自由曲线曲面造型技术
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其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
双线性插值
y
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
x
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
O
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d) 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数。
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
y
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
机翼下 轮廓线
x
To MATLAB(plane)
二维插值
一、二维插值定义 二、网格节点插值法
最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
三、用Matlab解插值问题
网格节点数据的插值
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线 )的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
由柔性的薄膜形成的表面被最优化问题决定: min{ c'*x+0.5*x'*H*x : low <= x } 其中 c‘*x + 0.5*x’*H*x 能量函数不连续的近似值 H = delsq(numgrid(‘S’,30+2)); (numgrid数据格子) h = 1/(30-1); c = -h^2*ones(30^2,1);
1.1.5 曲面等距性(offset)
• 在计算机图形及加工中有广泛的应用。 （如：平面到柱面）
clear,close; close;x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y); figure(1) plot3(X,Y,Z) figure(2) N=100;R=[1 1];[X,Y,Z] = CYLINDER(R,N); plot3(X,Y,Z);;hold on; plot3(X(1,:),Y(1,:),Z(1,:));hold on plot3(X(2,:),Y(2,:),Z(2,:));
1.2.2偏微分方程法(PDE)
主要用于船体、飞机、螺旋桨 叶片等外形。
1.2.3 流
• 人们希望所设计的运动物体外型具有 “流线型”
2、 简单技术
(插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
1.1 研究现状
从传统的曲面表示、曲面相交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲 面简化、曲面转换和曲面等距性。 1.1.1 曲面变形 1.1.2 曲面重建 1.1.3 曲面简化 1.1.4 曲面转换 1.1.5 曲面等距性
1.1.1 曲面变形
（Deformation or Shape Blending)
但人们并不安于现状，继续探索新的造型 方法。相继出现了自由变形造型、偏微分方程 造型、能量法造型、小波技术等。这些方法目 前还处于深入研究阶段，有望于21世纪得到广 泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和 逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。 自由曲线曲面造型技术是与计算机技 术同步发展的。 样条函数由Schoenberg于1946年提出； 第一台电子计算机1946年2月问世。并非 是巧合。
CAFD computer aided fixture design
CAPP computer aided process planning 计算机辅助工艺设计
CAQ computer aided quality assurance 计算机辅助质量保证 CATD computer aided tool design 计算机辅助刀具设计
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
y +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+
+ +
+
y=f(x)
x
2、插值
曲线插值的方法也很多, 主要有
1)多项式插值
2)样条插值(B样条,三次样条)
3)最临近值插值
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
曲线插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
• 传统的NURBS模型仅允许调整控制顶点 或权因子来局部改变曲面形状。 • 计算机动画业和实体造型业需要与曲面 表示方法无关的变形方法或性状调配方 法。
1.1.2 曲面重建（Reconstuction)
• 从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲 面的几何模型。称为曲面重建。 轿车车身设计和人脸类雕塑曲面的 动画制作中，常先用油泥制模，在作三 维型值点采样； 医学图像可视化中，先用CT切片来 得到人体脏器表面三维数据。
自由曲线曲面造型技术
1、综述 2、简单技术
1、综述
自由曲线曲面造型技术是CAx的理论基础
CAx——计算机辅助技术，包括
CAD,CAM,CAE,CAPP,…
CAD computer aided design 计算机辅助设计 计算机辅助制造 计算机辅助工程 计算机辅助夹具设计
CAM computer aided manufacturing CAE computer aided engineering
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插 值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求 x是单调的，并且 xi不
能够超过x的范围。
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
自由曲面理论的发展经历了长期的实践酝 酿，早在二战期间，飞机工业就成功创造了成 套的飞机外形及其主要结构件的数据定义方法。 20世纪60年代Coons和Bé zier通过长期从事飞 机汽车的外形设计加工，提出更加完美、通用 的曲面表达式，最终导致了完备的非均匀有理 B样条(NURBS)曲面理论体系的诞生。
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
计算机辅助技术的应用范围：
宇航、汽车、船舶、计算机、 机械、模具、地质、气象、 医学等等。
从数学的角度讲
曲线=一元函数的图象（表示）
曲面=二元函数的图象（表示）
所谓“自由”，亦即“不依赖坐标架 的选取” 图象表示是函数的表示方式之一， 特别函数没有解析表达的时候。
市面上 超人CAD/CAM系统 是集几何造型与数控编程于一体的集成化软件, 具有统一的数据结构,数据管理和用户界面.系统 采用NURBS（Non Uniform Rational B-Spline) 方法为造型核心,统一表示二次曲线曲面和自由 曲线曲面.从根本上解决了不规则的任意边界的 曲面造型问题,解决了复杂零件的四,五坐标加工 编程问题,适用于各种刀具端铣和侧铣,大大提高 了系统的数控编程能力.可以大面积切除毛坯余 量,提高加工效率.系统具有良好的开放性.
