2019年中考数学压轴题分析胡不归与阿氏圆
第3章圆 题型解读11 线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”-北师大版九年级数学下册
题型全解11 线段和差最值中的“胡不归”问题和“阿氏圆”【知识梳理】 1.“胡不归问题”（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点在直线上运动。
（2）解题思路：紧盯“k ”的数学特点，利用特殊角的边角关系、或构造“共角模型”的相似三角形，寻找到一条与“kPB ”相似的线段，把“PA ±kPB ”结构转化成“将军饮马问题”的“PA+CD ”结构，利用“将军饮马问题”的“化曲为直”的思路解题。
2.阿氏圆（1）题型特点：出现“PA ±kPB ”形式的线段和差最值题型，且动点运动轨迹为圆形（或圆弧形）。
阿氏圆，全称为阿波罗尼期圆，是古希腊名叫阿波罗尼斯的数学家发现的。
他发现：已知平面上两定点A 、B ，则所以满足“PA PB=k(k ≠1)”的点P 的轨迹是一个圆，取名为阿波罗尼期圆，简称为阿氏圆。
当k =1时，PA =PB ，则点P 到线段两端的距离相等，它的轨迹是线段AB 的垂直平分线。
当k ≠1时，点P 运动轨迹如图所求，易知图中隐藏着“共角型”相似三角形，若OA OP=OP OB=K ，△OPA ∽△OBP ，则有PA PB=OA OP=K ，即PA =k ∙PB 。
（2）解题思路：当遇到“PA +kPB ”型最值时，解题关键是能否把“kPB ”转化成某条线段，这样就转化成了典型的“将军饮马问题”，而把“kPB ”转化成某条线段，最关键是能够构造出点A ：只要使被构造的点A 与圆心O 的距离与半径之比等于半径与圆心到定点B 的距离之比即可，即OA:r =r:OB =k【典型例题】1.如图，Rt △ABC 中，，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=√3，P 是边AC 上的一个动点，则12PA +PB 的最小值为________.A BCP MB`PC BA解析：利用30°角把12PA 转化成某一条线段，这样就把12PA +PB 转化成两条线段和差的最小值，典型的“将军饮马问题”.过P 作PM ⊥AB 于点M ，则PM=12PA ，则求12PA +PB 的最小值，即是求PM+PB 的最小值，属“一定两动”情形。
动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题
“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。
（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______解析：∵正方形A B C D为轴对称图形∴A P =P CAB CD P∴A P+B P+C P=2A P+B P=∴即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，∵∠P B F=30°∴由此我们把构造出来了∴的最小值即为A F线段的长∵∠B A E=45°，∠A E B=60°∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=根据面积法，·=·求出A F=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______练习5如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；练习7如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．（1）试说明C E是⊙O的切线；（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。
中考数学复习方案 提分微课(05) 利用胡不归、阿氏圆 最值问题
∵ =2, =2,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
1
1
∴△PBG∽△CBP,∴ = =2,∴PG=2PC,
1
∴PD+2PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,
∴当 D,G,P 共线,且 P 在线段 DG 上时,
1
PD+2PC 的值最小,最小值为 DG 长,
1
上的一个动点,求4AQ+EQ 的最小值.
图W5-11
解:(1)∵OB=3OA= 3OC,A( 3,0),
∴点 B,C 的坐标分别为(-3 3,0),(0,-3).
设抛物线的解析式为 y=a(x+3 3)(x- 3),
1
代入点 C 的坐标,得: -3=a·3 3×(- 3),解得:a=3.
1
1
2 3
2
动点,那么 PD+3PC 的最小值为
2
,PD-3PC 的最大值为
图W5-8
.
[答案](2) 106
106
[解析]如图③中,在 BC 上取一点 G,使得 BG=4.
6 3
9 3
4 2
6 2
2
2
2
3
3
3
∵ = = , = = ,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
7.如图 W5-9,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C 的半径为 2,点 P 是☉C 上
1
的一动点,则 AP+2PB 的最小值为
.
