一种递推最小二乘估计简化算法
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、通信系统、自适应滤波等领域。
它通过不断迭代更新参数，逐步逼近最优解，具有快速收敛、适应性强的特点。
本文将从最小二乘法出发，介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
最小二乘法（Least Squares）是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与观测值之间的误差平方和最小。
对于线性模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算的方式得到最优参数。
然而，在实际应用中，数据通常是逐步到来的，因此需要一种能够动态更新参数的方法，于是递推最小二乘法应运而生。
递推最小二乘法的基本原理是利用递推的方式不断更新参数，以逼近最优解。
在每一时刻，根据当前的观测数据和先前的参数估计，通过递推公式计算出新的参数估计值，从而实现参数的动态更新。
这样的方法不仅能够适应数据的动态变化，还能够实现快速的收敛，适用于实时系统和非平稳环境下的参数估计。
递推最小二乘法的核心思想是利用指数加权的方式对历史数据进行处理，赋予近期数据更大的权重，从而更好地适应数据的变化。
通过引入遗忘因子（Forgetting Factor），可以控制历史数据对参数估计的影响程度，使得算法更具灵活性和适应性。
同时，递推最小二乘法还可以结合正交分解等技术，进一步提高计算效率和数值稳定性。
在实际应用中，递推最小二乘法被广泛应用于自适应滤波、信道均衡、系统辨识等领域。
例如，在自适应滤波中，递推最小二乘法可以根据接收信号的实际情况，动态调整滤波器的参数，实现信号的实时去噪和增强。
在通信系统中，递推最小二乘法可以用于自适应调制解调器的设计，提高系统的抗干扰能力和适应性。
此外，递推最小二乘法还被广泛应用于雷达跟踪、无线定位等领域，发挥着重要作用。
总之，递推最小二乘法作为一种经典的参数估计方法，具有快速收敛、适应性强的特点，在信号处理、通信系统、自适应滤波等领域有着重要的应用。
递推最小二乘法推导(RLS)——全网最简单易懂的推导过程
递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程作者：阿Q在江湖先从一般最小二乘法开始说起已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。
用矩阵的形式来表达更方便一些：其中k代表有k组观测到的数据，表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。
令：，则最小二乘的解很简单，等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。
进一步推导出递推最小二乘法（RLS）我们的目的是从一般最小二乘法的解推导出的递推形式。
一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。
下面是推导过程：先看一般最小二乘法的解下面分别对和这两部分进行推导变换，令得到下面公式（1）下面来变换得到公式（2）下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到）好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：至此，终于变成的形式了。
通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程：注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。
例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。
为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。
上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。
矩阵引逆定理：最终RLS的方程解为：好了，至此完毕！以上应该算是最简单的推导过程了，相信都能看得懂了。
后续有时间将增加带遗忘因子的RLS推导步骤，毕竟工程上的实际用途很多用此方法，比如在线辨识电池系统等效电路模型的参数，用于卡尔曼滤波算法估算SOC……。
递推最小二乘法_协方差矩阵_概述说明以及解释
递推最小二乘法协方差矩阵概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在统计学和计量经济学中，递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种常用的参数估计方法。
