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期中复习圆的压轴两题

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2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题1、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．2、如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半径．3、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．4、如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．5、如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，O是△AB C内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。

连接DF、EG。

(1) 求证：AB=AC(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.8、如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．9、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．10、如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB 为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．11、在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．12、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F 两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．13、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．14、如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．15、如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．17、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．18、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．参考答案：1、【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．2、【解答】（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是，∴∠A=∠E，又∵∠E+∠C=90°，∴∠A+∠C=90°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AB为直径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵sinA=，BC=6，∴=，即=，解得AC=10，由勾股定理得，AB===8，∵AB为直径，∴⊙O的半径是×8=4．3、【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵PC2=PE•PO，∴PC：PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半径为3．4、【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴DE2=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴=，即=，∴PD=4．5、【解答】解：（1）连接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，在直角△BCD中，BC===2．又AC=BC，∴AC=2．作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B=30°，∴CE=BC=，=AB•CE=×6×=3．∴S△ABC6、【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．7、解析：（1）证明：∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴AD＝AE．∴∠ADE＝∠AED．∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．设⊙O 的半径为r．∵四边形DFGE 是矩形，[来源:学科网]∴∠DFG＝90°．∴DG 是⊙O 的直径．∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC．又OD＝OE，∴AN 平分∠BAC．又AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝12BC＝6．在Rt△ABN 中，AN＝＝8．∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°．又∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN．．∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°．又∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN．∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为60 17·8、【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线，∴∠CAO=∠DBO=90°，在△ACO和△BDO中∵，∴△ACO≌△BDO（ASA）；（2）∵△ACO≌△BDO，∴CO=DO，∵OM⊥CD，∴MC=DM，EM=MF，∴CE=DF．9、【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．∵∠E=30°，∴EF=2BF=2．10、【解答】（1）证明：∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．11、【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．12、【解答】解；（1）连接OD，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，∴OD=2CO，设OC=x，∴x2+（）2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，[来源:Z|xx|]∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠CDO==，∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S圆=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．13、【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PA C，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．14、【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵B C2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．15、【解答】解：（1）如图，连接OM，∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD=90°，∴∠BME+∠OMB=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°．∴∠AMO+∠OMB=90°，∴∠BME=∠AMO，∵OA=OM，∴∠MAB=∠AMO，∴∠BME=∠MAB；（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM=∠AMB=90°，∴△BME∽△BAM，∴，[来源:学科网]∴BM2=BE•AB；（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵sin∠BAM=，∴sin∠BME=，在Rt△BEM中，BE=，∴sin∠BME==，∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=，∴sin∠BAM==，∴AB=BM=10，根据勾股定理得，AM=8．16、【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人，在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，根据勾股定理得：AB==12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴=，即=，解得：r=；（2）∵=，∠F=2∠B，∴∠AOE=2∠F=4∠B，∵∠AOE=∠OEB+∠B，∴∠B=30°，∠F=60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．[来源:学|科|网]17、【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．18、【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ODA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF=DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH=∠EFH，又∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，即∠DFH=∠DHF，∴DF=DH．②设HG=x，则DH=DF=1+x，∵OH⊥AD，∴AD=2DH=2（1+x），∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x=1，∵DF=2，AD=4，∵AF为直径，∴∠ADF=90°，∴AF=∴⊙O的半径为．。

中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．23【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB=，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，∴∠FBA+∠ABO=90°，∴∠FAB+∠BAO=90°，即∠FAO=90°，∴PA⊥OA，∴PA是圆O的切线；（3）过点F作FH⊥AD于点H，∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，由(2)，知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF.∵BF=FG，∴AF=FG，∴△AFG是等腰三角形.∵FH⊥AD，∴AH=GH，∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，∴四边形BDHF 是矩形，∴BD =FH ，∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG ，∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =， ∴23 2.153≈， ∵O 的半径长为32，∴BC =62，∴BD =13BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.5．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA •AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测

