高考一轮复习数学理

绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试（五）数学（理）试题满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k knn =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项） 1．已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞2．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 （ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -3．等差数列{}n a 中，10590,8S a ==，则4a =（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 4．函数21()ln 2f x x x =-的大致图像是（ ）5．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为（ ）A ．600B ．520C ．720D ．3606．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[0,2)x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．将函数πcos()3y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）A ．π9x =B ．π2x =C ．πx =D ．π8x = 8．已知α∈R ，则“2a <”是“|2|||x x a -+>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数2()31,[1,2]f x x x x =--∈-，任取一点0[1,2]x ∈-，使0()1f x ≥的概率是（ ） A ．23B ．59 C ．14D ．4910．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(][),01,-∞+∞B ．[)+∞1，C ．(],0-∞D ．[]0,1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11．已知圆2210240x y x +-+=的圆心是双曲线2221(0)9x y a a -=>的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为 ．12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ． 13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于 ．14．已知O 是坐标原点，点(1,0)A ，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 ． 15．关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题：①函数()x f y =的周期为π；②直线4π=x 是()x f y=的一条对称轴；③点⎪⎭⎫⎝⎛0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心； ④将()x f y =的图象向左平移4π个单位，可得到x y 2sin 2=的图象. 其中真命题的序号是_________________.（把你认为真命题的序号都写上） 三、解答题（本大题共6小题，共75分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AE ABC ⊥面，DB ∥AE ，且1A C A B B C A E ====，2BD =，F 为CD 中点。

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求平面ECD 和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。

某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为,()p q p q >，且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为 （Ⅰ）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率； （Ⅱ）求,p q 的值； （Ⅲ）求数学期望E ξ．设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. （Ⅰ）若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明k nk S n S 2=（*,N n k ∈）;（Ⅱ）若}{n b 是等差数列,证明0=c .已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈．（Ⅰ）若函数()f x 在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．设点P 是曲线2:2(0)C xpy p =>上的动点，点P 到点（0，1）的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为(0)k k ≠的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．理科数学（五）17．解：（1）找BC 中点G 点，连接AG ，FG,∴F ，G 分别为DC ，BC 中点,∴FG EA DB ////21==,∴四边形EFGA 为平行四边形,∴AG EF //,∵AE AE BD ABC //,平面⊥, ∴ABC DB 平面⊥,又∵BCD DB 平面⊂, ∴平面ABC ⊥平面BCD ．又∵G 为BC 中点且AC=AB=BC ,∴AG ⊥BC, ∴AG ⊥平面BCD, ∴EF ⊥平面BCD ．（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系则113131,1),ED(,,1),CF(,,1)2424----设平面CEF 的法向量为n (x,y,z)=，由31CE n y z 0231CF n y z 04⎧∙=--+=⎪⎪⎨⎪∙=--+=⎪⎩ 得n (3,1,1)=- ,平面ABC 的法向量为u (0,0,1)=,则n u cos(n,u)|n ||u |5⋅===．∴平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值为55．18．解：设事件i A 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，1,2,3,i =由题意知124(),()5P A P A p ==，3()P A q = , （Ⅰ）由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“0ξ=”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是2431(0)1,4545P ξ-==-=． （Ⅱ）由题意知12312312(0)()(1)(1),(3)()545P P A A A p q P P A A A ξξ===--=== 48545pq ==，整理得29pq =且1p q +=，由p q >，可得21,33p q ==．（Ⅲ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++41113(1)(1)(1)(1)55545p q p q p q =--+-+-=，22(2)1(0)(1)(3)45b p p P p ξξξξ===-=-=-==,因此270(0)1(1)2(2)3(3)15E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==．(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d 由①式得d d 211= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得0=c法二证(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, cn a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有022)1(2=++-cn a d n c,即022)1(=+-ad n c ,而22)1(ad n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.20．（Ⅰ）2121()20x ax f x x a x x+-'=+-=≤在[1，2]上恒成立． 令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ，得72a ≤-． （Ⅱ）假设存在实数a ，使()l n ((g x a x x x e =-∈有最小值3,11()ax g x a x x-'=-=,①当0a ≤时，()g x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,g x g e ae a e==-==（舍去），②当10e a<<时，()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增,∴2min 1()()1ln 3,g x g a a e a==+==，满足条件．③当1e a ≥时，()g x 在(0,]e 上单调递减，min 4()()13,g x g e ae a e==-==（舍去），综上，存在实数2a e =，使得当(0,]x e ∈时()g x 有最小值3．。