图W5-9
[答案] 10
[解析]记 BC 与☉C 交于点 E.取 CE 中点 D,
2019年中考数学压轴题分析胡不归与阿氏圆
2019年中考数学压轴题分析胡不归与阿氏圆
最短路径问题里面大家最熟悉的莫过于“将军饮马”了，“将军饮马”问题也是中考常见的问题，虽然有时候不是压轴，但是压轴中偶尔也会出现“将军饮马”的问题。
2019年的中考中，“将军饮马”问题还是出现了很多次，大家不能对简单的东西就掉以轻心。
而且很多时候直线不是横平竖直的，这时候找对称点就需要细心一点了。
下面列举的就不是常见的PA+PB那种类型了，而是那种系数不全为1的问题。
此时我们就可以联想到利用三角函数或者相似得到比例关系进行转化了。
高中数学 胡不归与阿氏圆
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。
两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k去构造某角的正弦值等于或等于)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
11。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题线段最值问题—胡不归问题和阿氏圆问题
专题07 线段最值问题（2）——胡不归问题和阿氏圆问题【问题引入】在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【题型一——胡不归问题】【模型介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】【问题】点A 为直线l 上一定点，点B 为直线外一定点，P 为直线l 上一动点，要使√22AP ＋BP 最小．【作法】过点 A 作∠NAP ＝45°，过点 P 作 PE ⊥AN ，在直角三角形中将√22AP 转化为 PE ，使得√22AP ＋BP ＝PE ＋BP ，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．【解题关键】在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．注意：而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【典型例题】【例1】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：（1）AE=_______．（2）CD +√55BD 的最小值是_______．【答案】（1）2√5（2）4√5【解析】解：（1）∵tanA=2，BE ⊥AC∴BE AE =2∴设AE=x ，BE=2x∴x 2+(2x )2=102∴x =2√5（2）如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点H∵AE=2√5，AB=10∴AE AB =2√510=√55 ∴sin ∠ABD =DF BD =√55 ∴DF=√55BD∴CD +√55BD =CD +DF∵当C 、D 、F 三点共线时，CD +DF 最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=2AE=4√5∴CD +√55BD 的最小值时4√5【练1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA=3，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√1010BD 的最小值是【答案】6√10【解析】解：如图，作DF ⊥AB 于点F ，CH ⊥AB 于点HAB C DE∵tanA=3，BE⊥AC，AB=AC=20∴BEAE =3∴设AE=x，BE=3x ∴x2+(3x)2=202∴x=2√10∴sin∠ABD=DFBD =√1010∴DF=√1010BD∴CD+√1010BD=CD+DF∵当C、D、F三点共线时，CD+DF最小，即为CH∵AB=AC∴CH=BE由（1）知，BE=3AE=6√10∴CD+√55BD的最小值时6√10【练2】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，边长为 3，P 是对角线 BD 上的一个动点，则12BP＋PC 的最小值是_______．【答案】3√32【解析】解：如图，作PM⊥AB于点M，CH⊥AB于点H∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30°∴PM=12PB∴12BP＋PC=PM+PC∵当C、P、H三点共线时，PM+PC最小，即为CH 在Rt△CBH中，CH=BC×sin60°=3√32∴12BP＋PC的最小值时3√32【练3】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则PB +√32PD的最小值等于________．【答案】3√3【解析】解：如图，作PH⊥AD于点H∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∵∠DAB=60°∴∠HDP=60°∴sin∠HDP=√32∴PH=√32PD∴PB +√32PD=PB+PH∵当B、P、H三点共线时，PB+PH最小，即为BH在Rt△ABH中，BH=AB×sin60°=3√3∴12BP＋PC的最小值时3√3【题型二——阿氏圆问题】【模型介绍】所谓“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA=kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
胡不归与阿氏圆数学模型讲解
胡不归与阿氏圆数学模型讲解数学是一门与生俱来的智力游戏。
许多数学问题看似复杂难懂，但只要找到了正确的角度和方法，它们就会变得简单易懂。
今天我想与大家分享的是胡不归与阿氏圆数学模型，这是一种崭新的解决问题的方法。
前方几行解释提醒：阅读完本篇文章之后，可能会对胡不归与阿氏圆得到的数涨点自信，但作者本人并不保证你能够理解它们，除非你已经具备了数学专业的基础和知识。
那么，胡不归与阿氏圆是什么呢？胡不归是解决Gauss消元的一种方法，它被用于矩阵求逆和计算行列式等问题。
胡不归是由天津大学的胡胜利教授于20世纪80年代发明的。
阿氏圆是一种用于解决k个方程组求几何平均值的算法。