2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测

重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。

压轴题 圆的五种考法(解析版)--九年级数学常考压轴题

压轴题 圆的五种考法(解析版)--九年级数学常考压轴题

压轴题圆的五种考法目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、四点共圆类型二、圆中最值问题类型三、定点定长构造辅助圆类型四、定弦定角构造辅助圆类型五、对角互补构造辅助圆压轴能力测评(10题)类型一、四点共圆一．填空题1.(2022秋•大丰区期中)如图，ΔABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG=120°．若CD=4+22，则ΔDEG的面积的最小值是．【分析】连接EF，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明EF⎳DG，从而得到SΔEDG=S△EDG，当FG最小时，ΔDFG的面积就最小，作ΔDFG的外接圆O，过O点作OH⊥FG交于点H，连接OF、OG，DO+OH=12+22FG，当DO+OH最小时，FG就最小，当D、O、H三点共线时，DO+OH最小，此时DH⊥FG，在RtΔFHO中，(2FH)2=FH2+(2+2-2FH)2，求出FH=2，可得FG的最小值为22，再求SΔDFG =22+2，即ΔDEG的面积的最小值为22+2．【解答】解：连接EF，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，∴∠B=45°，∠DAC=60°，∵∠BAC=105°，∵A、E、F、D四点共圆，∴∠EDF=75°，∵∠EDG=120°，∴∠FDG=45°，∵ED =ED ，∴∠EFD =∠FDG ，∴EF ⎳DG ，∴S ΔEDG =S △EDG ，∵CD =4+22，∠C =30°，∴AC =833+463，AD =433+263，∴AC 边上的高=AD ⋅DC AC=2+2，∴当FG 最小时，ΔDFG 的面积就最小，作ΔDFG 的外接圆O ，过O 点作OH ⊥FG 交于点H ，连接OF 、OG ，∵∠FDG =45°，∴∠FOG =90°，∵OF =GO ，∴ΔFOG 是等腰直角三角形，∵∠FOH =12∠FOG =45°，∴ΔFOH 是等腰直角三角形，∴FH =OH =12FG ，FO =2FH ，∴DO +OH =22FG +12FG =12+22FG ，∴当DO +OH 最小时，FG 就最小，∵DO +OH ≥DH ，∴当D 、O 、H 三点共线时，DO +OH 最小，此时DH ⊥FG ，∴DH =2+2，在Rt ΔFHO 中，(2FH )2=FH 2+(2+2-2FH )2，解得FH =2或FH =4+32，∵OH =2+2=FH +FO ，∴FH =2，∴FG 的最小值为22，∴S ΔDFG =12×22×(2+2)=22+2，∴ΔDEG 的面积的最小值为22+2，故答案为：22+2．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键．二．解答题2.(2022秋•建湖县期中)如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，DB =DC ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角．(1)若∠DAE =75°，则∠DAC =°；(2)过点D 作DE ⊥AB 于E ，判断AB 、AE 、AC 之间的数量关系并证明；(3)若AB =6、AE =2，求BD 2-AD 2的值．【分析】(1)根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°；(2)过点D作DF⊥AC于点F，可证明ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，ΔADE≅ΔADF(AAS)，则AC=AF+FC= AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=64+DE2，在RtΔAED中，AD2=4+ED2，再求解即可．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠BCD，∵BD=CD，∴∠CBD=∠DCB，∵弧CD所对的圆周角分别为∠CAD、∠CBD，∴∠CBD=∠CAD，∵∠DAE=75°，∴∠DCB=∠DBC=∠DAC=75°，故答案为：75；(2)过点D作DF⊥AC于点F，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∵∠ABD=∠ACD，BD=CD，∠E=∠DFC=90°，∴ΔBDE≅ΔCDF(AAS)，∴DE=DF，AE=CF，∴∠ADE=∠ADF，又∵∠E=∠AFD，AD=AD，∴ΔADE≅ΔADF(AAS)，∴AE=AF，∴AC=AF+FC=AE+BE=AE+AE+AB=2AE+AB，即AC=2AE+AB；(3)在RtΔBDE中，BD2=BE2+DE2，在RtΔAED中，AD2=AE2+ED2，∵AB=6，AE=2，∴BE=8，∴BD2=64+DE2，AD2=4+ED2，∴BD2-AD2=60．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．3.(2023秋•鄞州区期中)如图，在△ABC 中，点D ，E 为AB ，AC 上的点，BE =CD ，DC ，BE 交于F ，△BDF 与△CEF 的外接圆相交于点G (异于F )，H 1，H 2分别为△ABC 和△ADE 的垂心．证明：(1)GF 平分∠BFC ；(2)H 1，H 2，G 三点共线．(注：利用坐标系、复数解题者不给分)【分析】(1)通过证明△BGE ≅△DGC 得出DG =BG ，然后由BG =DG 推导出∠BFG +∠DFG =180°，再由邻补角的性质得出∠BFG =∠GFC ，即可证明结论；(2)根据题意构造B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ，以及D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ，然后由相似三角形推导出点H 1、H 2对于⊙P 和⊙Q 等幂，再由根轴的性质得出H 1H 2是PQ 的垂直平分线，最后根据GP =GQ 得到GM ⊥PQ ，进而证得三点共线．【解答】(1)证明：在△BGE 和△DGC 中，∠GBE =∠GDC ，BE =CD ，∠GEB =∠GCD ，∴△BGE ≅△DGC (ASA )．∴DG =BG ，∴BG =DG ，∵DBG +DG =2πR (R 为△BDF 的外接圆半径)．∴∠BFG +∠DFG =180°．又∵∠GFC +∠DFG =180°，∴∠BFG =∠GFC ，∴GF 平分∠BFC ．(2)证明：连接BH 1、DH 2并延长分别交AC 于B ′、D ′，连接CH 1、EH 2并延长交AB 于C ′、E ′．BE 中点为P ，CD 中点为Q .∵BB ′⊥AC ，EE ′⊥AB ，∴B 、E 、B ′、E ′四点共⊙P ．∵DD ′⊥AC ，CC ′⊥AB ，∴D 、C 、D ′、C ′四点共⊙Q ．∵∠DE ′H 2=∠ED ′H 2，∠DH 2E ′∽△EH 2D ′，∴△DE ′H2∽△ED ′H 2，∴DH 2:EH 2=E ′H 2:D ′H 2，∴DH 2⋅D ′H 2=EH 2⋅E ′H 2．同理得CH 1⋅C ′H 1=BH 1⋅B ′H 1．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的根轴上．∵⊙P 和⊙Q 的根轴是过两圆的交点的直线．∴H 1，H 2在⊙P 和⊙Q 的公共弦JK 上．又∵BE =CD ，即⊙P 和⊙Q 是等圆，∴四边形PJQK 为菱形．∴H 1H 2是PQ 的垂直平分线，M 为PQ 中点．由(1)知△BGE ≅△DGC ，∵GP 、GQ 分别为△BGE 和△DGC 的对应边上的中线，∴GP =GQ ，∴点G 在PQ 的垂直平分线上．∴H 1，H 2，G 三点共线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出H 1、H 2两点对于⊙P 和⊙Q 等幂是解答本题的关键．4.(2022秋•沙坪坝区校级期中)在ΔABC 中，已知AB =AC ，作AM ⊥BC ，D 是AM 上一点，∠DBC =30°，连接BD 、CD ，在BD 上截取DE =AD ，连接AE ．(1)如图1所示，若∠BAC =90°，AD =3，求ΔABE 的周长；(2)如图2所示，若分别取AE 、AC 的中点N 、H ，连接MN 、MH ，求证：MN =MH ；(3)如图3所示，∠BAC =90°，BC =2，将AC 沿着直线AP 翻折得到AQ ，连接BQ ，直线BQ 交AP 于点P ，N 为AE 中点，当PN 取得最小值时，请直接写出ΔAPN 的面积．【分析】(1)过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，由∠DBC =30°，可得BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，由勾股定理可得BM =3x ，AM =x +3，可得BM =CM =AM =33+32，AB =2BM =2×33+32=36+322，利用勾股定理可得AL =AD 2-DL 2=(3)2-32 2=32，进而可得AE =2AL =2×32=3，即可求得答案；(2)延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，可证得ΔDET 是等边三角形，得出：DT =ET =DE =AD ，∠DTE =60°，再证得ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，可得AB =EF =AC ，利用三角形中位线定理可得MN =12EF ，再由直角三角形性质可得MH =12AC ，即可证得结论；(3)连接CP ，先证得点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，利用解直角三角形可得DM =BM ⋅tan30°=33，AD =DE =1-33，AN =EN =32AD =321-33 ，NG =12AN =12×321-33 =3-14，AG =3NG =3-34，GM =AM -AG =1-3-34=1+34，由勾股定理可得MN =GM 2+NG 2=1+34 2+3-14 2=22，PN =MP -MN =1-22，再利用S ΔAPN S ΔAMN =PN MN=2-1，即可求得答案．【解答】(1)解：过点D 作DL ⊥AE 于L ，则∠ALD =∠ELD =90°，∵∠BAC =90°，AB =AC ，AM ⊥BC ，∴AM =BM =CM ，∠BMD =90°，∠ABM =∠BAM =45°，∵∠DBC =30°，∴BD =2DM ，设DM =x ，则BD =2x ，∴BM =BD 2-DM 2=(2x )2-x 2=3x ，AM =x +3，∴3x =x +3，∴x =3+32，∴BM =CM =AM =33+32，∴AB =2BM =2×33+32=36+322，∵DE =AD ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DAE +∠DEA =∠BDM =90°-30°=60°，∴∠DAE =∠DEA =30°，∴∠BAE =∠BAM -∠DAE =45°-30°=15°，∵∠ABD =∠ABM -∠DBC =45°-30°=15°，∴∠BAE =∠ABD ，∴AE =BE ，在Rt ΔADL 中，DL =12AD =32，∴AL =AD 2-DL 2=(3)2-322=32，∵DE =AD ，DL ⊥AE ，∴AE =2AL =2×32=3，∴ΔABE 的周长=AB +AE +BE =36+322+3+3=36+32+122；(2)证明：延长AM 至F ，使MF =AM ，在DF 上截取DT =DE ，连接EF ，ET ，设∠ABM =α，则∠BAM =90°-α，∵∠DBC =30°，∴∠BDT =60°，∠ABD =α-30°，BD =2DM ，∵DE =AD ，∴∠AED =∠DAE =30°，∴ΔDET 是等边三角形，∴DT =ET =DE =AD ，∠DTE=60°，∵AF =2(AD +DM )=AT +FT ，∴FT =2DM =BD ，∵∠EDT =∠ETD =60°，∴∠ADB =180°-60°=120°=∠ETF ，在ΔABD 和ΔEFT 中，AD =ET∠ADB =∠ETF BD =FT，∴ΔABD ≅ΔEFT (SAS )，∴AB =EF ，∵AB =AC ，∴EF =AC ，∵N 、M 分别是AE 、AF 的中点，∴MN =12EF ，∵点H 是Rt ΔACM 斜边AC 的中点，∴MH =12AC ，∴MN =MH ；(3)解：如图，连接CP ，由翻折得：∠ACP =∠AQP ，AC =AQ ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，BC =2，AM ⊥BC ，∴AB =AQ ，AM =BM =CM =1，∴∠ABP =∠AQB ，∵∠AQB +∠AQP =180°，∴∠ABP +∠ACP =180°，∴点P 在ΔABC 的外接圆⊙M 上，当且仅当点P 为半径MP 经过点N 时，PN 取得最小值，如图，连接DN ，过点N 作NG ⊥AM 于G ，∵∠DBC =30°，∴DM =BM ⋅tan30°=33，∴AD =DE =1-33，∴AN =EN =32AD =321-33，∵∠AGN =90°，∠NAG =30°，∴NG =12AN =12×321-33 =3-14，∴AG =3NG =3-34，∴GM =AM -AG =1-3-34=1+34，在Rt ΔMNG 中，MN =GM 2+NG 2=1+342+3-14 2=22，∴PN =MP -MN =1-22，∴SΔAPNSΔAMN=PNMN=1-2222=2-1，∵SΔAMN=12AM⋅NG=12×1×3-14=3-18，∴SΔAPN=(2-1)SΔAMN=(2-1)×3-18=6-3-2+18．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点．5.(2022秋•鼓楼区期中)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图1、2)；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．求证：AF是ΔABC的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)(4)如图7，点P是ΔABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在ΔABC的外接圆上．【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；(2)由圆周角的性质可得∠BED+∠A=180°，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论；(3)如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，从而证明∠BAF+∠ABF=90°即可；(4)连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得，∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF =∠CPF，再由外角的性质及角的和差可得∠BAC=∠BPC，由此可得点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【解答】解：(1)在图1、2中，取AC的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA=OB= OC=OD，即A，B，C，D共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)在图3中，画⊙O经过点A，B，D(图5)．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得∠BED+∠A=180°，∴∠BED=180°-∠A，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：∠BED+∠A；180°-∠A；(3)如图6，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE=∠ECB，由点A、D、H、E四点共圆得∠BDE=∠BAF，∴∠ECB=∠BAF，∵∠BEC=90°，∴∠ECB+∠ABF=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠BFA=90°，∴AF为ΔABC的边BC上的高．(4)如图7，连接BP和CP，由点A，E，P，F四点共圆可得∠BEF=∠BPF，由点C，P，D，F四点共圆可得∠CDF=∠CPF，∵∠ADE=∠CDF，∴∠ADE=∠CPF，∵∠BAC=∠BEF+∠ADE，∠BPC=∠BPF+∠CPF，∴∠BAC=∠BPC，∴点A，B，C，P四点共圆，即点P在ΔABC的外接圆上．【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第(3)(4)题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．类型二、圆中最值问题一．填空题6.(2022秋•长沙期中)如图，⊙O 的半径为1，P A ，PB 为⊙O 的切线，切点为A ，B ，∠APB =60°，点M 为劣弧AB 上一动点，过点M 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于点E ，F ，EF 的最小值是．【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解．【解答】解：连接OA ，OE ，OM ，OF ，OB ，∵P A ，PB 为⊙O 的切线，EF 切⊙O 于M ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，OM ⊥EF ，∵四边形PBOA 内角和是360°，∴∠P +∠AOB =360°-∠P AB -∠PBA =180°，∴∠AOB =180°-∠P =120°，∵OE =OE ，OA =OM ，∴Rt ΔOAE ≅Rt ΔOME (HL )，∴∠AOE =∠MOE ，同理：∠MOF =∠BOF ，∴∠EOF =∠EOM +∠FOM =12∠AOB =60°，设ΔOEF 的外心是点C ，作CH ⊥EF 于H ，连接CO ，CE ，CF ，OM ，∵点C 是ΔOEF 的外心，∴OC =EC =FC ，∴∠CEF =∠CFE ，EH =FH ，∵∠ECF =2∠EOF =120°，∴∠CEF =30°，∴CH =12CE =12OC ，∵OC +CH ≥OM ，∴3CH ≥1，∴CH ≥13，∵tan ∠CEH =CH EH，∴EH =3CH ，∴EF =2EH =23CH ，∴EF ≥233，∴EF 的最小值是233，故答案为：233．【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性二．解答题7.(2022秋•东城区校级期中)对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G 的“k分点”．已知点N(3,0)，A(1,0)，B(0,3)，C(1,-1)．(1)①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是；②点D(a,0)，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；(2)以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．【分析】(1)①分别求出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，看是否满足“2分点”定义即可，②对a的取值分情况讨论：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<0，根据“二分点”的定义可求解，(2)设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)．对r的取值分情况讨论0<r≤1，1<r<3且m<r，1<r<3且m>r，r≥3，根据二分点的定义可求解．【解答】(1)解：①如图，∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=32+32=32，∴点B是线段ON的“2分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为CN=22+12=5∴点C不是线段ON的“2分点”，故答案为：点B；②当0<a≤1时，点C到OD的最小值为CD=(1-a)2+(-1)2=2-2a+a2，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，∴2=22-2a+a2，即2a2-4a+3=0，∵△<0，故无解，舍去；当1<a≤2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CO=12+(-1)2=2，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，当a>2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CD=(a-1)2+(0-1)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，∴a2-2a+2=2×1，a1=1+3,a2=1-3(舍去)，当a<0时，点C到OD的最小值为CO=12+(-1)2=2，点C到OD的最大值为CD=(1-a)2+(-1-0)2=a2-2a+2，∵点C为线段OD的“二分点”，同0<a≤1时，无解，舍去；综上，a=1+3．(2)如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为M(m，0)(1≤m≤3)，当0<r≤1时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=m+r，即r=13∵1≤m≤3，≤r≤1，∴13当1<r<3且m<r时，最小值为：r-m，最大值为r+m，∴2(r-m)=r+m，即r=3m，∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在，当1<r<3且m>r时，最小值为：m-r，最大值为：m+r，m，∴2(m-r)=r+m，即r=13≤r≤1，∴13∵1<r<3，∴r 不存在．当r ≥3时，最小值为：r -m ，最大值为：m +r ，∴2(r -m )=r +m ，即r =3m ，∴3≤r ≤9．综上所述，r 的取值范围为13≤r ≤1或3≤r ≤9．【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“k 分点”的定义是解题的关键．8.(2022秋•江阴市期中)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-3，0)，点B 在y 轴的正半轴上，且∠ABO =30°，以点B 为圆心，1为半径画⊙B ，与y 轴交于点C (点C 在点B 的下方)，点Q 是AB 的中点，点P 是⊙B 上的一个动点，从点C 开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t 秒．(1)如图1，连接OQ ，当OQ ⎳BP 时，求t 的值；(2)如图2，点P 在运动过程中，连接AP ，以AP 为边在左侧作等边ΔAPD ，①当t =12秒时，求点D 的坐标；②连接DQ ，当DQ 最大时，求此时t 的值和这个最大值．【分析】(1)如图，过点B 作BP ⎳OQ ，交⊙B 于点P 1，P 2，由平行得出点P 的旋转角，进而可得出时间t ；(2)①将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，易证△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，所以B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°；过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，所以∠M =∠ANB ′=90°，由互余可知，∠MBD ′=∠B ′AN ，所以∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，所以∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，则MB ′=12，MD =32，进而可得点D 的坐标；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，设⊙B与y 轴的另一个交点为C ′，则C ′(0,4)，OC ′=4，由点Q 是AB 的中点可知，Q -32，32，B ′(-23，3)，进而可得B ′Q =3，所以DQ =4，易证△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，进而可得ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，所以AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，所以t =180°5°=36．【解答】解：(1)如图：∵ΔABO 是直角三角形，Q 是AB 中点，∴OQ =QA =QB ，∴∠BOQ =∠ABO =30°，又∵OQ ⎳BP 1，∴∠OBP 1=∠BOQ =30°，∴点P 的轨迹是⊙B 中30°圆心角所对的弧，∴t =30°5°=6，∵当点P 运动到P 1B 延长线与⊙B 的交点P 2时，点P 的轨迹是⊙B 中180°+30°=210°圆心角所对的弧，∴t =210°5°=42．故t 的值为6或42；(2)①如图，∵∠ABO =30°，OA =3，∴OB =3，AB =23，当t =12时，∠CBP =60°，∴∠ABP =90°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°到线段AB ′，连接B ′D ，由旋转可知，∠BAB ′=60°，AB =AB ′=23，∵ΔADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°，AD =AP ，∴∠B ′AD =∠BAP ，∴△AB ′D ≅ΔABP (SAS )，∴B ′D =BP =1，∠AB ′D =∠ABP =90°，过点B ′作B ′N ⊥x 轴于点N ，过点D 作DM ⊥B ′N 于点M ，∴∠M =∠ANB ′=90°，∴∠AB ′N +∠B ′AN =90°，∠MB ′D +∠AB ′N =90°，∴∠MB ′D =∠B ′AN ，∵∠B ′AB =60°，∠BAO =60°，∴∠B ′AN =60°，AN =3，B ′N =3，∴∠MB ′D =60°，∴MB ′=12，MD =32，∴MN =72．∴D -332，72；②由旋转可知，点D 在以点B ′为圆心，1长为半径的圆上运动，∴当DQ 最大时，点D ，B ′，Q 三点共线，如图所示，设⊙B 与y 轴的另一个交点为C ′，∴C ′(0,4)，∴OC ′=4，∵点Q 为AB 的中点，∴AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，由①可知，B (0,3)，∴Q -32，32，B ′(-23，3)，∴DQ =4，∴B ′Q =BO ，AQ =BQ =3，AB ′=AB =23，∴△AB ′Q ≅ΔABO (SSS )，∴∠AQB ′=∠AOB =90°，∵DQ =OC ′，AQ =AO ，∴ΔADQ ≅△AC ′O (SAS )，∴AD =AC ′，即此时点P 与点C ′重合，∴t =180°5°=36．综上，t =36，DQ 最大值是4．【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，含30°的直角三角形的三边关系，根据题意得出点D 的轨迹是解题关键．类型三、定点定长构造辅助圆一．填空题9.(2023秋•常州期中)如图，点A ，B 的坐标分别为A (4,0)，B (0,4)，C 为坐标平面内一点，BC =2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，OM 的最大值为．【分析】先判断出点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，再取OD =OA =4，连接OD ，则OM 是ΔACD 的中位线，OM =12CD ，进而可得OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，计算即可求出结果．【解答】解：∵C 为坐标平面内一点，BC =2，∴点C 的运动轨迹是在半径为2的⊙B 上，如图，取OD =OA =4，连接OD ，∵点M 为线段AC 的中点，∴OM 是ΔACD 的中位线，∴OM =12CD ，∴OM 最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt ΔOBD 中，BD =42+42=42，∴CD =2+42，∴OM 的最大值是1+22．故答案为：1+22．【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点C 的运动轨迹．二．解答题10.(2022秋•秀洲区期中)如图，ΔABC 中，AC =BC =4，∠ACB =90°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，∠AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．∴∠AEB =∠ACB =°．(2)若BE =2，求CF 的长．(3)线段AE 最大值为；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为．【分析】(1)根据AC =BC =EC ，得A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，根据圆周角定理可知∠AEB 的度数；(2)由ΔEFG 是等腰三角形可求出FG =1，利用勾股定理求出CG 的长，从而得出答案；(3)根据直径是圆中最大的弦知当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为2AC =8，取AB 的中点O ，连接OF ，可证∠AFB =90°，则点F 在以AB 为直径的圆O 上，当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF ⊥BC ，从而解决问题．【解答】解：(1)∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠AEB =12∠ACB =45°，故答案为：12，45；(2)由折叠可知，CD 垂直平分BE ，∴BE ⊥CD ，设CD 、BE 交于点G ，则GE =BG =12BE =1，∴∠FGE =90°，∵∠AEB =45°，∴FG =GE =1，在Rt ΔCEG 中，由勾股定理得，CG =CE 2-DE 2=15，∴CF =CG -FG =15-1；当点E 在AB 的下方时，如图，∵AC =BC =EC ，∴A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，∴∠EAB +∠EBA =12∠ACB =45°，即∠BEF =45°，由翻折可知，∠EGF=90°，EG=GB 12BE=1，∴ΔEGF是等腰直角三角形，∴GF=EG=1，在RtΔCEG中，CG=CE2-EG2=42-12=15，∴CF=15+1，综上所述，CF的长为15-1或15+1；(3)∵A，B，E，三点在以C为圆心，以AC为半径的圆上，∴当AE经过圆心C时，线段AE的最大值为2AC=8，在RtΔABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=42，BM=CM=12BC=2，∠ABC=∠BAC=45°，连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图，∵CD垂直平分BE，∠AEB=45°，∴BF=EF，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴∠EFB=90°，∴∠AFB=90°，∴OF=12AB=OA=OB=22，∴点F在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∵∠ACB=90°，∴点C在⊙O上，∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC，∴OM=BM⋅tan∠ABC=2×1=2，∴MF=OF-OM=22-2，即线段MF的最小值为22-2，故答案为：8；22-2．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题11.(2023春•梁子湖区期中)如图，矩形ABCD的边AB=8，AD=6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP=∠P AB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．【分析】先找出点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，设圆心为O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，可推出M ′P ′的长即为PN +MN 的最小值，再求出M ′P ′的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，∵∠ADP =∠P AB ，∴∠ADP +∠P AD =∠P AB +∠P AD =∠BAD =90°，∴点P 的运动路线为以AD 为直径的圆，作以AD 为直径的⊙O ，作点M 关于直线DC 的对称点M ′，连接OM ′交⊙O 于点P ′，连接M ′N ，OP ，则OP =OP ′=3，M ′N =MN ，∴PN +MN =PN +M ′N =PN +M ′N +OP -OP ′≥OM ′-OP ′=OM ′-3，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3；连接OM ，∵四边形ABCD 是矩形，点O 是AD 的中点，点M 为BC 的中点，∴OD =12AD =12BC =CM =3，OD ⎳CM ，∠ODC =90°，∴四边形OMCD 是矩形，∴OM =DC =AB =8，∵点M 关于直线DC 的对称点M ′，∴M ′M =2MC =6，在Rt △M ′OM 中，由勾股定理，得OM ′=OM 2+M ′M 2=82+62=10，∴PN +MN 的最小值为OM ′-3=10-3=7，故答案为：7．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．二．解答题小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，OA =OB =OC ，若∠AOB =50°，求∠ACB 的度数．解：若以点O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，∠AOB 是⊙O 的圆心角，而∠ACB 是圆周角，从而可容易得到∠ACB = °．②如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且∠BPC =90°，若AB =4，求AP 的最小值．解：∵BC =4，∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上，设圆心为点O ，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，最小值为 ．(2)【问题解决】①如图3，在平行四边形ABCD 中，已知AB =4，BC =6，∠ABC =60°，点P 是BC 边上一动点(点P 不与B ，C 重合)，连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点Q ，则线段QC 的最小值为 ．②如图4，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，D 为AC 上一动点，以AD 为直径的⊙O 交BD 于E ，求线段CE 的最小值．(3)【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点A (2,3)，B (6,7)，x 轴上有一动点P ，当∠APB 最大时，直接写出点P 的坐标 ．【分析】(1)①利用圆周角定理即可求得答案；②由正方形性质可得：∠ABC =90°，BC =AB =4，OB =12BC =2，由勾股定理得：AO =25，推出点P 在以BC 为直径的⊙O 上，则O 、P 、A 三点共线时AP 最小，即可求得答案；(2)①过点A 作AH ⊥BC 于H ，利用解直角三角形得AH =AB ⋅sin ∠ABC =23，BH =AB ⋅cos ∠ABC =2，CH =BC -BH =4，由勾股定理得AC =27，再由AQ =AB =4，可得点Q 在以A 为圆心AB 为半径的⊙A 上，即当C 、Q 、A 三点共线时QC 最小，QC 的最小值=AC -AQ =27-4；②连接AE ，由AD 是⊙O 的直径，可得∠AED =90°，推出∠AEB =90°，即点E 在以AB 为直径的圆上，进而可得当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，运用勾股定理即可求得答案；(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，利用待定系数法可得直线AB 的解析式为y =x +1，线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，根据O ′A =O ′B =O ′P ，建立方程求解即可得出答【解答】解：(1)①如图1，以点O为圆心，OA为半径作辅助圆⊙O，∵AB =AB ，∠AOB=50°，∠AOB=25°，∴∠ACB=12故答案为：25．②点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC=90°，若AB=4，求AP的最小值．如图②，以BC为直径作⊙O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4，BC=2，∴OB=12在Rt△ABO中，AO=AB2+OB2=42+22=25，∵BC=4，∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，则O、P、A三点共线时AP最小，∴AP的最小值=AO-OP=25-2，故答案为：25-2．(2)①如图3，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=4，BC=6，∠ABC=60°，则AH=AB⋅sin∠ABC=4sin60°=23，BH=AB⋅cos∠ABC=4cos60°=2，∴CH=BC-BH=6-2=4，在Rt△ACH中，AC=AH2+CH2=(23)2+42=27，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ=AB=4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值=AC-AQ=27-4，故答案为：27-4．②如图4，连接AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=180°-∠AED=90°，以AB 为直径作⊙Q ，交⊙O 于E ，当C 、E 、Q 三点共线时，CE 最小，∵△ABC 中，∠BAC =90°，AB =4，AC =3，∴QE =AQ =12AB =2，∴CQ =AC 2+AQ 2=32+22=13，∴CE =CQ -QE =13-2，故线段CE 的最小值为13-2．(3)当∠APB 最大时，过A 、B 两点的⊙O ′与x 轴相切，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A (2,3)，B (6,7)代入，得：2k +b =36k +b =7 ，解得：k =1b =1 ，∴直线AB 的解析式为y =x +1，∵线段AB 的中点坐标为(4,5)，圆心O ′在AB 的垂直平分线上，∴线段AB 的垂直平分线为y =-x +9，设O ′(m ,-m +9)，∵O ′A =O ′B =O ′P ，∴(m -2)2+(-m +9-3)2=(-m +9)2，解得：m =42-1或m =-42-1(舍去)，∴点P 的坐标为(42-1，0)，故答案为：42-1．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13.(2022秋•泗洪县期中)已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．(1)如图甲，P A 和PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，求证：P A =PB ．(2)尺规作图：在图乙中，过P 点画⊙O 的两条切线PE 、PF ，E 、F 为切点(要求：保留作图痕迹，不写作法)．【分析】(1)如图，连接OP、OA、OB．只要证明RtΔP AO≅RtΔPBO(HL)，可得P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【解答】解：(1)如图，连接OP、OA、OB．∵P A、PB是切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO=∠PBO=90°，在RtΔP AO和RtΔPBO中，OP=OP，OA=OB∴RtΔP AO≅RtΔPBO，∴P A=PB．(2)以OP为直径作⊙O′，两圆交于点E、F，直线PE、PF即为所求；【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．类型五、对角互补构造辅助圆14.(2021秋•越秀区校级期中)如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于点D．(1)判断ΔABD的形状；(2)如图2，在(1)的结论下，若BQ=22，DQ=3，∠BQD=75°，求AQ的长；(3)如图3，在(1)的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转α(0°<α<90°)得到DP，连接BP，作DE⊥BP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理由．【分析】(1)由∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，知点A、C、B、D上四点共圆，则∠ACD=∠ABD=45°，即可得出结论；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，得ΔQDE是等腰直角三角形，从而可解直角三角形BQH，在RtΔBEH中，利用勾股定理得可求出BE的长度，从而解决问题；(3)在AF上截取AM=PF，利用SAS证明ΔADM≅ΔPDF，得∠ADM=∠PDE，DM=DF，可证明ΔMDF、ΔPEF是等腰直角三角形，从而解决问题．【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵∠ACB+∠ADB=90°+90°=180°，∴点A、C、B、D上四点共圆，∴∠ACD=∠ABD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形；(2)将ΔADQ绕点D顺时针旋转90°得ΔBDE，连接EQ，过点B作EQ的垂线，交EQ的延长线于H，∴DQ=DE，∠QDE=90°，AQ=BE，∴ΔQDE是等腰直角三角形，∴∠DQE=45°，∴QE=2DQ=32，∵∠BQD=75°，∴∠BQE=∠BQD+∠DQE=120°，∴∠BQH=60°，BQ=2，BH=6，∴QH=12在RtΔBEH中，由勾股定理得BE=BH2+EH2=(42)2+(6)2=38，∴AQ=BE=38；(3)AF=2DE．，理由如下：如图，在AF上截取AM=PF，∵DA=DP，∴∠DAM=∠DPF，∴ΔADM≅ΔPDF(SAS)，∴∠ADM=∠PDE，DM=DF，∵BD=DP，DE⊥BP，∴∠BDE=∠PDE，∴∠ADM=∠BDE，∴ΔMDF是等腰直角三角形，∴∠MFD=45°，MF=2DF，∴∠EFP=45°，∴ΔPEF是等腰直角三角形，∴PF=2EF，∴AF=2DE．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．15.(2021秋•西城区校级期中)如图，ΔABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；(3)若ΔABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【分析】(1)利用SAS证明ΔBAD≅ΔCAE，即可得出结论；(2)过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，利用等角对等边可得CG=CE，由(1)ΔBAD≅ΔCAE，得BD=CE，再利用AAS证明ΔBDF≅ΔCGF，从而解决问题；(3)由(2)知∠AFC=∠AEC=90°，则点A，F，C，E四点在以AC为直径的圆上，故EF的最大值为直径．【解答】(1)证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴ΔADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔCAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS)，∴BD=CE；(2)证明：如图，过点C作CG⎳BP交DF的延长线于点G，∴∠G=∠BDF，∴∠G =30°，由(1)可知，BD =CE ，∠CEA =∠BDA ，∵AD ⊥BP ，∴∠BDA =90°，∴∠CEA =90°，∵∠AED =60°，∴∠CED =30°=∠G ，∴CE =CG ，∴BD =CG ，在ΔBDF 和ΔCGF 中，∠BDF =∠G∠BFD =∠CFG BD =CG，∴ΔBDF ≅ΔCGF (AAS )，∴BF =FC ，即F 为BC 的中点；(3)解：如图，连接AF ，∵ΔABC 是等边三角形，BF =FC ，∴AF ⊥BC ，∴∠AFC =90°，∴∠AFC =∠AEC =90°，∴点A ，F ，C ，E 四点在以AC 为直径的圆上，∴EF 的最大值为直径，即最大值为1．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.(2023秋•东城区校级期中)如图1，在Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC +AD =BD ．(2)探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当ΔABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【分析】(1)由题意：ΔBAE≅ΔBCD，推出AE=CD，BE=BD，推出CD+AD=AD+AE=DE，ΔBDE是等腰直角三角形，推出DE=2BD，可得DC+AD=2BD；(2)结论：AD-DC=2BD．过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．只要证明ΔCDB≅ΔAEB，即可解决问题；(3)如图3中，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)如图1中，由题意：ΔBAE≅ΔBCD，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵ΔBDE是等腰直角三角形，∴DE=2BD，∴DC+AD=2BD，故答案为2．(2)AD-DC=2BD．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC，∴∠ABE=∠CBD．∵∠BAE+∠AOB=90°，∠BCD+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，∴∠BAE=∠BCD，∴∠ABE=∠DBC．又∵AB=CB，∴ΔCDB≅ΔAEB，∴CD=AE，EB=BD，∴△BD为等腰直角三角形，DE=2BD．∵DE=AD-AE=AD-CD，∴AD-CD=2BD．(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，ΔABD的面积最大．。

