长度。 λ: 入射电子波长 。
E mc2 h p mv
E mc2
hh
h h
10 电子衍射
O * D OO * sin
g / 2 k sin 1/ 2d 1/ sin 2d sin
（2）电子衍射的衍射角小得多 ∵ → ∴
2d sin
10 2 sin 0 10 2d 10
θ≈0.01弧度<1°
得到选区电子衍射花样。
结论：选区电子衍射能实现选区观察与衍射的
对应。
五、常见电子衍射谱
1、单晶电子衍射谱 由大量明暗不同的规则排列的斑点组成
特点：
①规则排列：斑点是倒易点阵中某倒易截面的
投影放大，通常认为是零层倒易截面的投影
放大。所谓零层倒易截面，是指通过原点O
的那个截面。
原因： a、电子束波长短，使爱瓦尔德球面接近平面；
g hkl r 0 hu kv lw 0
uvw g h k l g h k l
1 11
2 2 2
u k1l2 k2l1 v l1h2 l2 h1 w h1k2 h2 k1
思考：体心立方【001】、【011】晶带的标 准零层倒易截面。 思考：面心立方【001】、【011】晶带的标 准零层倒易截面。 思考：面心立方与体心中晶带的标准零层倒易 截面的区别。
k 6 k 3
l5 2l2
h6 h3
l6 l3
（6）求晶带轴[uvw]。
在电子衍射分析中，可用两个不共线的斑点(h1k1l1)和(h2k2l2)
求出晶带轴方向。由晶带定律，用行列式表示：
u:v:w =
k1 k2
l1 l2
:
l1 l2
h1 h2
:
h1 h2
k1 k2
2 标准花样对照法 将试验得到的衍射花样与各种晶体的标准花样进 行对照，若相符，便可以直接写出各斑点的指数、 晶带轴方向及所属的点阵类型，并进而确定物相。 画零层倒易截面，主要考虑两点：晶带轴定律和 消光条件。
电子衍射环分析
距离，并由Rd=C即可求得C值。若已知相机常数C，则按d＝C／R，
由各衍射环之R，可求出各相应晶面的d值。
2021/10/涉指数平方和(m)
2021/10/10
14
多晶金衍射花样
2021/10/10
15
表8-1 金多晶电子衍射花样标定[数据处理]过程与结果
2021/10/10
10
三、多晶电子衍射花样的标定
指多晶电子衍射花样指数化，即确定花样中各衍射圆环对应衍射晶面 干涉指数（HKL）并以之标识（命名）各圆环。下面以立方晶系多晶 电子衍射花样指数化为例。
将d=C/R代入立方晶系晶面间距公式，得
（8-7）
式中：N——衍射晶面干涉指数平方和，即N=H2+K2+L2。
2021/10/10
25
注意：
书中例子R2值顺序比亦可写为只R2A：R2B：R2C：R2D=1：2：3：9， 据此，本例亦可按简单立方结构尝试标定斑点指数，并用N与校核， 其结果被否定(称为斑点指数不能自洽)。
一般，若仅知样品为立方晶系，一幅衍射花样也可能出现同时可被标 定为两种不同点阵结构类型指数或被标定为同一结构类型中居于不同 晶带的指数而且不被否定的情况，这种情况称为衍射花样的“偶合不 唯一性”。
故式（8-2）可近似写为
2sin=R/L
将此式代入布拉格方程(2dsin= )， 得
/d=R/L
Rd=L
（8-3）
式中：d——衍射晶面间距（nm）
——入射电子波长（nm）。
此即为电子衍射（几何分析）基本公式 （式中R与L以mm计）。
2021/10/10
6
电子衍射基本公式的导出
当加速电压一定时，电子波长值恒定，则L＝C（C为常数，称为 相机常数）。
第10章电子衍射
普通电子显微镜的“宽束”衍射（束斑直径≈1μm）只能得
到较大体积内的统计平均信息，而微束衍射可研究分析材料 中亚纳米尺度颗粒、单个位错、层错、畴界面和无序结构，
可测定点群和空间群。
第2页，共75页。
电子衍射
电子衍射的优点是可以原位同时得到微观形貌和结构信息
，并能进行对照分析。电子显微镜物镜背焦面上的衍 射像常称为电子衍射花样。电子衍射作为一种独特的 结构分析方法，在材料科学中得到广泛应用，主要有 以下三个方面：
倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，结果使略为偏离 布格条件的电子束也能发生衍射。
