一个基本图形变式及应用
初中数学课堂教学如何让思维多走一步——谈一个基本图形的运用与创新
三 、 变 式 。 学 生 的思 维 “ ” 来 巧 让 灵 起 思维的灵敏性 是指能够 根据客观 条件的发展 和变化 ， 及 时 完善 或改 变 先 前 的思 维 过 程 ， 找 问 题 解 决 的 新 途 径 。在 课 寻 堂 教学 中 ， 师 要 善 于 借 助 一 题 多 变 的 变 式 训 练 ， 教 问题 设 置层 层 推 进 、 步 深 入 ， 学 生 的 思 维 始 终 处 于 变 化 之 中 ． 学 生 步 使 让 的思 维 “ ” 来 灵 起 例 ３：平 面直 角 坐标 系 中 的矩 形ＡＢ ＣＯ的位 置 如 图７ 示 ． 所
学 教 师 如 何 通 过 课 堂 教学 有 效 提 升 学 生 的 数 学 思 维 能 力 ， 培
３ １０ ） ２ ０ ０
基础 。数 学 教 师要 深 入 钻 研 教 材 ， 发 有 价 值 的 教 育 素 材 ， 开 根 据 学 生 的认 知 规 律 ， 握 教 学 规 律 ， 心 设 计 、 织 教 学 ， 培 把 精 组 把 养 学 生 思 维 的 深 刻 性 作 为 立 足 点 和 突 破 １ ，让 学 生 的 思 维 ＝ Ｉ
一
初 中 数 学 课 堂 教 学 如 何 让 思 维 多 走 一 步
谈 一 个 基 本 图形 的 运 用 与 创 新
应 志斌
（ 金华 市 第 九 中学 ， 江 金 华 浙 摘 要 ： 学 教 育 重 在 培 养 学 生 的数 学 思 维 能 力 。数 学 数 教 师 要 善 于根 据 学 生 的认 知 水 平及 已有 知 识 结 构 ，对 学 生 的 数 学思 维进 行 循 序 渐 进 式 的启 发 ，通 过 数 学课 堂 中问题 的 变 式教 学 与 创 新教 学 ， 化 学 生的 数 学思 维品 质 ， 展 学 生 的 数 优 发 学 思维 能 力 ， 实现 数 学 素 养 的全 面提 升 。 以 关 键 词 ： 中数 学 课 堂教 学 数 学 思维 变式 初 哲 学 家 哥 德 曾 风 趣 地 说 ： 经 验 丰 富 的 人 读 书 用 两 只 眼 “ 睛 。 只 眼 睛 看 到纸 面上 的话 ， 一 另一 只眼 睛 看 到 纸 背 面 的 话 。 ” “ 到 纸 背 面 的话 ” 是 指 思 维 ， 要 多 思 多 想 。 看 就 指 数 学是 以思 维 培 养 为 根 本 的学 科 。在课 堂教 学 中 ， 一些 教 师 例 题 选 取 随 意 ， 有 一 种 “ 离 破 碎 ” 感 ， 题 解 决 变 化 似 支 之 问 少 、 彻底 ， 致 学 生 的 思 维 得 不 到 有 效 的 训 练 ， 而 久 之 产 不 导 久 生 了学 生 数 学 思 维 能 力 低 下 及 问 题 解 决 能 力 欠 缺 等 问题 。数
两圆外切的一个基本图形及其应用
证 明 ： １ 延 长 Ｃ 交 ｏ０。于 （） Ａ
Ｄ， 结 ＤＢ， 长 Ｂ 交 ｏ ２于 连 延 Ａ ０ 基本 性质 ．如 果我 们熟 悉 这一 基本 图形 及其 性 质并 能 连 Ｅ， ＡＣ＝９ 。 ０， 在证 题 时巧妙 的运 用或 构 造 它 ， 往往 可 以获 得 证题 的 Ｅ， 结 Ｃ 易证 Ｂ
解 析 ： 题 的 证 明 ， 意 到 △ＡＰＢ 是 直 角 三 角 此 注
又 ‘ ＢＡＣ＝ ＢＡＤ 一 ９ 。 ． ’ ０， ． △ ＢＡ Ｃ∽ △ ＤＡＢ． ． ．
・ ． ．
点 Ｃ， 连结 ＡＰ、 ＡＣ， 证 ： ２ Ｐ ・ Ｂ． 求 ＡＣ 一Ｃ Ｃ 形， 就很 容 易发 现 ＡＣ是 ｏ １ ０ 的直 径 ， 而 Ｃ 从 Ａ上ＡＢ，
维普资讯
湖北 省襄 樊市 第 四 中学初 中部 李 继承
陕 西 长 安 师 范 学 校 郝锐 利
学 习平 面几 何 ， 如果 能 积 累 一 些 重 要 的 、 常见 的
这 时只需 在 Ｒｔ ＡＡＢ 内应 用 射 影 定 理 ， 可 以证 明 Ｃ 便
证 明 ： 证 △ＡＰ 为 直 角 三 易 Ｂ
角形 ，‘ ＡＰＢ一９ 。 ． ． Ｏ，
。 ． ．
ＡＰＣ一 ９ ， Ｏ。
‘
．
．
在 ｏ ０１中 ， ＡＣ是 ｏ １的 ０
图３
直 径。 又 ‘ＡＢ切 ｏ 于 Ａ， ． ‘ ０１
．ＡＣ ＡＢ 即 Ｃ ． 上 ． ＡＢ＝９ 。 ０，
・
Ｂ ， 而 ＡＢ—Ｂ １ Ａ１从 Ｂ．
证 明 ： Ｔ作 两 圆的 内公 切 线交 ＡＡ 过 于 Ｏ， 结 连 点 Ｐ， 直线 ＡＢ是 两 圆 的外公 切线 ， Ｂ 为切 点 ， 判 ＡＴ、 Ｔ、 Ａ、 试 Ａ ＢＴ， 由切 线长 定理 得 Ｏ 则 Ａ＝ＯＴ＝Ｏ Ａ． 断 以线段 ＡＢ为 直 径 的 圆与 直线 Ｏ ０ ２的位 置关 系 ， △ＡＴ 是直 角三 角形 ， Ａ 并 给出证 明． Ａ ＴＡ１ ９ 。 — ０． 解析 ： 易证 以 ＡＢ 为直径 的 圆与 Ｏ ０ 相 切 ， 切 ２ 且 又 。ＡＢ是 ｏＯ 直径 ， ． ‘
共边型相似三角形及其变式
共边型相似三角形及其变式共边共角型相似三角形下图是典型的共边型相似三角形，由斜A型基本图形进行变式。
通过平移线段DE，使得点E和点B重合，此时就形成了“共边共角型相似三角形(子母三角形)”，这组基本图形在几何证明题和压轴题中非常常见，如果能灵活运用其中的等积式，可以较快地解决一些问题。
模型背景其中的等积式一般不能在几何题中直接使用，必须先证明相似，化成比例式后再借助等积式进一步应用。
但是在填空题中如果能够灵活应用，则可以在很大程度上提升解题效率。
如下面这道题发现共边共角型相似三角形后，直接利用等积式，就可以快速地求出AC的长度。
对于解答题，借助结论或已知中的等积式，可以快速地帮助我们锁定相似三角形。
射影定理射影定理是共边共角型相似三角形的变形，其图形特点就是直角三角形及其斜边上的高所组成的三个两两相似的直角三角形，其中也隐含着丰富的线段关系，也可以用等积式来表示。
模型背景我们通常也可以借助射影定理中的等积式，快速求出线段的长度。
善于发现与射影定理相关的基本图形，有助于我们快速建立线段间的比例关系。