中考数学压轴题-圆的压轴题 含解析

中考数学压轴题-圆的压轴题 含解析

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，»ABBC=，AC=，求的最大值.a b a b引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B ，线段AB 长度的x y 最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（ ）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，lα的最大值为； (B)；； (D) tanα∠43344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)215358174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A． B． C．5 D．1942456．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C. D.22-8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B． C．103D．41139．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，m n，则的范围为 .m n-12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是 .tan ABP m∠=m13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC= =，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O 于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。

人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案

人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练(解析版)

2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练(解析版)

2020年中考数学复习：《圆》解答题压轴专题训练1．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F 交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC＝90°；又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，∴∠AOC+∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，∴tan∠C＝，∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，∴，解得AC＝8，∴＝10，∵OC•AF＝OA•AC，∴．∴＝＝．2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D 为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．（1）证明：连接OA，OD．∵点D是弧BE的中点，∴∠BOD＝∠EOD＝90°，∴∠ODF+∠OFD＝90°又∵∠OFD＝∠AFC，∴∠ODF+∠AFC＝90°又∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF，∴∠OAF+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，故AC是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊥AD于G，∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5，∴，∵点D是弧BE的中点，∴∠BAD＝45°，∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＝∠BAD＝45°，即BG＝AG．∴又∵，∴＝AD•BG＝＝28（cm2）．故S△ABD3．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．（1）证明：连接OC，∵∠A＝∠CBD，∴＝，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为直径，∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴CG＝BG；（3）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∴＝tan30°＝，∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AC＝CE，∴＝，∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC，∴△CGB∽△CBE，∴＝＝，∵CG＝8，∴BC＝8，∴BE＝8．4．如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴＝＝tan30°＝，又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，∴＝，∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，∴当点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．5．如图，在△ABC中，A B＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC 交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的径为4．①当OD＝3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，∴∠BGF+∠AFG＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，∴∠BGF＝∠AFB，∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，又∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO＝∠ACF，∴AO∥CF，∴＝，∵半径是4，OD＝3，∴DF＝1，BD＝7，∴＝＝3，即CD＝AD，∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，∴△ADB∽△FDC，∴＝，∴AD•CD＝BD•DF，∴AD•CD＝7，即AD2＝7，∴AD＝（取正值）；②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，当∠ODC＝90°时，∵∠ACO＝∠ACF，∴OD＝DF＝2，BD＝6，∴AD＝CD，∴AD•CD＝AD2＝12，∴AD＝2，AC＝4，＝×4×6＝12；∴S△ABC当∠COD＝90°时，∵OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∴MO＝2，∴AM＝4+2，＝×4×（4+2）＝8+8，∴S△ABC∴△ABC的面积为12或8+8．6．如图⊙O的直径AB＝10cm，弦BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，交AB于E，P是AB 延长线上一点，且PC＝PE．（l）求证：PC是⊙O的切线；（2）求AC、AD的长．（1）证明：连结OC，如图所示：∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC，∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，∴∠OCE+∠PCE＝90°，即∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线；（2）连结BD，如图所示，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm）；∵DC平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝5（cm）．7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA 为半径的圆与AB相交于点E，与CD交于点F．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若EF∥BC，且BC＝6，求图中阴影部分的面积．（1）证明：过D作DG⊥BC于G，∵DA⊥AC，∠ACD＝∠BCD，∴DG＝DA，∴BC是⊙D的切线；（2）解：连接EF，∵EF∥BC，由（1）DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴＝．∴∠EDG＝∠CDG．由（1）∠ACD＝∠BCD，∠ACD+∠ADC＝∠BCD+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠ADC，∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°．∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB，在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF．∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC．∵DG⊥BC，∴CG＝BC＝3．在Rt△DCG中，D G＝CG/＝．∴S＝×3×﹣π（）2＝﹣．阴影8．请阅读下列材料，并完成相应的任务．人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．解：（1）如图②，∵AD是⊙O直径，∴∠DEA＝90°．∵AB与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°．∴∠CED+∠DEA＝∠CAD+∠DAB，即∠CEA＝∠CAB，∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；（2）证明：如图③，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC，∵AF是直径，∴∠ACF＝90°，∴∠CFA+∠FAC＝90°，∵AB与⊙O相切于点A，∴∠FAB＝90°，∴∠CAB+∠FAC＝90°，∴∠CAB＝∠CFA，即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．9．【问题背景】（1）如图1，⊙O与∠P的两边分别切与A，B两点．求证：PA＝PB．【深入探究】（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，连接PO，以PO为一条边向上作等边三角形POQ，连接AO，AQ．求证：AO＝AQ．（3）若在（1）的条件下，以OP为斜边向上作等腰直角三角形POQ，取OP中点M，连接MB，MQ，BQ，求证：∠MQB＝∠MBQ．【拓展延伸】在（3）的条件下，连接AO，AQ，探索AO，AQ，AP之间的数量关系．解：【问题背景】（1）连接OA，OB，OP，∵PA、PB是切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴PA＝PB；【深入探究】（2）∵Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∵△POQ是等边三角形，∴∠OPQ＝60°，PO＝PQ，∴∠APQ＝∠APO＝30°，且PO＝PQ，∴PA垂直平分OQ，∴AO＝AQ；（3）如图3，连接OB，∵PB是⊙O是切线，∴PB⊥OB，且点M是OP的中点，∴BM＝PO，∵△OPQ是等腰直角三角形，且点M是OP的中点，∴QM＝OP，∴QM＝BM，∴∠MQB＝∠MBQ；拓展延伸】AO+AQ＝AP，理由如下：过点Q作QH⊥AQ交AP于点H，∴∠AQH＝∠PQO＝90°，∴∠AQO＝∠PQH，∵∠QPO+∠QOP＝90°，∠AOP+∠APO＝90°，∴∠APQ+∠APO＝∠APO+∠AOQ，∴∠APQ＝∠AOP，且∠AQO＝∠PQH，QP＝OQ，∴△AOQ≌△HPQ（ASA）∴QH＝AQ，AO＝PH，∴AH＝AQ，∵AP＝PH+AH，∴AO+AQ＝AP．10．如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；（2）求证：PC2＝PA•PB；（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的平分线；（2）如右图，连接BC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠OBC＝90°，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠CAB＝∠BCP，又∵∠CPB＝∠APC，∴△CPB∽△APC，∴＝，∴PC2＝PA•PB；（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，∵PE＝2DO，∴4DO2＝4r2+PC2，∴4（DO2﹣r2）＝PC2，∴4DC2＝PC2，∴PC＝2CD，∵AD∥OC，∴△PCO∽△PDA，∴＝，∴＝，∴r＝2．11．如图，AB是直经，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．（3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC，∵AB是直径，∵DE⊥AC于E，∴∠E＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴BC∥DE，∵点D是的中点，∴，∴∠COD＝∠BOD，又∵OC＝OB，∴OD垂直平分BC，∵BC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）AD2＝AE•AB，理由如下：如图2，连接BD，由（1）知，，∴∠EAD＝∠DAB，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠E＝90°，∴△AED∽△ADB，∴＝，即AD2＝AE•AB；（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°，∴四边形CHDE为矩形，∴ED＝CH＝BH＝3，∴OH＝＝＝4，∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，∵BF是⊙O的切线，∴∠FBA＝∠E＝90°，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△BAF，∴＝，即＝，∴BF＝．12．如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？解：（1）连接GD，EC．∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，∴∠GAD＝∠DAO，∵GD＝GA，∴∠GDA＝∠GAD，∴∠GDA＝∠DAO，∴GD∥OA，∴∠BDG＝∠BOA＝90°，∵GD为半径，∴y轴是⊙G的切线；∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝设半径GD＝r，则BG＝﹣r，∵GD∥OA，∴△BDG∽△BOA，∴＝，∴r＝2（﹣r），∴r＝，∵AC是直径，∴∠AEC＝∠AOB＝90°，∴EC∥OB，∴＝＝，∴＝＝，∴EC＝2，AE＝，∴OE＝2﹣＝，∴C的坐标为（，2）；（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，∵AC是直径，∴AC＝2×＝∴∠AEC＝∠AFC＝90°∵∠FEA＝45°∴∠FCA＝45°∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：AF＝CF＝，设OE＝a∴AE＝2﹣a∵CE∥OB∴△ACE∽△ABO∴＝，∴CE＝，∵CE2+AE2＝AC2，∴（2﹣a）2+（2﹣a）2＝∴a＝或a＝（不合题意，舍去）∴AE＝∴在Rt△AEH中，由勾股定理可得，AH＝EH＝，∴在Rt△AEH中，由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，∴FH＝，∴EF＝EH+FH＝．13．如图I，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC，（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若CD为直径，过A点的圆的切线交BD延长线于E，若DE＝1，AE＝2．求⊙O的半径．（1）证明：∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠EDA＝∠ACB，由圆周角定理得，∠CDA＝∠ABC，∵AD平分∠EDC，∴∠EDA＝∠CDA，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM⊥CD于M，∵AB＝AC，∴AH⊥BC，又AH⊥AE，∴AE∥BC，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC＝90°，∴四边形AEBH为矩形，∴BH＝AE＝2，∴BC＝4，∵AD平分∠EDC，∠E＝90°，AM⊥CD，∴DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，在Rt△ABE和Rt△ACM中，∴Rt△ABE≌Rt△ACM（HL），∴BE＝CM，设BE＝x，CD＝x+2，在Rt△BDC中，x2+42＝（x+2）2，解得，x＝3，∴CD＝5，∴⊙O的半径为2.5．14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，CG⊥AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．解：（1）证明：连接OC．∵CD⊥AB，CG⊥AE，CG＝CF，∴∠CAG＝∠BAC，∠AFC＝∠G＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC．∴∠CAG＝∠ACO，∴OC∥AG，∴∠OCG＝180°﹣∠G＝90°，∴CG是⊙O的切线；（2）过点O作OM⊥AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，∠OMG＝∠OCG＝∠G＝90°．∴四边形OCGM为矩形，∴OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中∴Rt△AGC≌Rt△AFC（HL），∴AF＝AG＝AE+EG＝3，∴OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，∵cos∠COF＝＝．∴∠COF＝60°，CF＝OC•sin∠COF＝2×＝，＝﹣×2×＝π﹣．∴S弓形BC15．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，M是的中点，N是的中点，弦MN分别交AB、AC 于点P、D．（1）求证：AP＝AD；（2）连接PO，当AP＝3，OP＝，⊙O的半径为5，求MP的长．（1）证明：连AM，AN，∵＝，＝，∴∠BAM＝∠ANM，∠AMN＝∠CAN，∵∠APD＝∠AMN+∠BAM，∠ADP＝∠CAN+∠ANM，∴∠APD＝∠ADP，∴AP＝AD．（2 ）解：连AO，OM交AB于E，设PE＝x，∵＝，∴OM⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵OE2＝OA2﹣AE2＝OP2﹣PE2∴52﹣（x+3）2＝（）2﹣x2，∴x＝1，∴AE＝4，OE＝3，ME＝2，∴MP＝＝＝．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：∠BDE＝∠ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，∠BOD＝∠COD＝90°，又∵OD＝OD，∴△BOD≌△COD（SAS），∴∠BDO＝∠CDO，∵∠CDO＝∠ADP，∴∠BDE＝∠ADP；（3）如图2，连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP＝∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE＝∠ABD+∠OAB，∵∠ADP＝∠BDE，∠DEP＝∠ABD，∴∠DPE＝∠OAB，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠DPE＝45°，∴∠DFE＝∠DPE＝45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，即y＝x．17．如图1，AB为⊙O的弦，弧AC＝弧BC，G为弧BC上一点，连接AG交BC于点D，连接CG、BG．（1）求证：∠GCB+∠GBC＝∠CBA；（2）如图2，若AB为⊙O的直径，求证：AG＝CG+BG；（3）如图3，在（2）的条件下，F为圆上一点，连接CF交AB于点E，若CD：DB＝5：7，∠ACF＝∠CAG，AE＝，求线段CG的长．证明：（1）∵＝，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠GCB＝∠GAB，∠CBG＝∠CAG，∴∠GCB+∠GBC＝∠GAB+∠CAG＝∠CAB＝∠CBA；（2）如图2，过点C作CH⊥CG交AG于点H，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠ACB＝90°，且AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．∵∠AGC＝∠ABC，∴∠AGC＝45°，且CH⊥CG，∴∠CHG＝∠AGC＝45°，∴CH＝CG，∠AHC＝135°∴GH＝CG．∵∠CGB＝∠CGA+∠AGB＝135°，∴∠AHC＝∠CGB，CH＝CG，∠CAH＝∠CBG，∴△ACH≌△BCG（AAS）∴AH＝BG，∴AG＝CG+BG；（3）∵CD：DB＝5：7，∴设CD＝5a，DB＝7a，∴BC＝AC＝12a，∴AD＝＝＝13a．如图3，过点E作EH⊥AC于H，作AP平分∠GAC，交BC于P，作PQ⊥AD于Q，∴∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∠PQA＝90°＝∠ACB，且AP＝AP，∴△CAP≌△QAP（AAS）∴AC＝AQ＝12a，CP＝PQ，∴QD＝AD﹣AQ＝a．∵PD2＝PQ2+QD2，∴（5﹣PQ）2＝PQ2+a2，∴PQ＝a，∴CP＝a，∵HE⊥AC，∠CAB＝45°，∴∠HEA＝∠CAB＝45°，∴AH＝HE，∵AE2＝AH2+HE2＝（3）2，∴AH＝HE＝3，∵∠ACF＝∠CAG，∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∴∠ACF＝∠CAP，∴tan∠CAP＝tan∠ACF＝，∴∴CH＝15，∴AC＝3+15＝18＝12a，∴a＝，∴CD＝，BD＝，AD＝．∵∠ACD＝∠AGB＝90°，∠CAD＝∠DBG，∴△ACD∽△BGD，∴，∴，∴BG＝，DG＝，∴AG＝AD+DG＝+＝，∵AG＝CG+BG，∴＝＝CG，∴CG＝．18．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．19．△ABC内接于⊙O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC⊥BD．（1）如图1，求证：∠OBC＝∠ABD；（2）如图2，作CG⊥AB于G，交BD于F，若∠BAC＝∠ABO+30°，求证：BO＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：MA＝5：3，且S＝16，求线段AE的长．△BMN解：（1）延长BO交⊙O于点K，连接CK，则BK为⊙O的直径，∴∠BCK＝90°，∴∠OBC+∠K＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠A＝90°，∵，∴∠A＝∠K∴∠OBC＝∠ABD；（2）作OH⊥BC于H，则BC＝2BH，∵∠K+∠KBC＝90°，∴∠BAC+∠KBC＝90°，∴∠ABO+30°+∠KBC＝90°，∴∠ABC＝60°∴BC＝2BG，∴BG＝BH，且∠ABD＝∠OBC，∠BGF＝∠BHO＝90°，∴△BFG≌△BOH（AAS）∴BO＝BF；（3）作OH⊥BC于H，∵△BFG≌△BOH，∴BF＝BO，∴∠MFB＝∠BON，且BF＝BO，∠ABD＝∠OBN，∴△BFM≌△BON（ASA）∴BM＝BN，且∠ABC＝60°，∴△MBN为等边三角形，∴S＝BM2＝16，△BMN∴BM＝BN＝8，∵NC：MA＝5：3，∴设NC＝5x，AM＝3x，∴BC＝8+5x，BH＝＝BG，CG＝BG＝•（）∴GM＝HN＝8﹣＝，∵∠MNB＝60°，∴OH＝HN＝•（），∵∠OBC＝∠ABD＝∠ACG，∴tan∠OBC＝tan∠ACG，∴，∴＝，∴x＝1，∴AM＝3，CN＝5，HN＝GM＝，OH＝，BH＝∴OB＝＝＝7，∵sin∠OBH＝sin∠ABD，∴∴AE＝＝．20．如图1，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，过点B作OC的垂线与⊙O的另一交点为点E，连接CE．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）如图2，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点F，若BC＝AB，求的值．解：（1）证明：如图，连接OE，设OC与BE的交点为M∵OB＝OE∠OBM＝∠OEM∵BE⊥OC∴∠BMO＝∠EMO∴∠BOC＝∠EOC∴在△OBC和△OEC中∴△OBC≌△OEC（SAS）∴∠OEC＝∠OBC∵BC为⊙O的切线∴OB⊥BC∴∠OBC＝90°∴∠OEC＝90°∴CE为⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°∵OB⊥BC∴AF∥OC∵AB⊥BC，CF⊥BC∴AO∥CF∴四边形AOCF为平行四边形∴AF＝OC∵BC＝AB∴设BC＝AB＝2k，则OB＝OA＝k在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝k∴AF＝k∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCO＝90°∴∠ABE＝∠BCO∴sin∠ABE＝sin∠BCO∵＝sin∠BCO＝＝∴＝sin∠ABE＝∴AE＝×2k＝∴EF＝AF﹣AE＝∴＝．。

