高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(一)学案新人教A版必修5
人教新课标版数学高二A必修5学案 等比数列的前n项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.1.等比数列前n 项和公式:(1)公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q n)1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1)na 1(q =1). (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况. 2.等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列,且公比q ≠1,则前n 项和S n =a 11-q (1-q n )=A (q n -1).其中A =a 1q -1.3.错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.[情境导学]国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒,第二个格子放2颗麦粒,第三个格子放4颗麦粒,以此类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍,直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求”.国王觉得这个要求不高,就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g ,据查目前世界年度小麦产量约6亿吨,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言. 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中,如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,那么这个数列是怎样的一个数列?通项公式是什么?答 所得数列为1,2,4,8,…,263.它首项为1,公比为2的等比数列,通项公式为a n =2n -1. 思考2 在情境导学中,国王能否满足发明者要求的问题,可转化为一个怎样的数列问题? 答 转化为求通项为a n =2n-1的等比数列前64项的和.思考3 类比求等差数列前n 项和的方法,能否用倒序相加法求数列1,2,4,8,…,263的和?为什么?答 不能用倒序相加法,因为对应各项相加后的和不相等. 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答 设等比数列{a n }的首项是a 1,公比是q ,前n 项和为S n . S n 写成:S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1.① 则qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n .② 由①-②得:(1-q )S n =a 1-a 1q n . 当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q;当q =1时,由于a 1=a 2=…=a n ,所以S n =na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨,而目前世界年度小麦产量约6亿吨,所以国王是无法满足发明者要求的. 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1,q ,a n 表示为 S n=⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1-a nq1-q ,q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和: (1)12,14,18,…; (2)a 1=27,a 9=1243,q <0.解 (1)因为a 1=12,q =12,所以S 8=12[1-(12)8]1-12=255256.(2)由a 1=27,a 9=1243,可得1243=27·q 8.又由q <0,可得q =-13.所以S 8=27[1-(-13)8]1-(-13)=1 64081.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时,要先判断q =1是否成立,防止因漏掉q =1而出错. 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =________;前n 项和S n =________. 答案 2 2n +1-2解析 设等比数列的公比为q ,由a 2+a 4=20,a 3+a 5=40.∴20q =40,且a 1q +a 1q 3=20,解之得q =2,且a 1=2. 因此S n =a 1(1-q n )1-q=2n +1-2.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今起,大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解 根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以,从今年起,每年的销售量组成一个等比数列{a n },其中a 1=5 000,q =1+10%=1.1,S n =30 000. 于是得到5 000(1-1.1n )1-1.1=30 000.整理,得1.1n =1.6.两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6. 用计算器算得n =lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年).答 大约5年可以使总销量达到30 000台.反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目,尤其是一些关键词:“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”.理解题意后,将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题.跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗? 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度, 由题意,得a n +1=45a n ,因此,数列{a n }是首项a 1=25,公比q =45的等比数列.热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n =a 1+a 2+…+a n =a 1(1-q n )1-q=25×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫45n 1-45=125×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法.这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和.如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和?答 设S n =12+222+323+…+n2n ,则有12S n =122+223+…+n -12n +n2n +1,两式相减,得S n -12S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1,即12S n =12(1-12n )1-12-n 2n +1=1-12n -n2n +1. ∴S n =2-12n -1-n2n =2-n +22n .例3 求和:S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n (x ≠0). 解 分x =1和x ≠1两种情况.当x =1时,S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.当x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n , xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n -1)x n +nx n +1, ∴(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1 =x (1-x n )1-x -nx n +1.∴S n =x (1-x n )(1-x )2-nx n +11-x.综上可得S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2 (x =1),x (1-x n)(1-x )2-nxn +11-x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和时,可采用错位相减法.跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3,…,(2n -1)·a n -1的前n 项和.解 (1)当a =0时,S n =1.(2)当a =1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n -1), 则S n =n [1+(2n -1)]2=n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时,有S n =1+3a +5a 2+7a 3+…+(2n -1)a n -1① aS n =a +3a 2+5a 3+7a 4+…+(2n -1)·a n ② ①-②得S n -aS n =1+2a +2a 2+2a 3+…+2a n -1-(2n -1)·a n , (1-a )S n =1-(2n -1)a n +2(a +a 2+a 3+a 4+…+a n -1) =1-(2n -1)a n +2·a (1-a n -1)1-a=1-(2n -1)a n+2(a -a n )1-a,又1-a ≠0,∴S n =1-(2n -1)a n 1-a +2(a -a n )(1-a )2.综上,S n=⎩⎪⎨⎪⎧1 (a =0),n 2(a =1),1-(2n -1)a n1-a +2(a -a n )(1-a )2(a ≠0且a ≠1).1.等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 为( ) A.1-x n 1-xB.1-x n -11-xC.⎩⎪⎨⎪⎧1-x n1-x ,x ≠1,n , x =1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1-x n -11-x ,x ≠1,n , x =1答案 C解析 当x =1时,S n =n ; 当x ≠1时,S n =1-x n 1-x.2.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4a 2等于( )A .2B .4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 2q +a 2+a 2q +a 2q 2,得S 4a 2=1q +1+q +q 2=152. 方法二 S 4=a 1(1-q 4)1-q,a 2=a 1q ,∴S 4a 2=1-q 4(1-q )q =152. 3.等比数列{a n }的各项都是正数,若a 1=81,a 5=16,则它的前5项的和是( ) A .179 B .211 C .243 D .275 答案 B解析 ∵q 4=a 5a 1=1681=(23)4,且q >0,∴q =23,∴S 5=a 1-a 5q 1-q =81-16×231-23=211.4.某厂去年产值为a ,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________. 答案 11a (1.15-1)解析 注意去年产值为a ,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a +1.12a +1.13a +1.14a +1.15a =11a (1.15-1). [呈重点、现规律]1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.3.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列且公比为q ,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减的方法求和.一、基础过关1.设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ,则S n 等于( ) A.n [(-1)n -1]2B.(-1)n +1+12C.(-1)n +12D.(-1)n -12答案 D解析 S n =(-1)[1-(-1)n ]1-(-1)=(-1)n -12.2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5等于( ) A .33 B .72 C .84 D .189 答案 C解析 由S 3=a 1(1+q +q 2)=21且a 1=3,得q 2+q -6=0. ∵q >0,∴q =2.∴a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=22·S 3=84.3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2等于( )A .11B .5C .-8D .-11答案 D解析 由8a 2+a 5=0得8a 1q +a 1q 4=0,∴q =-2,则S 5S 2=a 1(1+25)a 1(1-22)=-11.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1等于( ) A.13 B .-13C.19 D .-19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,即a 3=9a 1,q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,所以a 1=19.5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=________. 答案 3解析 S 6=4S 3⇒a 1(1-q 6)1-q =4·a 1(1-q 3)1-q ⇒q 3=3.∴a 4=a 1·q 3=1×3=3.6.如果数列{a n }满足a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1,…,是首项为1,公比为2的等比数列,那么a n =________. 答案 2n -1解析 a n -a n -1=a 1q n -1=2n -1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,…a n-a n -1=2n -1.各式相加得a n -a 1=2+22+…+2n -1=2n -2, 故a n =a 1+2n -2=2n -1.7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q . 解 当q =1时,S n =na 1,S 3+S 6=3a 1+6a 1=9a 1=S 9≠2S 9; 当q ≠1时,a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2×a 1(1-q 9)1-q ,得2-q 3-q 6=2-2q 9, ∴2q 9-q 6-q 3=0,解得q 3=-12或q 3=1(舍去),∴q =-342.8.求和:1×21+2×22+3×23+…+n ×2n . 解 设S n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n 则2S n =1×22+2×23+…+(n -1)×2n +n ×2n +1 ∴-S n =21+22+23+…+2n -n ×2n +1 =2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1=(1-n )×2n +1-2 ∴S n =(n -1)·2n +1+2. 二、能力提升9.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A .300米 B .299米 C .199米 D .166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×⎝⎛⎭⎫128=2993964≈300(米). 10.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于 ( )A .