MATLAB(cn)
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
曲线拟合的方法有很多种，主要有
1、多项式拟合
2、线性最小二乘法
3 、非线性最小二乘法 4、根据具体情况取指数函数、对数函数等 拟合
5、分段拟合
等等
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
散点数据的插值
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点
其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即来自百度文库
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
1.2 发展趋势
1.2.1 能量优化法 1.2.2偏微分方程法(PDE) 1.2.3流 1.2.4小波技术（略） 这些技术21世纪有望被CAD/CAM技术所采 用。
1.2.1 能量优化法
• 1987，加那大Terzopoulos, 基于物理能量 模型的可变形曲线曲面造型技术引人计 算机图形学，用Lagrange方程建立能量模 型，并用差分法解偏微分方程。有时问 题会化为多目标规划问题.
1.1.3 曲面简化（Surfaces Simplification)
• 从三维重建后的离散曲面或造型软件的 输出结果中除去冗(rong)余信息而又保证 模型的准确度，以利于图形的实时性、 数据存储的经济性和数据传输的快速性。
1.1.4 曲面转换(Conversion)
• 同一张曲面可以表示为不同的数学形式， 这一思想不仅有理论意义，而且具有工 业应用的现实意义。
*
y1 y0
y
*
节点可视为由 y g ( x) 产生,，
g 表达式复杂,，
或无封闭形式,， 或未知.。
x0 x1 x*
xn
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
双线性插值
y
( x1 , y2 )
( x2 , y2 )
x
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
O
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下： f ( x, y) (ax b)(cy d) 其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数。
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
y
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
机翼下 轮廓线
x
To MATLAB(plane)
二维插值
一、二维插值定义 二、网格节点插值法
最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
三、用Matlab解插值问题
网格节点数据的插值
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数 ( 曲 线 )的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
由柔性的薄膜形成的表面被最优化问题决定: min{ c'*x+0.5*x'*H*x : low <= x } 其中 c‘*x + 0.5*x’*H*x 能量函数不连续的近似值 H = delsq(numgrid(‘S’,30+2)); (numgrid数据格子) h = 1/(30-1); c = -h^2*ones(30^2,1);
1.1.5 曲面等距性(offset)
• 在计算机图形及加工中有广泛的应用。 （如：平面到柱面）
clear,close; close;x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y); figure(1) plot3(X,Y,Z) figure(2) N=100;R=[1 1];[X,Y,Z] = CYLINDER(R,N); plot3(X,Y,Z);;hold on; plot3(X(1,:),Y(1,:),Z(1,:));hold on plot3(X(2,:),Y(2,:),Z(2,:));
1.2.2偏微分方程法(PDE)
主要用于船体、飞机、螺旋桨 叶片等外形。
1.2.3 流
• 人们希望所设计的运动物体外型具有 “流线型”
2、 简单技术
(插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
1.1 研究现状
从传统的曲面表示、曲面相交和曲面 拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲 面简化、曲面转换和曲面等距性。 1.1.1 曲面变形 1.1.2 曲面重建 1.1.3 曲面简化 1.1.4 曲面转换 1.1.5 曲面等距性
1.1.1 曲面变形
（Deformation or Shape Blending)
但人们并不安于现状，继续探索新的造型 方法。相继出现了自由变形造型、偏微分方程 造型、能量法造型、小波技术等。这些方法目 前还处于深入研究阶段，有望于21世纪得到广 泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和 逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。 自由曲线曲面造型技术是与计算机技 术同步发展的。 样条函数由Schoenberg于1946年提出； 第一台电子计算机1946年2月问世。并非 是巧合。
CAFD computer aided fixture design