备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析

备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝ =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.2．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第（3）小题的关键．3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．4．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．5．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．6．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633BH =∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10＝10设CE=CD=x ，则10+x ，10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2．10+x)2＝10+x)2解得：10∴10，10∴△ABC 各边长10，10，10【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．8．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切；（2）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12OC，即r=12（r+2）．∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．9．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴AE =BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．如图，AB 为⊙O 的直径，DA 、DC 分别切⊙O 于点A ，C ，且AB =AD ．（1）求tan ∠AOD 的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②2 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何综合问题(圆的专题)(二)

2021年九级中考数学压轴题满分训练 –几何综合问题(圆的专题)(二)

2021年中考数学压轴题满分训练–几何综合问题（圆的专题）（二）1．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好经过顶点B，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，BC＝4，求DE的长．2．如图，⊙O经过Rt△ABC的顶点A，与BC相切于点D，交AC于E，交AB于F，连接AD，DE，DF，EF，∠C＝90°．（1）求证：DE＝DF．（2）若AE＝3，CD＝2，求BD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D 作⊙O的切线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AC．（2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB＝，求BF的长．4．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当α＝90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．5．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，AC＝AD，连接CD交⊙O于点E，∠ACD ＝∠DAE．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）过点E作EF⊥AB于F，交AC于G，已知，EG＝3．求AG的长；（3）在（2）的条件下，求△ACE的面积．6．如图，在▱ABCD中，AD＝8，▱ABCD的面积是72，⊙O与▱ABCD的三条边分别相切于点D、E、F，交AD于点G，DG＝3AG．（1）求⊙O的半径的长；（2）求阴影部分的面积（保留π）．7．[提出问题]如图1，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，D是圆上一点，作AE⊥BD于E．要研究BE，DE，CD之间的关系．[特例分析]（1）如图2，当△ABC是等边三角形时，且当D在∠ABC的平分线上时，假设DE＝a，则DC＝，BE＝，BE，DE，CD之间的关系为．[猜想探究]（2）在图1中，上述结论是否依然成立，请证明你的猜想．[结论应用]（3）如图3，△ABC是等边三角形，∠CBD＝15°，AC＝，则△BCD的周长为．8．问题发现：（1）如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为；问题探究：（2）如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A'＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C'A'B，当旋转至CC′＝4时，求AA'的长；问题解决：（3）如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D在AB上，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径的弧交AC于点E，与BC交于点F，G，P是上一点．将AP绕点A逆时针旋转120°，得到AQ，连接CQ，AF．（1）若BP与所在圆相切，判断CQ与所在圆的位置关系．并加以证明；（2）求BF的长及扇形EAF的面积；（3）若∠PAB＝m°，当∠ACQ＝30°，直接写出m的值．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）若＝，求tan∠ABD．11．已知：如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与△ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC．求证：（1）DI＝DB；（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求DI的长．12．有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：已知：a＞b＞0，求证：＞．经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：①在直线l上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过B点作直线l的垂线，与半圆交于点D，连接OD．请回答：（1）连接AD，CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是；（2）根据作图过程，试求线段BD、OD（用a，b的代数式表示），请写出过程；（3）由BD⊥AC，可知BD＜OD，其依据是，由此即证明了这个不等式．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝90°．D是⊙O上一点，连接CD，与AB 交于点F，过点A作⊙O的切线交DC延长线于点E，已知AC＝EC．（1）求证：AD＝AE；（2）若AE＝2，EF＝2，求⊙O的直径．14．如图，已知扇形AOB的半径OA＝4，∠AOB＝90°，点C、D分别在半径OA、OB 上（点C不与点A重合），联结CD．点P是弧AB上一点，PC＝PD．（1）当cot∠ODC＝，以CD为半径的圆D与圆O相切时，求CD的长；（2）当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求∠OCD的度数；（3）如果OC＝2，且四边形ODPC是梯形，求的值．15．如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．参考答案1．（1）证明：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，又∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠CBD＝45°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE；（2）解：连接OD，过点C作CF⊥DE，垂足为F，则四边形ODFC是正方形，在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴DF＝FC＝OC＝OD＝2，∵∠E＝∠ACB，∠CFE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△CFE，∴＝＝＝，∴EF＝CF＝，∴DE＝DF+EF＝2+＝3．2．（1）证明：如图，连接OD交EF于G，∵BC是⊙O的切线，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD，∴＝，∴DE＝DF；（2）解：∵＝，∴OD垂直平分EF，∵∠C＝∠CDG＝∠DGE＝90°，∴四边形CDGE为矩形，∴EG＝CD＝2，∠AEF＝90°，∴EF＝2EG＝4，在R△AEF中，AF＝＝5，∵O是AF的中点，G是EF的中点，∴OG＝AE＝，∴CE＝DG＝OD﹣OG＝＝1，∴AC＝AE+CE＝4，∵OD∥AC，∴△BOD∽△ABC，∴，∴，∴BD＝．3．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴DE⊥AC；（2）解：∵cos∠DAB＝，而AB＝10，∴AD＝8，在Rt△ADE中，cos∠DAE＝＝，∴AE＝，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴，即＝，∴BF＝．4．解：（1）证明：∵α＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠BOH，又OA＝OB＝4，OP＝OH，在△AOP和△BOH中，，∴△AOP≌△BOH（SAS），∴∠OPA＝∠OHB，∵AP是⊙O的切线，∴∠OPA＝90°，∠OHB＝90°，即OH⊥BH于点H，∴BH是⊙O的切线；（2）如图，过点B作⊙O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC⊥BC，OD⊥BD，∵OC＝2，OB＝4，∴，∴∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∴∠OHB＝90°．∵圆弧PH的长为；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∴圆弧PH的长为，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或；（3）S△AHB＝AB•h，h表示点H到直线AB的距离，作ON⊥AB于点N，H在圆O上，在Rt△ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∴ON＝4cos45°＝2，∴h min＝ON﹣r＝2，h max＝2+2，∴当△AHB面积最大时，点H到AB的距离为2．5．（1）证明：如图1，连接BE，则∠B＝∠C，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCE+∠BAE＝180°，∴∠ACD+∠DAE＝90°，∵∠ACD＝∠DAE，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）如图2，延长EF，交⊙O于H，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠ECA＝∠AEH，∵∠EAC＝∠GAE，∴△EAC∽△GAE，∴＝，∵AC＝AD，∴∠C＝∠D，∵∠C＝∠DAE，∴∠D＝∠DAE，∴AE＝DE＝2，∵∠BFE＝∠BAD＝90°，∴AD∥EF，∴∠D＝∠CEF，∴∠C＝∠CEF，∴CG＝GE＝3，∴AC＝AG+CG＝AG+3，∴＝，∴AG＝5（负值舍去）；（3）如图3，由（2）知，AG＝5，CG＝3，∵EG∥DA，∴△CEG∽△CDA，∴，∴＝，∴CE＝，过点E作EM⊥AC于M，设CM＝x，在Rt△CME中，根据勾股定理得，EM2＝CE2﹣CM2＝（）2﹣x2，在Rt△AME中，根据勾股定理得，EM2＝AE2﹣AM2＝（2）2﹣（8﹣x）2，∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（8﹣x）2，∴x＝，∴EM2＝（）2﹣x2，∴EM＝（舍去负值），∴S△ACE＝AC•EM＝×8×＝．6．解：（1）连接FO并延长交AD于点H，∵BC与⊙O相切于点F，∴HF⊥BC，∴HF＝÷＝9，又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠HFC＝90°，∴∠FHD＝90°，∴HF⊥AD，∴DH＝DG＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△DOH中，（3）2+（9﹣r）2＝r2，∴r＝3；（2）连接OD，OG，在Rt△DOH中，sin∠ODG＝，∴∠ODG＝30°，又∵OD＝OG，∴∠OGD＝∠ODG，∴∠GOD＝120°，∴阴影部分的面积等于＝．7．解：（1）如下图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．∵BD是∠ABC的平分线，∵∠DCA＝∠ABD，∴∠DCE＝30°．∵AE⊥BD，∴CD＝2DE＝2a．∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°．∵∠DBC＝30°∴AB＝2CD＝4a．∴BE＝BD﹣DE＝3a．∵DE+CD＝3a，∴BE＝DE+CD．故答案为：2a；3a；BE＝DE+CD．（2）成立．理由：如图，过A作AF⊥CD，交DC延长线于F，连接AD，∵AF⊥CD，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∵同弧所对的圆周角相等，∠ABE＝∠ACD．在△ABE和△ACD中，．∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AE＝AF，BE＝CF．在Rt△ADE和Rt△ADF中，．∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴DE＝DF．∵CF＝CD+DF＝CD+DE，∴BE＝DE+CD．故结论成立．（3）∵AB＝AC，D是圆上一点，AE⊥BD于E，由（2）的结论可得：BE＝DE+CD．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∠ABC＝60°．∵∠CBD＝15°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBD＝45°．∵AE⊥BD，∴AE＝BE＝AB＝×＝．∴BE＝DE+CD＝．∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+DE+BE＝BC+2BE＝+2．故答案为：+2．8．解：（1）如图1，当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3＝5．故答案为：5．（2）如图2，由已知可得：BC＝BC′，BA＝BA′，∠CBA＝∠C′BA′＝60°．∴．∵∠CBA＝∠C′BA′＝60°，∴∠CBA+∠ABC′＝∠C′BA′+∠ABC′．即∠CBC′＝∠ABA′．∴△CBC′～△ABA′．∴．∵，∴．∴AA′＝2CC′＝2×4＝8．（3）∵四边形ACBF的面积＝S△ABC+S△FAB，△ABC的面积为定值，∴△ABF面积最大时，四边形ACBF的面积最大．∵AB＝5且位置不变，∴点F距离AB最大时，△ABF面积最大．∵OE＝2，∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：∵∠BEF＝90°，∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF面积最大．过F作FD⊥OB于D，∵AC＝BC＝5，∴AB＝AC＝10．∵O为AB的中点，∴BO＝5．∵BE⊥OF，∴BE＝．∵tan∠EBF＝，∴．∴EF＝．∴OF＝OE+EF＝2+．在Rt△BEO中，sin∠EOB＝．在Rt△ODF中，sin∠EOB＝＝．∴DF＝OF••（2+）＝+．∴△ABF面积最大值为×AB×DF＝2+．∴四边形ACBF的面积的最大值＝S△ABC+S△FAB＝×AC×BC+2+＝2+．9．解：（1）CQ与所在圆相切；证明：由旋转知，AP＝AQ，∠PAQ＝120°，∵∠BAC＝120°，∴∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠PAC＝∠BAC﹣∠PAC，∴∠ACQ＝∠ABP，∵AC＝AB，∴△ACQ≌△ABP（SAS），∴∠AQC＝∠APB，∵BP与所在圆相切，∴∠APB＝90°，∴∠AQC＝90°，∵AQ＝AP，∴CQ与所在圆相切；（2）如图，过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，∴AN＝AB＝，∴BN＝AN＝3，①当点F在点G的左边时，过点F作FM⊥AB于M，设FM＝m，在Rt△BMF中，BF＝2m，BM＝m，∴AM＝AB﹣BM＝（2﹣m），在Rt△AMF中，根据勾股定理得，FM2+AM2＝AF2，∴m2+[（2﹣m）]2＝22，∴m＝1或m＝2，∴BF＝2m＝2或4（舍），∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠ABC＝30°，∴∠EAF＝90°，∴S扇形EAF＝＝π；②当点F在点G的右边时，同①的方法得，BF＝4，S扇形EAF＝﹣＝；即当BF＝2时，扇形EAF的面积为π，当BF＝4时，扇形EAF的面积为；（3）由（1）知，△ACQ≌△ABP，∴∠ABP＝∠ACQ＝30°，∵∠ABP＝30°，∴点P在BC上，即点P与点F或G重合，当点P与点F重合时，∠PAB＝∠BAF，由（2）知，∠BAF＝30°，∴m＝30，当点P与点G重合时，∠PAB＝∠BAG＝90°，∴m＝90，即m的值为30或90．10．解：（1）连接AO，并延长交BC于点H，∵AB＝AC，∴．∴AH⊥BC．∴AH平分∠BAC．∴∠BAC＝2∠BAH．∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAH．∴∠BAC＝2∠ABD．（2）过A作AE∥BC，交BD延长线于点E，∴．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝BC．∴．∵AE∥BC，∴．设OB＝OA＝4a，则OH＝3a．∴BH＝．AH＝OA+OH＝7a．∵∠ABD＝∠BAH，∴tan∠ABD＝tan∠BAH＝．11．（1）证明：连接BI，如图1所示：∵点I是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠BID＝∠BAI+∠IBA，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BID＝∠IBD，∴DI＝DB；（2）解：过点D作DE⊥BC于E，如图2所示：由（1）得：∠BAD＝∠CAD，∴，∵DE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝30°，∴DE＝BE＝1，BD＝2DE＝2，∴DI＝BD＝2．12．解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：直径所对的圆周角是直角；（2）∵BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝90°．∴∠BAD+∠ADB＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠CDB+∠ADB＝90°．∴∠BAD＝∠CDB．∴．∴BD2＝AB•BC＝ab．∴BD＝．∵AB＝a，BC＝b，∴AC＝a+b．∴OD＝．（3）∵BD⊥AC，∴BD＜OD（直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短）．∴＞．故答案为：垂线段最短．13．（1）证明：∵∠ACB＝90°．∴AB是⊙O的直径，∵EA是⊙O的切线，∴BA⊥EA，∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠B，∵AC＝EC，∴∠EAC＝∠E，∴∠E＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D，∴AD＝AE；（2）解：∵∠EAF＝90°，AE＝2，EF＝2，∴AF＝＝2，由（1）知：AD＝AE＝2，∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠EAF＝90°，∴＝，∴AB＝AC，如图，过点A作AG⊥CD于点G，设AC＝EC＝t，则CF＝2﹣t，∵tan∠E＝＝，sin∠E＝＝＝，∴AG＝，∴FG＝＝，∴EG＝EC+CG，∴CG＝CF﹣FG＝2﹣t﹣＝﹣t，∵AC2＝AG2+CG2，∴t2＝（）2+（﹣t）2，解得t＝，∴AB＝AC＝t＝3．∴⊙O的直径是3．14．解：（1）如图1中，∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝＝，∴可以假设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，∵以CD为半径的圆D与圆O相切，∴CD＝DB＝5k，∴OB＝OC＝8k，∴AC＝OC＝4k＝2，∴k＝，∴CD＝．（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵＝，∴∠AOP＝∠POB，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），∴∠EPC＝∠FPB，∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠EPF＝∠CPB＝90°，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∵OP＝OB，∠POB＝45°，∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，∴∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠OCD＝90°﹣22.5°＝67.5°．（3）如图3﹣1中，当OC∥PD时，∵OC∥PD，∴∠PDO＝∠AOD＝90°，∵CE⊥PD，∴∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，则有，可得x＝2﹣2（不合题意的已经舍弃），∴PD＝2﹣2，∴＝＝﹣1．如图3﹣2中，当PC∥OD时，∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，∴四边形OCED是矩形，∴OC＝DE＝2，CE＝OD，∵OP＝4，OC＝2，∴PC＝＝＝2，∴PD＝PC＝2，∴PE＝＝＝2，∴EC＝OD＝2﹣2，∴＝＝＝3+，综上所述，的值为﹣1或3+．15．解：（1）连接CP，如图：∵AP＝CP，AO＝DO，∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴△ACP∽△ADO，∴，∴AD•CP＝OD•AC，∴AD•AP＝OD•AC；（2）∵半圆O的直径AB＝4，∴AO＝2，∵半圆P的半径为x，∴OP＝2﹣x，∴∠COP＝90°，∴CO2＝CP2﹣OP2＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，Rt△AOC中，AC＝＝2，∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴CP∥DO，∴，又线段CD的长为y，∴，变形得：y＝，x范围是0＜x≤2；（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，如图：设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝2，∵CO⊥AB，∴BC＝AC＝2，∵CP∥DO，∴，而OB＝2，PB＝4﹣x，∴，∴BE＝，∵点E在半圆P上，∴∠EGB＝∠ACB，且∠B＝∠B，∴△CAB∽△GEB，∴＝，∴，∴EG＝，∵AC＝BC，∴EG＝BG，而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，∴＝4﹣2x，解得x＝或（大于2，舍去），∴半圆P的半径为x＝．。