-6(1-3-10)B.19(1-3-10) C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列,得到首项与公比,再代入等比数列前n 项和公式计算.由3a n +1+a n =0,得a n +1a n =-13,故数列{a n }是公比q =-13的等比数列.又a 2=-43,可得a 1=4.所以S 10=4⎣⎡⎦⎤1-(-13)101-⎝⎛⎭⎫-13=3(1-3-10).11.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为________. 答案 13解析 由已知4S 2=S 1+3S 3,即4(a 1+a 2)=a 1+3(a 1+a 2+a 3).∴a 2=3a 3, ∴{a n }的公比q =a 3a 2=13.12.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2013年开始出口,当年出口a 吨,以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年,设第n 年出口量为a n 吨,试求a n 的表达式;(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2013年最多出口多少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a 1=a ,公比q =1-10%=0.9,∴a n =a ·0.9n -1 (n ≥1).(2)10年的出口总量S 10=a (1-0.910)1-0.9=10a (1-0.910).∵S 10≤80,∴10a (1-0.910)≤80,即a ≤81-0.910,∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨. 三、探究与拓展13.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =-1.高中数学-打印版精心校对 故数列{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和为S n , 即S n =a 1+a 22+…+a n2n -1,①S n 2=a 12+a 24+…+a n2n .②所以,当n >1时,①-②得 S n 2=a 1+a 2-a 12+…+a n -a n -12n -1-a n2n=1-(12+14+…+12n -1)-2-n2n=1-(1-12n -1)-2-n 2n =n2n .所以S n =n 2n -1.当n =1时也成立. 综上,数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和S n =n2n -1.。
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( )A .63B .64C .127D .1282.已知等比数列{a n }中,a n =2×3n -1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A .3n -1B .3(3n -1) C.9n -14D.3(9n -1)43.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是( )A .190B .191C .192D .1934.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( )A .-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C .3(1-3-10)D .3(1+3-10)5.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-15B .-5C .5 D.15二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 1+a 2=30,a 3+a 4=60,则a 7+a 8=________. 7.设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=________.8.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.三、解答题9.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和.10.数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N *.(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列;(2)设b n =3n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1.在等比数列{a n}中,a1+a2+…+a n=2n-1(n∈N*),则a21+a22+…+a2n等于()A.(2n-1)2 B.13(2n-1)2C.4n-1 D.13(4n-1)2.设等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,若S n+1,S n,S n+2成等差数列,则q的值为________.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知对任意的n∈N*,点(n,S n)均在函数y=b x+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记b n=n+14a n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解(参考答案)一、选择题1.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( )A .63B .64C .127D .128解析:设数列{a n }的公比为q (q >0),则有a 5=a 1q 4=16, 所以q =2,数列的前7项和为S 7=a 1(1-q 7)1-q =1-271-2=127. 答案:C2.已知等比数列{a n }中,a n =2×3n -1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A .3n -1B .3(3n -1) C.9n -14D.3(9n -1)4解析:因为a n =2×3n -1,则数列{a n }是以2为首项,3为公比的等比数列,由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,以9为公比的等比数列,则前n 项和为S n =6(1-9n )1-9=3(9n -1)4.答案:D3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是( )A .190B .191C .192D .193解析:设最下面一层灯的盏数为a 1,则公比q =12,n =7,由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1271-12=381,解得a 1=192.答案:C4.已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( )A .-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C .3(1-3-10)D .3(1+3-10)解析:因为3a n +1+a n =0,a 2=-43≠0,所以a n ≠0,所以a n +1a n =-13,所以数列{a n }是以-13为公比的等比数列.因为a 2=-43,所以a 1=4,所以S 10=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13101-⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=3(1-3-10).答案:C5.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-15B .-5C .5 D.15解析:由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),得log 3a n +1-log 3a n =1且a n >0,即log 3a n +1a n =1,解得a n +1a n =3,所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3,所以a 5+a 7+a 9=9×33=35.所以log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1335=-log 335=-5.答案:B 二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 1+a 2=30,a 3+a 4=60,则a 7+a 8=________. 解析:因为a 1+a 2=a 1(1+q )=30,a 3+a 4=a 1q 2(1+q )=60,所以q 2=2,所以a 7+a 8=a 1q 6(1+q )=[a 1(1+q )]·(q 2)3=30×8=240.答案:2407.设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=________.解析:法一:a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3|=15. 法二:因为a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|,数列{|a n |}是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为1-241-2=15.答案:158.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.解析:a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1⇒a 1=1,a 2=3,再由a n +1=2S n +1,a n =2S n -1+1(n ≥2)⇒a n +1-a n =2a n ⇒a n +1=3a n (n ≥2),又a 2=3a 1,所以a n +1=3a n (n ≥1),S 5=1-351-3=121.答案:1 121 三、解答题9.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1+d =0,2a 1+12d =-10,解得⎩⎨⎧a 1=1,d =-1. 故数列{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和为S n ,即S n =a 1+a 22+…+a n 2n -1,故S 1=1,S n2=a 12+a 24+…+a n2n . 所以,当n >1时,S n2=a 1+a 2-a 12+…+a n -a n -12n -1-a n 2n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12+14+…+12n -1-2-n 2n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -1-2-n 2n =n 2n ,所以S n =n2n -1,综上,数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n -1的前n 项和S n =n2n -1.10.数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N *.(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列;(2)设b n =3n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明:由已知可得a n +1n +1=a nn+1, 即a n +1n +1-a nn=1, 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得a nn =1+(n -1)·1=n , 所以a n =n 2.从而b n =n ·3n 。
高中数学 第二章 数列 数列极限教学设计 新人教A版必修5(2021年整理)
数列极限“数列极限"这节内容为一课时(45分钟),在课堂上很圆满地完成本节课的教学任务。
对本节课的教学我从如下的五个方面进行说明:一、教材分析1.教材的地位和作用(1)在数学中的地位和作用众所周知,对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.(2)在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册(选修2)第二章、第二节,是数列极限的起始课.这部分内容在课本第73页至76页。
是全章内容的起点,重点 .2.本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念;能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限;体会极限思想.3.教学重点、难点、关键的确定教学重点:数列极限的概念教学难点:如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键:教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质(即定义)确立依据:这样确定重难点及教学关键,主要是基于课标要求和对本节课全面分析。
二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识,确定教学目标如下:(1)知识目标:使学生理解极限的概念,能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限;(2)能力目标:1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析,使学生理解数列极限的定义,学会数学语言的表述,培养学生观察、分析、概括的能力.2、通过分层练习,使学生的基础知识得到进一步的巩固,进而学会数列极限的分析方法,体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象,从特殊到一般再到特殊”的认识过程.(3)情感态度与价值观目标:1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽,激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。
2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神,激发提高学生的学习积极性,优化学生的思维品质。
确立依据:基于对教材、教学大纲和教学内容的分析,制定相应的教学目标。
最新人教版高中数学必修5第二章《数列》本章概览
第二章数列
本章概览
三维目标
通过日常生活中的实例,了解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型.
了解数列的简单表示法(列表、图象、通项公式),认识数列是一种特殊函数.
通过实例,理解等差数列、等比数列的概念,探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.
能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系和解决相应的问题.
体会等差数列、等比数列、一次函数、指数函数的关系.
通过实际问题引入数列概念,体会数列的函数背景,感受数列是研究现实问题情境的数学模型.
知识网络。
高中数学人教A版必修5第二章2.5等比数列前n项的求和公式课件
元,...以后就每天给我的钱是前一天的两倍,一直给我30天,
我们就算两清了,你看100万元,..哇,发财了!猪八戒:猴哥,你可别反悔呀!
孙悟空:那我们可以签一个合同嘛!说着就起草了一份合同.猪八戒
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 + 230
①-②,得到 30 -230 =1-230
(1-2)30 =1-230
30 =
−
−
≈1.1× (元)
大约就是11亿元
②
•
•
•
•
•
猪八戒应还孙悟空的钱:
等比数列
2
3
29
1, 2,2 ,2 , ⋯ ,2
30 = 1 +2+22 +⋯ + 228 + 229 ①
①×2得到:
230 = 2 + 22 + ⋯ + 229 +230
②
①-②,得到 30 -230 =1-230
(1-2)30 =1-230
30 =
−
−
≈1.1× (元)
大约就是11亿元
等比数列的前 n 项和公式
当 q≠1 时, Sn =
a1 ( 1- q n )
.
1-q
正想签字,可转念一想,发现不对劲了,这猴哥本来就精明,做了
生意之后更精了,他会不会又在耍我?
