6.5自由变形(FFD)技术

基于任意拓扑网格的FFD方法
价：单元C中包含顶点V的边的数目。 类n单元：给定网格L中一个单元C，考虑C中价为n的顶点V。经过一 次细分后，生成一个从V开始的新单元，它包含2n个四边形，两个价 为n的顶点和2n-2个价为3的顶点。
基于任意拓扑网格的FFD方法
细分体的边界控制
三变量Catmull-Clark细分方法应用于任意拓扑的网格时，得到的可变 形空间与网格的形状不一致，通常从网格的边界向里收缩。
自由变形(FFD)技术
柴学梁
自由变形方法FFD
1986年，Sederderg等提出的适用于柔性物体动画的更为一般方法。 不直接操作物体，而是将物体嵌入一空间，随所嵌空间的变形而变形。 对于二维情况（双三次Bezier曲面）：
自由变形方法FFD
对于三维情况（三三次Bezier超曲面）：
将一正方体映射为弯曲的体物。 Bezier体由64个控制顶点Pi,j,k来指定，当物体嵌入正方体时，物体随Q(u,v,w) 的变形而变形。 多个Bezier超曲面可拼接生成一分段光滑的Bezier体，即FFD体 由三根互相垂直的坐标轴排形的长方体结构的控制顶点网格，称Lattice
自由变形方法FFD
2.变形FFD块。即移动控制顶点Pi,j,k 3.确定顶点变形后的位置。
自由变形方法FFD
EFFD（扩展的FFD方法）
FFD只适用于平行六面体的网格形状 1990年，Coquillart提出一种扩展的FFD方法，适用于非平行六面体 的网格形状。 EFFD构造：
EFFD允许FFD型网格作为它结构的一部分，许多个FFD型网格可合并成 EFFD型网格。
基于任意拓扑网格的FFD方法
1996年，MacCracken提出一种允许网格为任意拓扑形状的更一般的 FFD方法。 变形空间曲细分（Subdivision）方法来定义生成体。 用网格定义变形空间：
一个网格（L）定义为由一系列顶点集｛P0，P1,…,Pn｝和一指定它们连 接关系的单纯形组成。 网格的组成：
移动控制顶点的FFD变形方法存在的问题：
1.难是得到精确的变形形状。 2.难以使得物体上的某些点到达指定的位置。 3.难以了解控制顶点的移动和物体变形结果之间的关系。 4.当控制顶点数目多或被变形物体遮挡时，移动控制顶点困难。
1992年，Hsu等人提出直接操纵FFD变形方法。 核心思想：用户从物体上选择一个点，并把该点移动到变形后的位置， 系统自动反求导致这种变化的FFD控制顶点的变化。
EFFD（扩展的FFD方法）
EFFD（扩展的FFD方法）
变形步聚： 1.给定物体上的一点Q，首先利用超曲面的凸包性质找到Q所在的超 曲面，然后对方程进行牛顿迭代，求得Q在相应超曲面的局部坐标系 （u,v,w）。其中Pi,j,k为该超曲面变形前的控制顶点。 2.移动EFFD块的控制顶点 3.根据曲面方程，求得Q变形后的位置
+
1
B
2
BT
直接操纵的FFD
边界控制顶点的重数为3，且要保 证重数为3的顶点必须重合 则添加一个矩阵S ＝》P = （BS+）+ Q
0 0 S= 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 b1
对于多个点的约束问题：
Q0 b 0 0 Q1 = Biblioteka Baidu 0
b0 2 b1 1
自由变形方法FFD
设FFD块的三个坐标方向为（S，T，U）
一个FFD块由（3l + 1) * (3m + 1) * (3n + 1)个控制顶点定义 等价于：由l*m*n个三三次超曲面构成。 FFD块对物体变形的步骤： 1. 确定物体的顶点（或控制顶点）在网格空间的位置。建立FFD块的局部坐标系： X（s,t,u) = X0 + Ss + tT + Uu X0为局部坐标系的原点（FFD块的一个角点） (S,T,U)为网格三条互相垂直的边 设网格为正方体，则控制顶点为：
即求解P(u,v,w) = P0 + u(P1-P0)+ v(P2-P0) + w(P3-P0) 4.移动原始网格的顶点，使它产生变形，并把变形后的细分n次。 对于可变形区域内物体上点P，根据上一步求得的索引号找到 变形后网格对应的单元，再根据该点P的参数(u,v,w)计算P变 形后的点。
直接操纵的FFD变形方法
直接操纵的FFD
核心问题：单个点直接操纵的约束问题 （物体上一点Q从源位置Q1到目标位置Q2，求网格控制顶点的某种布 局） 根据FFD方程：Q1 ＝ BP Q2 ＝ B（P + P） ＝》 Q ＝ Q2 － Q1 ＝ BP 根据矩阵论知识：可推出 P = （B+）+ Q (B+)为B的广义逆
B =
细分体的边界控制
具有边界和边控制的Catmull-Clark体
可变形空间及变形过程
空间点P相对于单元C的相对位置。 对于类3单元，用三线性插值也计算P点的相对位置 对于类n单元，首先把单元分割成四面体，然后用分片三线性插 值来调整点P在变形后单元的位置。 变形过程： 1.构造控制网格，把物体放于网格内。 2.网格相对于物体冻结。 3.计算可变区域内每一点P对于该单元的相对位置。 对于类n单元，算得三线性插值参数（u,v,w)
基于任意拓扑网格的FFD方法
三变量三次均匀B样条体的细分方法： 给定一个定义三变量B样条体的控制网格L，细分方法生成一个新的 控制网格L1，L1包含了L一次细分后的所有顶点。可分为 1.单元点（Cell point） 网格中构成该单元所有点的平均 2.面点（Face point） 3.边点（Edge point） 4.顶点点（Vertex point）
边（Edge）：网格单纯形中连接的两个顶点 面（Face）：顶点的最小连接环 单元（Cell）：由一系列面包围的空间区域
基于任意拓扑网格的FFD方法
基于任意拓扑网格的性质:
1.网格具有好的连接性质，即没有顶点位于不包含该顶点的边上。 2.所有的单元都是闭的，即构成单元的面不包含任何洞。 3.任何两个单元互不相交，即不考虑自交的网格。
0 b3
b1 0
b1 2
P0 P1 0 P2 1 b3 P3 P4