2019考研数学二考试大纲
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
2019版2019考研数二大纲 高数-5页word资料
考研的可以留着（数二大纲）考研数学二大纲编辑词条考研数学二大纲根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三。
目录1 考试内容2 考试信息展开1 考试内容1.1 函数、极限、连续1.2 一元函数微分学1.3 一元函数积分学1.4 多元函数微积分学1.5 常微分方程1.6 考试内容之线性代数1.7 二次型2 考试信息2.1 考试科目2.2 考试形式和试卷结构1 考试内容编辑本段1.1 函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6. 掌握极限的性质及四则运算法则7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10. 了解连续函数的性质和初等函数一的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．1.2 一元函数微分学考试要求1. 理解导数和微分的概念,理解导数和微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数。
考研数学二解析2019
2019年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim工_向工=恤1_sec咯=_£得工_tan〜_£工3（工一°）,工LO3z33故工一tan x为3阶无穷小量，即k=3,应选（C）.方法二由tan x—x+£工3+o（j:3）得z—tan x~----x3（z—0）,«J o故％=3,应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】y f=x cos x一sin x，夕〃=—x sin x?令夕〃=——x sin x=0得工=。
9工=7T,当z€（-J,O）时，/<0,当工e（0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；当工G（冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.（3）【答案】（D）.【解】方法一r+°°f+8由x e_r d jc=r（2）=1得x e_r dj?收敛；J o J0f+°°212I+°°1r+°°2由|x djr=----e~x=百得|x（£z收敛；Z I o/J oarctan x.1..,I+，"x2/曰f+°°arctan x.比心---------dx=—-（arctan jc）2==得------ckz收敛，1+/2I o8Jo1+_z2—~dx发散，应选（D）.方法二qr r+8nr由lim x•--------7=1且q=1W1得广义积分-----dr发散9应选（D）.l+81+工2Jo1+X（4）【答案】（D）.【解】微分方程：/'+ay r+by的特征方程为A2+«A+6=0,由y=（Ci+C2x）e_J+e"为微分方程的通解可知，特征根为入i=入2=—1,则a=2,b=l；再由_y*=e"为微分方程y"+ay r-V by=ce J的特解得c=4,应选（D）.（5）【答案】（A）.【解】由/$0时，sin/£/得sin y2W Jx2y2，从而I2V4；/~2~~I F/~~2~~i F/~2~~i F tv i r^r~\_r。
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C .3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
2019年考研数学二真题及全面解析
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab == 。
2019年考研数学二真题及答案
2019年考研数学二真题及答案2019年考研数学二真题及答案2019年考研数学二真题是考研数学科目中的一项重要内容，对于考生来说，了解并熟悉这些真题以及对应的答案是备考过程中的重要一环。
本文将介绍2019年考研数学二真题及答案，帮助考生更好地备考。
第一部分：选择题选择题是考研数学二真题中的一大部分，考察考生对基本概念和方法的掌握。
以下是2019年考研数学二选择题的一道例题及答案：例题：设函数$f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$，则$f(x)$的单调递增区间为（）。
A. (-∞, 1)B. (1, 3)C. (3, +∞)D. (1, +∞)答案：B. (1, 3)解析：首先，我们需要求出函数$f(x)$的导数。
对$f(x)$进行求导得到$f'(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}$。
由于分母中的根式不能为0，所以$x^2-4x+3>0$，即$(x-1)(x-3)>0$。
解这个不等式得到$x\in(1,3)$。
而在这个区间内，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在(1, 3)上是单调递增的。
第二部分：填空题填空题是考研数学二真题中的另一部分，考察考生对定理和公式的运用。
以下是2019年考研数学二填空题的一道例题及答案：例题：设$A$为一个$n$阶方阵，且$|A|=2$，则$|2A^T|=$______。
答案：$2^n$解析：根据行列式的性质，$|2A^T|=2^n|A|$。
由题意可知$|A|=2$，所以$|2A^T|=2^n$。