孙悟空借给猪八戒的钱:100×10000×30=3× (元)
就是 3千万元
猪八戒应还孙悟空的钱:
1, 2,22 ,23 , ⋯ ,229
30 = 1 +2+22 ⋯ + 228 + 229
人教a版必修5学案:2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1.等比数列前n 项和公式:(1)公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧= (q ≠1)(q =1).(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况. 2.等比数列前n 项和的一个常用性质:在等比数列中,若等比数列{a n }的公比为q ,当q =-1,且m 为偶数时,S m =S 2m =S 3m=0,此时S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 不成等比数列;当q ≠-1或m 为奇数时,S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 成等比数列.3.推导等比数列前n 项和的方法叫__________法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.自主探究阅读教材后,完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程.方法一:设等比数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,它的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1.① ①式两边同乘以q 得qS n =________________________________.②①-②,得(1-q )S n =____________,由此得q ≠1时,S n =__________,因为a n =________,所以上式可化为S n =________.当q =1时,S n =__________.方法二:由等比数列的定义知a 2a 1=a 3a 2=…=a na n -1=q .当q ≠1时, a 2+a 3+…+a n a 1+a 2+…+a n -1=q ,即S n -a 1S n -a n =q .故S n =____________.当q =1时,S n =____________.方法三:S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1=a 1+q (a 1+a 1q +…+a 1q n -2) =a 1+qS n -1=a 1+q (S n -a n )当q ≠1时,S n =____________=____________. 当q =1时,S n =________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中,S 3=72,S 6=632,求a n .总结涉及等比数列前n项和时,要先判断q=1是否成立,防止因漏掉q=1而出错.变式训练1在等比数列{a n}中,a1+a n=66,a3a n-2=128,S n=126,求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中,已知S n=48,S2n=60,求S3n.总结通过两种解法比较,可看出,利用等比数列前n项和的性质解题,思路清晰,过程较为简捷.变式训练2等比数列的前n项和为S n,若S10=10,S20=30,S60=630,求S70的值.知识点三 错位相减法的应用例3 求和:S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n (x ≠0,n ∈N *).总结 一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和时,可采用这一思路和方法.变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3,…,(2n -1)a n -1的前n 项和.1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.3.教材中的推导方法叫做错位相减法,这种方法是我们应该掌握的重要方法之一.它适合数列{a n b n }的求和,其中{a n }代表等差数列,{b n }代表等比数列,即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为( ) A .63 B .64 C .127 D .1282.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10S 5等于( )A .-3B .5C .-31D .333.已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n -1D.S n a 21qn -1 4.在等比数列{a n }中,公比q 是整数,a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则此数列的前8项和为( )A .514B .513C .512D .510 5.在等比数列中,S 30=13S 10,S 10+S 30=140,则S 20等于( ) A .90 B .70 C .40 D .30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4a 2=________.7.若等比数列{a n }中,a 1=1,a n =-512,前n 项和为S n =-341,则n 的值是________. 8.如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则此数列的通项公式a n =________. 三、解答题 9.设等比数列{a n }的公比q <1,前n 项和为S n .已知a 3=2,S 4=5S 2,求{a n }的通项公式.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =13(a n -1) (n ∈N *).(1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等比数列.§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1.(1)a 1(1-q n )1-q a 1-a n q 1-qna 13.错位相减 自主探究a 1q +a 1q 2+a 1q 3+…+a 1qn -1+a 1q na 1-a 1q na 1(1-q n )1-q a 1q n -1 a 1-a n q 1-qna 1a 1-a n q1-qna 1 a 1-a n q 1-q a 1(1-q n )1-q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3,则q ≠1,又S 3=72,S 6=632,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q 3)1-q=72, ①a 1(1-q 6)1-q =632. ②②÷①得1+q 3=9,∴q =2.可求得a 1=12,因此a n =a 1q n -1=2n -2.变式训练1 解 ∵a 3·a n -2=a 1·a n , ∴a 1a n =128,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n =128,a 1+a n=66,得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=64,a n =2,或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a n=64.将①代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q =12,由a n =a 1q n -1可解得n =6.将②代入S n =a 1-a n q1-q ,可得q =2,由a n =a 1q n -1可解得n =6.故n =6,q =12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ,所以q ≠1,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q n )1-q=48a 1(1-q2n)1-q=60①②②÷①得1+q n =54,即q n =14.③将③代入①得a 11-q =64,所以S 3n =a 1(1-q 3n )1-q=64×⎝⎛⎭⎫1-143=63. 方法二 因为{a n }为等比数列,且q ≠1, 所以S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列, 所以(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),所以S 3n =(S 2n -S n )2S n +S 2n =(60-48)248+60=63.变式训练2 解 设b 1=S 10,b 2=S 20-S 10,…,则b 7=S 70-S 60.因为q ≠1,所以S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 70-S 60成等比数列,所以b 1,b 2,…,b 7成等比数列,首项为b 1=10,公比为q =b 2b 1=2010=2.求得b 7=10·26=640.由S 70-S 60=640,得S 70=1 270.例3 解 (1)当x =1时,S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.(2)当x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+nx n ,①xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n -1)x n +nx n +1,②①-②得,(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1 =x (1-x n )1-x-nx n +1.∴S n =x (1-x n )(1-x )2-nx n +11-x.综上可得S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2 (x =1)x (1-x n)(1-x )2-nxn +11-x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a =0时,S n =1.(2)当a =1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n -1),则S n =n [1+(2n -1)]2=n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时,有S n =1+3a +5a 2+7a 3+…+(2n -1)a n -1,① aS n =a +3a 2+5a 3+7a 4+…+(2n -1)a n ,② ①-②得S n -aS n =1+2a +2a 2+2a 3+…+2a n -1-(2n -1)a n , (1-a )S n =1-(2n -1)a n+2(a +a 2+a 3+a 4+…+a n -1)=1-(2n -1)a n+2·a (1-a n -1)1-a=1-(2n -1)a n+2(a -a n )1-a,又1-a ≠0,∴S n =1-(2n -1)a n 1-a +2(a -a n )(1-a )2.综上,S n=⎩⎪⎨⎪⎧1 (a =0)n 2(a =1)1-(2n -1)a n1-a +2(a -a n )(1-a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1.C [设公比为q ,则由a 1=1,a 5=16得a 5=a 1q 4, 即16=q 4,由q >0,得q =2.则S 7=a 1(1-q 7)1-q =1-271-2=127.]2.D [由题意知公比q ≠1,S 6S 3=a 1(1-q 6)1-q a 1(1-q 3)1-q=1+q 3=9, ∴q =2,S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)1-q =1+q 5=1+25=33.] 3.D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列,且首项为1a 1,公比为1q ,其前n 项和为:1a 1⎝⎛⎭⎫1-1q n 1-1q=1a 21q n -1·a 1(q n -1)q -1=S na 21qn -1.] 4.D [由a 1+a 4=18和a 2+a 3=12,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=16q =12.∵q 为整数,∴q =2,a 1=2,S 8=2(28-1)2-1=29-2=510.]5.C [q ≠1 (否则S 30=3S 10),∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30=13S 10S 10+S 30=140,∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10=10S 30=130,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1-q 10)1-q =10a 1(1-q 30)1-q=130,∴q 20+q 10-12=0.∴q 10=3或q 10=-4(舍去),∴S 20=a 1(1-q 20)1-q=S 10(1+q 10)=10×(1+3)=40.] 6.152解析 由等比数列的定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=a 2q+a 2+a 2q +a 2q 2,得S 4a 2=1q +1+q +q 2=152. 7.10解析 ∵S n =a 1-a n q1-q ,∴-341=1+512q1-q ,∴q =-2,又∵a n =a 1q n -1,∴-512=(-2)n -1, ∴n =10.8.2n -1解析 当n =1时,S 1=2a 1-1, ∴a 1=2a 1-1, ∴a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2a n -1)-(2a n -1-1) ∴a n =2a n -1,∴{a n }是等比数列,∴a n =2n -1,n ∈N *.9.解 方法一 由已知a 1≠0,S n =a 1(1-q n )1-q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=2, ①a 1(1-q 4)1-q=5×a 1(1-q 2)1-q , ② 由②得1-q 4=5(1-q 2).∴(q 2-4)(q 2-1)=0.又q <1.∴q =-1或q =-2.当q =-1时,a 1=2,a n =2×(-1)n -1.当q =-2时,a 1=12,a n =12×(-2)n -1.方法二 ∵S 4=5S 2,∴a 1+a 2+a 3+a 4=5(a 1+a 2).∴a 3+a 4=4(a 1+a 2).(1)当a 1+a 2=0,即a 2=-a 1, 即q =-1时,a 3+a 4=0适合;∵a 3=2,∴a 1=2(-1)2=2,∴a n =2×(-1)n -1.(2)当a 1+a 2≠0时,a 3+a 4a 1+a 2=4.即q 2=4.又q <1,∴q =-2,a 1=2(-2)2=12,此时,a n =12×(-2)n -1. 10.(1)解 由S 1=13(a 1-1),得a 1=13(a 1-1),∴a 1=-12.又S 2=13(a 2-1),即a 1+a 2=13(a 2-1),得a 2=14.(2)证明 当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =13(a n -1)-13(a n -1-1), 得a n a n -1=-12,又a 2a 1=-12,所以{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列.。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学
• 『规律总结(zǒngjié)』 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn 中,a1,q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时 ,均可以用a1,q列方程组求解.
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〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文,16)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=92. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
!果真是这样吗?我们一起来帮他算一算.
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• 1.等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量 公式
首项、公比与项数
Sn=__a_1_n1_a-_1 _q_n_q=1 ___1_-__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn=__a_1-_n_aa_1 _nq_q=1
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(2)由(1),得bn=an+k及{bn}是公比为2的等比数列,得 Tn=b111--22n=b1(2n-1), 由bn=an+k得Tn=Sn+nk,∴Sn=b1(2n-1)-nk. ∵S6=T4,S5=-9, ∴6331bb11- -65kk= =1-5b91,, 解得k=8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