2019年人教版九年级数学《圆的专项》压轴大题专项训练题

2019年人教版九年级数学《圆的专项》压轴大题专项训练题

2019年人教版九年级《圆的专项》压轴大题专项训练题（含答案）一．解答题1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．2．如图，在△R t ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A 作切线BD的垂线，垂足为C．（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．（1）求证：BC＝BH；（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．6．如图，△R t ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．（1）求证：AC为⊙O的切线；，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD （2）若AD＝的长．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：BD＝DE；（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E（1）求证：EM是圆O的切线；（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中A C＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．（1）求证：CD∥BM；（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O 是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．参考答案一．解答题1．（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DFA＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，在△R t ADF和△R tBDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴，∴AD＝5．∴⊙O的半径为．2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在△R t BCD中，在△R t BED中，BE＝＝＝＝2，＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴∴，即．，3．（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在△R t OHC中，OC＝＝∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，＝4，∴S＝＝．扇形OAC4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC．∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3．∴∠1＝∠2，即AD平分∠BAC；（Ⅱ）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴解得AC＝，即．．5．（1）证明：连接OE，如图，∵AC为切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠3，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∵EH＝EC，在△R t BEH和△R t BEC中∴Rt△BEH≌△R t BEC（HL），∴BC＝BH；（2）在△R t ABC中，BC＝＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴＝，即＝，解得r＝，∴AO＝5﹣r＝，在△R t AOE中，AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．6．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵DE∥OC，∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．∵∠ODE＝∠OED，∴∠DOC＝∠BOC．∵OD＝OD，OC＝OC，∴∠CDO＝∠CBO＝90°．∴∠ODA＝90°．∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB AE＝k，如图2，连接DB，∵EB是⊙O的直径，∴∠EDB＝90°，∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，∴∠ADO＝90°，∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，∴∠DEO＝∠EDO，∴∠ADE＝∠EBD，∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∴AD2＝AE AB，∵，∴，∴x2﹣4x+3＝0，∴x＝3，x＝1，1 2∴AE＝1，AB＝3，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，∴⊙O的半径为1．∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，∴DC＝BC，设CD＝x，在△R t ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，∴，解得：x＝．∴．7．（1）证明：连接OD，如图所示．：在△R t ADE中，点O为AE的中心，∴DO＝AO＝EO＝AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥DO，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的直径为4，∴AE＝4，DO＝AO＝EO＝AE＝2，∵∠ABC＝30°，∴∠CAD＝∠DAO＝30°，∴CD＝AD，DE＝AE＝2，AD＝＝＝2，∴CD＝，AC＝＝＝3，∵tan∠ABC＝∴BC＝，＝＝3，∴阴影部分面积＝﹣S△S ABC﹣S梯形ODCA＝AC•BC﹣（OD+AC）•CD﹣扇形ODE＝×3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．8．（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABD＝90°，而∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠C，∵∠DAB＝∠BED，∴∠C＝∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED＝∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠BED＝100°，∴的长度＝＝．9．（1）证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵EC⊥AO，∴∠ACE＝90°，∴∠A+∠AEC＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA+∠DBE＝90°，∴∠AEC＝∠DBE，∵∠AEC＝∠BED，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接OE，∵OA＝OB，E是AB的中点，∴∠OEB＝90°，∵BD＝DE，∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，∴BE＝DE＝，∴OB＝＝＝2．10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°∵∠ABD＝30°，∴∠ODB＝90°∴OD⊥BD．∵点D为⊙O上一点，∴BD是⊙O的切线．（2）解：∵∠DOB＝60°，∴∠AOD＝120°．∵OA＝5，．∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为11．（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BA C＝30°，∴BD＝AB＝＝4．12．（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝＝＝a＝3∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，在△R t OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，解得：r＝，∴圆O的直径为25；（3）∵CH＝DH＝12，∴CD＝24，∵AC：CD＝5：8，∴CN＝AC＝15，∴DN＝24﹣15＝9，∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，∴△FND∽△CNA，，∴∵AN＝3∴∴FN＝，，，．13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BM，∵AC＝AD，∴＝，∴AB⊥CD，∴CD∥BM；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AE，∵AB⊥BE，∴AB2＝AD AE，∴（4）2＝AD（AD+2），∴AD＝8（负值舍去），∴AE＝10，∴BE＝＝＝2，∴OE＝＝2∵DF⊥AB，BE⊥AB，∴DF∥BE，，∴∴＝＝，，∴AF＝，∴OF＝AF﹣OA＝∵FG∥BE，，∴＝，∴＝，∴OG＝．14．证明：（1）如图1，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图2，连结DE．∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF．（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，∴HF＝1，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠EHF＝∠BEF＝90°，∵∠EFH＝∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴，即，∴BF＝10，∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，∴∴OA＝，，∴AF＝．15．解：（1）连接DC，∵＝，∴∠DCA＝∠DOA，∵∠ADQ＝∠DOQ，∴∠DCA＝∠ADQ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°∴∠DCA+∠DAC＝90°，∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，∴DP是⊙O切线；（2）∵∠C＝90°，OC为半径．∴PC是⊙O切线，∴PD＝PC，连接OP，∴∠DPO＝∠CPO，∴OP⊥CD，∴OP∥AD，∵AQ＝AC＝2OA，∴＝＝，∵AD＝4，∴OP＝6，∵OP是△ACB的中位线，∴AB＝12，∵CD⊥AB，∠C＝90°，∴BC2＝BD BA＝96，∴BC＝4，∴BP＝2．。

2020年九年级中考数学考前专项练习：圆的压轴综合题(含答案)

2020年九年级中考数学考前专项练习：圆的压轴综合题(含答案)