第三部分：解答题解答题是考研数学二真题中的较为复杂的部分，考察考生的解题能力和思维能力。
以下是2019年考研数学二解答题的一道例题及答案：例题：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+2}$，求$f(x)$的反函数$f^{-1}(x)$。
答案：首先，我们将$f(x)$表示为$y$，即$y=\frac{1}{x^2+2}$。
2019考研数学二考试真题答案解析(完整版)
13.解析：
1
0
f ( x) d x ( x
0
1
x
1
sin t 2 d t ) dx t
1 1 x sin t 2 2 dtd x 2 0 1 t
2 x sin t 1 1 sin x 2 x2 d t |10 x 2 d x 1 0 2 t x 1 1 x sin x 2 d x 0 2 1 1 1 1 1 sin x 2 d x 2 ( cos x 2 ) |10 (cos1 1) 0 2 2 4 4
I e x d cos x (e x cos x cos x d e x ) e x cos x e x d sin x e x cos x (e x sin x sin x d e x ) e x (cos x sin x) I
2y ÷ 2y 2 ç = f + f ÷ ç çx ÷ x
2x
z z y3 2y 2 +y = -2 x × 2 f + y × f + f x y x x =-
2 y3 2 y3 f + yf + f x x y2 ÷ = yf ç ç ÷ ÷ ç x÷
12.解析： y ln cos x, 0 x
x2 x2 2 x2 2 x2
x2
2
(
x+C
)
由 f (1)= e = (C + 1) e 得 C = 0 所以 f ( x)= x × e 2
Vx = p ò
2 x2
1 2
ç ç x×e 2 ç ç
2019考研数学二答案真题解析
D
D
I3 (1 cos x2 y2 )dxdy ，试比较 I1, I2 , I3 的大小（ ） D
(A) I3 I2 I1
(B) I1 I2 I3
(C) I2 I1 I3
(D) I2 I3 I1
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
lim ( x 2x 1) 2
ex0
x
e22 ln 2
4e2
x0
10.曲线
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k （ ）
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2 E 且 A 4 ，则二次型 xT Ax 的规
范形为（ ）
(A) y12 y22 y32
(B) y12 y22 y32
(C) y12 y22 y32
(D) y12 y22 y32
【答案】C
【解析】设矩阵 A 的特征值为 ，由 A2 A 2E 可得， 2 2 ，解得 1, 2 ，
【答案】D
【解析】由通解形式可得， (C1 C2 x)ex 是对应齐次方程的解，故是 1其二重特征值，所以其特
征方程为 ( 1)2 0 ，即 2 2 1 0 ，所以 a 2,b 1；再将特解 ex 带入原方程可得 c 4
（5）已知积分区域 D {(x, y)
2019考研数学(二)中如何应用柯西中值定理
2019考研数学(二)中如何应用柯西中值定理?2019考研数学(二) 中如何应用柯西中值定理？在2019考研的数学（二）考试大纲中，明确要求考生“了解并会用柯西（Cauchy ）中值定理”。
文都教育认为，由于过去有些年份出现了应用柯西中值定理的证明题，故在2019考研的数学（二）科目中有可能出现同类型的题目，因此巩固这个知识点是有意义的。
（一）柯西中值定理及应用方法柯西中值定理如下所述：设函数f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )上可导，并且满足条件g '(x ) ≠0, ∀x ∈(a, b)，则存在ξ∈(a , b )，使得f (b ) -f (a ) f '(ξ) =g (b ) -g (a ) g '(ξ)几何直观上看，对平面曲线的参数方程⎧x =g (t ) , a≤t ≤b ⎧⎧y =f (t )应用拉格朗日中值定理，就可以得到上述形式的柯西中值定理；从另一个角度看，若令柯西中值定理中的g (x ) =x ，则获得拉格朗日中值定理。
故柯西中值是拉格朗日中值的一种推广。
通过构造辅助函数，应用罗尔定理可以证明柯西中值定理；该证明是应用罗尔定理的一个很好的例子，详见高等数学的同济版教材。
在应用柯西中值定理时，关键是找到合适的辅助函数f (x ) 和g (x ) 。
可以考虑用倒推法，从结论入手，找出这两个辅助函数，即对要证明的等式进行恒等变换，使它的形式向柯西中值定理中的等式形式靠拢（左边是两个辅助函数在区间端点上变化量的比值，右边是两个辅助函数的导函数在同一个点上的比值）。
中值性命题（即命题在区间(a , b )中某一个点或几个点上成立）一般可以考虑应用罗尔定理，拉格朗日中值定理或者柯西中值定理来证明。
若涉及到高阶导数，则可能要多次应用微分中值定理，或者可能要应用泰勒公式进行分析讨论。
（二）例题解析下面请随文都教育看一下应用柯西中值定理的几道例题及解析，体会解题方法和技巧，以便牢固掌握该知识点。
2019考研数学二答案解析
+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f
( x)
=
0 ,得驻点
x1
=
−1,
x3
=
1 e
;另外
f
(x)
还有一个不可导点
x2
=
0;
又 (−, −1) 为单调递减区间, (−1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1 , +) 为单
e
e
调递增区间;因此有极小值
f
(−1)