第5页，共75页。Fra bibliotek子衍射和X射线衍射不同之处
3.电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射 球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的 球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电 子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面 内。这个结果使晶体产生的衍射花样能比较直观地反 映晶体内各晶面的位向。
§ 10-2 电子衍射原理
倒易关系和线面呼应
g*uvw
uvw*,g*uvw1
d*hkl
正倒点阵互为倒易。
正倒点阵线面互应关系：可以用倒易矢的方向表示晶 体平面的方向，也可以用晶体矢的方向表示倒易面的 方向。
第17页，共75页。
§ 10-2 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德球图解法
爱瓦尔德球图解法就是用几何方 法表示出来的布拉格定律。
晶面的夹角和精确的布拉格角θB（ θB=sin-1 ）存在某偏差Δθ时，衍射 强度变弱但不一定为零，此时衍射方 向的变化并不明 显
2 d hkl
第34页，共75页。
第35页，共75页。
§ 10-2 电子衍射原理
到较大体积内的统计平均信息，而微束衍射可研究分析材料 中亚纳米尺度颗粒、单个位错、层错、畴界面和无序结构，
可测定点群和空间群。
第2页，共75页。
电子衍射
电子衍射的优点是可以原位同时得到微观形貌和结构信息
，并能进行对照分析。电子显微镜物镜背焦面上的衍 射像常称为电子衍射花样。电子衍射作为一种独特的 结构分析方法，在材料科学中得到广泛应用，主要有 以下三个方面：
倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，结果使略为偏离 布格条件的电子束也能发生衍射。
第5页，共75页。Fra bibliotek子衍射和X射线衍射不同之处
3.电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射 球的半径很大，在衍射角θ较小的范围内反射球的 球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电 子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面 内。这个结果使晶体产生的衍射花样能比较直观地反 映晶体内各晶面的位向。
§ 10-2 电子衍射原理
倒易关系和线面呼应
g*uvw
uvw*,g*uvw1
d*hkl
正倒点阵互为倒易。
正倒点阵线面互应关系：可以用倒易矢的方向表示晶 体平面的方向，也可以用晶体矢的方向表示倒易面的 方向。
第17页，共75页。
§ 10-2 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德球图解法
爱瓦尔德球图解法就是用几何方 法表示出来的布拉格定律。
晶面的夹角和精确的布拉格角θB（ θB=sin-1 ）存在某偏差Δθ时，衍射 强度变弱但不一定为零，此时衍射方 向的变化并不明 显
2 d hkl
第34页，共75页。
第35页，共75页。
§ 10-2 电子衍射原理
电子衍射原理
h1u k1v l1w 0
h2u k2v l2w 0
得 u=k1l2-k2l1
h1
简单易记法 k1 l1 h1 k1
l1
v=l1h2-l2h1
w=h1k2-h2k1
h2 k2 l2 h2 k2 l2
uvw
五、结构因子
晶体中的任何一组晶面要产生衍射束，该晶面组与入射电子束相互作用 就要满足布拉格方程，或者说该晶面的倒易点要正好落在埃瓦尔德球面 上。实验证明, 满足布拉格方程只是产生衍射束的必要条件，而不是充 分条件。
电子衍射原理
2013-10-15