四边形背景下的共边三角形四边形背景下，也有比较常见的“共边型”相似三角形，主要分为以下两类：模型背景此类模型的考察题型主要就是利用共边型相似三角形构造线段间的比例关系，此类题目比较灵活，以以下两道题为主。
一线三等角中的共边型三角形模型背景此类模型的特点是“一线三等角模型”的变式，为“异侧”的情况，容易忽略，此类模型常常结合45°角进行综合考察，在平面直角坐标系中考察较多。
解法分析：由题意，已知中∠CPA=45°，同时根据OC=OB=3，可以得到∠CBO=∠OBA=45°，这是另一种一线三等角模型，发现了这三个等角后，则利用▲CPB∽▲ABP，求出BP长度。
同时我们也可以借助这种模型建立线段间的比例关系：解法分析：本题考察了借助“一线三等角模型”以及“X型基本图形”搭建线段间的数量关系。
变式教学在初中数学教学中的实践应用
变式教学在初中数学教学中的实践应用一、变式教学的概念和特点变式教学是指在相同的教学内容的基础上，通过设置不同的教学目标、教学方法和教学手段，使学生能够在不同的教学环境中，灵活地选择适合自己的教学路径和学习方式，达到教学目标的一种教学模式。
变式教学注重满足学生的多样化需求，强调教学过程的个性化和差异化，使学生能够通过各种途径达到相同的学习目标。
（1）因材施教：变式教学能够充分考虑学生的个体差异，因材施教，让每个学生都能够找到适合自己的学习方式和节奏。
（2）多样化教学：变式教学注重教学方法的多样性，教师可以采用不同的教学手段和策略，以及不同的教学资源，满足学生的多样化学习需求。
（3）学习兴趣：变式教学能够激发学生的学习兴趣，提高学习效率和积极性。
（4）自主学习：变式教学强调学生的自主学习，鼓励学生通过自主思考、自主解决问题，提升学习能力和学习品质。
1. 四则运算的变式教学四则运算是初中数学中的重要内容，对于不同水平的学生来说，其难易程度也有所差异。
在教学过程中，可以采用变式教学的方法，根据学生的不同情况，设置不同的教学目标和教学策略。
对于学习能力较强的学生，可以提高四则运算的难度，引导他们进行更深入的思考和探讨；对于学习能力较弱的学生，可以采用更直观、更具体的教学方法，帮助他们理解和掌握四则运算的基本规则。
还可以通过多媒体教学、小组合作学习等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
2. 几何图形的变式教学几何图形是初中数学中的另一个重要内容，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
在教学过程中，可以通过引入适当的变式教学，使学生在不同的教学环境中，更好地理解和掌握几何图形的相关知识。
可以通过调整教学任务的难易度和复杂度，帮助学生逐步提升对几何图形的认知水平；可以通过引入实际生活中的例子，加深学生对几何图形的理解和记忆；可以通过引导学生自主发现、自主探索，培养学生的空间思维和解决问题的能力。
三、变式教学在初中数学教学中的效果评价变式教学在初中数学教学中得到了广泛的应用，并取得了一定的教学效果。
一个“基本图形”的研究
高二（1）班空间中一个“基本图形”的探究教学目标：1、认识、熟悉、理解“基本图形”的构成要素及几何特征；2、在“基本图形”的框架下，会找（证）空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角并计算；3、培养学生规范作图，严谨地论证；进一步提高学生的空间想象力，将空间几何的问题转化到平面上解决的能力。
教学重点：理解“基本图形”的构成要素教学难点：会找“基本图形”中的空间角教学过程：引言：前一段时间，我们已经学习了“第14章空间直线与平面”，通过学习我们已经学会及掌握了：空间位置关系的判别，空间垂直与平行的判别与证明；空间角与距离的求解。
考虑到有一些同学在空间论证及求解空间角和距离时，还存在一些困难，还没有摸索到几何图形的特征，在这里，我给同学们提供一个“空间的基本图形”，大家一起跟着我对这个“基本图形”进行探究。
一、提出问题，引入“基本图形”引例：若平面α的斜线l 与平面α所成的角为θ，平面α的斜线l 与平面α内任一直线所成的角为θ1，试比较θ和θ1的大小关系，并给与证明。
问题1：如图所示，已知平面α，PA A α⋂=，l 是平面α内的任一直线，试探究直线PA 与平面α所成角为θ，PA 与直线l 所成角为θ1，PA 在平面α内的射影与直线l 所成的角θ2之间的关系。
12cos cos cos θθθ=⋅二、“基本图形”的应用例：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
变式1：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,AOB AOC ∠=∠=90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
变式2：已知BOC ∠在平面α内，OA 是平面α的斜线，60,45AOB AOC ∠=∠=90BOC ∠=，求直线OA 与平面α所成的角。
三、“基本图形”再探究问题2：把“基本图形”看成是由四个面围成的几何体， 设二面角P AC H --的平面角为β，那么β的大小与θ、θ1及θ2是否有关系呢？1sin sin sin θβθ= 探究应用：你能利用θ、θ1及θ2的大小求出二面角C AP H --的平面角ϕ的大小吗？21sin sin sin θϕθ= 四、总结五、作业布置：1、基础作业：习题册P19复习题B 组2、补充作业：（1）已知直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 和BC 与平面α所成的角分别为30,45︒︒，CD 是斜边AB 上的高，求CD 与平面α所成的角。
一个基本测量图的变式及应用
・ ． ．
答 ： 河 段 的 宽度 为 （ ０ — ０ Ｖ 一 米 ． 该 ３ ０ １０ ）
三 、 图 形 变 式 二
一
Ｂ Ｄ Ｃ
Ｄ
Ｃ
图 ５
图形 解 读 ： ５主 要 用 于 已知 物 体 的 高 ， 未 知 物 体 的 高 图 求