=1−
y = f (x), y = g(x) 在 x = a 处相切及曲率相等的
A. 充分非必要条件.
B. 充分必要条件.
C. 必要非充分条件.
D. 既非充分又非必要条件.
【答案】A
【解析】充分性:利用洛必达法则,有
lim
x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= lim x→a
f (x) − g(x) 2(x − a)
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k =
A. 1. C. 3.
【答案】C
B. 2. D. 4.
A
=
−2
3
1 −2
−1 2
1
−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则
2019考研数学二考试大纲
2019考研数学二考试大纲2019年数学二考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：sinx1lim1，lim1ex x x x函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解极限的概念，了解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的办法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．1x9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握根本初等函数的导数公式．相识微分的四则运算法则和一阶微分方式的稳定性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．了解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和XXX（Taylor）定理，相识并会用柯西(Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间a,b内，设函数f(x)具有二阶导数．当，会求函数图形f(x)时，f(x)的图形是凹的；当f(x)时，f(x)的图形是凸的）的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描画函数的图形．9．相识曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计较曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握2换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握XXX-XXX公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计较一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数均匀值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．相识二重积分的概念与根本性质，掌握二重积分的计较办法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的根本概念变量可星散的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的布局定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．相识微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)f(x),y f(x,y)和y f(y,y)．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常3系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和根本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计较行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．了解矩阵的概念，相识单位矩阵、数目矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，相识方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．了解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．相识矩阵初等变换的概念，相识初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，了解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的办法．5．了解分块矩阵及其运算．4三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．了解n维向量、向量的线性组合与线性透露表现的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．相识向量组等价的概念，相识矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的XXX（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解。
考研数学二 大纲
考研数学二大纲
加参考文献
中国研究生入学考试管理信息系统（简称CGS）2019年硕士研究生入学考试复试科目
考试复习大纲中指出，考研数学二考试总时为120分钟，覆盖共30小题，每题4分，考
查内容主要有概率论、线性代数和偏微分方程等。
以下是考研数学二复习大纲的详细说明：
第一章概率论
一、概率空间、概率分布、条件概率、独立性：香农定理、概率相等定理、中心极限
定理以及其证明。
二、随机变量的基本概念、函数的概率定义；期望、方差、协方差、协方差的使用；
参数估计的基本理论。
三、检验随机变量符合给定分布；特定总体参数和总体分布的检验。
四、多维概率分布，应用。
第二章线性代数
一、线性变换，基，基变换，矩阵，函数、维度，内积和外积，列主元法，列空间和
行空间的概念；初等变换。
二、线性无关、齐次线性方程组的解；迹，行列式及其应用；克拉默形式和特征值分解；行列式的性质；如何求解逆矩阵。
三、矩阵的运算，精度估计；和单位矩阵、零矩阵。
第三章偏微分方程
一、初等偏微分方程：恰当解、通解、幂级数解；特征根解；正定偏微分方程组。
二、可积系统：梯度、散度、旋度、导流算子；雷诺数、机械冲量；黎曼几何、内积、拉普拉斯算子等；旋风场和磁场；分离变量法；
三、偏微分方程组的逐步近似解法。
[1] 李川. 数学分析及其应用[M]. 第七版. 中国标准出版社, 2018.