CAPP computer aided process planning 计算机辅助工艺设计
CAQ computer aided quality assurance 计算机辅助质量保证 CATD computer aided tool design 计算机辅助刀具设计
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
y +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+
+ +
+
y=f(x)
x
2、插值
曲线插值的方法也很多, 主要有
1)多项式插值
2)样条插值(B样条,三次样条)
3)最临近值插值
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
曲线插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
• 传统的NURBS模型仅允许调整控制顶点 或权因子来局部改变曲面形状。 • 计算机动画业和实体造型业需要与曲面 表示方法无关的变形方法或性状调配方 法。
1.1.2 曲面重建（Reconstuction)
• 从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲 面的几何模型。称为曲面重建。 轿车车身设计和人脸类雕塑曲面的 动画制作中，常先用油泥制模，在作三 维型值点采样； 医学图像可视化中，先用CT切片来 得到人体脏器表面三维数据。
自由曲线曲面造型技术
1、综述 2、简单技术
1、综述
自由曲线曲面造型技术是CAx的理论基础
CAx——计算机辅助技术，包括
CAD,CAM,CAE,CAPP,…
CAD computer aided design 计算机辅助设计 计算机辅助制造 计算机辅助工程 计算机辅助夹具设计
CAM computer aided manufacturing CAE computer aided engineering
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插 值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求 x是单调的，并且 xi不
能够超过x的范围。
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
自由曲面理论的发展经历了长期的实践酝 酿，早在二战期间，飞机工业就成功创造了成 套的飞机外形及其主要结构件的数据定义方法。 20世纪60年代Coons和Bé zier通过长期从事飞 机汽车的外形设计加工，提出更加完美、通用 的曲面表达式，最终导致了完备的非均匀有理 B样条(NURBS)曲面理论体系的诞生。
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
计算机辅助技术的应用范围：
宇航、汽车、船舶、计算机、 机械、模具、地质、气象、 医学等等。
从数学的角度讲
曲线=一元函数的图象（表示）
曲面=二元函数的图象（表示）
所谓“自由”，亦即“不依赖坐标架 的选取” 图象表示是函数的表示方式之一， 特别函数没有解析表达的时候。
市面上 超人CAD/CAM系统 是集几何造型与数控编程于一体的集成化软件, 具有统一的数据结构,数据管理和用户界面.系统 采用NURBS（Non Uniform Rational B-Spline) 方法为造型核心,统一表示二次曲线曲面和自由 曲线曲面.从根本上解决了不规则的任意边界的 曲面造型问题,解决了复杂零件的四,五坐标加工 编程问题,适用于各种刀具端铣和侧铣,大大提高 了系统的数控编程能力.可以大面积切除毛坯余 量,提高加工效率.系统具有良好的开放性.
MATLAB(cn)
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
曲线拟合的方法有很多种，主要有
1、多项式拟合
2、线性最小二乘法
3 、非线性最小二乘法 4、根据具体情况取指数函数、对数函数等 拟合
5、分段拟合
等等
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
散点数据的插值
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点
其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即来自百度文库
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
1.2 发展趋势
1.2.1 能量优化法 1.2.2偏微分方程法(PDE) 1.2.3流 1.2.4小波技术（略） 这些技术21世纪有望被CAD/CAM技术所采 用。
1.2.1 能量优化法
• 1987，加那大Terzopoulos, 基于物理能量 模型的可变形曲线曲面造型技术引人计 算机图形学，用Lagrange方程建立能量模 型，并用差分法解偏微分方程。有时问 题会化为多目标规划问题.
1.1.3 曲面简化（Surfaces Simplification)
• 从三维重建后的离散曲面或造型软件的 输出结果中除去冗(rong)余信息而又保证 模型的准确度，以利于图形的实时性、 数据存储的经济性和数据传输的快速性。
1.1.4 曲面转换(Conversion)
• 同一张曲面可以表示为不同的数学形式， 这一思想不仅有理论意义，而且具有工 业应用的现实意义。
*
y1 y0
y
*
节点可视为由 y g ( x) 产生,，
g 表达式复杂,，
或无封闭形式,， 或未知.。
x0 x1 x*
xn
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).