常 见 类 型 ： 型 １ 已知 Ａ 类 Ｅ及 Ｏ、 求 Ｂ ． ｌ ， Ｃ
常 见 类 型 ： 型 １ 已知 Ｂ 类 Ｃ及 Ｏ、 ｇ
类 型 ２ 已 知 Ａ 及 Ｄ 、 ， Ｂ ． 求 Ｃ
， Ａ 求 Ｄ．
例 １ （００年 兰 州卷 ）图 ２是 某 货 站 传送 货 物 的平 面示 意 ２１ 图 ．为 了 提 高 传送 过 程 的安 全 性 ，工 人 师 傅 欲 减 小 传 送 带 与 地 面
在 点 ｃ处 测 得 点 Ａ 在 西 北 方 向上 ，量 得 Ｂ Ｃ为 ２ ０米 ．请 你 求 出 ０ 该 河 段 的宽 度 （ 果 保 留根 号 ） 结 ．
解 ： 点 Ａ作 Ａ 过 Ｄ上Ｂ Ｃ于 点 Ｄ．
ＡＢＣ＝９ 一３ ＝６ ０。 ０。 ０。． Ａ ＣＤ ＝４ ５。
‘ ． ．
市 ，内江 市 正 在 对 城 区沱 江 河 段 进 行 区域 性 景 观 打 造 ．如 图 ４， 某 施 工 单 位 为 测 得 某 河 段 的宽 度 ，测 量 员 先 在 河 边 取 两 点 Ｂ、 再 Ｃ， 在 河 对 岸 岸 边 取 一 点 ， 点 Ｂ处 测 得 点 Ａ 在 北 偏 东 ３ ｏ 向上 ， 在 ０方
测 量 问题 的 内在 联 系 ．
一
、
基 本 图形
图形 解 读 ： 图 １所 示 ， Ｂ、 Ｄ 在 同 一 如 点 Ｃ、
一道几何题的变式与拓展
ｍ — ｎ
题的过程变成探索 、发现的过程．将思维 变成流动、活跃 的过程 ，是创新 思维教学 所追求 的更 为重要的 目标 ，它是灵活应用 知识 、创造性地 由已知信息推断隐含信息
Ｂ
Ｍ Ｈ Ｃ
变 换 题 型 ，合 理 选 法 ，对 学 生 思 维 的 的等式就是 图 ｌ ４中的等式 ，所 以图 １ ８中
图 ｌ ６
灵活性 、敏捷性 的培养具有积极的作用． 变 式 ４ （） 图 １ １在 ８中 ，若 四边 形
Ｉ 明】初 中学生 的几何 思维 能力不 说 意一 点 ，０为正 五边形 的 中心 ，点 ０到 Ｒ Ｃ Ｂ Ｓ是 等腰 梯 形 ， ＝ ／Ｃ：６ 。 强 ，无 法 作 出恰 当的 辅 助 线 来 证 明 问题 ， ０， 边 的距离 为 １ ＂ ５ ，点 Ｐ到 ＡＢ Ｃ、Ｃ Ｒ 、Ｂ Ｄ、 Ｓ＝ｎ Ｃ＝ｍ，点 Ｐ在梯形 内，且 点 Ｐ 本题对创新 能力提 出了较高的要求，学生 ，Ｂ Ｄ 、Ｅ 的 距 离 分 别 为 ｈ，ｈ，ｈ，ｈ， 到 四边 Ｂ Ｅ Ａ 。 ３ Ｒ、Ｊｓ ｃ、ｃ Ｒ 、ｓ Ｉ 的距 离分 别 为 可 以通 过 模 仿 来 创 新 ．
一
从这个 角度引导学 生进行思维 拓展 ，
、
引 导 学 生 反 思题 设 的条 件 、结 论 就 可 以得 到 原 题 的 变式 问题 １ ．
学生熟悉 的一个基本问题 ，谈一谈如何引 和解题策 略 变式 １ 如果将图 １中的等边 ＡＡ Ｄ Ｂ 导学生对一个几何图形进行旋转变化 、条 条件 ：此题的基本条件是有公共顶点 固定 ，将 等边 △Ａ Ｃ绕点 Ａ按 逆时针 旋 Ｅ 件变化 ，使之形成新的几何 问题． 的两个等边三角形． 转到 图 ２的位置． 基本题 （ 原题 ） ：如 图 ｌ ，△ＡＢ Ｄ和 ， ） 结 论 ： △Ａ Ｅ Ｂ ａＡＤ ，Ｂ ＝ＤＣ Ｃ Ｅ ，
一个基本图形的应用---k形图
练习2.如图,已知ΔABC中∠ABC=90° AB=BC，三角形ABC三个顶点在相互平行 的三条直线上，且 l1与 l2 之间的距离为2， l2 与 l3之间的距离为3，则AC的长是多少？
练习3：如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐 标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半 轴上，运动点D在线段BC上移动（不与BC重合）， 连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连结OE， 记CD的长为t ． 1 （1）当t = 时，求直线DE的函数表达式；
A
E
D
F
B
C
练习：正方形ABCD的边长为1cm，点P是BC 上不与点B、C重合的任意一点，连结AP， 过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm， CQ的长为ycm。 ①求点P在BC上运动的过程中，求y的最大 值 1 ②当y = 4 cm时，求x的值。
课后练习：
练习1.如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边 OA在轴正半轴上，OC在x轴正半轴上，OA=2 OC=3 过原点作∠AOC的平分线，交AB于点D，连 结DC过点D作DE⊥DC交OA于点E （1）DE与DC相等吗？ （2）∠EDC绕D顺时针 方向旋转后，角的一边 与y轴交于点F，另一边 与x轴交于点G，这时 DF与DG还相等吗，若 相等求当FE=2时的G点 坐标。
---------- “K型图”专题
“K型图”是数学中的基本图形，我们 要能从较复杂的图形中分解出基本图形， 找出基本数学模型，通过分析期中的基 本元素来解决问题
一、直角梯形中K型 问题1：如图，已知梯形ABCD中， AD//BC,∠A=90°, E是AB上一点，且 AE=BC,∠1=∠2, （1）请问图中还有哪些相 等的线段或角？ （2）根据以上等量关系，你 可以得到什么结论？ （3） 将AE=BC,∠1=∠2,换 成△DEC是等腰直角三角形， 你可以得到什么结论？
区公开课一个基本图形的应用 初中几何
1
（3）我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是 借助图形， 比如在三角形中研究问题， 上面问题如果放在三 角形中， 我们可以作三角形中一个角的角平分线， 然后过角 平分线上一点，作这个角的一边的平行线，如图所示：
A
E
D
B
C
（动态演示，引导学生观察在变化中,什么变了,什么没变.） 随着点动，平行线的位置变了，不管位置如何变，角之间的 关系没有变，形成等腰三角形这个结论不会变. 探究： 如果增加三角形的一个角的角平分线， 比如增加一条内角平 分线，请看问题一.