在k=2时，阿氏圆可以退化为普通的圆。
这种算法由英国数学家阿诺德·本特利(Arnold Bentley)在20世纪初发明。
胡不归与阿氏圆的结合，可以用于解决各种数学问题。
接下来，我将用几个例子来演示胡不归与阿氏圆如何解决这些问题。
例1：求两数之和与两数之积假设有两个数x和y，分别为10和7。
我们现在想要计算它们的和与积。
首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 ] [ x ] [ x + y ][ x y ] [ y ] = [ xy ]接下来，根据胡不归法则，我们进行如下的计算：[ 1 1 | x ][ x y | y ] -> [ 1 0 | x + y Y ][ 0 1 | Y ]其中，我们把胡不归得到的结果用大写字母Y表示。
现在我们可以得到：x + y = Yxy = Y最后计算出的x和y分别为3和4.67。
例2：求三数的平均值假设有三个数a、b和c，它们的值分别为2、4和8。
我们现在想求它们的平均值。
首先，我们需要构造如下的矩阵：[ 1 1 1 ] [ a ] [ (a+b+c)/3 ][ a b c ] [ b ] = [ ][ c ] [ ]接下来，根据胡不归法则和阿氏圆，我们进行如下的计算：[ 1 1 1 | a ][ a b c | b ] -> [ 1 0 0 | (2a+b)/3 ][ 0 1 0 | (2a+2b+c)/3 ][ 0 0 1 | (a+b+c)/3 ]此时，我们已经得到了平均值，它是14/3，也就是4.67。
二次函数动点最小值问题—胡不归
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA PB +最值，除此之外我们还可能 会遇上形如“PA kPB +”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问 题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之 间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当 赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不 断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为1V ，在直线MN 上运动的速度为 2V ，且12V V <，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．【问题分析】121121V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC kAC =的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ,,CHDAN k k CH kAC AC∠===．将问题转化为求BC CH +最小值，过B 点作BH AD ⊥交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC CH +取到最小值，即BC kAC +最小．【模型总结】在求形如“PA kPB +”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA kPB +”型问 题转化为“PA PC +”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【2019 长沙中考】如图，ABC ∆中，10AB AC ==tan 2A =，BE AC ⊥于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______．【2019 南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，6AB =，2BC =，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．【2014成都中考】如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点D ． （1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点 A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速 度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【2018重庆中考A 】抛物线2y x =+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边）， 与y 轴交于点C ．点D 是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将△OBC 沿直线CH 翻折至△O 2B 2C 的位置，再将△O 2B 2C 绕点B 2旋转一周，在旋转过程中，点O 2，C 的对应点分别是点O 3，C 1，直线O 3C 1分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△O 2B 2C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN 是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O 2M 的长；若不存在，请说明理由． 【第三问与本次课基本无关，可不讲】【2018重庆中考B】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线24y x x=-+上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1)．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求12PH FH FO++的最小值；（3）在（2）中，12PH FH FO++取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【第三问与本次课基本无关，可不讲】如图，二次函数213662y x x =-++与x 轴相交A ，B 两点，与y 轴相交于点C ．