一、电子衍射原理 二、布拉格定律 三、倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 四、晶带定律与零层倒易截面 五、结构因子 六、偏离矢量与倒易阵点扩展 七、电子衍射基本公式
一、电子衍射原理 粒子的波粒二象性
19世纪后半期，电磁理论成功地解释了光的干涉、衍射、偏振等
现象，建立了光的波动图象，但到了二十世纪初，人们为解释热辐射、 光电效应、康普顿效应，又不得不将光当作微粒来处理。
• 电子衍射强度有时几乎与透射束相当，以致两者产生交互作用 ，使电子衍射花样，特别是强度分析变得复杂，不能象X射线那 样从测量衍射强度来广泛的测定结构。
• 散射强度高导致电子透射能力有限，要求试样薄，这就使试样 制备工作较X射线复杂；在精度方面也远比X射线低。
一、电子衍射原理 透射电镜
电子束
透射电镜的最大特点是既可以得到 电子显微像又可以得到电子衍射花 样。晶体样品的微观组织特征和微 区晶体学性质可以在同一台仪器中 得到反映。
c
b*
a
b*
c
c*
电子衍射原理
中国科学院上海光学精密机械研究所 高功率激光玻璃研发中心
四、晶带定律与零层倒易截面
若已知零层倒易面上任意二个倒易矢量的坐标，即 可求出晶带轴指数。只要通过电子衍射实验，测得 零层倒易面上任意两个g（hkl）矢量，即可求出正 空间内晶带轴指数。由
h1u k1v l1w 0
h2u k2v l2w 0
中国科学院上海光学精密机械研究所 高功率激光玻璃研发中心
二、布拉格定律 布拉格方程一般形式
Aλ
B
θ Qθ
d
ST
R
SR RT n
SR RT 2d sin
A ’ B’
2d sin n
中国科学院上海光学精密机械研究所 高功率激光玻璃研发中心
二、布拉格定律 衍射角θ的解释
电子衍射原理
2013-10-15
.
一、电子衍射原理 二、布拉格定律 三、倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 四、晶带定律与零层倒易截面 五、结构因子 六、偏离矢量与倒易阵点扩展 七、电子衍射基本公式
.
一、电子衍射原理 粒子的波粒二象性
19世纪后半期，电磁理论成功地解释了光的干涉、衍射、偏振等
现象，建立了光的波动图象，但到了二十世纪初，人们为解释热辐射、 光电效应、康普顿效应，又不得不将光当作微粒来处理。
五、结构因子
结构因子F（hkl）是描述晶胞类型和衍射强度之间关系的一个函数。结构因子的数学表达
式为
N
F(hkl) f j exp[ 2i(hx j kyj lz j )]
j 1
fj 是单胞中位于（x j , y j , z j ）的第j个原子对电子的散射振幅（或叫散射因子），它的大小与原 子序数有关。
【材料课件】10电子衍射
7
衍射花样的分类
1）斑点花样：平行入射束与单晶作用产生斑 点状花样；主要用于确定第二象、孪晶、有序化、 调幅结构、取向关系、成象衍射条件；
2）菊池线花样：平行入射束经单晶非弹性散 射失去很少能量，随之又遭到弹性散射而产生线 状花样；主要用于衬度分析、结构分析、相变分 析以及晶体的精确取向、布拉格位置偏移矢量、 电子波长的测定等；
有效相机常数 选区电子衍射 磁转角
2019/12/22
HNU-ZLP
18
有效相机常数
同一晶面的衍射束是平行的（如hkl的衍射束 方向均为），所以同一晶面的衍射束将在物镜 背焦面上聚焦成一点，所有满足衍射条件的晶 面将在物镜的背焦面上形成一幅由透射斑点和 衍射斑点组成的衍射花样，该衍射花样与厄瓦 尔德球倒易截面相似。
为正时， s矢量为正，反之为负；
精确符合布拉格条件时， ＝0， s＝0
2019/12/22
HNU-ZLP
12
2019/12/22
HNU-ZLP
13
2019/12/22
HNU-ZLP
14
入射束 厄瓦尔德球
试样
2
倒易点 阵
底板
2019/12/22
电子衍射H花N样U形-Z成LP示意图
高阶劳厄斑点可以给出晶体更多的信息，如可 消除180度不唯一性和测定晶体厚度。
2019/12/22
HNU-ZLP
33
2019/12/22
HNU-ZLP
34
超点阵斑点
当晶体内部的原子或离子产生有规律的位移或不同种原子产 生有序排列时，将引起其电子衍射结果的变化，即可以使本 来消光的斑点出现，这种额外的斑点称为超点阵斑点。