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第二章
数列(shùliè)
等比数列 的前 项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时 第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页,共五十页。
自主预习(yùxí)学案
2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.5 第1课时 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和1.等比数列前n 项和公式思考:类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数. 2.错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地,等比数列{a n }的前n 项和可写为: S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1, ① 用公比q 乘①的两边,可得 qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n ,②由①-②,得(1-q )S n =a 1-a 1q n , 整理得S n =a 1(1-q n )1-q(q ≠1).(2)我们把上述方法叫错位相减法,一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解,其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且q ≠1.思考:等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法吗?[提示] 根据等比数列的定义,有:a 2a 1=a 3a 2=a 4a 3=…=a n a n -1=q ,再由合比定理,则得a 2+a 3+a 4+…+a na 1+a 2+a 3+…+a n -1=q ,即S n -a 1S n -a n=q ,进而可求S n .1.等比数列1,x ,x 2,x 3,…(x ≠0)的前n 项和S n 为( ) A .1-x n 1-xB .1-x n -11-xC .⎩⎨⎧1-x n1-x (x ≠1),n (x =1)D .⎩⎨⎧1-x n -11-x (x ≠1),n (x =1)C [当x =1时,数列为常数列,又a 1=1,所以S n =n . 当x ≠1时,q =x ,S n =a 1(1-x n )1-x =1-x n1-x.]2.等比数列{a n }中,a 1=1,q =2,则S 5=________. 31 [S 5=a 1(1-q 5)1-q =1-251-2=31.]3.数列12,24,38,416,…的前10项的和S 10=________. 509256[S 10=12+24+38+…+929+10210, 则12S 10=14+28+…+9210+10211.两式相减得,12S 10=12+14+18+…+1210-10211=12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12101-12-10211,所以S 10=509256.]4.某厂去年产值为a ,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________.11(1.15-1)a [去年产值为a ,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ,1.12a ,1.13a ,1.14a ,1.15a .所以1.1a +1.12a +1.13a +1.14a +1.15a =a ·1.1-1.161-1.1=11(1.15-1)a.]n (1)S 2=30,S 3=155,求S n ; (2)a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,求S 5;(3)a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126,求q . [解] (1)由题意知 ⎩⎨⎧a 1(1+q )=30,a 1(1+q +q 2)=155, 解得⎩⎨⎧a 1=5,q =5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=180,q =-56.从而S n =14×5n +1-54或S n =1 080×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-56n 11. (2)法一:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q 2=10,a 1q 3+a 1q 5=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,q =12,从而S 5=a 1(1-q 5)1-q =312. 法二:由(a 1+a 3)q 3=a 4+a 6, 得q 3=18,从而q =12. 又a 1+a 3=a 1(1+q 2)=10,所以a 1=8,从而S 5=a 1(1-q 5)1-q =312.(3)因为a 2a n -1=a 1a n =128,所以a 1,a n 是方程x 2-66x +128=0的两根. 从而⎩⎨⎧a 1=2,a n =64或⎩⎨⎧a n =2,a 1=64.又S n =a 1-a n q 1-q=126,所以q 为2或12.1.在等比数列 {a n }的五个量a 1,q ,a n ,n ,S n 中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比q =1或q ≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.1.在等比数列{a n }中.(1)若a 1=2,a n =162,S n =112,求n 和q ; (2)已知S 4=1,S 8=17,求a n .[解] (1)由S n =a 1-a n q 1-q 得112=2-162q1-q ,∴q =-2,又由a n =a 1q n -1得162=2(-2)n -1,∴n =5.(2)若q =1,则S 8=2S 4,不合题意,∴q ≠1, ∴S 4=a 1(1-q 4)1-q=1,S 8=a 1(1-q 8)1-q=17,两式相除得1-q 81-q 4=17=1+q 4,∴q =2或q =-2,∴a 1=115或a 1=-15,∴a n =115·2n -1或-15·(-2)n -1.从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051)思路探究:解决等额还贷问题关键要明白以下两点:(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S =P (1+r )n ,其中P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本利和.(2)从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.[解] 法一:设每个月还贷a 元,第1个月后欠款为a 0元,以后第n 个月还贷a 元后,还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6),则a 0=10 000,a 1=1.01a 0-a , a 2=1.01a 1-a =1.012a 0-(1+1.01)a , …a 6=1.01a 5-a =…=1.016a 0-[1+1.01+…+1.015]a . 由题意,可知a 6=0,即1.016a 0-[1+1.01+…+1.015]a =0, a =1.016×1021.016-1.∵1.016≈1.061,∴a =1.061×1021.061-1≈1 739.故每月应支付1 739元.法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S 1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元).另一方面,设每个月还贷a 元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为 S 2=a (1+0.01)5+a (1+0.01)4+…+a=a [(1+0.01)6-1]1.01-1=a [1.016-1]×102(元).由S 1=S 2,得a =1.016×1021.016-1.以下解法同法一,得a ≈1 739,故每月应支付1 739元.解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求:①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题?是求a n ,还是求S n ?特别要注意准确弄清项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.2.一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗?[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度, 由题意,得a n +1=45a n ,因此,数列{a n }是首项a 1=25,公比q =45的等比数列.热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n =a 1+a 2+…+a n =a 1(1-q n )1-q =25×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1-45=125×[1-(45)n]<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1.对于S 64=1+2+4+8+…+262+263,用2乘以等式的两边可得2S 64=2+4+8+…+262+263+264,对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?[提示] 比较两式易知,两式相减能消去同类项,解出S 64,即S 64=1-2641-2=264-1.2.由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗?是等差数列吗?该数列的前n 项和S n 的表达式是什么?[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列,也不是等比数列.该数列的前n 项和S n 的表达式为S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n .3.在等式 S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后,该等式的变形形式是什么?认真观察两式的结构特征,你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗?[提示] 在等式S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n ,① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n =1·22+2·23+3·24+…+(n -1)·2n +n ·2n +1,② ②-①得:S n =-1·21-22-23-24-…-2n +n ·2n +1 =-(21+22+23+…+2n )+n ·2n +1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题.我们把这种求由一个等差数列{an }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法.【例3】 已知等比数列{a n }满足:a 1=12,a 1,a 2,a 3-18成等差数列,公比q ∈(0,1),(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .思路探究:(1)根据a 1,a 2,a 3-18成等差数列求得公比q ,写出通项公式; (2)由b n =na n 可知利用错位相减法求和. [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ,a 1=12,因为a 1,a 2,a 3-18成等差数列,所以2a 2=a 1+a 3-18, 即得4q 2-8q +3=0, 解得q =12或q =32,又因为q ∈(0,1),所以q =12, 所以a n =12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=12n .(2)根据题意得b n =na n =n2n , S n =12+222+323+…+n 2n , ① 12S n =122+223+324+…+n 2n +1, ②作差得12S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1,S n =2-(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.1.本题中设c n =na n,求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n =n ·2n ,所以S n ′=1×21+2×22+3×23+…+(n -2)×2n -2+(n -1)×2n -1+n ·2n , 2S n ′=1×22+2×23+3×24+…+(n -2)×2n -1+(n -1)×2n +n ·2n +1, 两式相减得:-S n ′=1×21+22+23+24+…+2n -1+2n -n ·2n +1=2(1-2n )1-2-n ·2n +1=(1-n )·2n +1-2,所以S n ′=(n -1)·2n +1+2.2.本题中设d n =(2n -1)a n ,求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得:T n =1×12+3×122+…+(2n -1)×12n ,12T n =1×122+3×123+…+(2n -3)×12n +(2n -1)×12n +1, 两式相减得12T n =1×12+2×122+…+2×12n -(2n -1)×12n +1=12+12×1-12n -11-12-(2n -1)×12n +1=32-12n -1-2n -12n +1,所以T n =3-42n -2n -12n =3-2n +32n.错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围:它主要适用于{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和.(2)注意事项:①利用“错位相减法”时,在写出S n 与qS n 的表达式时,应注意使两式错对齐,以便于作差,正确写出(1-q )S n 的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况.1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即当q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.3.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列且公比为q ,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减法求和.1.判断正误(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n =a 1(1-q n )1-q 来求.( )(2)若首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n 项和为S n =na .( )(3)若某数列的前n 项和公式为S n =-aq n +a (a ≠0,q ≠0且q ≠1,n ∈N *),则此数列一定是等比数列.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)错误.在求等比数列前n 项和时,首先应看公比q 是否为1,若q ≠1,可直接套用,否则应讨论求和.(2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n 项和为S n =na .(3)正确.根据等比数列前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q (q ≠0且q ≠1)变形为S n =a 11-q -a 11-q q n (q ≠0且q ≠1),若令a =a 11-q,则和式可变形为S n =a -aq n .2.已知等比数列{a n }的首项a 1=3,公比q =2,则S 5等于( ) A .93 B .-93 C .45 D .-45 A [S 5=a 1(1-q 5)1-q =3(1-25)1-2=93.]3.在公比为整数的等比数列{a n }中,如果a 1+a 4=18,a 2+a 3=12,则这个数列的前8项之和S 8=________.510 [a 1+a 4=a 1(1+q 3)=18,a 2+a 3=a 1(q +q 2)=12,两式联立解得q =2或12,而q 为整数,所以q =2,a 1=2,代入公式求得S 8=2(1-28)1-2=510.]4.求和:12+34+58+716+…+2n -12n .[解] 设S n =12+34+58+716+…+2n -12n=12+322+523+724+…+2n -32n -1+2n -12n ,① 则12S n =122+323+524+…+2n -32n +2n -12n +1.② ①-②,得12S n =12+222+223+224+…+22n -2n -12n +1 =12+12+122+…+12n -1-2n -12n +1 =12+12-12n -1×121-12-2n -12n +1=32-12n -1-2n -12n +1=32-2n +32n +1,∴S n =3-2n +32n .。