它通过不断更新样本数据进行参数的估计，并且可以适用于非静态数据场景。
协方差矩阵是统计分析中重要的概念，它描述了变量之间的线性关系强度和方向，并且在许多领域具有广泛应用。
1.2 文章结构本文首先介绍递推最小二乘法的定义和原理，在此基础上详细解释算法的步骤以及其应用领域。
接着，我们将引入协方差矩阵的概念并介绍其计算方法，同时探讨了它在实际问题中所起到的作用和应用场景。
最后，我们将对递推最小二乘法与协方差矩阵之间的关系进行解释，并通过实例分析来说明它们如何相互影响。
1.3 目的本文旨在全面介绍递推最小二乘法和协方差矩阵，并深入探讨它们之间的联系。
通过对这两个概念及其应用的理解，我们可以更好地理解参数估计方法和变量间关系的描述与分析。
此外，我们还将展望相关领域未来可能的研究方向，以促进学术和实践的进一步发展。
2. 递推最小二乘法2.1 定义和原理:递推最小二乘法是一种用于估计线性模型参数的方法。
它可以通过历史数据的不断更新来逐步拟合模型，以使得估计值与观测值之间的误差达到最小化。
该方法可以被形式化地描述为以下步骤：1. 初始化模型参数的初始值。
2. 从历史数据中选择一个样本，并使用当前参数估计出该样本对应的输出值。
3. 计算该样本的预测误差。
4. 根据预测误差对参数进行调整，使得预测误差尽量减小。
5. 重复步骤2至4，直到所有样本都被处理过一遍，或者满足终止条件。
递推最小二乘法是基于最小二乘原理，即将真实观测值与模型预测值之间的差异平方求和并最小化这个目标函数。
通过迭代地更新参数，递推最小二乘法可以逐渐优化模型，并获得更准确的参数估计。
2.2 算法步骤:具体而言，在每次迭代中，递推最小二乘法按照以下步骤进行操作：1. 根据历史数据选择一个样本，并根据当前的参数估计出预测值。
递推最小二乘法推导
递推最小二乘法推导递推最小二乘法是一种经典的数学方法，用于解决数据拟合问题。
它通过最小化误差平方和的方法，寻找最佳的拟合曲线或平面，从而对数据进行预测和分析。
本文将详细介绍递推最小二乘法的原理和推导过程。
一、引言在现实生活和科学研究中，我们经常需要通过已知的数据来拟合一个函数，以便对未知的数据进行预测或分析。
而最小二乘法就是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是通过最小化误差的平方和，找到最佳的拟合函数。
二、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是通过最小化残差平方和来确定拟合函数的参数。
残差指的是每个数据点的观测值与拟合函数预测值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到使得残差平方和最小的参数值，从而得到最佳的拟合曲线或平面。
三、递推最小二乘法的推导过程递推最小二乘法是最小二乘法的一种改进方法，它能够更加高效地进行参数估计。
下面将结合一个简单的一元线性回归问题，来详细介绍递推最小二乘法的推导过程。
假设我们有一组样本数据(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)，需要找到一条直线y = ax + b 来拟合这些数据。
我们可以定义残差eᵢ= yᵢ- (axᵢ + b)，其中 eᵢ表示第 i 个数据点的残差。
我们的目标是通过最小化残差平方和来确定直线的参数a 和b。
即最小化损失函数 S = Σ(eᵢ²)。
我们需要计算一些中间变量，包括样本数据的均值xₙ和yₙ，以及样本数据的协方差 sₓy 和方差 sₓ²。
其中，xₙ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n，yₙ = (y₁ + y₂ + … + yₙ) / n，sₓy = (Σ(xᵢ - xₙ)(yᵢ - yₙ)) / (n - 1)，sₓ² = (Σ(xᵢ - xₙ)²) / (n - 1)。
接下来，我们可以通过递推公式来更新参数 a 和 b 的估计值。
首先，我们初始化a₀和 b₀的估计值为0。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的自适应滤波算法，它在信号处理、通信系统、控制系统等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其在实际应用中的一些特点。
首先，让我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得给定的模型与观测数据之间的误差平方和最小。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用来拟合一个线性模型，以最小化观测数据与模型预测值之间的差异。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来寻找最优的参数。