圆的压轴综合题1．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F．（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度数；②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．2．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．（1）求证：∠APO＝∠CPO；（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长．3．如图所示AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC 于点D，MC＝MD,求证：MC为⊙O的切线．4．如图1，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，若AF＝FM，求的值；（3）如图3．若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．5．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E 三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．（1）求证：AE＝DH；（2）连结DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；（3）连结HK，KE，在点E的运动过程中，①当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等，求所有满足条件的AE的长．②当DA＝AE时，连结OA，记△AOF的面积为S1，△EFK的面积为S2，求的值．（请直接写出答案）7．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若BC＝2OC，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．8．如图，AB是半⊙O的直径，点C，D在半圆上，CD＝BD，过点D作EF⊥AC于E，交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）当BF＝4，sin F＝时，求AE的长．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，直线DC，DA分别切⊙O于点C，点A，连结BC，OD．（1）求证：BC∥OD．（2）若∠ODC＝36°，AB＝6，求出的长．10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为2，CF＝1，求的长（结果保留π）．11．如图，AB，CD是圆O的直径，AE是圆O的弦，且AE∥CD，过点C的圆O切线与EA的延长线交于点P，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAP；（2）求证：PC2＝P A•PE；（3）若AE﹣AP＝PC＝4，求圆O的半径．12．如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，在过点D垂直于OC的直线上取点F．使∠DFE＝2∠CBE．（1）请说明EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是6，点D是OC的中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．15．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△P AC≌△PDF；（2）若AB＝5，＝，求PD的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DE＝，BE 平分∠ABD，BE与AD交于点F．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）若tan∠DBE＝，求EF的长；（3）延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求⊙O的半径．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的OO与BC相交于点D，与AC相交于点E，DF⊥AC，垂足为F，连接DE，过点A作AG⊥DE，垂足为G，AG与⊙O交于点H．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若∠CAG＝25°，求弧AH的长；（3）若tan∠CDF＝，求AE的长；18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC外接圆的圆心，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．（1）求证：点D在⊙O上；（2）在直径AB的延长线上取一点E，使DE2＝BE•AE．①求证：直线DE为⊙O的切线；②过点O作OF∥BD交AD于点H，交ED的延长线于点F．若⊙O的半径为5，cos∠DBA＝，求FH的长．参考答案1．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠+∠＝90°，即：180°﹣α+β＝90°，∴α＝β+90°；（2）如图1，连接OD，①OE＝BE，OB⊥BE，设圆的半径为r，∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°，即：△BOD为等边三角形，∴BC＝r，∴∠CDB＝30°，∴∠APC＝90°﹣30°＝60°；②连接BC，过点M组MH⊥BC于点H，则∠MCB＝∠F AB，∴∠CMH＝∠F，在△CBM中，设BC＝r，∠CBA＝60°，∴MH＝BM sin∠CBA＝MB，BH＝MB，CH＝MH tan∠CMH＝MH•x，CH+HB＝BC，即，，而AM+BM＝2r，即：，∴1x＝1+y，即：y＝x．2．（1）证明：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO；（2）解：∵P A是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，∴AP＝＝3，在Rt△CAP中，∠C＝30°，∴PC＝2AP＝3．3．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OM⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠B，∵∠ADO＝∠CDM，∴∠CDM＝∠B，∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，∴∠MCD＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠MCD+∠ACO＝90°，∴∠MCO＝90°，∴MC为⊙O的切线．4．解：（1）如图1，AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB＝∠EMC，点E为弧CF的中点，则∠EBC＝∠ECM，∵BC为直径，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∴∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠ABM+∠MBC＝90°，∴AB是⊙O的切线；（2）如图2，∵AF＝FM，∠BFC＝90°，∴∠ABF＝∠MBF＝α＝∠MCE，而∠ABF＝∠ACB＝α，∴∠ABF+∠MBF+∠EBC＝∠ABC＝90°＝3α，∴α＝30°，则BF＝BC＝r，同理BE＝r，而BC＝2r，∴求＝＝；（3）如图3，tan∠ACB＝＝设：AB＝5m，BC＝12m，则AC＝13m，CM＝AC﹣AM＝8m，∵∠EBC＝∠ECM，∴Rt△CEM∽Rt△BEC，∴，即：，解得：EC＝12．5．（1）证明：∵∠A+∠DEC＝180°，∠FED+∠DEC＝180°，∴∠FED＝∠A，∵BC是⊙O的切线，∴∠BCA＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B+∠FED＝90°；（2）解：∵∠CF A＝∠DFE，∠FED＝∠A，∴△FED∽△F AC，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，即⊙O的直径为9．6．（1）证明：连接HE，如图1所示：∵矩形ABCD，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，∴DE为⊙O直径，∴∠DHE＝90°，∴四边形ADHE是矩形，∴DH＝AE；（2）解：如图2所示：∵四边形ABD是矩形，∴∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴AC＝＝5，∵DE平分∠ADK，∴∠DAE＝∠EDK，，∵DE为⊙O直径，∴DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CAB，∴cos∠ADE＝cos∠CAB＝，即＝，∴DE＝；（3）解：①若HK＝KE时，过K作MN⊥CD，交CD于M，交AB于N，如图3所示：则，MN＝BC＝3，∴∠EDK＝∠MDK＝∠CAB＝∠DCA，∵∠ADC＝90°，∴DK＝AK＝CK，∵AB∥CD，∴KM＝KN＝，AN＝CM＝DM＝2，∵DE为⊙O直径，∴∠DKE＝90°，∴tan∠EKN＝tan∠MDK＝，∴NE＝，∴AE＝AN﹣NE＝2﹣＝；若DH＝KE时，∴，∴tan∠ADE＝tan∠CAB＝，即＝，∴AE＝；若DH＝HK时，∵∠ADC＝90°，∴∠AKH＝90°，设：DH＝HK＝3x，∵sin∠ACD＝＝，∴CH＝5x，∵DH+CH＝CD，∴5x+3x＝4，∴x＝∴DH＝AE＝；②如图4所示：当DA＝AE＝3时，△ADE是等腰直角三角形，∴OA⊥DE，DE＝AD＝3，∴OA＝OD＝OE＝DE＝，∵AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴＝＝＝，∴DF＝×3＝，EF＝DE＝，AF＝AC＝，∴OF＝DF﹣OD＝﹣＝，∴△AOF的面积为S1＝OF×O A＝××＝，∵∠ADF＝∠EKF，∠AFD＝∠EFK，∴△ADF∽△EKF，∴＝（）2＝，∴S2＝S△EFK＝＝＝，∴＝＝．7．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC+∠ODA＝90°，∵OA⊥OB，∴∠ACO+∠OAC＝90°，∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴OA＝OB，∴∠ODA＝∠OAC，∴∠EDC＝∠ACO，∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC；（2）解：∵BC＝2OC，OB＝OA＝6，∴OC＝2，设DE＝x，∵∠ECD ＝∠EDC ，∴CE ＝DE ＝x ，∴OE ＝2+x ，∵∠ODE ＝90°，∴OD 2+DE 2＝OE 2，即：62+x 2＝（2+x ）2，解得：x ＝8，∴DE ＝8；（3）解：过点D 作DF ⊥AO 交AO 的延长线于F ，如图2所示： 当∠A ＝15°时，∠DOF ＝30°，∴DF ＝OD ＝OA ＝3，∠DOA ＝150°，S 弓形ABD ＝S 扇形ODA ﹣S △AOD ＝﹣OA •DF ＝15π﹣×6×3＝15π﹣9， 当∠A ＝30°时，∠DOF ＝60°，∴DF ＝OD ＝OA ＝3，∠DOA ＝120°，S 弓形ABD ＝S 扇形ODA ﹣S △AOD ＝﹣OA •DF ＝12π﹣×6×3＝12π﹣9，∴当∠A 从15°增大到30°的过程中，AD 在圆内扫过的面积＝（15π﹣9）﹣（12π﹣9）＝3π+9﹣9．8．（1）证明：连接AD ，OD ，∵CD ＝BD ， ∴＝，∴∠1＝∠2，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE∥OD，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，sin F＝，∴＝，∴r＝6，∵AE∥OD，∴，∴＝，∴AE＝．9．解：（1）连接OC，∵直线DC，DA分别切⊙O于点C，∴CD＝AD，在△ADO与△CDO中，，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠AOD＝∠COD，∴∠AOD＝AOC，∵∠B＝AOC，∴∠B＝∠AOD，∴BC∥OD；（2）∵∠ODC＝36°，直线DC，DA分别切⊙O于点C，点A，∴∠ADC＝2∠CDO＝72°，∴∠AOC＝180°﹣∠ADC＝108°，∴∠BOC＝72°，∵AB＝6，∴OB＝3，∴的长＝＝．10．（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°．∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC．（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴＝＝，∵FC＝1，∴EC＝2，∵OD＝AC＝2，∴A C＝4，∴AE＝EC＝2，∴AB＝BC，∵AB＝AC＝4，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∴的长：＝．11．解：（1）∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD∥AP，∴∠OCA＝∠P AC，∴∠OAC＝∠P AC，∴AC平分∠BAP；（2）连接AD，∵CD为圆的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠DCA+∠D＝90°，∵CD∥P A，∴∠DCA＝∠P AC，又∠P AC+∠PCA＝90°，∴∠P AC＝∠D＝∠E，∴△P AC∽△PCE，∴，∴PC2＝P A•PE；（3）AE＝AP+PC＝AP+4，由（2）得16＝P A（P A+P A+4），P A2+2P A﹣8＝0，解得，P A＝2，连接BC，∵CP是切线，则∠PCA＝∠CBA，Rt△P AC∽Rt△CAB，，而PC2＝AC2﹣P A2，AC2＝AB2﹣BC2，其中P A＝2，解得：AB＝10，则圆O的半径为5．12．（1）证明：连接OE交DF于点H，∵DF⊥OC，∴∠FDO＝90°，∵∠COE＝2∠CBE，∠DFE＝2∠CBE．∴∠F＝∠DOE，∵∠EHF＝∠OHD，∴∠FEH＝∠ODH＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠CBE＝15°，∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．∵⊙O的半径是6，点D是OC中点，∴OD＝3，在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，∴OH＝2．∴HE＝6﹣2．在Rt△FEH中，tan F＝＝6﹣2＝．∴EF＝6﹣6．13．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的半径＝．14．（1）证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC．∵D E⊥AC，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE．∴AH＝AF＝8，设AE＝x．∵DE+AE＝8，∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得：x＝2，∴OA＝8+2＝10．∴⊙O的半径为10．15．（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴＝，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠F AC＝∠CAF，∴△P AC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝AB＝，∵＝，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝，∴＝＝，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴＝，∴＝＝，∴GE＝，OG＝，∴PG＝＝，GD＝＝，∴PD＝PG+GD＝．16．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠BED＝∠DAB，∠PBD＝∠BED，∴∠DAB＝∠PBD，∴∠PBD+∠ABD＝90°，∴AB⊥PB，∴BP是⊙O的切线；（2）解：连接AE，∴∠AEB＝90°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∴＝，∴AE＝DE＝，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAE，∴tan∠DBE＝tan∠ABE＝tan∠DAE＝＝，∴＝，∴EF＝；（3）解：连接OE，∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠OEB，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠OEB，∴△CEO∽△CDB，∴，∵CA＝AO，设CA＝AO＝BO＝R，∴＝，即＝2，∴CE＝2，∴DC＝3，∵∠ADC＝∠ABE，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEB，∴＝，∴＝，∴R＝，∴⊙O的半径为．17．（1）证明：连接OD、AD，AB是⊙O的半径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∵点D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，DF是⊙O的切线；（2）解：连接OH，∵AG⊥DG，∴∠G＝90°，∵∠CAG＝25°，∴∠AEG＝65°，∴∠B＝∠AEG＝65°，∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠OAH＝75°，∴∠AOH＝30°，∴l＝＝；弧AH（3）解：∵∠CAD+∠C＝90°，∠CDF+∠C＝90°，∴∠CAD＝∠CDF，∴tan∠CAD＝tan∠CDF＝，∴AD＝2CD，∴DC2+（2CD）2＝102，∴CD＝2，∵△CDF∽△CAD，∴DC2＝CF•AC，∴CF＝2，∴CD＝DE，∵OF⊥AC，∴EF＝CF＝2，∴AE＝10﹣2﹣2＝6．18．（1）证明：连接OD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，由翻折可知△ADB≌△ACB，∴∠ADB＝90°，∵O为AB中点，∴OD＝AB，∴D在⊙O上；（2）①证明：∵DE2＝BE•AE，∴，∠E＝∠E，∴△EBD∽△EDA，∴∠EDB＝∠DAE，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE为⊙O切线；②解：在Rt△ADB中，∵cos∠DBA＝，AB＝10，∴BD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADB＝90°，OF∥BD，∴∠FHD＝∠ADB＝90°，∵OH⊥AD，∴HD＝AD＝4，又∵OA＝OB，∴OH＝BD＝3，∵∠HOD＝∠ODB＝∠ABD，∴cos∠HOD＝，即，∴FO＝，∴FH＝FO﹣HO＝﹣3＝．。

中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析

中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣24 7，∴点M的坐标为（﹣242477，）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AO BO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可． 详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分） 又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点， 又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°． 过E 作EH ⊥AC 于H ， 设BC=2k ，则EH=2k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=10EH AE．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．5．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF =EF ：（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO =∠BAO ， ∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°， 即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =，∴23 2.15，3∵O的半径长为32，∴BC=62，∴BD=1BC＝22.3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．7．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小. 【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，AC＝12，求BD的长．(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】 分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可； （3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为145． 【解析】【分析】（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O 的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=，cos ∠ABD ＝45，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴AD AE =，∴∠ADE ＝∠ABD ，∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ，∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠ADE ＝∠DAC ，∴AG ＝GD ； （2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由：∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145．∴BC的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=123ON=33DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形，∴NH＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。

浙江新中考二轮专题——解答压轴题02圆的压轴题(解析版)

浙江新中考二轮专题——解答压轴题02圆的压轴题(解析版)