高中数学人教A版必修五优化练习第二章2.5第1课时等比数列的前n项和公式含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1.等比数列{a n }中,a n =2n ,则它的前n 项和S n =( ) A .2n -1 B .2n -2 C .2n +1-1 D .2n +1-2解析:a 1=2,q =2, ∴S n =2×(1-2n )1-2=2n +1-2.答案:D2.在等比数列{a n }中,若a 1=1,a 4=18,则该数列的前10项和S 10=( )A .2-128B .2-129C .2-1210D .2-1211解析:设等比数列{a n }的公比为q ,由a 1=1,a 4=18,得q 3=18,解得q =12,于是S 10=a 1(1-q 10)1-q =1-(12)101-12=2-129.答案:B3.等比数列{a n }中,已知前4项之和为1,前8项和为17,则此等比数列的公比q 为( ) A .2 B .-2 C .2或-2D .2或-1解析:S 4=a 1·(1-q 4)1-q =1,①S 8=a 1·(1-q 8)1-q =17,②②÷①得1+q 4=17,q 4=16. q =±2. 答案:C4.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( ) A .35 B .33 C .31D .29解析:设数列{a n }的公比为q ,∵a 2·a 3=a 21·q 3=a 1·a 4=2a 1, ∴a 4=2.又∵a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54,∴q =12.∴a 1=a 4q 3=16.S 5=a 1·(1-q 5)1-q =31.答案:C5.等比数列{a n }中,a 3=3S 2+2,a 4=3S 3+2,则公比q 等于( ) A .2 B.12 C .4D.14解析:a 3=3S 2+2,a 4=3S 3+2,等式两边分别相减得a 4-a 3=3a 3,即a 4=4a 3,∴q =4. 答案:C6.若数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n ,n =1,2,3,…,则a 1+a 2+…+a n =________. 解析:由a n +1a n =2,∴{a n }是以a 1=1,q =2的等比数列,故S n =1×(1-2n )1-2=2n-1.答案:2n -17.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为________. 解析:∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列,∴4S 2=S 1+3S 3, 即4(a 1+a 1q )=a 1+3(a 1+a 1q +a 1q 2), ∴4(1+q )=1+3(1+q +q 2),解之得q =13.答案:138.等比数列的前n 项和S n =m ·3n +2,则m =________. 解析:设等比数列为{a n },则 a 1=S 1=3m +2,S 2=a 1+a 2=9m +2⇒a 2=6m , S 3=a 1+a 2+a 3=27m +2⇒a 3=18m , 又a 22=a 1·a 3⇒(6m ) 2=(3m +2)·18m ⇒m =-2或m =0(舍去).∴m =-2. 答案:-29.在等差数列{a n }中,a 4=10,且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列{a n }前20项的和S 20. 解析:设数列{a n }的公差为d ,则a 3=a 4-d =10-d ,a 6=a 4+2d =10+2d ,a 10=a 4+6d =10+6d , 由a 3,a 6,a 10成等比数列,得a 3a 10=a 26, 即(10-d )(10+6d )=(10+2d )2.整理,得10d 2-10d =0.解得d =0或d =1. 当d =0时,S 20=20a 4=200;当d =1时,a 1=a 4-3d =10-3×1=7, 于是S 20=20a 1+20×192d =20×7+190=330.10.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -n 2,a n =log 5b n ,其中b n >0,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =(2n -n 2)-[2(n -1)-(n -1)2] =-2n +3,当n =1时,a 1=S 1=2×1-12=1也适合上式, ∴{a n }的通项公式a n =-2n +3(n ∈N *). 又a n =log 5b n , ∴log 5b n =-2n +3, 于是b n =5-2n +3,b n +1=5-2n +1,∴b n +1b n =5-2n +15-2n +3=5-2=125. 因此{b n }是公比为125的等比数列,且b 1=5-2+3=5,于是{b n }的前n 项和T n =5⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫125n 1-125=12524⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫125n .[B 组 能力提升]1.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n 等于( )A .(2n -1)2 B.13(2n -1) C .4n -1D.13(4n -1) 解析:根据前n 项和S n =2n -1,可求出a n =2n -1,由等比数列的性质可得{a 2n}仍为等比数列,且首项为a 21,公比为q 2,∴a 21+a 22+…+a 2n =1+22+24+…+22n -2=13(4n -1). 答案:D2.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若S 4S 2=3,则S 6S 4=( )A .2 B.73 C.310D .1或2解析:设S 2=k ,则S 4=3k ,由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠-1),得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4为等比数列,又S 2=k ,S 4-S 2=2k ,∴S 6-S 4=4k ,∴S 6=7k ,∴S 6S 4=7k 3k =73,故选B. 答案:B3.已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________.解析:由题意,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 4=9a 2·a 3=a 1·a 4=8,解得a 1=1,a 4=8或者a 1=8,a 4=1,而数列{a n }是递增的等比数列,所以a 1=1,a 4=8,即q 3=a 4a 1=8,所以q =2,因而数列{a n }的前n 项和S n=a 1(1-q n )1-q =1-2n 1-2=2n -1.答案:2n -14.设数列{a n }(n =1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n +a 1=2a n ,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列,则a 1+a 5=________.解析:由S n +a 1=2a n ,得a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1(n ≥2),即a n =2a n -1(n ≥2).从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,所以a 1+a 3=2(a 2+1),所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故a n =2n ,所以a 1+a 5=2+25=34. 答案:345.(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.解析:(1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1得a n +1=λa n +1-λa n ,即a n +1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝⎛⎭⎫λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎫λλ-1n .由S 5=3132得1-⎝⎛⎭⎫λλ-15=3132,即⎝⎛⎭⎫λλ-15=132. 解得λ=-1.6.设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项;(2)令b n =ln a 3n +1,n =1,2,…,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=7,(a 1+3)+(a 3+4)2=3a 2,解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ,由a 2=2,可得a 1=2q ,a 3=2q ,又S 3=7,可知2q +2+2q =7,即2q 2-5q +2=0.解得q 1=2,q 2=12.由题意得q >1,∴q =2,∴a 1=1. 故数列{a n }的通项为a n =2n -1. (2)由于b n =ln a 3n +1,n =1,2,…, 由(1)得a 3n +1=23n ,∴b n =ln 23n =3n ln2. 又b n +1-b n =3ln 2,∴{b n }是等差数列, ∴T n =b 1+b 2+…+b n =n (b 1+b n )2=3n (n +1)2·ln 2.故T n =3n (n +1)2ln 2.。
2018版高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和(一) 新人教A版必修5
本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an及其前n项和Sn; 解 设{an}的公比为q,依题意得
a1q=3 a1q4=81
,解得aq1==31
,
因此,an=3n-1,Sn=111--33n=3n-2 1.
解析答案
1 (2)设 bn=1+log3an,求数列bn·bn+1的前 10 项和 T10.
+a5+a6+a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q=3,前 n 项和为 Sn,则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4=a111--334=40a1,又 a2=3a1, ∴Sa42=430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5=a2·q3,∴q3=2943=27. ∴公比q=3,从而a1=3, ∴S4=a111--qq4=311--334=120.
解析答案
12345
5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ________,S5=________.
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
人教a版必修5学案:第2章《习题课1-常见的数列求和及应用》(含答案)
第二章 习题课1 常见的数列求和及应用自主学习知识梳理1.等差数列的前n 项和公式:S n =____________=____________.2.等比数列前n 项和公式:①当q =1时,S n =________;②当q ≠1时,S n =____________=____________.3.常见求和公式有:①1+2+…+n =____________.②1+3+5+…+(2n -1)=________.③2+4+6+…+2n =________.*④12+22+32+…+n 2=16n (n +1)(2n +1). *⑤13+23+33+…+n 3=14n 2(n +1)2.自主探究拆项成差求和经常用到下列拆项公式,请补充完整.①1n (n +1)=________________. ②1(2n -1)(2n +1)=________________. ③1n (n +1)(n +2)=____________________. ④1n +n +1=________________. ⑤1a +b=________________. 对点讲练知识点一 分组求和例1 求和:S n =⎝⎛⎭⎫x +1x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22+…+⎝⎛⎭⎫x n +1x n 2.总结 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.变式训练1 求数列1,1+a,1+a +a 2,…,1+a +a 2+…+a n -1,…的前n 项和S n (其中a ≠0).知识点二 拆项相消例2 求和:122-1+132-1+142-1+…+1n 2-1,(n ≥2).总结 如果数列的通项公式可转化为f (n +1)-f (n )的形式,常采用拆项求和法.变式训练2 求和:1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n.知识点三 奇偶并项例3 求和:S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n -1).变式训练3 已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n ·(3n -2),…,求其前n 项和S n .求数列前n 项和,一般有下列几种方法.1.错位相减(前面已复习)适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.2.分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列.3.拆项相消有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.4.奇偶并项当数列通项中出现(-1)n 或(-1)n +1时,常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论.5.倒序相加例如,等差数列前n 项和公式的推导方法.课时作业一、选择题1.已知数列{a n }的通项a n =2n +1,由b n =a 1+a 2+a 3+…+a n n所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A .n (n +2) B.12n (n +4) C.12n (n +5) D.12n (n +7) 2.已知数列{a n }为等比数列,前三项为a ,12a +12,13a +13,则T n =a 21+a 22+…+a 2n 等于( )A .9⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫23nB .81⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫23n C .81⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫49n D.815⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫49n 3.设数列1,(1+2),(1+2+4),…,(1+2+22+…+2n -1)的前m 项和为2 036,则m的值为( )A .8B .9C .10D .114.在50和350之间末位数是1的所有整数之和是( )A .5 880B .5 539C .5 280D .4 8725.已知S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1n ,则S 17+S 33+S 50等于( )A .0B .1C .-1D .2题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=________. 7.在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________.8.若1+3+5+…+(2x -1)11·2+12·3+13·4+…+1x (x +1)=132 (x ∈N *),则x =________. 三、解答题9.求和S n =1+(1+12)+(1+12+14)+…+(1+12+14+…+12n -1).10.设正项等比数列{a n }的首项a 1=12,前n 项和为S n ,且210S 30-(210+1)S 20+S 10=0. (1)求{a n }的通项;(2)求{nS n }的前n 项和T n .习题课1 常见的数列求和及应用知识梳理1.n (a 1+a n )2 na 1+n (n -1)2d 2.na 1 a 1(1-q n )1-q a 1-a n q 1-q 3.n (n +1)2n 2 n 2+n 自主探究①1n -1n +1 ②12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1 ③12⎣⎡⎦⎤1n (n +1)-1(n +1)(n +2) ④n +1-n ⑤1a -b(a -b) 对点讲练例1 解 当x ≠±1时,S n =⎝⎛⎭⎫x +1x 2+⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22+…+⎝⎛⎭⎫x n +1x n 2 =⎝⎛⎭⎫x 2+2+1x 2+⎝⎛⎭⎫x 4+2+1x 4+…+⎝⎛⎭⎫x 2n +2+1x 2n =(x 2+x 4+…+x 2n )+2n +⎝⎛⎭⎫1x 2+1x 4+…+1x 2n =x 2(x 2n -1)x 2-1+x -2(1-x -2n )1-x -2+2n =(x 2n -1)(x 2n +2+1)x 2n (x 2-1)+2n 当x =±1时,S n =4n.