一个基本图形的应用
北京市第一零一中学 张迎春
教材：人教版《义务教育课程标准实验教材》八年级上册第 12.3．
1．能够利用角平分线+平行线，形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题；
教 学 目 标
2．体会研究问题中用到的分类思想，经历由基本图形问题的解决，发展对问题的 进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系和数量关系是有必然联系的，位置关 系可得出一定数量关系，反之，特殊的数量关系也能推出一定位置关系. 3．通过交流和研讨，使学生在探索的同时得到成功的喜悦，提高学生学习数学的 兴趣和信心. 角形方面的有关问题.
F B E
A
D
C
D
B E F
C
让学生回答基 本图形的结论 是如何得到的， 然后教师通过 基本图形说明： 角平分线+ 平行 线能形成等腰 三角形 . 角的大 小改变， 或是平 行线的位置改 变， 结论仍然成 立. （课件拖动直 角、钝角情况） 师： 从刚才的基 本图形以及它 的变式中， 我们 已知角平分线 和平行线的条 件， 能够形成等 腰三角形的结 论 . 板书：角平 分线+平行线 等腰三角形
2020年九年级数学中考复习学案：正方形的蝴蝶三角形模型的构建,应用及其变式
正方形的蝴蝶三角形模型的构建，应用及其变式摘要：建模解题是数学学习一种最基本的学习途径和最有效的学习方法，是基于构建主义理论的一种主动学习过程，是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式进行模拟和验证的一种模式化思维。
不同知识，不同条件，不同特点，可以构建不同数学模型，为数学灵活解题提供灵活解题方法。
正方形是一种重要的特殊四边形，也是重要的考题载体之一，而正方形中的一个重要的图形---蝴蝶三角形也日益成为考题的焦点，下面就结合2019年的考题构建一种正方形解题模型--蝴蝶三角形模型，并通过模型的应用，模型的变式，掌握模型的特点，为其他模型的构建提供模本。
关键词：构建主义，建模思想，变式。
《义务教育数学课程标准（2011边版）》第7页中给出了建立数学模型思想的地位：模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[1]。
鉴于数学建模的重要性，学会构建模型，并灵活运用模型解题成为数学学习的重要手段。
下面就向大家介绍一种正方形解题模型的构建，应用和变式，供学习时借鉴。
一、正方形蝴蝶三角形模型的构建如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，BE=CF，连接AE,BF二线交于点G,称△ABE和△BCF构成的图形为正方形ABCD的蝴蝶三角形。
蝴蝶三角形具有如下性质：性质1：蝴蝶三角形是全等三角形即△ABE≌△BCF。
性质2：斜边AE,BF的关系是AE=BF且AE⊥BF。
性质3：三角形ABG的面积等于四边形GECF的面积。
性质4：四边形ABFD的面积等于四边形AECD的面积。
性质5：设正方形的边长为a，BE=CF=b,则AE=BF=√a2+b2；BG=√a2+b2,GF=√a2+b2-√a2+b2。
二、蝴蝶三角形性质的证明（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，因为BE=CF，所以△ABE≌△BCF；（2）因为△ABE≌△BCF，所以AE=BF，∠BAE=∠CBF ，因为∠BAE+∠BEA=90°，所以∠CBF+∠BEA=90°，所以∠BGE=90°即AE⊥BF。
妙用变式,演绎精彩数学课堂
妙用变式，演绎精彩数学课堂数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，它提供了充足的思考过程，可以激发我们的创造能力。
所以，要做好数学课堂，最重要的就是学生们有信心，勇于运用变式来发掘新的可能性，开拓出更多的精彩。
比如，我们可以从一个基本问题出发，然后不断延伸，运用变式解决不同的变种问题，让学生们意识到数学的可能性。
比如，在三角形的内角和问题上，我们可以延伸出许多变种问题，比如：三角形的边长为多少时，内角和最大、最小？什么样的三角形内角和会是180°？三角形内角和是180°时，它的边长又是多少？此外，我们还可以运用变式来解决几何图形问题。
比如，在平面图形面积计算问题上，我们可以运用梯形法、三角形分割法等，引导学生把不同形状的图形分割成若干个简单图形，来计算出面积。
而当学生们熟悉了这些变式的应用后，他们也可以运用自己的想象力，发现新的有趣变式，将其应用到更多不同的问题上来进行探索。
总之，通过妙用变式，我们可以探索出更多的精彩，让学生们学会更多的领悟和思考，不断发现数学中更多的可能性。
数学课上，我们还可以用变式来探究解决应用问题，可以让学生更加实际地体会到数学的作用。
比如，在函数关系问题上，我们可以利用变式来研究如何使用不同关系，解决出日常生活中的简单问题。
比如，假设我们要计算某一物品的价格，我们可以使用线性函数y=ax+b来模拟出这种关系，然后使用变式，研究该物品在不同售价下，会产生何种变化？再比如，我们研究某一人每天开车上下班所花费的时间，我们可以使用指数函数y=abx来模拟出这种关系，再使用各种变量研究该人在不同里程数下，会产生何种变化？运用变式，我们还可以研究各种方面的概率问题，比如说，在一个小概率事件上，我们可以使用概率论的定义，运用变量，去研究当事件出现的概率上升或下降，会有怎样的变化？我们可以运用变量，通过模拟出大量不同情况，来预测出最后的结果，让学生学会如何用数学去解决日常生活中的种种问题。
一个基本图形的探究与应用
每 一 类 数 学 问题 都 能找 到它 的基 本 图形 ．如 果 能 对 基 本 图形 进 行 探究 与开 发 、 申与 挖 掘 ， 现 其 规 律 ， 引 发 总结 其 方 法 ， 揭 示 其 有 价 值 的结 论 ． 样 做 不 仅 能 产 生 触 类 旁 通 、 一 反 三 这 举 的效 果 ， 而且 能 开 阔 学 生 的思 路 ， 培养 学 生 的 发 散 思维 ． 原 题 呈 现 。 远 流 长 源 原 型 题 ： 图 １ 点 Ｂ、 、 在 一 条 直 如 ， ＣＤ 线 ｍ上 ， Ａ 且 Ｂ上ｍ， Ｅ上ｍ， Ｃ上Ｃ 垂 Ｄ Ａ Ｅ， 足分 别 为 Ｂ Ｄ、 ！ ＝ Ｅ， 、 Ｃ，Ｉ ￣ Ｃ ＡＣ
一
形 的 “ 子 ” 我 们 把 满 足 “ Ｂ ＝ＬＣ Ｅ 影 ， ＬＡ Ｃ Ｄ ＝ＬＡ Ｅ＝ ０ ， Ｃ Ｃ ９。Ａ ＝ Ｃ ” 一 条 件 的 两 个 全 等 三 角形 。 “ Ｂ ￣ Ａ Ｃ Ｅ 称 之 为 Ｅ这 即 ＡＡ Ｃ Ｄ ” 基本 图形 ， 还可 以改 变 条 件 ， 原 图进 行 变 化 和 拓 展 ． 把 在 上 题 中 ， 果 将 直 线ｍ绕 点 Ｃ 转 一 定 的角 度 ， 直 线ｍ 如 旋 当 与Ａ Ｅ有 一 个 交 点 时 ． 问题 的 结 论 、 导 推 方法 会 有 何 变 化 呢 ？ 变化 题 ： 图２ Ａ Ｅ ９ 。 且 Ａ ＝ 如 ， Ｃ ＝０ ， Ｃ Ｃ Ｅ，直 线 ｍ 过 点 Ｃ， Ｂ上ｍ，Ｄ上ｍ， 经 Ａ Ｂ 证
２１ 第 ２ 试 周 ０年 ９ １ 期考 刊
一
个 基 本 图 形 的 探 究 与 应 用
刘 志
（ 苏 省 淮 阴 中学 ， 苏 淮 安 江 江 ２３０ ） ２０ １
正方形的典型基本图形
正方形的典型基本图形（1）1、知识回顾：⎩⎨⎧＿＿＿＿为对称中心中心对称性：＿＿＿＿轴轴对称性：＿＿条对称正方形的对称性 2、如图，正方形ABCD 中，点E 在AC 上，求证：BE=DE3、将上题用文字概括为一个命题：例1、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上一点，PE ⊥AD ，垂足为E ， PF ⊥CD ， 垂足为F ，求证：EF ＝BP例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，AC 与BE 相交于点F ，连接DF 。