光阑选区衍射（Le Pool方式） 用位于物镜象平面 上的选区光阑限制微区大小。先在明场象上找到感 兴趣的微区，将其移到荧光屏中心，再用选区光阑 套住微区而将其余部分挡掉。理论上，这种选区的 极限0.5m。
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图10-11 偏离参量对应的衍射强度
k k = g + s
(10-11)
21
第二节 电子衍射原理
五、偏离矢量与倒易阵点扩展 图10-12给出了三种典型衍射条件下的反射球构图。晶体 结构和晶体取向分析时， 选择图10-12a 的衍射条件；衍衬分 析时，选用图10-12b或c所示的衍射条件
图10-12 三种典型衍射条件下的反射球构图 a) s 0 b) s 0 c) s 0
(10-6)
对于立方晶系同指数晶向和 晶面互相垂直，即晶向[hkl] 是晶面(hkl) 的法线 ， [hkl] // ghkl
图10-3 正、倒点阵的几何对应关系
9
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德球图解 在倒易空间，以O为球心，1/ 为半径作一个球，臵倒易 原点O*于球面上，从O向O*作入射波矢量 k (k = 1/)，此球称 爱瓦尔德球(或称反射球)，见图10-4 若(hkl)晶面对应的倒易阵点G落在反射 球面上，(hkl) 满足布拉格条件，有 k k = ghkl (10-7) 式中， ghkl为(hkl)的倒易矢量；k 为衍 射波矢量， 代表 (hkl) 晶面衍射束方向 爱瓦尔德球图解是布拉格定律的几何
解此方程组可求出晶带轴指数[uvw]，即
u = k1 l2 k2 l1 v = l1 h2 l2 h1 w = h1 k2 h2 k1 (10-8)
13
第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 2) 零层倒易面 单晶电子衍射花样是零层倒易平面的投影， 倒易阵点的 指数就是相应衍射斑点的指数
4
第二节 电子衍射原理
一、布拉格定律 由X射线衍射原理已经知道，布拉格定律是晶面产生衍 射 的必要条件， 它仍适用于电子衍射， 布拉格方程的一般形 式 为 2dsin = 加速电压为100~200kV，电子束的波长为10-3nm数量级，而 常 见晶体的面间距为10-1nm数量级，则有 sin = / 2d 10-2
[001] 000 g100 g010 g110
对于立方晶体， 若取晶带轴 指数[001]， 则对应的零层倒 易面为 (001)*0， 由晶带定理 知，(100)、(110) 等晶面属
于 [001]晶带，再根据ghkl和(hkl) a) b) 间的关系，可画出(001)*0， 图9-4 立方晶体 [001]晶带及倒易面 (001)*0 见图10-6
表
图10-4 爱瓦尔德球图解
达形式， 可直观地判断 (hkl) 晶面是10
否
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德球图解 由图10-4容易证明，式(10-7)和布拉格定律是完全等价的 说明， 只要(hkl)晶面的倒易阵点G 落在反射球面上，该晶面 必满足布拉格方程，衍射束的方向为k(OG) 爱瓦尔德球内三个矢量k、k 和 ghkl清晰地描述了入射束方向、 衍射束方向和衍射晶面倒易矢量之间的相对几何关系。 倒易 矢量 ghkl代表了正空间中(hkl)晶面的特性， 因此又称 ghkl为衍 射晶面矢量 如果能记录倒易空间中各 ghkl矢量的排列方式，就能推算出正 空间各衍射晶面的相对方位， 这是电子衍射分析要解决的主 11 要问题之一
7
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念 2. 倒易点阵的性质 2) 倒易矢量 在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为hkl 的阵点矢量称倒易矢量，记为ghkl
g hkl ha kb lc
(10-4)