递推最小二乘法是最小二乘法的一种变种，它的特点在于可以实时地更新参数估计，适用于需要动态调整的系统。
在实际应用中，由于系统参数可能随时间变化，传统的最小二乘法在每次参数更新时都需要重新计算整个数据集，计算复杂度较高，不适合实时性要求高的场景。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，实时地更新参数估计，适用于动态环境下的参数估计问题。
递推最小二乘法的原理可以用数学公式来描述。
假设我们有一个线性模型，\[y_k = \theta^T x_k + e_k\]其中\(y_k\)是观测数据，\(x_k\)是输入向量，\(\theta\)是待估计的参数，\(e_k\)是噪声。
我们的目标是通过观测数据\(y_k\)和输入向量\(x_k\)来估计参数\(\theta\)。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推的方式，实时地更新参数\(\theta\)的估计值。
具体来说，我们可以通过以下递推公式来更新参数\(\theta\)的估计值，\[\theta_k =\theta_{k-1} + \frac{P_{k-1}x_k}{1 + x_k^T P_{k-1} x_k}(y_k x_k^T \theta_{k-1})\]其中\(\theta_k\)是第\(k\)次的参数估计值，\(\theta_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计值，\(P_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计误差的协方差矩阵。
递推最小二乘法
取二 Ｅ （ ） 为 的 合目 函 相 的 的 合目 函 ： ＝， ｊ 作 新 拟 标 数， 应 新 拟 标 数为 Ｄｗ
ｊＯ （ ） Ｊ 艺ｚ艺：（ 】 习回 ） Ｑ 加 司一 一 ｅ ｝ ｊ ＝ 。＋ Ｇ 阶川 ＝ Ｄ叭
权最小二乘拟合。 （３ ） （３ ０ 把式（ ．和（ ．） ３ ９ ３ １ 代入式（３ ３ ． ． （ ．） ３ １ 则有： ．
度函数。 下面仅举出第一种计算相关函数法的计算过程。 用这个方法进行相关分析辨识
系统模型的计算分为三个步骤：
１ 根 输 和 出 随 数 计 相 函 Ｒ ）互 关 数 ＝ ） ） 据 入 输 的 机 据 算自 关 数 ， 和 相 函 Ｒ令； ， 卜 ｒ
２ 求 ，） Ｒ（的 立 变 Ｓｊ 凡行） ） ＊： ｓ）傅 叶 换 ｘ 、 （和 ３ ， ｒ （） 。； ） ０ 和
把 宪Ｇ 做型，把一实值模值差 “ Ｏ 模值并每点测与型之 ｊ 州 （ ）
： Ｅ ． ＝ Ｊ ｊ（） ＝（ ， － ＋ ， ｊ ）Ｐ （ Ｑ． －
（ ．．１ ３３１ ）
称为拟合误 差，再取全部采样频率。上的 拟合误差ｓ 平方和厂作为 ， 的 拟合目 标函数。
，ｒｎ 、。、下不二不｝ ＇－厂 Ｊ ‘ Ｂｏｌ ｝． ｖ＼ 、 Ｇ ， ｌ ． Ｗ厂 ＿ ＿ ： Ｖｗ ｝ ｋ 一ＹＥ ｔ－Ｌ］１ Ｇ ） ＇ 二 ＇ Ｕ ｉ － －， ＇ ｉ
二 （ ＋ （ ｖ ｝ ｊｒ ） ｕ ｍｍ ）
（ ．．０ ３３ １ ）
现要定数， 以ｄ２ 由ｊ（所示频特 在 参ｂｉ， ｉ．， ’ ｊ 表的率性 确 ｐ． 及， 使 （ ． ｂｍ ． 得 劣 ） ． ． ｂ ｄｎ ． ０ ｄ
函 与 验 得 频 特 加 ＋ ） 接 如 把Ｐ 和Ｑ ， 做 测 而 数 实 求 的 率 性ｐ ） ．最 近。 果 阮） （） 实 值， Ｍ ．叫
递推的最小二乘法
1
说明： 公式①的物理意义
( N 1) WLS ( N ) 在以前观测的基础上对本次观测值的预测
T 0 y ( N 1) ( N 1) WLS ( N ) 预测误差，说明 WLS ( N )与实际参数（N）的偏差 T
进行递推，起动问题：
. 一般选 WLS (0)=0，相应的P(0） I = = 0
递推的最小二乘法
最小二乘估计：
LS ( ) Y
T 1 T
加权的最小二乘估计：
WLS ( W ) WY
T 1 T
Y:所有观测数据的全体，所以以上都是成批处理观测数据的一次完成算法，是离 线辨识方法。优点：辨识精度高;缺点：计算量大（特别是高阶矩阵求逆），对 计算机内存要求高，不能在线辨识！
从
WLS ( N )
到
WLS ( N 1)
的递推公式过程（略P191）
递推公式：
T ★ ① WLS ( N 1) WLS ( N ) L( N 1) y ( N 1) ( N 1) WLS ( N ) ② L( N 1) P( N 1) ( N 1) ( N 1)