（1）在不添加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE ，试判断AE 、DF 的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF 交BC 于点M ，试判断BM 与MC 的数量关系。
NC BA变式1：如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接BE 并延长BE 交AD 于点F ，若oBEC 60=∠，求∠DFB 的度数。
变式2：在正方形ABCD 中，点M 、N 在分别在AB 、BC 边上，交对角线于点E 、F ，若∠MDN=600， 求：∠BEM+∠BFN 的度数。
中考题型：3、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点上任意一 点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM 的最小值为 13+时，求正方形的边长．4.如图，在正方形ABCD中， AF、DE相交于点G，E、F为BC、CD的中点，求证：①AE=DF；②AE⊥DF变式1：若E、F不为BC、AB的中点，但AF=BE，以上结论是否仍然成立？变式2：若E、F分别在BC、AB的延长线上，且CE=BF，以上结论是否仍然成立？（作出图形，证明结论）；5、求证：互相垂直的两条直线被正方形截得的两条线段相等6.正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在AB 上，且AF=BE,DF 交AE 于H, （1）请写出线段AE,DF 的位置关系及数量关系为： （不需要证明） （2）如图，在HD 上有一点M,使HM=HA ，点O 为MC 的中点，请给出线段DH 与DO 的数量关系，并证明；（3）如图，将直线FD 沿射线AE 方向平移，交线段AB 于N,交AE 于I,交CD 于K,是否存在DI=DC,若存在，请求出DKAN的值，若不存在，请说明理由。
最基本的图形--点和线(基础)知识讲解
最基本的图形--点和线（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解点和线是最基本的图形；2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.【要点梳理】要点一、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.（2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；图4端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．要点三、直线、线段的基本性质1. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线． 要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O ；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P .（2）两条不同的直线相交只有一个交点.2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点四、线段的长短比较1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：图7图5法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.2.线段的比较：（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：类似于数，线段也可以相加减．3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【典型例题】类型一、点、线、面、体1．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．类型二、线段、射线、直线的概念及表示方法2.下列说法中，正确的是( ) .A．射线OA与射线AO是同一条射线.B．线段AB与线段BA是同一条线段.C．过一点只能画一条直线.D．三条直线两两相交，必有三个交点.【答案】B【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．举一反三：【变式1】以下说法中正确的是（）.A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.【答案】解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线：直线AC(或AB，BC).类型三、线段、射线、直线有关作图3．如图所示，线段a，b，且a＞b．用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．【答案与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度． 举一反三：【变式1】下列语句正确的是( ) .A ．画直线AB ＝10cm. B ．画直线AB 的垂直平分线.C ．画射线OB ＝3cm.D ．延长线段AB 到C 使BC ＝AB. 【答案】D【高清课堂：直线、射线、线段397363 按语句画图3（3）】【变式2】用直尺作图：P 是直线a 外一点，过点P 有一条线段b 与直线a 不相交. 【答案】解：类型四、有关条数及长度的计算4.如图，A 、B 、C 、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出 条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数． 【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知，点A 与B,C,D 三点各确定一条直线，同理点B 与C 、D 各确定一条直线，C 与D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.【总结升华】平面上有n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：(1)123...(1)2n n n -++++-=． 举一反三：【变式1】如图所示，已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E ． (1)图中共有几条线段？(2)如果在线段CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？ 【答案】解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；(2)如果在线段CD 上增加一点P ，则P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.（注解：若在线段AB 上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB 上增加到n 个点(即增加n －2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n －1)＝21n(n －1) .）【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．【答案】85. 如图所示，AB＝40，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E是BD的中点，且EB＝5，求CD的长．【思路点拨】显然CD＝CB－BD，要求CD的长，应先确定CB和BD的长．【答案与解析】解：因为AB＝40，点C为AB的中点，所以11402022CB AB==⨯=．因为点E为BD的中点，EB＝5，所以BD＝2EB＝10．所以CD＝CB-BD＝20-10＝10．【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．【高清课堂：直线、射线、线段397363画图计算例2】举一反三：【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4，如图所示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长.【答案】解：依题意，设AB＝2x cm，那么BC＝3x cm，CD＝4x cm．则有：MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15解得：52 x=所以AB=2x =5252⨯=cm.类型五、最短问题6.如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．。