倒易矢量ghkl与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为
电子衍射的特点
述
与X射线衍射相比，电子衍射具有如下特点： 1) 电子波波长很小，故衍射角2 很小(约10-2rad)、反射球半 径(1/)很大，在倒易原点O*附近的反射球面接近平面 2) 透射电镜样品厚度t 很小，导致倒易阵点扩展量(1/t)很大， 使略偏离布拉格条件的晶面也能产生衍射
3) 当晶带轴[uvw]与入射束平行时，在与反射球面相切的零层 倒易面上， 倒易原点O*附近的阵点均能与反射球面相截， 从而产生衍射，所以单晶衍射花样是二维倒易平面的投影 4) 原子对电子的散射因子比对X射线的散射因子约大4个数量 级， 故电子衍射强度较高，适用于微区结构分析，且拍摄 衍射花样所需的时间很短
五、偏离矢量与倒易阵点扩展
对于透射电镜常见的样品(包括样品中相的形状)，其对应 的倒易阵点的形状如图10-10所示
薄片状 细杆状 颗粒状 立方体
样品晶体形状
倒易阵点形状
倒易杆
倒易片
倒易球
倒易星
图10-10 样品晶体形状和倒易阵点形状的对应关系
20
第二节 电子衍射原理
五、偏离矢量与倒易阵点扩展 如图10-11所示， 由于倒易阵点扩展成倒易杆而与反射球 面相截，阵点中心指向反射球面的距离用s表示， 称偏离矢量 倒易阵点中心落在反射球面时，s = 0； 阵点中心落在反射球 面内， s＞0；反之，阵点中心落在 反射球面外，s＜0 当s = 0时，衍射强度最高；随 s 增 大衍射强度降低；当 s＞1/t 时，倒 易杆不再与反射球相截 偏离布拉格条件的衍射方程为
第二节 电子衍射原理 第三节 电子显微镜中的电子衍射
第四节 单晶体电子衍射花样的标定
第五节 复杂电子衍射花样
2
第一节 概
常见的电子衍射花样
述
晶态、准晶态和非晶态物质的衍射花样见图10-1
a)
b)
c)
d)
图10-1 常见的电子衍射花样 a) 单晶体 b) 多晶体 c) 准晶体 d) 非晶体
3
第一节 概
(001)*
0
g210
a) 正空间 b) 倒空间
14
第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 图10-7是体心立方晶体的2个零层倒易面。 (001)*0倒易面 上的阵点排列成正方形，而 (011)*0上 的阵点排列成矩形，说 明利用衍射斑点排列的图形可确定晶体的取向
图10-7 体心立方晶体的零层倒易面 a) (001)*0 ，b) (011)*0
j 1 n
(10-9)
式中，fj 为晶胞中位于(xj, yj, zj)的第j个原子的原子散射因子， n为单胞的原子数
因衍射强度 Ihkl 与 Fhkl 2 成正比，所以 Fhkl 反映了晶面的衍射 能力，即Fhkl 越大，衍射能力越强；当Fhkl = 0时，即使满足 布 拉格条件也不产生衍射，称这种现象为消光
因透射电镜样品的尺寸很小，使倒易阵点产生扩展而占据一 定空间，其扩展量是晶体该方向尺寸的倒数的2倍
正是倒易阵点的扩展，使 其与反射球面接触的机会 增大，导致倒易原点O*附 近的阵点均能与反射球面 相截而发生衍射
图10-9 衍射和衍衬分析常用的衍射条件 a) 晶带轴和入射束平行 b) 双光束条件
19
第二节 电子衍射原理
22
第二节 电子衍射原理
六、电子衍射基本公式 如图10-13，样品安放在反射球心O处，在其下方距离L处 是荧光屏或底片，O是透射斑点，G是衍射斑点 因2 很小，ghkl与k 接近垂直，故可得，△OO*G∽△OOG， 所以有，R/L = g / k，即 Rd = L 或 R = L g (10-12a) (10-12b)
12
零
(uvw)*0
g3 (h3k3l3) 000 g2 (h2k2l2)
g1 (h1k1l1)
图10-5 晶带与零层倒易面
式(10-8)即为晶带定理
第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 1) 晶带定理 晶带定理给出了晶面指数(hkl)和晶带轴指数[uvw]之间的 关系。 用晶带定理可求解已知两晶面的交线(即晶带轴)指数 如已知两个晶面指数分别为(h1k1l1)和(h2k2l2)，代入晶带定理 h1u + k1v + l1w = 0 h2u + k2v + l2w = 0