1、递推的最小二乘法基本思想：
• 本次（新）的估计值
(k )
=上次（老）的估计值
(k 1)
+修正项
•
可以观察随着时间的推移，新的输入、输出信息不断增加的情况下，参数估计的变化情况，特别适用于 在线实时辨识。
设原先得到的参数估计用 WLS ( N ) 表示，则
WLS ( N ) ( T ( N )W ( N ) ( N )) 1 T ( N )W ( N )Y ( N )
递推最小二乘法
递推最小二乘法递推最小二乘法是一种避免精度损失的迭代计算方法，在最小二乘法的基础上加以改进，主要用于拟合复杂的数据，解决拟合时出现精度下降问题。
一、什么是递推最小二乘法递推最小二乘法是一种迭代计算方法，利用多项式曲线拟合曲线数据，对于某个曲线，只需要实施最小二乘法的迭代计算，而不需要考虑精度的损失。
递推最小二乘法的主要工作是根据给定的拟合曲线，把它拟合到数据集中，从而使数据集距离拟合曲线最小。
二、递推最小二乘法的原理递推最小二乘法的核心原理是，利用多项式拟合曲线，按照“最小二乘法”的原理，以当前拟合曲线为参照，不断进行前进和后退，以达到拟合曲线将数据集中的数据最佳拟合的目的。
这个最佳拟合目标就是实现拟合曲线与数据集之间的最小误差，其中，最小误差就是拟合曲线与实际数据集之间的最小差值。
递推最小二乘法的实现方式主要有两种，一种是基于递推的方式，另一种是基于函数的方式。
前者大致的实现方法是：先计算出多项式拟合曲线的每一个系数，然后再利用这些系数计算出多项式拟合曲线的最终拟合曲线，最后比较拟合曲线与实际数据集之间的实际差异，根据差异再调整系数，不断循环，直到最后拟合曲线与实际数据集之间的实际差异达到预期值为止。
函数的实现方式也很类似，只是在计算过程中，会使用函数的方式，将拟合曲线的系数表示为函数的形式，然后再比较拟合曲线与实际数据集之间的实际差异，根据差异再调整函数系数，最后实现拟合曲线与实际数据集之间的最小差异。
三、应用递推最小二乘法在实际应用中可以用来拟合复杂的数据曲线，以求得更好的拟合效果，解决拟合时出现精度下降问题。
它具有计算量小、运算简单、拟合结果较好的优点，因此在实际应用中得到了广泛的使用，比如在众多植物物种的遗传分析中，用递推最小二乘法来拟合植物的遗传规律，以获得更准确的估计结果；在探测地球大气层时，也可以用最小二乘法来拟合大气层中的湿度数据，以获取更加准确的湿度数据；在搜索引擎中，对查询结果也可以用最小二乘法拟合出来，以获得更准确的查询结果等等。
递推最小二乘法
2
1
Φ
T N
ΦN
1
1 1 1 T T T T N 1 1 N 1 2 Φ N Φ N N 1 N 1 2 Φ N Φ N 1
Φ ΦN 2
T N
Φ Φ N N 1 2
T N 1 2
最小二乘估计法的缺陷
系统 B(z-1)/A(z-1)
+
x(k ) a1 x(k 1) b0 u (k )
an x(k n)
bn u (k n), k 1, 2,3
y(k ) x(k ) (k )
y (k ) a1 y (k 1) b0 u (k )
YN YN 1 y ( n N 1)
10
YN YN 1 y ( n N 1)
此时，由n+N+1个观测数据获得 的最小二乘估计为
1 T N 1 (T ) N 1YN 1 N 1 N 1
N T N 1
1
T T N 1 Φ N Φ N
1 T ) NYN ，则上式变为 又因为 N (T N N
N 1 N Φ Φ N N 1
T N 1 2
Φ
T N
Φ N N 1
1 2 T N 1
T N 1 1
T 1 T
J为极小值的充分条件是
2 J T 2 0 2
4
即矩阵 T 为正定矩阵。
递推最小二乘 参数辨识算法 u(k) y(k)
动态系统模型
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法是一种用于估计参数的统计方法，它可以帮助我们通过观测数据来拟合模型，从而预测未来的结果。
在实际应用中，我们经常会遇到数据量大、模型复杂的情况，这时候传统的最小二乘法可能会面临计算量大、求解困难的问题。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，逐步更新参数估计，从而减小计算量，提高效率。
递推最小二乘法的原理主要基于最小二乘法和递推算法。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来求解参数。
而递推算法则是一种通过递推更新参数的方法，可以在每次新的数据到来时，不必重新计算所有参数，而是通过已有的参数估计值和新的数据进行递推更新，从而减小计算量。
在实际应用中，递推最小二乘法可以应用于时间序列分析、信号处理、机器学习等领域。
它可以帮助我们更好地处理大规模数据，提高模型的拟合精度和预测能力。