一线三等角变式-概述说明以及解释
一线三等角变式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分:一线三等角是几何学中重要的概念，它是指三角形中具有相等边长和相等角度的三角形。
在数学中，三等角是几何形状中常见的图形，可以通过各种方式进行构造和推导。
一线三等角变式是指在三等角的基础上进行各种图形的变换，以探索更多有趣的性质和应用。
通过研究一线三等角及其变式，我们可以深入了解三角形的特性和性质。
同时，这也有助于我们在解决数学问题和实际应用中更加灵活和高效地运用三角形的知识。
本文将介绍一线三等角的基本概念和性质，探讨一线三等角的变式及其重要性，以及展望未来可能的研究方向。
通过对这一主题的深入讨论，希望能够为读者提供更多关于一线三等角的知识和启发。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，将对一线三等角的概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨一线三等角的概念、性质以及变式。
首先介绍一线三等角的定义和基本概念，然后深入讨论三等角的性质，包括等角的性质、等边的性质和对应边角的性质。
最后解析一线三等角的变式，包括等边三角形、等角三角形和其他相关变式。
在结论部分，将总结一线三等角的重要性，探讨其在实际应用中的场景，并展望未来可能的研究方向。
通过对一线三等角的深入研究和应用探讨，可以更好地理解几何知识并拓展其应用领域。
1.3 目的本文的目的是深入探讨一线三等角的变式，通过对三等角概念以及性质的讨论，进一步挖掘一线三等角的应用和作用。
通过研究一线三等角的变式，可以更好地理解其在几何学中的重要性，并将其运用到实际场景中。
通过本文的研究，有助于拓展我们的数学知识，增强我们的思维能力，同时也能够为未来相关研究提供重要的参考和启示。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够全面了解一线三等角变式的内涵和应用，进一步提高数学学习的兴趣和水平。
2.正文2.1 一线三等角概念一线三等角是指在平面几何中，通过一条线将一个三角形分成两个等边三角形的性质。
运用变式教学促进深度学习——以一类“正方形问题”为例
教学导航２０２４年４月下半月㊀㊀㊀运用变式教学促进深度学习以一类 正方形问题 为例◉江苏省江阴市敔山湾实验学校㊀刘㊀军１问题呈现图１例１㊀如图１所示,在正方形A B C D中,G是B C边上的任意一点,D EʅA G,垂足为E,B FʊD E,且交A G于点F．求证:A F－B F＝E F．例１是 正方形 一课的课后习题,该题是一道典型习题,涉及的知识点较多,可以很好地考查学生知识的迁移㊁重组能力,促使学生直观想象和逻辑推理等素养的提升．八年级的学生已经拥有一定的知识储备,具有一定的分析和解决问题的能力,也具有一定的逻辑推理能力,这些知识㊁经验㊁能力等为进一步的思考与探究创造了条件．在本题教学中,教师要充分发挥典型习题的作用,通过变式引领学生体会 赵爽弦图 的运用,充分挖掘蕴含其中的规律㊁方法,提升学生数学抽象㊁数学建模㊁逻辑推理等素养,培养学生勤于思考㊁乐于探索的良好学习习惯．２问题探究根据已知条件不难发现,将不在同一直线上的线段转化到同一直线上是解决本题的关键．教学过程中,教师不要急于呈现解题过程,应预留充足的时间让学生思考与交流,引导学生从 看 想 得 三方面进行深层次的探究(如图２)．通过对已知条件和结论的深度剖析后,教师要启发学生关注在同一直线上的线段A F和E F的关系．结合图１不难发现,E F＝A F－A E,而结论为A F－B F＝E F,这样只要证明A E＝B F,问题即可迎刃而解．这样通过证明әA B FɸәD A E,找到线段之间的数量关系,问题顺利获证．㊀正方形A B C Dң正方形的性质ңA B＝A DøD A B＝９０ʎ{㊀D EʅA Gң垂直的定义ңø１＝９０ʎ㊀B FʊD Eң平行线的性质ңø１＝ø２＝９０ʎ㊀㊀看㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀想㊀㊀㊀㊀㊀㊀得图２这样通过深入分析,学生形成解题思路后,教师还应预留时间让学生将问题解决到底,以此规范解答,加强学生逻辑关系描述的准确性．在讲解例１后,教师可以引导学生将图１中的弦图补充完整,由此发现小正方形的边长为R tәD A E的两条直角边的差,为接下来的变式探究作铺垫．３问题变式为了进一步探究蕴含其中的数量关系,教师基于基本学情对题目进行改编,从而将一道题推广至一类题,让学生通过由特殊到一般的深入探究掌握问题的本质,提高分析和解决问题的能力．变式１㊀如图１,在正方形A B C D中,G是B C边上的任意一点,D EʅA G,垂足为E,B FʊD E,且交A G于点F．请直接写出D E,B F,E F存在的数量关系．问题给出后,预留时间让学生思考㊁交流,教师巡视,并在合适的时机进行适度的启发和引导．学生通过深入探究,得到如下结论:(１)如图１,当点G在线段B C上时,D E－B F＝E F．(２)如图３,当点G与点C重合时,DE＝B F,E F＝０;如图４,当点G在B C延长线时,B F－D E＝E F．图３㊀㊀图４(３)如图５,当点G与B重合时,D E＝E F,B F＝０;如图６,当点G在C B延长线上时,D E＋B F＝E F．图５㊀㊀图６２２２０２４年４月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀这样通过深度学习,有效发散了学生的数学思维,培养了学生分类讨论素养,激发了学生的探究欲．变式２㊀例１中的已知条件不变,结论改为 求线段E F 的取值范围 ．结合变式１可知,当点G 与点C 重合时,E F ＝０,此时E F 最小;当点G 点B 重合时,此时E F 的长度等于正方形的边长．接下来教师展示图７,让学生直观感知随着点G 位置的变化,E F 的长度随之变化,渗透函数思想,从而为接下来研究 一次函数 作铺垫．图７这样通过对教材问题的拓展研究,既有效沟通了全等三角形的相关知识,又让学生在由内弦图到外弦图的变化过程中形成新想法㊁新思路,充分感知 赵爽弦图 的变化之美．同时,在拓展延伸中让学生初步感受函数思想,充分感知知识间的内在联系,促进学生知识体系的建构和数学素养的提升．４问题推广图８思考㊀如图８所示,当四边形A B C D 是正方形时,则E F ＝A F －B F ．如图９,әA BC 是正三角形,其中ø１＝ø２,那么A F ,B F ,E F 存在怎样的数量关系?如图１０,若将正三角形变为正五边形,ø１＝ø２,此时A F ,B F ,E F 存在怎样的数量关系呢?图９㊀㊀图１０教学过程中,教师在原有基础上进一步推广,将正方形背景下线段的数量关系推广至正三角形和正五边形中,让学生充分体会探究方法的一致性,引导学生归纳总结解决此类问题的方法,逐步帮助学生建构 一线三等角 模型,提高学生数学抽象和数学建模素养．