将 Fhkl 0 称为(hkl)晶面产生衍射的充分条件
16
第二节 电子衍射原理
四、结构因子—倒易阵点的权重 常见的几种晶体结构的消光规律如下： 简单立方：h、k、l 为任意整数时，均有Fhkl 0，无消光现象 面心立方：h、k、l 为异性数时，Fhkl = 0，产生消光 如{100}、{110}、{210}等晶面族 体心立方：h + k + l = 奇数时，Fhkl = 0，产生消光
V V V
式中，V 是正点阵单胞的体积，有
V a (b c) b (c b) c (a b) (10-2)
倒易点阵基本矢量垂直于正点阵中与 其异名的二基本矢量决定的平面
图10-2 倒、正空间 基本矢量的关系
6
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念 2.倒易点阵的性质 1) 基本矢量
a b a c b a b c c a c b 0
(10-2)
(10-3)
a a b b c c 1
正倒点阵异名基本矢量点乘积为0 ，由此可确定倒易点阵基 矢的方向；同名基本矢量点乘积为1， 由此可确定倒易点阵 基矢的大小
如{100}、{111}、{210}等晶面族
密排六方：h + 2k = 3n，且 l = 奇数时，Fhkl = 0，产生消光 如{001}、{111}、{221}等晶面族
17
第二节 电子衍射原理
四、结构因子—倒易阵点的权重 若将Fhkl 2作为倒易阵点的权重，则各倒易阵点彼此不再 等同。既然 Fhkl = 0 的晶面不能产生衍射，可将那些阵点从倒 易点阵中除掉，仅留下Fhkl 0 的阵点。 如图10-8， 将圆圈表 示的阵点(Fhkl = 0)去掉，面心立方正点阵对应的倒易点阵为体 心立方
k k = g + s
(10-11)
21
第二节 电子衍射原理
五、偏离矢量与倒易阵点扩展 图10-12给出了三种典型衍射条件下的反射球构图。晶体 结构和晶体取向分析时， 选择图10-12a 的衍射条件；衍衬分 析时，选用图10-12b或c所示的衍射条件
图10-12 三种典型衍射条件下的反射球构图 a) s 0 b) s 0 c) s 0
(10-6)
对于立方晶系同指数晶向和 晶面互相垂直，即晶向[hkl] 是晶面(hkl) 的法线 ， [hkl] // ghkl
图10-3 正、倒点阵的几何对应关系
9
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德球图解 在倒易空间，以O为球心，1/ 为半径作一个球，臵倒易 原点O*于球面上，从O向O*作入射波矢量 k (k = 1/)，此球称 爱瓦尔德球(或称反射球)，见图10-4 若(hkl)晶面对应的倒易阵点G落在反射 球面上，(hkl) 满足布拉格条件，有 k k = ghkl (10-7) 式中， ghkl为(hkl)的倒易矢量；k 为衍 射波矢量， 代表 (hkl) 晶面衍射束方向 爱瓦尔德球图解是布拉格定律的几何
解此方程组可求出晶带轴指数[uvw]，即
u = k1 l2 k2 l1 v = l1 h2 l2 h1 w = h1 k2 h2 k1 (10-8)
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第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 2) 零层倒易面 单晶电子衍射花样是零层倒易平面的投影， 倒易阵点的 指数就是相应衍射斑点的指数
4
第二节 电子衍射原理
一、布拉格定律 由X射线衍射原理已经知道，布拉格定律是晶面产生衍 射 的必要条件， 它仍适用于电子衍射， 布拉格方程的一般形 式 为 2dsin = 加速电压为100~200kV，电子束的波长为10-3nm数量级，而 常 见晶体的面间距为10-1nm数量级，则有 sin = / 2d 10-2
[001] 000 g100 g010 g110