（1）若点E 为线段BC 上一动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点P ，垂足为F ，当2PE EF -取得最大值时,在抛物线y 的对称轴上找点M ，在x 轴上找点N ，使得PM MN NB ++的和最小，若存在，求出该最小值及点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在（1）的条件下，若点P ′为点P 关于x 轴的对称点，将抛物线y 沿射线BP ′的方向平移得到新的抛物线y ′，当y ′经过点A 时停止平移，将△BCN 沿CN 边翻折，点B 的对应点为点B ′，B ′C 与x 轴交于点K ，若抛物线y ′的对称轴上有点R ，在平画内有点S ，是否存在点R 、S 使得以K 、B ′、R 、S 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．【第二问与本次课基本无关，可不讲】如图，抛物线22y ax ax c=-+的图象经过点(0,2)C-，顶点D的坐标为8(1,)3-，与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y BF+的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H BF+取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【第四问与本次课基本无关，可不讲】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【第二、三问与本次课基本无关，可不讲】【2019绵阳中考】在平面直角坐标系中，将二次函数2y ax=(0)a>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），1OA=，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求35PE PA+的最小值．如图所示，已知抛物线(3)(1)=+-(0)a≠，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，y a x x与y轴相交于点C，经过点A的直线y b=+与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【第二问与本次课基本无关，可不讲】如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线与抛物线在第二象限交于点C ，且4tan 3CBA ∠=，点D 为线段BC 上一点（不含端点），现有一个动点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度运动到D 点，再沿线段DC 以每秒54个单位长度的速度运动到C 点，则动点P 运动到C 点的最短时间需________秒。
最值模型之胡不归与阿氏圆模型(解析版)
最值模型之胡不归与阿氏圆模型模型一胡不归模型知识梳理【模型来源】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型建立】如图1，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BCV 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)图1图2图3【解题方法】(1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.(2)如图2，构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.(3)如图3，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题解析【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB =OB =3，点M 在线段AC 上，且AM =2．点P 为线段OB 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值为．【答案】2【分析】过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，证明MP +12PB =MP +PE ≥MF ，进一求解MF 即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OB =OC =OD ，∠ABC =90°，∵AB =OB ，∴AB =OB =OA ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠ABO =60°，∴∠OBC =∠ABC -∠ABO =90°-60°=30°。
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆
“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-084-02【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点，如2019年天津中考的第25题的第3问考察到“a·PA+b·PB”的形式，可用提公因式的方法将“a·PA+b·PB”的形式转化为“PA+k·PB”模型。
于是，我们可以把这类问题分为以下几类：当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以通过作轴对称来处理。
当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，可借助三角函数值或相似的相关内容进行思路转换。