[3] 吴正志. 偏微分方程基础理论与计算方法[M]. 第三版. 清华大学出版社, 2018.。
2019考研数学二真题及答案解析参考
lim f ( x) x a (x
g(x) a )2
0 的什么条件？
A.充分非必要条件 C.必要非充分条件
B.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
7.设 A 是四阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵， 若线性方程组 Ax 0 的基础解系中只有 2 个向量，
则 A* 的秩是
承载梦想 启航为来 只为一次考上研
（2）存在
(0,1) ，使得 f ''( ) 2 .
22.（本题满分 11 分） 已知向量组（Ⅰ） 1
1 1， 2 4
1 0， 3 4
1
2， a2 3
（Ⅱ） 1
1 1 ，2 a3
0 2 ，3 1a
1
3 ，若向量组 （Ⅰ）和向量组 （Ⅱ）等价， a2 3
求 a 的取值，并将 用 1, 2 , 3 线性表示 .
A.0
B.1
C.2
D.3
8.设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵， 若 A2 A 2E ，且 A 4 ，则二次型 xT Ax
的规范形为
A. y12
y
2 2
y32
B. y12
y
2 2
y32
C. y12
y
2 2
y32
D. y12
y
2 2
y32
二、填空题
2
9. lim( x 2x ) x x
2019 全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
2. y x sin x 2cosx（0 x 2 ）的拐点
考研数学二历年难度排行
考研数学二历年难度排行考研数学二历年的难度可以根据真题的题型、题目难度、题目数量、知识点覆盖范围等多个方面进行评估。
以下是历年考研数学二的难度排行与相关参考内容。
1. 2019年考研数学二难度排行：2019年的数学二试题相对较难，题型覆盖广泛，难度较大。
其中，高等数学部分的题目主要集中在微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，需要考生对数学基础知识的理解与掌握。
同时，线代证明题的难度较大，需要考生具备较强的证明能力。
2. 2018年考研数学二难度排行：2018年的数学二试题整体较2019年相对简单。
其中，线性代数与概率论的题型较多，需要考生掌握矩阵运算、特征值与特征向量等相关知识。
微积分部分的题目难度适中，需要考生掌握函数的性质、极限、微分、积分等内容。
概率论与数理统计部分的题目考查了大数定律、中心极限定理、估计等知识点。
3. 2017年考研数学二难度排行：2017年的数学二试题相对较难，题型涉及范围广泛、题目数量多。
其中，微积分的题目较多，涉及到极限、定积分、微分方程等内容，需要考生具备扎实的微积分基础。
线性代数部分的题目也较多，涵盖了向量、矩阵、线性方程组等内容，需要考生掌握线性代数的基本概念与运算。
4. 2016年考研数学二难度排行：2016年的数学二试题整体难度较为适中，题型涉及的范围相对较窄，题目数量较少。
微积分部分的题目主要考查了极限、微分、积分等知识点，难度适中。
线性代数部分的题目主要考查了矩阵运算、特征值与特征向量等内容，难度适中。
5. 2015年考研数学二难度排行：2015年的数学二试题相对较简单，题型涵盖的知识点较为基础。
微积分部分的题目考查了函数的性质、极限、连续性等内容，难度较低。
线性代数部分的题目主要涉及矩阵的运算、行列式、线性方程组等内容，难度较低。
综上所述，考研数学二历年的难度排行存在一定的差异，但整体来说，考研数学二试题难度逐年提高。
在备考过程中，需要考生熟练掌握数学基础知识，具备灵活运用数学方法解题的能力，同时注重对知识点的理解与应用。
2019年考研数学二真题与解析
2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与kx 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是 （ ）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散； （2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+； 令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】（A ） 【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则， 2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切； （2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-． 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=， 所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型Tx Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x xx x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ .【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰ 13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dx tt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0x x xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)limlim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩； 令()0f x '=得到1211,x x e=-=． 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =把初始条件(1)y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0xe x -=得,0,1,2,x k k n π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S ex dx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S eππ-→∞+=-． 20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax by ax byu v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax by ax byu v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂； 把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到 222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明 （1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-； 至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭； 同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。
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考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等数学 约78%线性代数 约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西(Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(),a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y '''== 和 (,)y f y y '''=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克拉默法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。