对于立方晶体， 若取晶带轴 指数[001]， 则对应的零层倒 易面为 (001)*0， 由晶带定理 知，(100)、(110) 等晶面属
于 [001]晶带，再根据ghkl和(hkl) a) b) 间的关系，可画出(001)*0， 图9-4 立方晶体 [001]晶带及倒易面 (001)*0 见图10-6
表
图10-4 爱瓦尔德球图解
达形式， 可直观地判断 (hkl) 晶面是10
否
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (二) 爱瓦尔德球图解 由图10-4容易证明，式(10-7)和布拉格定律是完全等价的 说明， 只要(hkl)晶面的倒易阵点G 落在反射球面上，该晶面 必满足布拉格方程，衍射束的方向为k(OG) 爱瓦尔德球内三个矢量k、k 和 ghkl清晰地描述了入射束方向、 衍射束方向和衍射晶面倒易矢量之间的相对几何关系。 倒易 矢量 ghkl代表了正空间中(hkl)晶面的特性， 因此又称 ghkl为衍 射晶面矢量 如果能记录倒易空间中各 ghkl矢量的排列方式，就能推算出正 空间各衍射晶面的相对方位， 这是电子衍射分析要解决的主 11 要问题之一
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第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念 2. 倒易点阵的性质 2) 倒易矢量 在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为hkl 的阵点矢量称倒易矢量，记为ghkl
g hkl ha kb lc
(10-4)
倒易矢量ghkl与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为
电子衍射的特点
述
与X射线衍射相比，电子衍射具有如下特点： 1) 电子波波长很小，故衍射角2 很小(约10-2rad)、反射球半 径(1/)很大，在倒易原点O*附近的反射球面接近平面 2) 透射电镜样品厚度t 很小，导致倒易阵点扩展量(1/t)很大， 使略偏离布拉格条件的晶面也能产生衍射
3) 当晶带轴[uvw]与入射束平行时，在与反射球面相切的零层 倒易面上， 倒易原点O*附近的阵点均能与反射球面相截， 从而产生衍射，所以单晶衍射花样是二维倒易平面的投影 4) 原子对电子的散射因子比对X射线的散射因子约大4个数量 级， 故电子衍射强度较高，适用于微区结构分析，且拍摄 衍射花样所需的时间很短
五、偏离矢量与倒易阵点扩展
对于透射电镜常见的样品(包括样品中相的形状)，其对应 的倒易阵点的形状如图10-10所示
薄片状 细杆状 颗粒状 立方体
样品晶体形状
倒易阵点形状
倒易杆
倒易片
倒易球
倒易星
图10-10 样品晶体形状和倒易阵点形状的对应关系
20
第二节 电子衍射原理
五、偏离矢量与倒易阵点扩展 如图10-11所示， 由于倒易阵点扩展成倒易杆而与反射球 面相截，阵点中心指向反射球面的距离用s表示， 称偏离矢量 倒易阵点中心落在反射球面时，s = 0； 阵点中心落在反射球 面内， s＞0；反之，阵点中心落在 反射球面外，s＜0 当s = 0时，衍射强度最高；随 s 增 大衍射强度降低；当 s＞1/t 时，倒 易杆不再与反射球相截 偏离布拉格条件的衍射方程为
第二节 电子衍射原理 第三节 电子显微镜中的电子衍射
第四节 单晶体电子衍射花样的标定
第五节 复杂电子衍射花样
2
第一节 概
常见的电子衍射花样
述
晶态、准晶态和非晶态物质的衍射花样见图10-1
a)
b)
c)
d)
图10-1 常见的电子衍射花样 a) 单晶体 b) 多晶体 c) 准晶体 d) 非晶体
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第一节 概
(001)*
0
g210
a) 正空间 b) 倒空间