此类问题除上述k值不同的分类外，还需注意动点P轨迹不同带来的分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【关键词】胡不归；阿氏圆；最值问题；数学模型【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；一、“胡不归”模型1、问题初探点P在直线上运动，即“胡不归”问题如图1所示，已知sin∠MBN=k，点P为∠MBN一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”的最小时，点P的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的长度，可以通过转化的思路找到与“k·PB”对应相等的线段，具体方式为过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,此时，“PA+k·PB”的最小值转化为“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小，进一步计算出线段AQ即为所求的最小值。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
胡不归与阿氏圆问题精讲(已印)
中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲一、胡不归问题模型话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒，砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．例题：2019年长沙中考数学第12题二、胡不归问题典型题目汇总1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(-1.0)、B )3,0(-)、C(2,0)，其对称轴与X 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。
（2）若P 为y 轴上的一动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为_____ 。
（3）()t s M ,为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有_____个。
②连接MA 、MB ，若AMB ∠不小于 60，求t 的取值范围。
2.二次函数c x ax y +-=22的图象与x 轴交于A 、C 两点,点C （3，0）,与y 轴交于点B （0，－3）. (1)a=_____,c=_____.(2)如图1,P 是x 轴上一动点,点D （0，1）在y 轴上,连接PD,求PC PD +2的最小值;(3)如图2,点M 在抛物线上,若3=∆MBC S ,求点M 的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，3）,点A 为x 轴负半轴上一点,BC AM ⊥于点M 交y 轴于点N,满足4CN ＝5ON.已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C. (1)求抛物线的函数关系式;(2)连接AC,点D 在线段BC 上方的抛物线上,连接DC 、DB,若BCD ∆和ABC ∆面积满足ABC BCD S S ∆∆=53,求点D 的坐标;(3)如图2,E 为OB 中点,设F 为线段BC 上一点(不含端点),连接EF.一动点P 从E出发,沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC 以每秒35个单位的速度运动到C 后停止.若点P 在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F 的坐标.4.如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，已知A(0,3),C(3,0)。
中考数学之阿氏圆、胡不归模型求最值
“PA+k·PB”型的最值问题【问题类型】对于“PA+k·PB”型最值问题，根据k的取值可分两种情况：①当 k=1 时，即求“PA+PB”的最值，可用“将军饮马”模型来解决，主题思想是做轴对称；②当 k 取任意不为 1 的正数时，不能再用常规的轴对称思想来解决，必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究：①点 P 在直线上运动，即“胡不归”模型；②点P 在圆周上运动，即“阿氏圆”模型。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
②两点间线段最短。
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点P在直线上运动——“胡不归”问题一、背景故事从前，有一个小伙在在外地求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线：如下图（1），A是出发地，B是目的地；直线l是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这合适的路线应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在驿道上选定一点C，小伙子从A走到点C，然后从点C折往点B，可望最早到达点B。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为v1，在沙地上行走的速度为v2，即求ACv1+BCv2的最小值。
二、问题解决说明：为了便于理解胡不归问题，将上述模型具体化。
即驿道上的速度为2m/s，沙地上的速度为1m/s，则问题转化为求AC2+BC的最小值。
联系：关于线段之和最小，我们熟悉的模型是将军饮马，但本题AC前的系数是12，应该如何做呢？假如能将AC2转化为系数为1的某条线段，就成为熟悉的将军饮马模型。
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归” 一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
阿氏圆与胡不归典型题
阿氏圆与胡不归典型题？
答：阿氏圆（Apollonius Circle）与胡不归问题是平面几何中的经典问题，它们各自拥有独特的性质和解题方法。
以下是两者的典型题目及简要说明：
阿氏圆典型题
题目：平面上有两个定点A和B，距离分别为a和b（a > b），动点P满足PA/PB = k（k为常数且k ≠1），求动点P的轨迹。
解题关键：
1.选择适当的比例k。
2.利用相似三角形的性质来确定动点P的轨迹。
3.轨迹通常是一个圆，称为阿氏圆。
胡不归典型题
题目：在一条直线上有A、B两点，动点P从A出发，以固定的速度v₁向B运动；同时，从B点出发以另一固定速度v₂沿直线向A运动的一个动点Q。