解答压轴题02圆的压轴题目录题型01 圆与其它知识的综合问题类型一圆与三角形的综合问题类型二圆与四边形的综合问题类型三圆与函数的综合问题题型02 圆的综合问题中的常见问题类型四圆背景下的图形变换问题类型五圆背景下的最值（隐圆）问题类型六圆背景下的定值问题题型01 圆与其它知识的综合问题类型一 圆与三角形的综合问题1．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．(1)概念理解：若△ABC 为和谐三角形，且∠A <∠B <∠C ，则∠A = °，∠B = °，∠C = °．（任意写一种即可）(2)问题探究：如果在和谐三角形ABC 中，∠A <∠B <∠C ，那么∠B 的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B 的度数改变，写出∠B 的变化范围；若∠B 的度数不变，写出∠B 的度数，并说明理由．(3)拓展延伸：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 为锐角，BD 为圆的直径，∠OBC =30°．过点A 作AE ⊥BD ，交直径BD 于点E ，交BC 于点F ，若AF 将△ABC 分成的两部分的面积之比为1:2，则△ABC 一定为和谐三角形吗？请说明理由．【答案】(1)30； 60； 90（答案不唯一）(2)∠B 的度数不变，等于60°，见详解(3)△ABC 一定为和谐三角形，见详解【分析】（1）设∠A:∠B:∠C =(n −1):n:(n +1)，其中n ≥2，n 为正整数，则∠B =180°×n (n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°，n 可取不同的值，再计算即可； （2）设∠A:∠B:∠C =(n −1):n:(n +1)，其中n ≥2，n 为正整数，则∠B =180°×n (n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°；（3）①当S △ACF =2S △ABF 时，连结OA ，OC ，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，解△BOC 得OG =12r ，BG =CG =√32r ，由BC ⌢=BC ⌢得∠BAC =12∠BOC =60°，再证明∠AFB =60°=∠BAC ，则△ABF ∽△CBA ，得AB =r ，可证△AOB 为等边三角形，后面即可求证；②当S △ABF =2S △ACF 时，解法产生迁移，仿照类比即可．【详解】（1）解：由题意得：设∠A:∠B:∠C=(n−1):n:(n+1)，其中n≥2，n为正整数，∴∠B=180°×n(n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°，可设n=2，由∠A:∠B:∠C=1:2:3，∴∠A=16×180°=30°，∠C=36×180°=90°，故答案为：30；60；90；（2）解：∠B的度数不变，由题意得：设∠A:∠B:∠C=(n−1):n:(n+1)，其中n≥2，n为正整数，∴∠B=180°×n(n−1)+n+(n+1)=180°×13=60°；所以，∠B的度数不变，且∠B=60°；（3）解：△ABC一定为和谐三角形.理由如下：分两种情况讨论：①当S△ACF=2S△ABF时，如答图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G.由OA=OB=OC=r，∠OBC=30°，可得∠OCB=30°，∠BOC=180°−30°−30°=120°，∴OG=12r，BG=CG=OB⋅cos30°=√32r，∴BC=2BG=√3r，∵BC⌢=BC⌢∴∠BAC=12∠BOC=60°，又∵S△ACF=2S△ABF，∴CF=2BF，∴BF=13BC=√33r.∵AF⊥BD，∠OBC=30°，∴∠AFB=60°=∠BAC，又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA，∴AB2=BF⋅BC，即∴AB2=√33r⋅√3r解得：AB=r，∴△AOB为等边三角形，∵AB⌢=AB⌢∴∠ACB=12∠AOB=30°，∴∠ABC=90°，∵30°:60°:90°=1:2:3，∴△ABC为和谐三角形；②当S△ABF=2S△ACF时，如答图2，连结OA,OC，过点O作OG⊥BC于点G.同理可得OA=OB=OC=r，BC=√3r，∠BAC=60°，BF=23BC=2√33r，△ABF∽△CBA，∴AB2=BF⋅BC，∴AB=√2r，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠ACB=12∠AOB=45°，∴∠ABC=75°，∵45°:60°:75°=3:4:5，∴△ABC为和谐三角形.综上所述，△ABC一定为和谐三角形.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，30°角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．2．（2024·浙江宁波·一模）已知：⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D,∠CDB=3∠ABD．(1)如图1，求证：AC=AB；(2)如图2，点E是弧AB上一点，连接CE，AF⊥CE于点F，且∠BAF=∠ACE，求tan∠BCE的值；(3)在（2）的条件下，若EF=2，BC=8√2，求线段AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)1(3)4√10【分析】（1）连接OC，根据三角形外角定理得∠CAB=2∠ABD，由圆心角是圆周角的一半得∠COB=4∠ABD，再用外角定理得∠ACO=∠ABD，两边加上等腰△OCB的两个相等底角得∠ACB=∠ABC，即得AC=AB；（2）根据△AGF和△CGB的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与∠BAF，∠ACE，∠BCE相关的角，最后得到∠BCE=45°，即得tan∠BCE=1；（3）过A作AN⊥BC于N，连接AE，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定NM=NC=NB，设FA=FM=x，则AM=√2x，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到AN、BN的值，在Rt△ABN中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：∵∠CDB=∠DAB+∠ABD，∠CDB=3∠ABD，∴∠DAB=2∠ABD，即∠CAB=2∠ABD，∵BC⌢=BC⌢，∴∠COB=2∠CAB，∴∠COB=4∠ABD，而∠COB=∠CDO+∠DCO，∴4∠ABD=∠CDB+∠ACO=3∠ABD+∠ACO，∴∠ACO=∠ABD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠ABD+∠OBC=∠ABC，∴AC=AB；（2）解：设AB与CE交于G点，如图所示：∵∠AGF+∠AFG+∠GAF=180°=∠CGB+∠GBC+∠BCG，且∠AGF=∠CGB，∴∠AFG+∠GAF=∠GBC+∠BCG，∵AF⊥CE，∴∠AFG=90°，∴90°+∠GAF=∠GBC+∠BCG，由（1）知∠ACB=∠ABC=∠GBC，∴∠GBC=∠ACE+∠BCE，∴90°+∠GAF=∠ACE+∠BCE+∠BCG，∵∠BAF=∠ACE，即∠GAF=∠ACE，∴90°=∠BCE+∠BCG，即2∠BCE=90°，∴∠BCE=45°，∴tan∠BCE=tan45°=1；（3）解：过A作AN⊥BC于N，连接AE，如图所示：由（1）知AC=AB，由（2）知∠BCE=45°，∴NM=NC=NB=1BC=4√2，2∵∠AMF=∠CMN=45°，AF⊥CE∴△AFM是等腰直角三角形，即FA=FM，设FA =FM =x ，则AM =√2x ，∵∠ABC =∠ACB =∠E ，∠ANC =∠AFE =90°，∴△ANC ∽△AFE ，∴AN AF =NC FE ，即√2x+4√2x =4√22，解得x =4，∵在等腰Rt △AFM 中，FA =FM =4，MA =4√2，∴AN =AM +MN =8√2，在Rt △ABN 中，由勾股定理可得AB =√AN 2+NB 2=4√10．【点睛】本题综合考查圆综合，涉及外角性质、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、对顶角相等、解直角三角形、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；其中45°角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用．3．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AF 为∠BAC 的外角平分线，过点A ，C 及线段AB 上一点E 作圆O ，交射线AF 于点D ．(1)求证：DE =DC ．(2)试判断AD BE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．(3)作点A 关于CD 的对称点A ′，当点A ′落在△ADE 任一边所在直线上时，求所有满足条件的BE 长．【答案】(1)见解析(2)AD BE 是定值，AD BE =56(3)BE 的长为185或115【分析】（1）由四边形的外接圆可得∠ECD +∠EAD =180°，从而∠ECD =∠GAF ，又∠DEC =∠DAC ，再结合角平分线的定义可得∠ECD =∠DEC ，得证DE =DC ；（2）证明△BEC ∽△ADC ，根据相似三角形的性质即可解答；（3）分情况讨论：①当点A ′在边AD 所在直线上；②点A ′在边DE 所在直线上，分别求解即可．【详解】（1）证明：如图，∵⊙O是四边形AECD的外接圆，∴∠ECD+∠EAD=180°，∵∠GAF+∠EAD=180°，∴∠ECD=∠GAF．⌢=CD⌢，∵CD∴∠DEC=∠DAC．∵AF平分△ABC的外角∠GAC，∴∠GAF=∠CAF，∴∠ECD=∠DEC，∴DE=DC；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠GAC=∠B+∠ACB=2∠B，∵AF平分∠GAC，∠GAC=∠B，∴∠GAF=∠CAF=12∵∠BEC+∠AEC=180°，∠ADC+∠AEC=180°，∴∠BEC=∠ADC，∴△BEC∽△ADC，∴ADBE =ACBC=56，即ADBE 是定值，为ADBE=56．（3）①如图，当点A′在边AD所在直线上时，∵点A′与点A关于CD对称，∴CD⊥AA′，∴∠ADC=90°，∴AC是⊙O的直径，设⊙O与BC交于点H，连接AH，∴∠AHC=90°，即AH⊥BC，∵AB=AC，∴CH=12BC=12×6=3，∠HAC=12∠BAC，∵∠DAC=12∠GAC，∴∠DAH=∠DAC+∠HAC=12(∠GAC+∠BAC)=12×180°=90°，∵∠ADC=∠AHC=90°，∴四边形ADCH是矩形，∴AD=CH=3，∵ADBE =56，∴BE=65AD=65×3=185；②如图，当点A′在边DE所在直线上时，∵点A ′与点A 关于CD 对称，∴CD 是AA ′的垂直平分线，∴AC =A ′C =5，AD =A ′D ，∵CD =CD ，∴△ACD ≌△A ′CD (SSS )，∴∠DAC =∠DA ′C ，∵∠DEC =∠DAC ，∴∠DEC =∠DA ′C ，∴CE =CA ′=5．过点A 作AN ⊥BC 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，∵AB =AC ，AN ⊥BC ，∴CN =12BC =12×6=3，AN =√AC 2−CN 2=√52−32=4，∵S △ABC =12BC ⋅AN =12AB ⋅CM ，∴CM =BC⋅AN AB =6×45=245，∴在Rt △BCM 中，BM =√BC 2−CM 2=√62−(245)2=185， 在Rt △ECM 中，EM =√CE 2−CM 2=√52−(245)2=75， ∴BE =BM −EM =185−75=115． ③当点A ′在边AE 所在直线上时，点A ′与点A 重合，点E 与点B 重合，不合题意．综上所述，符合条件的BE 的长为185或115．【点睛】本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用分类讨论思想是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图①，OA 是⊙O 的半径，点P 是OA 上一动点，过P 作弦BD ⊥弦AC ，垂足为E ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．(1)求证：∠BAO =∠CAD ． (2)当OA ∥CD 时，求证：AC =BC ． (3)如图②，在（2）的条件下，连结OC ．①若△ABC 的面积为12，cos∠ADB =45，求△APD 的面积． ②当P 是OA 的中点时，求BDAC 的值． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)①43，②5√714【分析】（1）延长AO 交圆⊙O 与F ，连接BF ，利用同弧所对的圆周角相等得出∠AOE =∠AFB ，进而可证△ABF ∽△AED ，进而可得∠BAO =∠CAD ．（2）连接CF ，由直径所对的圆周角为直角可得∠ACF =90°，∠AFC +∠FAC =90°，由平行的性质可得∠FAC =∠ACD ，根据等角得余角相等可得∠AFC =∠CDE ，由同弧所对的圆周角相等可得∠AFC =∠CBA ，∠CDE =∠CAB ，进而可得∠CBA =∠CAB ，即可证AC =BC ．（3）①由余弦的定义可得：DEAD=45，由勾股定理可得AE =35AD ，由同角的余弦相等可得CE BC=45，设CE =4a ，则BC =AC ，由勾股定理可得BE =3a ，进而AE =a ，由平行的性质可得OEDE =AECE =14，进而可求出PE =13a ，PD =53a ，由S △ABC =12×5a ×3a =12，求出a 2，进而根据三角形面积公式可求出△APD 的面积． ②过点O 作OH ⊥AC 于H ，根据垂径定理得AC =2AH =2CH ，结合中位线得E 是AH 的中点，设AE =k ，可求得BC =AC ，由勾股定理得BE =√7k ，进一步证得△AED ∽△BEC ，有AEBE =DECE解得DE ，则有BD ，即可求得BDAC ．【详解】（1）解：延长AO 交圆⊙O 与F ，连接BF ．∴∠ABF=90°，∵BD⊥AC与E，∴∠AED=∠ABF=90°，又∠AOE=∠AFB，∴△ABF∽△AED，∴∠BAF=∠EAD，即∠BAO=∠CAD．（2）连接CF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF=90°，∴∠AFC+∠FAC=90°，∵OA∥CD，∴∠FAC=∠ACD，∵BD⊥AC与E，∴∠AED=90°∵∠CDE+∠ACD=90°∴∠AFC=∠CDE，又∵∠AFC=∠CBA，∠CDE=∠CAB ∴∠CBA=∠CAB（3）①∵cos∠ADB=45，∴DEAD =45，∴DE=45AD，∴AE=√AD2−DE2=35AD，∵∠ACB=∠ADB，∴CEBC =45，设CE=4a，则BC=5a=AC，∴BE=√BC2−CE2=3a，∵BC=AC=5a，∴AE=AC−EC=a，∴AD=53a，DE=43a，∵OP∥CD，∴OEDE =AECE=14，∴PE=13a，PD=53a，∴S△APD=12PD⋅AE=12×53a×a=56a2，∵S△ABC=12AC⋅BE=12×5a×3a=12解得：a2=2415，∴S△APD=56a2=56×2415=43．②过点O作OH⊥AC于H，∴AC=2AH=2CH，∴PE∥OH，∵P是OA的中点，∴E是AH的中点，设AE=k，则AH=2k，AC=4k，CE=3k，BC=AC=4k，∴BE=√BC2−CE2=√7k，∵∠ADB=∠ACB，∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴AEBE =DECE，∴DE=AE⋅CEBE =√7k=3√77k，∴BD=107√7k，∴BDAC =107√7k4k=5√714，故BDAC 的值为5√714．【点睛】本题主要考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、勾股定理、垂径定理、三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质．5．（2024·浙江·一模）如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为1:√2，则原三角形叫和谐三角形．(1)如图1，已知BD是△ABC中AC边上的中线，BC=2√2，AC=4，求证：△ABC是和谐三角形；(2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐△ABC；(3)如图3，在（1）的条件下，作△ABD的外接圆⊙O，E是⊙O上一点，且满足AE⌢=AB⌢，连接DE，①设BD=x，BE=y，求y关于x的函数表达式；②当AE∥BC时，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①y =√2x 2−4√22；②√6+√303【分析】（1）由已知数据证明CD BC=BC AC，由∠BCD =∠ACB 证明△CBD ∽△CAB ，则问题可证；（2）根据和谐三角形和勾股定理在网格图中构造图形即可；（3）①由△CBD ∽△CAB ，得到∠CBD =∠CAB =∠BED ，AB =√2x ，利用圆内接四边形性质推导∠BDC =∠AEB =∠ABE 证明△DBC ∽△DAF ，用x 表示AF 则有AB =BF +AF =2y x+4√2x=√2x ，解得y =√2x 2−4√22； ②连接OA 、OB ，证明△ABE 是等边三角形，则有y =√2x ，所以√2x =√2x 2−4√22，解得x =1+√5，y =√2+√10，再求出⊙O 的半径为√33AB =√6+√303； 【详解】（1）∵BD 是AC 边上的中线，AC =4， ∴CD =2 ∴CDBC =2√2=√2，BCAC =2√24=√2，∴CD BC =BC AC=√2∵∠BCD =∠ACB ， ∴△CBD ∽△CAB ∴△ABC 是和谐三角形（2）答案如下图（画出一个△ABC 即可）理由：如图画线段BD，由勾股定理可知，AB=√10，AD=√5，AC=2√5，故可知ADAB =ABAC=√2，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，故符合题意，同理如图取点D，连BD，可证明△ABD∽△ACB（3）①∵△CBD∽△CAB，∴BDAB =BCAC=√2∴∠CBD=∠CAB=∠BED，∴AB=√2BD，即AB=√2x∵AE⌢=AB⌢，∴∠AEB=∠ABE∵四边形ADBE内接于⊙O，∴∠ADB+∠AEB=∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=∠AEB=∠ABE，∴△DBC∽△BEF∴xy =2BF，∴BF=2yx∵∠BDC=ABE=∠ADE，∠CBD=∠CAB，∴△DBC∽△DAF∴2x =2√2，∴AF=4√2x，∴AB=BF+AF=2yx +4√2x=√2x，∴y=√2x 2−4√2 2②连接OA、OB、过O作OH⊥AB于点H∵AE∥BC，∴∠AEB=∠ABE=∠ADC=∠ABC=∠BAE，∴△ABE是等边三角形，∴y=√2x，∴√2x=√2x 2−4√22，解得x=1+√5，y=√2+√10∴AB=√2(1+√5)=√2+√10，∵AB=AE=BE，∴AE⌢=AB⌢=BE⌢，∴∠AOB=120°∵OA=OB，∴∠BOH=60°，∴OB=BHsin60°=2√3BH3=√33AB，∴⊙O的半径为√33AB=√6+√303【点睛】本题考查了圆的有关性质和相似三角形的性质和判定，解答时注意根据和谐三角形的定义进行判定．6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在劣弧BC上，点F在AE上，AD交BC于点E，且∠AFB−∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．(1)用含α的代数式表示∠BFD．(2)求证：△BDE≌△FDG．(3)如图2，AD为⊙O的直径．①当AB⌢的长为2时，求AC⌢的长．②当OF:OE=4:11时，求cosα的值．【答案】(1)90−α2(2)见解析(3)①3；②58【分析】（1）联立∠AFB−∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，即可得出∠BFD的度数；（2）根据角的关系得出DB=DF，推出∠DFG=∠DBE，又BE=FG，即可根据SAS证明△BDE≌△FDG；（3）①用α表示出∠ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；②连接OB，作BM⊥AD于M，设OE=11，OF=4，设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，求出m=5，则可得出答案．【详解】（1）解：∵∠AFB−∠BFD=∠ACB=α①，又∵∠AFB+∠BFD=180°②，②−①，得2∠BFD=180°−α，∴∠BFD=90°−α2；（2）证明：由（1）得∠BFD=90°−α2，∵∠ADB=∠ACB=α，∴∠FBD=180°−∠ADB−∠BFD=90°−α2，∴DB=DF，∵FG∥AC，∴∠CAD=∠DFG，∵∠CAD=∠DBE，∴∠DFG=∠DBE，在△BDE和△FDG中，{DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，∴△BDE≌△FDG(SAS)；（3）解：①∵△BDE≌△FDG，∴∠FDG=∠BDE=α，∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，∵DE=DG，∴∠DGE=12(180°−∠FDG)=90°−α2，∴∠DBG=180°−∠BDG−∠DGE=90°−3α2，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠ABC=∠ABD−∠DBG=3α2，∴AC⌢与AB⌢所对的圆心角度数之比为3:2，∴AC⌢与AB⌢的长度之比为3:2，∵AB⌢的长为2，∴AC⌢的长为3；②连接OB，作BM⊥AD于M，由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，∴EM=MF，设OE=11，OF=4，设DE=m，则OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，∴OB2−OM2=BD2−DM2，即(m+11)2−3.52=(m+15)2−(m+7.5)2，解得m=5或m=−12（舍去），∴cos∠BDM=MDBD =BDAD=58．【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键．7．（2023·浙江宁波·三模）如图1，△ABC内接于⊙O，点D为劣弧AC⌢上一点，满足∠BCA=12∠D，过点B作AD的垂线，垂足为点F，交⊙O于点E．(1)求证：BA=BC；(2)若ABAC =56，求BFDF的值；(3)求证：DF=AF+CD；(4)如图3，若∠EBA=13∠EBC，AF=kCD，用含有k的代数式表示tan∠BAD．【答案】(1)见解析(2)BFDF =43(3)见解析(4)tan∠BAD=√1−k21−k【分析】（1）设∠ADC=x，则∠BCA=12x，而∠ABC=180°−x，得出∠BAC=∠BCA，根据等角对等边，即可得证；（2）连结BD，连结BO并延长交AC于点G，根据已知得出BGGC =43，进而根据正切的定义，即可求解．（3）在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC．设∠ABC=2θ，则∠AMC=180°−θ，且∠ADC=180°−2θ，得出∠CMD=∠DCM=θ，则DC=DM，即可得证；（4）在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC，连接BD,AE，根据条件证明△BDM≌△BDC(SAS)，可得∠ABE=∠EBM=∠DBM=∠DBC，再证明△BFD∽△AFE即可求解．【详解】（1）证明：设∠ADC=x，则∠BCA=12x，而∠ABC=180°−x，∴∠BAC=12x，即∠BAC=∠BCA，∴BA=BC．（2）如图1，连结BD，连结BO并延长交AC于点G，则BG⊥AC，即CG=AG．∵ABAC =56，∴BCGC =53，设BC=5k,GC=3k，则BG=4k，∴BGGC =43．∵AD⊥BE，∴BFDF =tan∠BDF=tan∠BCA=BGGC=43．（3）如图2，在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC．∴∠BAM=∠BMA=∠BMC=∠BCM设∠ABC=2θ，则∠BCM=∠BAM=360°−∠BAC4=90°−12θ，∠AMC=360°−2θ4×2=180°−θ，∠ADC=180°−2θ，∴∠CMD=180°−∠AMC=θ，∠BCD=180°−∠BAD=90°+12θ∴∠MCD=∠BCD−∠BCM=θ∴DC=DM，∴FD=FM+MD=AF+CD．（4）如图3，在FD上截取FM=FA，则BM=BA=BC，连接BD,AE．∴BM=BA=BC∴∠EBA=∠EBM，∵BA⌢=BC⌢，∴∠BDA=∠BDC，∵DC=DM，BD=BD∴△BDM≌△BDC(SAS)∵∠EBA=13∠EBC，∴∠ABE=∠EBM=∠DBM=∠DBC．∴AE⌢=CD⌢，即AE=CD设CD=a，则AF=ka，AE=CD=a，∴EF =√AE 2−AF 2=√1−k 2x ，DF =AF +CD =(k +1)x ∵BA⌢=BA ⌢ ∴∠AFE =∠DFB∴△BFD ∽△AFE ， ∴BFAF =DFEF 即BFkx =√1−k 2x． ∴BF =√1−k 2∴tan∠BAD =BF AF=√1−k 21−k．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．8．（2024·浙江·一模）如图1，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 是半圆O 上的点，且AC ∥OD ，连结BC 交OD 于点E ．(1)求证：OD ⊥BC ．(2)如图2，连结CD ，AD ，BD ，若sin∠ABC =13，求△ACD 与△OBD 的面积之比．(3)如图3，连结BD ，作CP ∥BD 交AB 于点P ，连结PD ．求证：BD 2=BO ⋅BP ． 【答案】(1)证明见解析； (2)23；(3)证明见解析．【分析】（1）由AB 是半圆O 的直径得∠ACB =90°，再根据平行线的性质可得∠OEB =90°，即可求证； （2）由OA =OB 可得S △AOD =S △BOD ，由sin∠ABC =13可得ACOD =23，由AC ∥OD 根据平行线之间距离相等可得S △ACD S △AOD=AC OD =23，即可得到S △ACD S △OBD=23；（3）连接CD ，先证明点P 、O 、D 、C 四点共圆，得到∠CPD =∠COD ，进而可得∠BOD =∠BDP ，又由∠OBD =∠DBP ，可得△OBD ∽△DBP ，即得到BO BD =BDBP ，即可求证． 【详解】（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∵AC ∥OD ，∴∠OEB =∠ACB =90°， ∴OD ⊥BC ；（2）解：∵OA =OB ， ∴S △AOD =S △BOD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∵sin∠ABC =13，∴AC AB=13，∵AB =2OD ， ∴AC OD=23，∵AC ∥OD ， ∴S △ACD S △AOD =AC OD =23，∴S△ACD S △OBD=23；（3）解：连接CD ，∵OD ⊥BC ， ∴CD =BD ， ∴CD ⏜=BD ⏜， ∴∠1=∠2， ∵CP ∥BD ，∴∠1=∠3，∠CPD =∠BDP ，∴∠1=∠2=∠3，∴∠DCP=2∠2，∵∠BOD=2∠2，∴∠DCP=∠BOD，∵∠BOD+∠POD=180°，∴∠DCP+∠POD=180°，∴∠CPO+∠CDO=180°，∴点P、O、D、C四点共圆，∴∠CPD=∠COD，∴∠COD=∠BDP，∵∠COD=2∠1=2∠2，∴∠COD=∠BOD，∴∠BOD=∠BDP，又∵∠OBD=∠DBP，∴△OBD∽△DBP，∴BOBD =BDBP，即BD2=BO⋅BP．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定，掌握圆的有关性质是解题的关键．9．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O（∠ACB>90°），连接OA，OC．记∠BAC=α，∠BCO=β，∠BAO=γ．(1)证明：α+β=90°．(2)设OC与AB交于点D，⊙O半径为2，①若β=γ+45°，AD=2OD，求由线段BD，CD，弧BC围成的图形面积S．②若α+2γ=90°，设sinα=k，用含k的代数式表示线段OD的长．【答案】(1)见解析(2)①π−√33；②2k+1【分析】（1）连接OB ，利用圆周角定理可得∠BOC =2α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（2）①利用（1）的结论与已知条件可得γ+α=45°，则△OAC 为等腰直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得∠BAO =30°，作DE ⊥OB 于E ，则OE =EB =12OB =1，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系可得DE 的长，利用S =S 扇形OCB −S △DBO 计算即可得解；②延长AO 交⊙O 于G ，连接BG ，由圆周角定理可得∠BOG =2∠BAO =2γ，利用等腰三角形的性质可得∠BOG =∠OBC ，作OF ⊥BC 于F ，则CF =BF =12BC ，∠COF =12∠BOC =α，则CF =OC ⋅sinα=k ，从而得出BC =2k ，设OD =x ，则CD =OC −OD =2−x ，证明△DAO ∽△DBC ，由相似三角形的性质可得OA BC=OD CD，代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OB ，，∵∠BOC =2∠BAC ，∠BAC =α，∴∠BOC =2α， ∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =β，∵∠BOC +∠OCB +∠OBC =180°， ∴2α+2β=180°， ∴α+β=90°；（2）解：①∵β=γ+45°，α+β=90°， ∴90°−α=γ+45°， ∴γ+α=45°，∵ ∠BAC =α，∠BAO =γ， ∴∠OAC =∠BAC +∠BAO =45°， ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°， ∴∠AOC =90°，∵AD=2OD，∴sin∠OAD=ODAD =12，∴∠OAD=30°，∴∠BAC=15°，∴∠BOC=2∠BAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=30°，∴∠DOB=∠DBO=30°，∴DO=DB，如图，作DE⊥OB于E，则OE=EB=12OB=1，，∵tan∠DOB=DEOE，∴√33=DE1，∴DE=√33，∴S△DOB=12OB⋅DE=√33，∵S扇形OCB =30π×22360=π3，∴S=S扇形OCB −S△DBO=π−√33；②∵α+2γ=90°，α+β=90°，∴β=2γ，如图，延长AO交⊙O于G，连接BG，，∵∠BOG=2∠BAO=2γ，∴∠BOG=∠OCB，∵∠OBC=∠OCB，∴∠BOG=∠OBC，∴BC∥AG，作OF⊥BC于F，则CF=BF=12BC，∠COF=12∠BOC=α，∵sinα=k，sinα=CFOC，∴CF=OC⋅sinα=k，∴CF=2k，设OD=x，则CD=OC−OD=2−x，∵BC∥AG，∴△DAO∽△DBC，∴OABC =ODCD，∴22k =x2−x，解得：x=2k+1，∴OD=2k+1．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，通过添加恰当的辅助线以充分利用圆周角定理是解题的关键．10．如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM⌢上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC⌢=NC⌢，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】(1)证明见解析(2)3√10(3)32【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COE∽△BPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．【详解】（1）解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．（2）连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=2√5，AM=4√5，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=√AN2−AP2=2，∴OP=5−2=3，∵MC ⌢=NC ⌢， ∴OC ⊥MN ， ∴∠COE =90°， ∵AB ⊥MN ， ∴∠BPE =90°， ∴∠BPE =∠COE ， 又∵∠BEP =∠CEO ， ∴△COE ∽△BPE ∴CO BP =OE PE=CE BE，即54=OE PE=CE BE由OE +PE =OP =3， ∴OE =53，PE =43，∴CE =√OC 2+OE 2=√52+(53)2=53√10，BE =√BP 2+PE 2=√42+(43)2=43√10，∴BC =53√10+43√10=3√10．（3）过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°， ∴∠CMG +∠GCM =90°， ∵MN 是直径， ∴∠MCN =90°， ∴∠CNM +∠DMP =90°， ∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D=∠CNM=∠GCM，∵tan∠MDB=34，∴tan∠CNM=tan∠GCM=34，∵tan∠GCM=GMCG∴设GM=3x，CG=4x，∴CM=5x，∴CN=20x3，NG=16x3，∴NM=25x3，∴OM=ON=25x6，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=5√53x，AM=10√53x，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x−53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CGBP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE 的值为32．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．11．（2024·浙江温州·一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD=∠CDF．(1)求证：DF∥AB．(2)当AB=9，AF=FD=4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．(3)如图2，延长AD交⊙O于点G，若GC⌢:CA⌢:AB⌢=1:4:3，求S△BEDS△DFC的值．【答案】(1)证明见详解(2)①tan∠CDF=√173；②BC=545(3)S△BEDS△DFC =3√3+52【分析】（1）由垂径定理可得∠B=∠BAD，结合已经条件，即可得∠B=∠CDF，即可证DF∥AB（2）先证明△CDF∽△CBA，得出CF，再证明△CDF∽△CAD，得出CD的值，再由相似的性质即可求出BC 的值，进一步求出BD的值，再利用勾股定理即可求出DE，再根据正切的定义即可求出tan∠CDF的值．（3）根据圆周角定理可得：∠1:∠B:∠C=1:4:3设∠1=α，则∠B=4α，∠C=3α，则∠ADB=∠1+∠C=4α，即可证△ADB为等边三角形，即可求出α．过点E作EM⊥BC交BC于M，过点A作AP⊥BC交BC于P，过点F作FN⊥BC交BC于N，设BD=2m，利用三角函数求出EM和BD的值，即可得出S△BED，设FN=CN=n，利用线段的和差关系得出m关于n的代数式，进一步求出S△DFC，然后比较即可求出答案．【详解】（1）证明：∵点E是AB的中点，且DE过圆心，∴AB⊥DE，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，有∵∠BAD=∠CDF，∴∠B=∠CDF，∴DF∥AB．（2）∵DF∥AB，∴△CDF∽△CBA，∴DFBA =CFCA，即：49=CF4+CF，解得：CF=165，又∵AF=FD，∴∠CAD=∠FDA，∵DF∥AB，∴∠FDA=∠BAD=∠CDF，∴∠CAD=∠CDF，又∠C=∠C∴△CDF∽△CAD，∴CDCA =CFCD，∴CD2=CF⋅AC=165×(165+4)=57625，∴CD=245，∵△CDF∽△CBA，∴DCBC =DFBA，即245BC =49，∴BC =545，∴BD =BC −DC =545−245=6，∵AE =12AB =92，在△ADE 中， DE =√AD 2−AE 2=√62−(92)2=3√72， ∴tan∠CDF =tan∠EAD =DE AE =3√7292=√73， 综上，tan∠CDF =√173；BC =545．（3）∵GC⌢:CA ⌢:AB ⌢=1:4:3， ∴它们所对圆心角度数比为1:4:3．根据同弧所对圆周角为原心角的一半，可知它们所对的圆周角度数比为1:4:3即∠1:∠B:∠C =1:4:3设∠1=α，则∠B =4α，∠C =3α，则∠ADB =∠1+∠C =4α，∵AD =BD ，∴∠BAD =∠B =4α，∴∠ADB =∠BAD =∠B =4α，∴△ADB 为等边三角形，∴4α=60°，∴α=15°，∴∠C =3α=45°，过点E 作EM ⊥BC 交BC 于M ， 过点A 作AP ⊥BC 交BC 于P ， 过点F 作FN ⊥BC 交BC 于N ，设BD =2m ，∵∠B =60°，∠BED =90°，∴BE =BD ⋅cos 60°=2m ×12=m ，EM =BE ⋅sinB =m ⋅sin60°=m ×√32=√32m ， ∴S △BED =12EM ⋅BD =12×√32m ⋅2m =√32m 2， 同理AP =AB ⋅sinB =2m ×sin60°=2m ×√32=√3m ，∵∠C =∠PAC =45°，∴PC=AP=√3m，∵PD=12BD=m，∴CD=PC−PD=(√3−1)m，∵∠C=∠NFC=45°，设FN=CN=n，∴DF∥AB，∠FDN=∠B=60°，∴DN=FNtan60°=√33n，又∵CD=DN+NC，即(√3−1)m=√33n+n，解得：n=(2√3−3)m，∴S△DFC=12DC⋅FN=12×(√3−1)m×(2√3−3)m=9−5√32m2，∴S△BEDS△DFC =√32m29−5√32=5+3√32．【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，平行线的判定以及性质，相似的判定以及性质，正切的定义，圆周角定理，等边三角形的判定以及性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2023·浙江杭州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC、AC上的点为D、E，连接AD、BE，线段BE与线段AD交于点Q．(1)①求证：DB2=DQ⋅DA；②如果AQQD=3，求∠C的正切值：(2)如果BQ=3，EQ=2，求△ABC的面积．【答案】(1)①见解析；②2(2)152√5【分析】（1）①证明BDQ∽△ADB即可证明；②设DQ=k，根据等腰三角形“三线合一”表示出CD，即可利用ADCD求出答案；（2）连接CQ，根据勾股定理求出CE，AE=x，再根据勾股定理求出AC，即可利用面积公式求出面积．【详解】（1）①证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⌢=DE⌢，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAD，∵∠BDQ=∠ADB，∴△BDQ∽△ADB，∴DQBD =BDAD，∴DB2=DQ⋅DA．②解：设DQ=k，∵AQQD=3，∴AQ=3k，∴AD=4k，∵DB2=DQ⋅DA=4k2，∴BD=2k，∵AB=AC，∴CD=BD=2k，∴tanC=ADCD =4k2k=2．（2）解：如图，连接CQ，∵AD⊥BC，BD=CD，∴CQ=BQ=3，∵QE=2，∴CE=√CQ2−QE2=√5，设AE=x，∴AC=x+√5=AB，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+52=(x+√5)2，解得：x=2√5，∴AC=3√5∴S△ABC=12AC⋅BE=12×3√5×5=152√5．【点睛】本题考查了圆的性质的应用，等腰三角形性质、勾股定理的性质的应用,三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，求三角函数值，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．13．（2023·浙江宁波·一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案一、圆的综合1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜（3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124OD OM DM x =-=-． ∵2121224x DM x y OD x x =∴=+-，．解得1422x -=，或1422x --=（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为1422-．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．2．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P 的半径；（2）当AP=5△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，⊙P 与边AC 相切，则BD 就是⊙P 的半径，利用解直角三角形得出BD 与AD 的关系，再利用勾股定理可求得BD 的长； （2）如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，根据垂径定理得出MN=2MH ，PM=PN ，再利用勾股定理求出PH 、AH 、MH 、MN 的长，从而求出AM 、NC 的长，然后求出AM MP 、PN NC 的值，得出AM MP =PN NC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∵⊙P 与边AC 相切，∴BD 就是⊙P 的半径，在Rt △ABD 中，tanA= 1BD 2AD =， 设BD=x ，则AD=2x ，∴x 2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中， ()22356-，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴3535AM MP ==，35PN NC =，∴AMMP =PN NC，又∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∴∠AMP=∠PNC，∴△AMP∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.3．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（323【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.4．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣23B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：①t的值；②∠MBD的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=636+33． 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan ∠EBA =AE BE =33，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =11202⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ．∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形，∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况： 第一种情况：如图5．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan=33，∴3t=2t+6+33，t=6+33；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