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第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 图10-7是体心立方晶体的2个零层倒易面。 (001)*0倒易面 上的阵点排列成正方形，而 (011)*0上 的阵点排列成矩形，说 明利用衍射斑点排列的图形可确定晶体的取向
图10-7 体心立方晶体的零层倒易面 a) (001)*0 ，b) (011)*0
j 1 n
(10-9)
式中，fj 为晶胞中位于(xj, yj, zj)的第j个原子的原子散射因子， n为单胞的原子数
因衍射强度 Ihkl 与 Fhkl 2 成正比，所以 Fhkl 反映了晶面的衍射 能力，即Fhkl 越大，衍射能力越强；当Fhkl = 0时，即使满足 布 拉格条件也不产生衍射，称这种现象为消光
因透射电镜样品的尺寸很小，使倒易阵点产生扩展而占据一 定空间，其扩展量是晶体该方向尺寸的倒数的2倍
正是倒易阵点的扩展，使 其与反射球面接触的机会 增大，导致倒易原点O*附 近的阵点均能与反射球面 相截而发生衍射
图10-9 衍射和衍衬分析常用的衍射条件 a) 晶带轴和入射束平行 b) 双光束条件
19
第二节 电子衍射原理
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第二节 电子衍射原理
六、电子衍射基本公式 如图10-13，样品安放在反射球心O处，在其下方距离L处 是荧光屏或底片，O是透射斑点，G是衍射斑点 因2 很小，ghkl与k 接近垂直，故可得，△OO*G∽△OOG， 所以有，R/L = g / k，即 Rd = L 或 R = L g (10-12a) (10-12b)
12
零
(uvw)*0
g3 (h3k3l3) 000 g2 (h2k2l2)
g1 (h1k1l1)
图10-5 晶带与零层倒易面
式(10-8)即为晶带定理
第二节 电子衍射原理
三、晶带定理与零层倒易面 1) 晶带定理 晶带定理给出了晶面指数(hkl)和晶带轴指数[uvw]之间的 关系。 用晶带定理可求解已知两晶面的交线(即晶带轴)指数 如已知两个晶面指数分别为(h1k1l1)和(h2k2l2)，代入晶带定理 h1u + k1v + l1w = 0 h2u + k2v + l2w = 0
将 Fhkl 0 称为(hkl)晶面产生衍射的充分条件
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第二节 电子衍射原理
四、结构因子—倒易阵点的权重 常见的几种晶体结构的消光规律如下： 简单立方：h、k、l 为任意整数时，均有Fhkl 0，无消光现象 面心立方：h、k、l 为异性数时，Fhkl = 0，产生消光 如{100}、{110}、{210}等晶面族 体心立方：h + k + l = 奇数时，Fhkl = 0，产生消光
V V V
式中，V 是正点阵单胞的体积，有
V a (b c) b (c b) c (a b) (10-2)
倒易点阵基本矢量垂直于正点阵中与 其异名的二基本矢量决定的平面
图10-2 倒、正空间 基本矢量的关系
6
第二节 电子衍射原理
二、倒易点阵与爱瓦尔德图解 (一) 倒易点阵的概念 2.倒易点阵的性质 1) 基本矢量
a b a c b a b c c a c b 0
(10-2)
(10-3)
a a b b c c 1
正倒点阵异名基本矢量点乘积为0 ，由此可确定倒易点阵基 矢的方向；同名基本矢量点乘积为1， 由此可确定倒易点阵 基矢的大小
如{100}、{111}、{210}等晶面族
密排六方：h + 2k = 3n，且 l = 奇数时，Fhkl = 0，产生消光 如{001}、{111}、{221}等晶面族
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第二节 电子衍射原理
四、结构因子—倒易阵点的权重 若将Fhkl 2作为倒易阵点的权重，则各倒易阵点彼此不再 等同。既然 Fhkl = 0 的晶面不能产生衍射，可将那些阵点从倒 易点阵中除掉，仅留下Fhkl 0 的阵点。 如图10-8， 将圆圈表 示的阵点(Fhkl = 0)去掉，面心立方正点阵对应的倒易点阵为体 心立方