综上知,S n =⎩⎪⎨⎪⎧ 4n , x =±1(x 2n -1)(x 2n +2+1)x 2n (x 2-1)+2n , x ≠±1. 变式训练1 解 当a =1时,则a n =n ,于是S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2. 当a ≠1时,a n =1-a n 1-a =11-a(1-a n ). ∴S n =11-a[n -(a +a 2+…+a n )] =11-a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n -a (1-a n )1-a =n 1-a -a (1-a n )(1-a )2. ∴S n =⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2 (a =1),n 1-a -a (1-a n)(1-a )2 (a ≠1). 例2 解 ∵1n 2-1=1(n -1)(n +1) =12⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +1, ∴原式=12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫12-14+⎝⎛⎭⎫13-15⎦⎤+…+⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +1 =12⎝⎛⎭⎫1+12-1n -1n +1=34-2n +12n (n +1).变式训练2 解 ∵a n =11+2+…+n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1, ∴S n =2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=2n n +1.例3 解 当n 为奇数时,S n =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n +5)+(2n -3)]+(-2n +1)=2·n -12+(-2n +1)=-n. 当n 为偶数时,S n =(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n +3)+(2n -1)]=2·n 2=n. ∴S n =(-1)n n (n ∈N *).变式训练3 解 n 为偶数时,令n =2k (k ∈N *), S n =S 2k =-1+4-7+10+…+(-1)n (3n -2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k +5)+(6k -2)]=3k =32n ; 当n 为奇数时,令n =2k +1 (k ∈N *).S n =S 2k +1=S 2k +a 2k +1=3k -(6k +1)=-3n +12. ∴S n =⎩⎨⎧ -3n +12 (n 为奇数),3n 2 (n 为偶数).课时作业1.C [∵a 1+a 2+…+a n =n 2(2n +4)=n 2+2n . ∴b n =n +2,∴b n 的前n 项和S n =n (n +5)2.] 2.D [由⎝⎛⎭⎫12a +122=a ⎝⎛⎭⎫13a +13, 解得a =3(a =-1舍去).∴a 1=3,a 2=2,a 3=43,∴{a 2n }是以a 21=9为首项,以49为公比的等比数列, ∴T n =9⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫49n 1-49=815⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫49n .] 3.C [a n =2n -1,S n =2n +1-n -2,代入选项检验,即得m =10.]4.A [S =51+61+…+341=30×(341+51)2=5 880.]5.B [S 17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S 33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S 50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25,所以S 17+S 33+S 50=1.]6.5 050解析 (1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=100+99+…+2+1=100×(100+1)2=5 050. 7.1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为S 1=3+6+…+99=33×(3+99)2=1 683. 100内所有能被21整除的数的和为S 2=21+42+63+84=210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为S 1-S 2=1 683-210=1 473.8.11解析 1+3+5+…+(2x -1)11·2+12·3+…+1x (x +1)=x 21-1x +1=x 2xx +1=x (x +1)=132,∴x =11. 9.解 考察通项a n =1+12+14+…+12n -1=1-(12)n 1-12=2-12n -1 ∴S n =(2-120)+(2-121)+(2-122)+…+(2-12n -1) =2n -(1+121+122+…+12n -1) =2n -1-12n 1-12=2n -2+12n -1 ∴S n =2n -2+12n -1. 10.解 (1)由210S 30-(210+1)S 20+S 10=0, 得S 30-S 20S 20-S 10=1210,设公比为q , 则a 1(1-q 30)1-q -a 1(1-q 20)1-q a 1(1-q 20)1-q -a 1(1-q 10)1-q=1210,即q 10=1210, 所以q =12,所以a n =12·⎝⎛⎭⎫12n -1=12n , 即a n =12n ,n =1,2,…. (2)因为{a n }是首项a 1=12,公比q =12的等比数列. 所以S n =12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=1-12n ,nS n =n -n 2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n =(1+2+…+n )-⎝⎛⎭⎫12+222+…+n 2n ① T n 2=12(1+2+…+n ) -⎝ ⎛⎭⎪⎫122+223+…+n -12n +n 2n +1② ①-②,得T n 2=12(1+2+…+n )-⎝⎛⎭⎫12+122+…+12n +n 2n +1=n (n +1)4-12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12+n 2n +1, 即T n =n (n +1)2+12n -1+n 2n -2.。
高中数学_等比数列的前n项和公式教学设计学情分析教材分析课后反思
等比数列的前n项和一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章第5节第一课时。
从在教材中的地位与作用来:看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。
不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出,要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
心理学家研究发现,9~22岁的学生正处于创新思维的培养期,高中生正好处于这一关键年龄段,作为数学教师应因势力导,培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中,体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学
2.3 等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么?通常用什么符号表示?(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和?(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和?[新知初探]1.数列的前n项和对于数列{a n},一般地称a1+a2+…+a n为数列{a n}的前n项和,用S n表示,即S n=a1+a2+…+a n.2.等差数列的前n项和公式已知量首项,末项与项数首项,公差与项数选用公式S n=n a1+a n2S n=na1+n n-12d[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项a n所有项的和( )(2)a n=S n-S n-1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )(3)在等差数列{a n}中,当项数m为偶数2n时,则S偶-S奇=a n+1( )解析:(1)正确.由前n项和的定义可知正确.(2)错误.例如数列{a n}中,S n=n2+2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1.又∵a1=S1=3,∴a1不满足a n=S n-S n-1=2n-1,故命题错误.(3)错误.当项数m为偶数2n时,则S偶-S奇=nd.预习课本P42~45,思考并完成以下问题答案:(1)√ (2)× (3)×2.等差数列{a n }中,a 1=1,d =1,则S n 等于( ) A .n B .n (n +1) C .n (n -1)D.n n +12解析:选 D 因为a 1=1,d =1,所以S n =n +n n -12×1=2n +n 2-n 2=n 2+n 2=n n +12,故选D.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=12,S 4=20,则S 6等于( )A .16B .24C .36D .48解析:选D 设等差数列{a n }的公差为d , 由已知得4a 1+4×32d =20,即4×12+4×32d =20,解得d =3,∴S 6=6×12+6×52×3=3+45=48.4.在等差数列{a n }中,S 4=2,S 8=6,则S 12=________.解析:由等差数列的性质,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,所以2(S 8-S 4)=S 4+(S 12-S 8),S 12=3(S 8-S 4)=12.答案:12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }.(1)a 1=56,a 15=-32,S n =-5,求d 和n ;(2)a 1=4,S 8=172,求a 8和d .[解] (1)∵a 15=56+(15-1)d =-32,∴d =-16.又S n =na 1+n n -12d =-5,解得n =15或n =-4(舍). (2)由已知,得S 8=8a 1+a 82=84+a 82=172, 解得a 8=39,又∵a 8=4+(8-1)d =39,∴d =5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1,d ,n ,a n 和S n ,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组,解出a 1和d ,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q ,常与求和公式S n =n a 1+a n2结合使用.[活学活用]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 8=11,则S 9等于( ) A .13 B .35 C .49D .63解析:选D ∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 9=a 2+a 8, ∴S 9=9a 2+a 82=9×142=63.已知S n 求a n 问题[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n =-2n 2+n +2.(1)求{a n }的通项公式; (2)判断{a n }是否为等差数列? [解] (1)∵S n =-2n 2+n +2, ∴当n ≥2时,S n -1=-2(n -1)2+(n -1)+2=-2n 2+5n -1, ∴a n =S n -S n -1=(-2n 2+n +2)-(-2n 2+5n -1) =-4n +3.又a 1=S 1=1,不满足a n =-4n +3,∴数列{a n }的通项公式是a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,-4n +3,n ≥2.(2)由(1)知,当n ≥2时,a n +1-a n =[-4(n +1)+3]-(-4n +3)=-4,但a 2-a 1=-5-1=-6≠-4,∴{a n }不满足等差数列的定义,{a n }不是等差数列.(1)已知S n 求a n ,其方法是a n =S n -S n -1(n ≥2),这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错. (2)在书写{a n }的通项公式时,务必验证n =1是否满足a n (n ≥2)的情形.如果不满足,则通项公式只能用a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2表示.[活学活用]1.已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2,则( ) A .a n =2n +1 B .a n =-2n +1 C .a n =-2n -1D .a n =2n -1解析:选B 当n =1时,a 1=S 1=-1;n ≥2时,a n =S n -S n -1=-n 2+(n -1)2=-2n +1,此时满足a 1=-1.综上可知a n =-2n +1.2.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,根据条件求a n . (1)S n =2n 2+3n +2;(2)S n =3n-1.解:(1)当n =1时,a 1=S 1=7,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2+3n +2)-[2(n -1)2+3(n -1)+2]=4n +1,又a 1=7不适合上式,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧7,n =1,4n +1,n ≥2.(2)当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n-1)-(3n -1-1)=2×3n -1,显然a 1适合上式,所以a n =2×3n -1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30,前2n 项的和为100,则它的前3n 项的和为( ) A .130 B .170 C .210D .260(2)等差数列{a n }共有2n +1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n 等于________.(3)已知{a n },{b n }均为等差数列,其前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =2n +2n +3,则a 5b 5=________.[解析] (1)利用等差数列的性质:S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列.所以S n +(S 3n -S 2n )=2(S 2n -S n ), 即30+(S 3n -100)=2(100-30), 解得S 3n =210.(2)因为等差数列共有2n +1项,所以S 奇-S 偶=a n +1=S 2n +12n +1,即132-120=132+1202n +1,解得n =10.(3)由等差数列的性质,知a 5b 5=a 1+a 92b 1+b 92=a 1+a 92×9b 1+b 92×9=S 9T 9=2×9+29+3=53. [答案] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和,S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列.(2)数列{a n }是等差数列⇔S n =an 2+bn (a ,b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列.(3)若S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,公差为d , ①当项数为偶数2n 时,S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1; ②当项数为奇数2n -1时,S 奇-S 偶=a n ,S 奇S 偶=n n -1. [活学活用]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=8,S 8=20,则a 11+a 12+a 13+a 14=( ) A .18 B .17 C .16D .15解析:选A 设{a n }的公差为d ,则a 5+a 6+a 7+a 8=S 8-S 4=12,(a 5+a 6+a 7+a 8)-S 4=16d ,解得d =14,a 11+a 12+a 13+a 14=S 4+40d =18.2.等差数列{a n }的通项公式是a n =2n +1,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________.解析:因为a n =2n +1,所以a 1=3, 所以S n =n 3+2n +12=n 2+2n ,所以S n n=n +2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为3×10+10×92×1=75.