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如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为
，直线AC：y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与X轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线a绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线a也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度；（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O1，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA．EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），
的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由
若点D 的横坐标为2
7
-
,点I △AOB 内心,IE ⊥AB 于点E,当过OD 两点的圆发生大小变化时,其结论AE-BE 的值是否发生变化?若不变说明理由,若变化求出取值范围
3．已知：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB ．
（1）求证：AC 平分∠DAB ．
（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径．
4. ．（1）已知：如图1，ABC ∆是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，
求证：PA PB PC =+
（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，
求证：PA PC =
（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请
你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）
5. 问题探究：
（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保
留作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，
且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．
6 .如果关于x 的一元二次方程
有两个不相等实根，k 为正整数
图2 图3
图1 图3
图2
图1A D C B A B C D D C B A
1)求k的值
2)此方程的两个整数根，（）时，设A（x1,0），B(x2,0)以AB为直径画圆
与有公共点时，求b的取值范围
3)在（2）的条件下，设D（0，x1），点E是线段DB的动点，当△BOD绕原点o旋转
360°过程中，点E的对应点F，则线段CF的最大值是____________最小值是________
7. 在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A坐标是(0,4),点B在第一象限,点P 是x轴上一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针旋转.
1.如图,当点P，且旋转到边AO与AB重合，得到△ABD时，求此时DP的长及点D坐标.
2.是否存在点P使得△POD面积等于若存在，求出符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由
.
8. 已知a 是一元二次方程012012x 2
=+-x 的一个根，求代数式1
2012
2011a 22
++-a a 的值?
9. 化简并求值a a a -+--+22212a 1-a a 2a -1 其中a=3
21
+
10.已知关于x 的方程 03)2(x 2=-+-+k x k
⑴求证：方程总有两个实数根
⑵设)0,(),0,(21x B x A ，其中 21,x x 为方程的两个实数根，且 21x x ≠ ，且 k<4 ，AB 为直径在x 轴上方画半圆，当直线l ：k x y +=3
3
与半圆有公共点时，求k 的取值范围
11.已知点B (2,0) ，以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A , y 轴的负半轴于点D ，连接BD 交 圆O 于点E ⑵ 线段DE 的长
⑵若C (0,2) ,P(a ，2
5
) ，且满足 ∠APB=∠ACB ，求a 的值
已知△ADC为等腰直角三角形，AC=82△ABC为含30°的直角三角形，求三角形BCD面积？。

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