５迁移应用谈起中考试题,很多学生会用 新 难 来概括,然深入探究不难发现,有些题实则是教材原题,学生之所以感觉 新 难 ,是因为在平时教学中对教材内容的理解不够深刻㊁全面,因此略有变化就感觉无从入手．其实,中考试题中时常会出现基本图形的变化一类问题,而这类问题往往与 赵爽弦图 密切相关．因此,在课堂教学中,教师应重视引导学生归类,让学生在变化中体会不变的本质,提高综合解题能力．图１１例２㊀如图１１所示,四边形A B C D 是边长为６c m 的正方形,点E ,F ,G ,H 分别从点A ,B ,C ,D 同时出发,以１c m /s 的速度向B ,C ,D ,A 匀速运动,当点E 达到点B 时,四点同时停止运动．问点E 运动几秒时,四边形EFGH 面积取最小值?其最小值为何值?分析:由题意可知,әA E H ɸәB F E ɸәC G F ɸәDH G ,根据已知条件可用含t 的代数式表示A E 与AH 的长,由此得到关于t 的二次函数,然后根据二次函数的性质可以求得当点E 运动３s 时,四边形E F G H 的面积最小,且最小值为１８c m ２．图１２例３㊀如图１２所示,在正方形A B C D 中,点E 在边C D 上,A Q ʅB E ,垂足为Q ,D P ʅA Q ,垂足为P ．(１)求证:A P ＝B Q ;(２)在不添加辅助线的情况下,图中各线段蕴含怎样的数量关系?分析:学生结合已有经验易证әA B Q ɸәD A P ,问题(１)获证．对于问题(２),根据研究弦图的经验易得A Q －A P ＝P Q ,A Q －B Q ＝P Q ,D P －A P ＝P Q ,D P －B Q ＝P Q ．例２㊁例３均为中考试题,均以正方形为背景,由基本图形变换而来,若学生能够认清问题的本质,自然可以轻松获解．在日常教学中,若不关注知识间的内在联系,不重视揭示问题的本质,那么学生在面对 陈题 时也会感觉陌生,这样在解题时出现 懂而不会 一错再错 等情况也就不足为奇了．因此,在实际教学中,教师要充分挖掘教材资源,通过有效变式让学生学懂㊁学透,切实提高学生解题能力．Z３２。
地理基本图形的变式应用
地理基本图形的变式应用
丁夏男;王润兰
【期刊名称】《中学地理教学参考》
【年(卷),期】2024()3
【摘要】高考试题通过问题情境考查学生的核心素养,基本图形是学生在课堂教学中习得的知识结构。
文章结合地质类高考试题,从地理基本图形的图形转化、典型例题、高考变式三个方面探究地理基本图形在高考试题中的解题运用,为地理教师研究地理图形教学提供启示。
【总页数】4页(P69-72)
【作者】丁夏男;王润兰
【作者单位】河北师范大学教育学院;江苏师范大学附属实验学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.立足基本图形追寻多题归一r——从一道教材习题及其变式说开去
2.一个基本图形的变式及其应用
3.强化基本图形,突出变式研究——“轴对称图形”复习教学设计与思考
4.基本图形源于教材变式应用提高能力
5.构造基本图形渗透转化思想——一道不规则四边形面积问题的解法探究与变式
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数学基本模型变式—享受思考的乐趣
基本模型变式——享受思考的乐趣1．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是；如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为．2．如图，AB＝AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD＝PE+PF证明：如图1，连接P A，∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F∵S△ABC＝AB×CD，S△P AB＝AB×PE，S△P AC＝AC×PF，又∵S△ABC＝S△P AB+S△P AC∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF ∵AB＝AC ∴CD＝PE+PF由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．阅读上面的材料，然后解答下面的问题：（1）如图2，△ABC是等边三角形，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，若BC＝2，则PE+PF＝．（2）如图3，△ABC中，AB＝AC，若点P在BC边的延长线上，CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC延长线上于F．那么CD、PE、PF之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．（3）如图4，用阅读材料结论求解，将平行四边形ABCD，其中∠A＝90°，AB＝3，沿对角线BD折叠，重合部分是△FBD，点P是对角线BD上任意一点，PM⊥AD于点M，PN⊥BE于点N，求PM+PN的值．3．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．4．（1）在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．5．（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别探究∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系。
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变形四 把基本 图形置于■中 如图 6,把 基本图形放在 00中 ,仗 nc与 ⊙ o相 切 ,ADB为 ⊙ o的 的割线 ,连按 DC,0,此 时的图形就 变成了切割线定理的基本 图形 ,结 论 然成立
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一个公共角 ,一 条公共边 二、 基本 图形 的拓展 下 图形 和结论 。 变形 一 平移公 共角 的对边
有这样丁道试 鹛 :若 关 于 劣的分式方程 :条 号 彳
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讨论的误 区
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V江 苏省泰州屮学附属初级中学(2253∞ ) 吕同 林
分式方程 的无解问题 的讨论的一般步骤是
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图
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图 8
如图 8是 将 图 4放 在圆中得到 几何 图形 ,此 图形 nB=朋 ・ 是相交弦定理的基本图形 ,同 洋具有 的结论 图3 图2 变形二 将 △ACD旋 转 如图 4,将 基本 图形 中的 图4 着点 A旋 转
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.
^c
如果将这个图形作其他 的变换 .也 可 以得到别 的 几何图形 ,不 过虽然图形变化了 ,但其 中的一些结论仍 然成立 ,当 然也有可能会得到
,
'B. 此 图形 的基本 特征是两个 相似 的三 角形有
AB仍
'=JD・
将上述几何 图形 作 简单 的变 形 ,我 们 可 以得 到 以
D田 点作 圆得到 的几 何 图形 ,在 此 几 何 图形 中有 ΔⅢD∽ △朋 C,
如图 7,是 过 图 2中 的
B、 C、 E、
如图 2所 示 :平 移 图 1中 的线段 ∞ ,使 其与 HB、 分别相交于点 D、 E,此 时 有 △AcB∽ △ 朋 E,基 ^C边 本图形 中的结论就变成 了 AD・ 朋 =AE・ AC,在 图 3
.