同时，递推最小二乘法也具有较好的稳定性和收敛性，能够有效应对数据变化和噪声干扰。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推更新参数，不断优化模型的拟合效果。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来实现递推最小二乘法：1. 初始化参数，首先，我们需要初始化模型的参数估计值，可以根据经验值或者随机值来初始化。
2. 递推更新参数，当新的数据到来时，我们可以利用已有的参数估计值和新的数据，通过递推算法来更新参数。
这样就可以不断优化模型的拟合效果。
3. 模型预测，通过不断更新参数，我们可以得到更加准确的模型，从而可以用于预测未来的结果。
递推最小二乘法的优点在于它能够有效地处理大规模数据和复杂模型，同时具有较好的稳定性和收敛性。
它在实际应用中具有广泛的应用前景，可以帮助我们更好地分析数据、预测结果。
总之，递推最小二乘法是一种重要的参数估计方法，它通过递推更新参数的方式，可以有效地处理大规模数据和复杂模型，提高模型的拟合精度和预测能力。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点，选择合适的递推最小二乘法模型，从而更好地分析数据、预测结果。
matlab递推最小二乘法函数
一、介绍在数学和工程领域中，最小二乘法是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数使得观测数据和模型预测值之间的误差最小。
而在matlab中，递推最小二乘法函数是指使用递推方式来实现最小二乘法计算的函数。
本文将介绍matlab中如何编写递推最小二乘法函数，并对其原理和应用进行详细讲解。
二、递推最小二乘法的原理递推最小二乘法是一种迭代方法，通过不断更新参数来逼近最优解。
其原理可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化参数：首先需要初始化参数向量，通常可以使用随机数或者某些先验知识来确定初始参数值。
2. 迭代更新：接下来进入迭代更新阶段，根据当前参数值和观测数据，更新参数向量以降低误差。
3. 判断停止条件：迭代更新的过程中需要设立停止条件，当满足某个条件时停止迭代，可以是达到一定的迭代次数或者参数变化小于某个阈值等。
三、matlab编写递推最小二乘法函数在matlab中，编写递推最小二乘法函数可以通过以下步骤实现：1. 编写初始化函数：首先需要编写一个初始化函数来初始化参数向量，该函数可以接受观测数据和模型的输入，并返回初始参数向量。
2. 编写更新函数：接下来需要编写一个更新函数来进行参数的迭代更新，该函数也可以接受观测数据和当前参数向量的输入，并返回更新后的参数向量。
3. 编写停止条件函数：最后需要编写一个停止条件函数来判断迭代是否应该停止，该函数可以接受当前参数向量和更新前的参数向量的输入，并返回是否停止的逻辑值。
四、matlab递推最小二乘法函数的应用递推最小二乘法函数在matlab中的应用非常广泛，特别是在参数估计、信号处理、系统识别等领域。
通过使用递推最小二乘法函数，可以快速准确地估计出模型参数，从而提高算法的精度和效率。
由于递推最小二乘法具有较好的收敛性和稳定性，因此在实际工程中也得到了广泛的应用。
五、总结通过本文的介绍，读者可以了解到matlab中递推最小二乘法函数的编写和应用。
递推最小二乘法作为一种迭代方法，能够快速准确地估计出模型参数，并在各种工程领域中得到了广泛的应用。
最小二乘估计的HOUSEHOLDER变换快速递推算法
最小二乘估计的HOUSEHOLDER变换快速递推算法的报告，800字本报告研究的是一种用于快速计算最小二乘估计的Householder变换快速递推算法。
这种算法首先利用Householder变换将变量矩阵化，然后使用向量乘法和生成函数来快速计算最小二乘估计问题的解。
该算法所依据的理论是，可以在保持样本矩阵的求逆成本不变的情况下，利用Householder变换将变量矩阵化，然后使用两步对数据进行求解，分别是向量计算和生成函数计算。
我们将Householder变换应用到最小二乘估计问题上来计算系数。
在这个过程中，首先我们将样本矩阵特征分解，将其写成相似矩阵形式：H=QTQ，其中Q为变换矩阵，T为特征值矩阵。
然后，我们利用Householder变换，将变换矩阵Q分解为M个Householder矩阵，每个Householder矩阵对应一个Householder变换。
最后，我们使用费马小定理，利用前述向量乘法和生成函数将最小二乘估计的解求出来。
根据上述分析，我们可以给出Householder变换快速递推算法的完整算法：1. 输入观测值矩阵X和观测值Y2. 通过特征分解，将样本矩阵X分解为相似矩阵H=QTQ3. 将变换矩阵Q分解为M个Householder矩阵4. 利用费马小定理，通过向量乘法和生成函数，计算最小二乘估计的解5. 输出系数向量b因此，Householder变换快速递推算法可以有效地计算最小二乘估计的解，比传统方法更加高效。