答案:75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中,a 1=25,S 17=S 9,求前n 项和S n 的最大值. [解] 由S 17=S 9,得25×17+17×17-12d =25×9+9×9-12d ,解得d =-2, [法一 公式法]S n =25n +n n -12×(-2)=-(n -13)2+169.由二次函数性质得,当n =13时,S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2n -1≥0,a n +1=25-2n ≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312,n ≥1212,即1212≤n ≤1312.又n ∈N *,∴当n =13时,S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n =na 1+n n -12d =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n 配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.(2)邻项变号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0的项数n 使S n 取最大值.当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0的项数n 使S n 取最小值.[活学活用]已知{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n =( )A .11B .17C .19D .21解析:选C ∵S n 有最大值,∴d <0,则a 10>a 11,又a 11a 10<-1,∴a 11<0<a 10,a 10+a 11<0,S 20=10(a 1+a 20)=10(a 10+a 11)<0,S 19=19a 10>0,∴S 19为最小正值.故选C.层级一 学业水平达标1.已知数列{a n }的通项公式为a n =2-3n ,则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A .-32n 2+n2B .-32n 2-n2C.32n 2+n 2D.32n 2-n 2解析:选A ∵a n =2-3n ,∴a 1=2-3=-1,∴S n =n -1+2-3n2=-32n 2+n2.2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 7>0,a 8<0,则下列结论正确的是( ) A .S 7<S 8 B .S 15<S 16 C .S 13>0D .S 15>0解析:选 C 由等差数列的性质及求和公式得,S 13=13a 1+a 132=13a 7>0,S 15=15a 1+a 152=15a 8<0,故选C.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( ) A .63 B .45 C .36D .27解析:选B ∵a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=2S 6-3S 3=2×36-3×9=45.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5+5a 9=0,且a 9>a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( )A .5B .6C .7D .8解析:选B 由7a 5+5a 9=0,得a 1d =-173.又a 9>a 5,所以d >0,a 1<0.因为函数y =d 2x 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2x 的图象的对称轴为x =12-a 1d =12+173=376,取最接近的整数6,故S n 取得最小值时n 的值为6.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于( )A .1B .-1C .2D.12解析:选A S 9S 5=92a 1+a 952a 1+a 5=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1. 6.若等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则该数列的公差为________. 解析:数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=An 2+Bn -A (n -1)2-B (n -1)=2An +B -A ,当n =1时满足,所以d =2A .答案:2A7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S m =-2,S m +1=0,S m +2=3,则m =________. 解析:因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,所以S m m +S m +2m +2=2S m +1m +1,即-2m +3m +2=0,解得m =4. 答案:48.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.解析:设等差数列{a n }的项数为2n +1,S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=n +1a 1+a 2n +12=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n a 2+a 2n2=na n +1,所以S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,所以项数2n +1=7, S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项.答案:11 79.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式. 解:由已知条件,可得S n +1=2n +1,则S n =2n +1-1.当n =1时,a 1=S 1=3, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n +1-1)-(2n -1)=2n,又当n =1时,3≠21,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,2n,n ≥2.10.在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项的和,已知a 1+a 3=22,S 5=45. (1)求a n ,S n ;(2)设数列{S n }中最大项为S k ,求k .解:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2=22,5a 3=45, 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11,a 3=9,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=13,d =-2,所以a n =-2n +15,S n =-n 2+14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7,所以S 7最大,k =7.层级二 应试能力达标1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n =( ) A .12 B .14 C .16D .18解析:选B 因为S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40,所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30,由S n =n a 1+a n2=210,得n =14.2.在等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,则正整数k 为( ) A .2 014 B .2 015 C .2 016D .2 017解析:选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数的对称性及S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k 2,解得k =2 016.故选C. 3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 1<0,2S 21+S 25=0,则S n 取最小值时,n 的值为( )A .11B .12C .13D .14解析:选A 设等差数列{a n }的公差为d ,由2S 21+S 25=0得,67a 1+720d =0,又d >0,∴67a 11=67(a 1+10d )=67a 1+670d <0,67a 12=67(a 1+11d )=67a 1+737d >0,即a 11<0,a 12>0.故选A.4.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A .2B .3C .4D .5解析:选D ∵a n b n =a 1+a 2n -12b 1+b 2n -12=a 1+a 2n -122n -1b 1+b 2n -122n -1=A 2n -1B 2n -1=72n -1+452n -1+3=14n +382n +2=7+12n +1,∴当n 取1,2,3,5,11时,符合条件,∴符合条件的n 的个数是5. 5.若数列{a n }是等差数列,首项a 1<0,a 203+a 204>0,a 203·a 204<0,则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________.解析:由a 203+a 204>0⇒a 1+a 406>0⇒S 406>0,又由a 1<0且a 203·a 204<0,知a 203<0,a 204>0,所以公差d >0,则数列{a n }的前203项都是负数,那么2a 203=a 1+a 405<0,所以S 405<0,所以使前n 项和S n <0的最大自然数n =405.答案:4056.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≤4,S 5≥15,则a 4的最小值为________. 解析:S 4=2(a 1+a 4)≤4⇒2a 3-d ≤2,S 5=5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3-d ≤2,所以d -2a 3≥-2,又因为a 3≥3,所以2a 3≥6,所以d ≥4,所以a 4=a 3+d ≥7,所以a 4的最小值为7.答案:77.已知等差数列{a n }的公差d >0,前n 项和为S n ,且a 2a 3=45,S 4=28.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =S n n +c (c 为非零常数),且数列{b n }也是等差数列,求c 的值. 解:(1)∵S 4=28,∴a 1+a 4×42=28,a 1+a 4=14,a 2+a 3=14,又a 2a 3=45,公差d >0,∴a 2<a 3,∴a 2=5,a 3=9,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =5,a 1+2d =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1),知S n =2n 2-n ,∴b n =S n n +c =2n 2-n n +c, ∴b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c . 又{b n }也是等差数列,∴b 1+b 3=2b 2,即2×62+c =11+c +153+c, 解得c =-12(c =0舍去).8.在等差数列{a n }中,a 10=23,a 25=-22.(1)数列{a n }前多少项和最大?(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+9d =23,a 1+24d =-22,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=50,d =-3,∴a n =a 1+(n -1)d =-3n +53.令a n >0,得n <533, ∴当n ≤17,n ∈N *时,a n >0; 当n ≥18,n ∈N *时,a n <0,∴{a n }的前17项和最大.(2)当n ≤17,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =na 1+n n -12d =-32n 2+1032n .当n ≥18,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 17-a 18-a 19-…-a n =2(a 1+a 2+…+a 17)-(a 1+a 2+…+a n )=2⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×172+1032×17-⎝ ⎛⎭⎪⎫-32n 2+1032n =32n 2-1032n +884. ∴S n =⎩⎪⎨⎪⎧ -32n 2+1032n ,n ≤17,n ∈N *,32n 2-1032n +884,n ≥18,n ∈N *.。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(2021年整理)
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2。
5 错误!第一课时等比数列的前n项和(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算?(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和?(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和?(4)等比数列前n项和的性质有哪些?[新知初探]1.等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1,末项a n与公比q公式S n=错误!S n=错误![在应用公式求和时,应注意到S n错误!常数列求和,即S n=na1.2.等比数列前n项和的性质(1)等比数列{a n}中,若项数为2n,则错误!=q;若项数为2n+1,则错误!=q。
(2)若等比数列{a n}的前n项和为S n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n…成等比数列(其中S n,S2n -S n,S3n-S2n…均不为0).(3)若一个非常数列{a n}的前n项和S n=Aq n-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{a n}为等比数列,即S n=Aq n-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔数列{a n}为等比数列.错误!1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√",错误的打“×”)(1)求等比数列{a n}的前n项和时可直接套用公式S n=a11-q n1-q来求( )预习课本P55~58,思考并完成以下问题(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为S n=na()(3)若某数列的前n项和公式为S n=-aq n+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N*),则此数列一定是等比数列( )解析:(1)错误.在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为1,若q≠1,可直接套用,否则应讨论求和.(2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为S n=na。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5
3.理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系. .理解等比数列前 项和公式与函数的关系. a1(1-qn) - a1 a1 n a1 Sn = q , 设 a= = - = ,则 1-q - 1-q 1-q - - 1-q - Sn=a-aqn,Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 - 的积, 则数列为等比数列. 的积,即若 Sn=a-aqn,则数列为等比数列. - 4.等比数列 n}前 n 项和 Sn(Sn≠0),前 n 项积 .等比数列{a 前 , T2n T3n Tn, Sn, 2n-Sn, 3n-S2n, 和 Tn, , , S S 则 … … Tn T2n 都成等比数列. 都成等比数列.
∴n-1=5,即 n=6. - = , =
7 63 (2)已知 S6≠2S3,则 q≠1,又∵S3= ,S6= , 已知 ≠ , 2 2
a1(1-q3) 7 - = 2 1-q - 即 6 - a1(1-q ) 63 1-q = 2 -
① ②
②÷①得 1+q3=9,∴q=2. ① + , = 1 将 q=2 代入①,可求得 a1= , = 代入① 2 n-1 n-2 因此 an=a1q =2 .
可判断数列{b 的类型 的类型. =2an可判断数列 n}的类型.
【解 】
(1)设等差数列 n}的公差为 d, 设等差数列{a 的公差为 , 设等差数列
a1+d=9, = , 依题意得方程组 = , a1+4d=21,
解得 a1=5,d=4. , = 所以{a 的通项公式为 + 所以 n}的通项公式为 an=4n+1.