如 图 5,把基 本 图形 中的任 意 角 zACB变 成 直 角
且使 CD⊥ AB,则 可 得 到 一 纽 相 似 三 角 形 ,此 时 有 △ ∽△ CBD∽ △ JBC,曰 有 以下结论 ^∞ JB,Oz=nD・ BD,这 就 A'〓 AD・ 加 ,BCz=四 ・ ” “ 是 射影定 理
: .
(2)分 类讨论①整式方程无解
;
;② 整式方程有解且
全是原方程的增根
.
程晕 :首 先通过 去分母将分式方程转化 为整式方程 (艿 另 ˉ@)-3(多 -D=多 (多 -I),然 后 由题意分式方 程 无解 ,可 知此方程有使原 方程分母为 0的 根 0或 1,于 是分别将 0或 1代 人此方程继而求得 @=1∶ “ ∶纵观此思维过程 ,学 生把 分式方程无解 单地 '简 理解成 :转 化后的整式方程产生使原方 程分母为 0的 根 0或 1.是 这么 回事吗 ?其 实不然 !我 们在解分式
△ADC∽ △AFB等 一系列相似 三 角形 ,囡 2中 的结论 “ ・ AC仍 然成立 ,此 图形也可看作是 割线 AD・ /B〓 '刂 ” 定理 的基本图形 。
C边 向下平移 ,使 其与 昭 边交于 中 ,是 将线段 CD沿 姓 C的 延长线交于点 E,此 时同样具有 仝 点 D,与 ⒕ ^CB ∽△HDE,则 有 AD・ AB=mE・
方程时知道 :分式方程的解是 转化后 的整式方程 的解 且它使原方程 的公分母或 每个分母都不 为 0。 于是对 “ ” 分式方程无解 应该有两种可 能 :一 是转化后 的整式 方程无解 ,原 方程无解 ;二 是转化后的整式方程虽有解 但全是原方程 的增根 ,原 方程无解 .学 生的错误解答
,
),
讠岢
(2)同 (1)一 样 ,连 接 印 ,易 证 △躬 C∽ △Ⅱ CF,所
'F仞 需要证明△HDC厶 △h臼 即可 2.构 造基本图形
.
例2 足为 Ⅱ
.
如图 10,把 为⊙ o的 直径 ,弦 CD⊥ 烟 ,垂
(1)求 证 :朋 ・ 把
=^卩
;
以有 皮 朋卩 E・ =A';
(3)当 点
(D、
直线与 弦 CD(不 含端点 )相 交于点 ^的 E,与 ⊙ o相 交于点 F,求 证 :躬 ・ AF〓
^C,D是 ⊙ 0上 一 点 ,叼 的延长线交 BC的 延长线于点 P. AP. 求证 :胛 =加 ・
图 9 分析∷要证明 Ⅱ HD・ '〓 ・ nP|即 要证 姓 nP,很 容易联想到基 本图形 ,只
.
P(2)
图 10 分析 (I)由 AⅡ ・ =处 卩 的结构形 式 ,联 想 到基 昭 图形 ,于 是 连 接 梵 ,得 到 △ AcIr∽ △ 肥 c,所 以 有 杏 胛 ・ HB〓 处 z; C’
:
此 时 有 △ /DE∽ △ A佣 ,结 论 AD・ 躬
立
.
^CD绕
AC仍 然 成 =Aε ・
要善于发现不同问题中图形的变化规律 ,掌 握知识闰 的内在联系,从 而建立起一个知识结构网络
.
=些
新的结论 。 我们 可见
ˉ ˉ
24 -—
中 小 子 嵌 于 。 寺 滋) (中
初 中
“ ” 分 式 方程无解
^'.
驴 ,结 合 (1)的 结论 ・
AB=Ⅱ
得到
',可
-ˉ
'P・
^0≡
25 --
基本图形 一、 如图 1,在 △ABC中 上的一点 ,连 接 CD,
,D是 朋 边
图
1
(1)如 果 △ ABC∽ △ ACD,则 有 以下结论 :Z剧 ℃ =
z⒕ CiI,;zACD〓
∽△ ACD成 立 说明
(^'=朋 ・ 朋 ZB;篇 =锷 =箦 ・
B
囹5
C
)
(⒇ 补充 以下 三个 条件 中的任意 一个 ,可 使 △ ABc
十
面
ˉ
/纡 =1有
(A)0
(B)1
(c)-1
(D)1矛 口 -1
(扬 州中考题)
(2)若 以 多 为 未 知 数 的 方 桂
÷
1=
遗漏了第一种情况
黠
羌 测卩 解 =
=~「
〈 二 十届希望杯 初二 一试 ) 第
.
三、 基本囡形 的应用 1.直 接应用基本图形 。 例 1 如 图 9,在 ⊙ o的 内接 △四℃ 中,躬 〓
:
本题正确解法 :原 方程可化为 :(@+2)劣 =3, ①此方程无解 卧 ,@+2=o,即 Ω 扌 =-2; ②此方程有 解且全是 原方 程 的增根 ,即 多〓 o或 1,把 钅 刂 =o或 1分 另代人的 @=1; 综上所述 :@〓 -2或 练t练 :0汾 式方程 增根 ,则 它的增根是 (
1.
(中 中 小 学 嵌 菅 。 营 汝)
初中
匚
一 个 经 典 图形 的 变 式 与 应 用
v湖 北省秭归县实验中学(佴 3cOO)
向 隽
,
” “ 学完 相似 三 角形 一 章 后 ,学 生会 常见 到 一 个 几
变 形三
把 三 角形 川盯 特殊化
何图形 ,本 文就 以此 图形为载体 ,从 几何变换 的角度将此 图形进行变 形 和拓展 ,进 而揭示几种 基本 图形之间 的内在联系 ,使 学生 的相关知识系统 化
;
(V若 过点
P在 线段 ∞
(V中 已经证 明 ,当 点 P在 线段 ∞ 外时 ,如 图 no
nfr・
上 时 ,结 论 显然 成 立 ,即
(3)若 过点
A的 直线 与直 线 ∞
^俨
相交 于点 P,与
(2),连 接 四 ,易 证 △A0B厶 △″P,得 AⅡ ・ AB=Ⅱ Q・
⊙ o相 交于点 Q,判 断 AP・ A0〓 H卩 是否成立 ?(不 必 证明)