当P、Q相遇时，它们立即各自反向运动，如此往复。
求P点的轨迹。
解题关键：
1.利用速度的比例和方向来确定P和Q的运动轨迹。
2.轨迹可能是一个复杂的图形，但在某些特定条件下，它可能简化为一个直线或一个圆。
3.胡不归问题实际上是一个动态几何问题，涉及到速度和加速度的矢量合成。
注意事项
在解决这类问题时，要特别注意比例常数k或速度比v₁/v₂对轨迹形状的影响。
在实际问题中，可能需要结合代数和几何的方法来求解。
这类问题通常有多种解法，鼓励探索不同的解题思路。
以上是对阿氏圆和胡不归问题的简要介绍和典型题目
的概述。
在实际解题过程中，可能需要根据具体情况灵活应用相关知识和技巧。
中考数学胡不归与阿氏圆模型讲解及例题
a=45时， BC 2 AC BC CD BD ；a=30时， BC 1AC BC CD BD22两定一动求最值，最终用垂线段最短来求解阿氏圆-两点之间线段最短构造S ΓMC Sd BpC »51^..∙.CΛΓ=J x炉枝・孔"・与WlU 交点HP 刃点" “亠 fP CJ ΛfPMff9 ・■■• • CRCPRP做中字宁中做• ：/>” -J 4~Z ><"点P 刃99匕—必点•詩BP. ・，p*t^⅛Ci ∣lli⅜ BJ«2B>« 2R3Λ0≡K第S 步.【焜示】9522tχ »3«>.斗歩： 笫3F二做中学穿中做•・.PM BP构UrM Szf 次" 9il»Znr rc在BC 上职点3. 快得∙^∙—L rnr J.∙. HM Ii⅛tt<5f ・ ⅛M M 3⅛Z∙J ΨΛA∕∙・PM 」2.:ΛM+ £ PO-Af^PM^JS必诗u.尸.M 三点火SeN 玄小.颠Λff ・ HyNr 中./刀■ W • an■ r∙zr匕在 Q»f Z m■小佢Q C梅系澈不为（的绒段的站个蠟点分别 T例心匕Hlil；接・连接C". CB,il ≡HiMΛtfc[ftc∕>. C"长皮8 辻卸这两务找段长度的比：：C .r>~ . Cr 1座CIr上収点Λ*∙ KfW VP 一2桥耒数不为f的电耳曲跆个* 口分别∖UIQ"4H述牍・嗖按〃化HC I il ΛM I WΛ(⅛WΛ∕F・"ciC∕θ½EP/〒it Mix∣*∣*ten κj(r r∣比十T .年CtRJ AΛYK-換第MJBO如四，在RuMC中，NA5 ・9(f^ ,AC-BC- 2 9以於2为顶点的正方用9DEF(C. D、E. F四个頂点按逆时针方向拮列》可以绕点C 自由恰动，且CD■返•连接—IiD.在证方形CDEF施籽过和中∙Bl)D2∕JK]:^j∩ΛCDM ^ΛCΛD Bl*.Λ2*≡^r r∙7∙r74rΓ'fe<*Λ¾Λ4^;的UBlr) H⅜ 个Ml 点分JMWiR∙DCWIFM： .JrlrCiW C2>. 汁Je川两条GW<∕>ιscfv sCD 2itJtlXRMβBWβ:/V的血K■厶T ；CM J2&d卜圾攻H.位够7齐■：..ev h»>r∕Mr.^MI<∙ ΛWΛΛ∕>.,CD CM DM√5・— ------- ----- ■ ——■・■eι CJ>yj.t∕>.W- — ^z>S∙ f “― 职W、z>. Λ/ Xtyy僅"・【盘WJlW?、5】・.，做中T r G做R厠劝XoyΛ" SM <Λ 1 /»第■步•g步■ 弟*步=宋••海5C兰珈=Z>桁系＜&不％MM J侦Bt旳网TaX点分別耳剧心LfH ⅛fR ,崔渍6"r?Z>；卄XHlFr 条tfcWl<Λ<. O∕>UΛ*it ∙F⅛∙*⅛Λe⅛wLκ^αft9 比ON J"≡"≡ββCP 2在QMfl9莊匸:级上lRΛCΛr・使御.-.OV釜J^*⅛U.VJ ,⅛Mc ⅛f/Λttp 为点"・CA-IOPOF 1「—■ ■”■ IIt 一■—OM R^f 2..Λ-<y*∙√∙z/ mru 135当■、几M三舄其曲MB小.金上AM「存.<≡><∙丹尸Λτ>fr2 ・AnFGX•上旳动点・x⅛ A ∕≠MC上∙CH-I .经Att .3、"&■ Λff-.m 2D匕的娠小俏[ _________________________________ S SfiB示】:B. O. M三τ≡HαtHgfi⅛<M .【窓兀认1上乐7】<fc∕A7∙ □JU∕V G" 圧为C的IF力用"5 内/W A^Λ⅛• /忖-・？• ∙W∕y IZ、的最小伯・I ISzRlD O n：1 ⅛{⅛*"T∙rςr ,⅛^滋貫口乎手匚门伪CQ 2 CΛf Z>M C∙l ~ √ " O 一 "QCQ 2€：H 47> >Γ- [ 17> CZ S Z?Z S€./> Hn> Hn 2ΠE。
2019年天津市中考数学压轴题——“胡不归”最值
2019年天津市中考数学压轴题——“胡不归”最值
【考查知识点】二次函数的图象及性质、等腰直角三角形、垂线段最短、“胡不归”型最值。
【适用年级】九年级
【专题归类】“胡不归”最值型问题
【题外话】真是千呼万唤始出来呀，天津市2019中考压轴题终于出现了，虽然有了前面的基础，但今天做起来还是觉得挺费劲的，原因在于天津的中考压轴题增加了计算的难度，计算量加上胡不归，真是难上加难，不知道同学们听懂我的讲解了没有。
为了突出今天的主题——胡不归，我并没有讲解前两问，前两问的难度也相对较小。
当然，值得一提的是，这道题的三问都是独立成题的，是是并列的关系，不是递进的关系，搞清楚这个也是很关键的。
再有，字母参与计算也是此题显著的特点，用字母代替数是数学上的一大飞跃，可也恰恰是这个飞跃难为了一部分同学。
不过话说回来，字母的威力实在是大，等到了高中、大学，数字出现的越来越少，而大量的字母将会进入我们的数学学习，所以说，历史车轮是滚滚向前的，既然无法阻挡，就积极融入前进的潮流吧！
我们不得不说，天津的这道题目计算量还是相当得大，即便有了清晰的解题思路，计算的功力也不容忽视，所以呀，这个暑假，解题的时候除了获得清晰的解题思路，细致的计算也是要练一练的。
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2019年中考数学压轴题分析胡不归与阿氏圆
最短路径问题里面大家最熟悉的莫过于“将军饮马”了，“将军饮马”问题也是中考常见的问题，虽然有时候不是压轴，但是压轴中偶尔也会出现“将军饮马”的问题。
2019年的中考中，“将军饮马”问题还是出现了很多次，大家不能对简单的东西就掉以轻心。
而且很多时候直线不是横平竖直的，这时候找对称点就需要细心一点了。
下面列举的就不是常见的PA+PB那种类型了，而是那种系数不全为1的问题。
此时我们就可以联想到利用三角函数或者相似得到比例关系进行转化了。