中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案解析

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，

∴90CEO ∠=︒，

又∵OC BE ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA

∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠，

∴COE COA ∠=∠，

又∵OC=OC ，OA=OE ，

∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）

， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，

又∵AB 为⊙O 的直径，

∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，

∴OF=OB=BF=EF ，

∴OE=OB=BE ，

∴OBE ∆为等边三角形，

∴60BOE ∠=︒，

而OE CD ⊥，

∴30D ∠=︒．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

2．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．

()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；

()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；

②求PC 的长．

【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．

【解析】

分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出

OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即

可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，

//OP PD PD AB ⊥，，

90POB ∴∠=，

O 的直径12AB =，

6OB OD ∴==，

在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯

=， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；

()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，

DC AC =，

30DBC ABC ∴∠=∠=， 60ABD ∴∠=，

OB OD =，

OBD ∴是等边三角形，

OD FB ∴⊥，

12

BE AB =， OB BE ∴=，

//BF ED ∴，

90ODE OFB ∴∠=∠=，

DE ∴是O 的切线；

②由①知，OD BC ⊥，

3cos30633CF FB OB ∴==⋅== 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2

PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．

点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．

3．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．

(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD

(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点

H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；

(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.

图1 图2 图3

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12105 【解析】

试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；

（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论． （3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12

AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =

12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD

∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．

∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．

（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．

∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．

∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．

∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =

BK ．

∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．