等比数列的综合应用
例3
已知等差数列{a , 已知等差数列 n},a2=9,a5=21. ,
(1)求{an}的通项公式; 求 的通项公式; 的通项公式 (2)令bn=2an,求数列 n}的前 项和 n. 令 求数列{b 的前 项和S 的前n项和 【思路点拨】 思路点拨】 首先求出a 首先求出 1和d,再计算 n,由bn ,再计算a
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2.5 等比数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一 等比数列前n 项和公式1.等比数列前n 项和公式⎩⎪⎨⎪⎧a1(1-qn )1-q =a1-anq 1-q (q≠1),na1(q =1).=n S 公式:(1) (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q =1的情况.2.等比数列前n 项和公式的使用更适a1-anq1-q=n S 而公式,n 和项数q ,1a 适用于已知a1(1-qn )1-q =n S 公式,时≠1q 公比使用时依据条件灵活选用.,n a 和末项q ,1a 用于已知 ) (于等)n (f 则,)*N ∈n (1+n 32+…+72+42+2=)n (f 设 思考 1)-1+n (827B.1) -n(827A. 1)-3+n (827D.1) -2+n (827C. 答案 B2(1-8n +1)1-8=1+n 32+…+72+42+2=)n (f 解析 .1)-1+n (827= 知识点二 错位相减法1.推导等比数列前n 项和的方法项和可写为:n 的前}n a {等比数列,一般地 ,①1-n q1a +…+2q 1a +q 1a +1a =n S 用公比q 乘①的两边,可得,②nq 1a +1-n q1a +…+2q 1a +1a =n qS ,nq 1a -1a =n S )q -(1得,②-①由 .≠1)q (a1(1-qn )1-q=n S 整理得 为等}n a {其中,的求解项和n 前}n b ·n a {一般适用于数列,错位相减法我们把上述方法叫.2≠1.q 且,为等比数列}n b {,差数列题型一 等比数列基本量的计算 例1 在等比数列{a n }中, (1)S 2=30,S 3=155,求S n ; (2)a 1+a 3=10,a 4+a 6=54,求S 5;(3)a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126,求q . 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a1(1+q )=30,a1(1+q +q2)=155,解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=5,q =5,或⎩⎪⎨⎪⎧a1=180,q =-56.从而S n =14×5n +1-54或S n =1 080×[1-(-56)n]11.(2)方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a1+a1q2=10,a1q3+a1q5=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=8,q =12,从而S 5=a1(1-q5)1-q =312.方法二 由(a 1+a 3)q 3=a 4+a 6, 得q 3=18,从而q =12. 又a 1+a 3=a 1(1+q 2)=10, 所以a 1=8,从而S 5=a1(1-q5)1-q =312.(3)因为a 2a n -1=a 1a n =128,所以a 1,a n 是方程x 2-66x +128=0的两根.从而⎩⎪⎨⎪⎧a1=2,an =64或⎩⎪⎨⎪⎧an =2,a1=64. 又S n =a1-anq1-q=126, 所以q 为2或12.反思与感悟 (1)在等比数列{a n }的五个量a 1,q ,a n ,n ,S n 中,已知其中的三个量,通过列方程组求解,就能求出另两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比q =1或q ≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 跟踪训练1 在等比数列{a n }中,(1)若a 1=2,a n =162,S n =112,求n 和q ; (2)已知S 4=1,S 8=17,求a n . 解 (1)由S n =a1-anq 1-q 得112=2-162q1-q, ∴q =-2, 又由a n =a 1q n -1得162=2(-2)n -1,∴n =5.(2)若q =1,则S 8=2S 4,不合题意,∴q ≠1, ∴S 4=a1(1-q4)1-q =1,S 8=a1(1-q8)1-q=17,两式相除得1-q81-q4=17=1+q 4, ∴q =2或q =-2, ∴a 1=115或a 1=-15, ∴a n =115·2n -1或-15·(-2)n -1.题型二 错位相减法求和例2 设{a n }是等差数列,{b n }是各项都为正数的等比数列,且a 1=b 1=1,a 3+b 5=21,a 5+b 3=13.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{an bn}的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q . 由题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1+2d +q4=21,1+4d +q2=13,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =2,q =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1,b n =2n -1.(2)由(1)知an bn =2n -12n -1,S n =1+321+522+…+2n -32n -2+2n -12n -1,①12S n =121+322+…+2n -52n -2+2n -32n -1+2n -12n,② ①-②得12S n =1+22+222+…+22n -2+22n -1-2n -12n=1+2(12+122+…+12n -2+12n -1)-2n -12n=1+2×12[1-(12)n -1]1-12-2n -12n =3-2n +32n ,∴S n =6-2n +32n -1. 反思与感悟 一般地,如果数列{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和时,可以采用错位相减法.在作差时,要注意第一项与最后一项的处理.有时还要注意对公比q 的讨论.跟踪训练2 求数列{nx n}的前n 项和. 解 (1)当x =0时,S n =0. (2)当x =1时,S n =n (n +1)2. (3)当x ≠0且x ≠1时,S n =x +2x 2+3x 3+…+(n -1)x n -1+nx n ,① xS n =x 2+2x 3+…+(n -1)x n +nx n +1,②①-②得,(1-x )S n =x +x 2+x 3+…+x n -nx n +1=x (1-xn )1-x-nx n +1,∴S n =x (1-x )2·[nx n +1-(n +1)x n+1],∴S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2(x =1),0(x =0),x (1-x )2[nxn +1-(n +1)xn +1](x≠0且x≠1).题型三 等差、等比数列的综合问题例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1. (1)求数列{b n }的通项公式;(2)令c n =(an +1)n +1(bn +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5. 当n =1时,a 1=S 1=11,符合上式. 所以a n =6n +5.设数列{b n }的公差为d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a1=b1+b2,a2=b2+b3,即⎩⎪⎨⎪⎧11=2b1+d ,17=2b1+3d , 可解得b 1=4,d =3. 所以b n =3n +1. (2)由(1)知c n =(6n +6)n +1(3n +3)n=3(n +1)·2n +1..又T n =c 1+c 2+…+c n .得T n =3×[2×22+3×23+…+(n +1)×2n +1].2T n =3×[2×23+3×24+…+(n +1)×2n +2].两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n +1-(n +1)×2n +2]=3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n+2=-3n ·2n +2. 所以T n =-3n ·2n +2.反思与感悟 利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值,同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.跟踪训练3 在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n 及其前n 项和S n ; (2)设b n =1+log 3a n ,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn·bn+1的前10项和T 10.解 (1)设{a n }的公比为q ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1q =3a1q4=81,解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=1q =3, 因此,a n =3n -1,S n =1()1-3n 1-3=3n -12.(2)由(1)知b n =1+log 3a n =1+(n -1)=n , 则1bnbn +1=1n (n +1)=1n -1n +1,所以T 10=11×2+12×3+…+110×11=1-12+12-13+…+110-111=1-111=1011.例4 等比数列1,2a ,4a 2,8a 3,…的前n 项和S n =________. 错解 S n =1-(2a )n1-2a错因分析 忽视等比数列前n 项和公式的应用条件,未对等比数列的公比2a 分类讨论,导致错误.正解 公比为q =2a ,当2a =1,即a =12时,2a =1,S n =n ; 当q ≠1,即a ≠12时,2a ≠1,则S n =1-(2a )n1-2a.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n , a =12,1-(2a )n 1-2a , a ≠12.误区警示 准确理解公式,重视分类讨论应用等比数列前n 项和公式时,要注意公比q 是否为1,因为等比数列前n 项和公式是“分段函数”形式.若题中公比不明确,要分情况讨论,如本例,公比为q =2a ,应该分2a =1,2a ≠1两种情况讨论,否则结论就不完整.1.已知等比数列{a n }的首项a 1=3,公比q =2,则S 5等于( ) A .93 B .-93 C .45 D .-45 答案 A 解析 S 5=a1(1-q5)1-q =3(1-25)1-2=93.2.在等比数列{a n }中,已知a 1+a 2+a 3=6,a 2+a 3+a 4=-3,则a 3+a 4+a 5+a 6+a 7等于( )A.118B.1916C.98D.34答案 A 解析a2+a3+a4a1+a2+a3=a2(1+q +q2)a1(1+q +q2)=a2a1=q =-12,由a 1+a 2+a 3=6,且q =-12,得a 1=8, 可得a 2=a 1q =8×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-4,∴a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=S 7-a 1-a 2=a1(1-q7)1-q -a 1-a 2=8[1-(-12)7]1-(-12)-8-(-4)=118.3.设等比数列{a n }的公比q =3,前n 项和为S n ,则S4a2等于________. 答案403解析 由题意得S 4=a1(1-34)1-3=40a 1,又a 2=3a 1,∴S4a2=403.4.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和是________. 答案 120解析 ∵a 5=a 2·q 3,∴q 3=2439=27. ∴公比q =3,从而a 1=3, ∴S 4=a1(1-q4)1-q =3(1-34)1-3=120.5.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________. 答案 1 121 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a2=2a1+1,a2+a1=4,解得a 1=1,a 2=3,当n ≥2时,由已知可得:a n +1=2S n +1,① a n =2S n -1+1,②①-②得a n +1-a n =2a n , ∴a n +1=3a n ,又a 2=3a 1,∴{a n }是以a 1=1为首项,公比q =3的等比数列. ∴S 5=1-1×351-3=121.1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量:a 1,a n ,n ,q ,S n ,其中首项a 1和公比q 为基本量,且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中,注意前n 项和公式要分类讨论,即q ≠1和q =1时是不同的公式形式,不可忽略q =1的情况.3.一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列且公比为q ,求数列{a n ·b n }的前n 项和时,可采用错位相减的方法求和.。