但是，由于其依赖特征分解，原始矩阵需要在计算前进行规范化处理，以便得到一个接近正交矩阵的结果。
总而言之，Householder变换快速递推法是一种有效的解决最小二乘估计问题的方法，它与传统方法相比，可以在计算最小二乘估计时大大提高计算效率，在解决一些复杂的最小二乘估计问题时具有一定的优势。
最小二乘估计过程推导
最小二乘估计过程推导最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，用于寻找最能拟合数据的模型参数。
在统计学和数学领域中，最小二乘估计是一种通过最小化残差平方和来确定模型参数的方法。
本文将详细介绍最小二乘估计的推导过程。
最小二乘估计的目标是找到一组参数，使得模型对观测数据的误差最小化。
为了简化问题，我们假设模型是线性的，即可以表示为一个线性方程。
线性方程的一般形式可以表示为：y = a * x + b其中，y是观测数据的因变量，x是自变量，a和b是待估计的参数。
我们的目标是通过最小二乘估计找到最合适的a和b，使得模型对观测数据的误差最小。
我们需要定义误差。
误差是观测数据与模型预测值之间的差异。
假设有n个观测数据，我们可以用残差来表示每个观测数据的误差，残差可以表示为：e = y - (a * x + b)我们的目标是使所有观测数据的残差平方和最小化，即最小化以下目标函数：min Σ(e^2)为了找到最小化目标函数的参数a和b，我们需要对目标函数进行求导。
首先对参数a进行求导，可以得到：∂Σ(e^2)/∂a = Σ(-2x * e)然后对参数b进行求导，可以得到：∂Σ(e^2)/∂b = Σ(-2e)为了使目标函数达到最小值，我们需要令上述两个偏导数等于0，得到以下两个方程：Σ(-2x * e) = 0Σ(-2e) = 0将上述方程整理后，可以得到以下两个方程：Σ(x * y) = a * Σ(x^2) + b * Σ(x)Σ(y) = a * Σ(x) + b * n通过解这个方程组，我们可以得到最小二乘估计的参数a和b的值。
具体的求解方法可以使用矩阵运算或其他数值方法，这里不再详细展开。
最小二乘估计的优点是简单易懂，并且在实际应用中具有较好的效果。
然而，最小二乘估计也有一些限制和注意事项。
首先，最小二乘估计要求模型是线性的，如果模型是非线性的，则需要使用其他方法进行参数估计。
其次，最小二乘估计对异常值敏感，如果观测数据中存在异常值，可能会导致估计结果出现较大偏差。
递推最小二乘法估计例题
递推最小二乘法估计例题递推最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的方法。
它通过迭代的方式逐步更新参数的估计值，以逼近最优解。
下面我将以一个例题来解释递推最小二乘法的步骤和原理。
假设我们有一组观测数据，包括自变量 x 和因变量 y。
我们的目标是拟合一个线性模型y = β0 + β1x，并估计出参数β0 和β1 的值。
首先，我们需要初始化参数的初始估计值。
通常可以选择一个较为合理的初始值，比如将β0 和β1 都设为 0。
然后，我们开始迭代的过程。
在每一次迭代中，我们计算出当前参数估计值下的预测值 y_hat，并计算出实际观测值 y 与预测值y_hat 之间的残差。
接下来，我们根据残差来更新参数估计值。
具体地，我们使用最小二乘法的原理，最小化残差的平方和来更新参数。
这可以通过求解一个最小化目标函数的优化问题来实现。
在每一次迭代中，我们根据当前参数估计值计算出新的参数估计值，然后再根据新的参数估计值计算出新的预测值和残差。
通过不断迭代，参数估计值会逐渐收敛到最优解。
迭代的过程可以根据预先设定的停止准则来结束，比如当参数估计值的变化小于某个阈值时停止迭代。
需要注意的是，递推最小二乘法是一种迭代算法，其结果可能受到初始值的影响。
因此，为了得到更准确的参数估计值，可以尝试不同的初始值，并选择使目标函数最小化的参数估计值作为最终结果。
总结起来，递推最小二乘法是一种通过迭代更新参数估计值的方法，用于拟合线性回归模型。
它通过最小化残差的平方和来寻找最优解。
这种方法的优点是可以逐步逼近最优解，但需要注意初始值的选择和迭代停止准则的设定。
带遗忘因子的递推最小二乘法
带遗忘因子的递推最小二乘法递推最小二乘法（Recursive least squares, 简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、自适应滤波、系统辨识等领域。
然而，在实际应用过程中，传统的RLS方法存在着对历史数据的等权处理，导致对最新观测值的反映能力相对薄弱的问题。
为了进一步提升递推估计方法的效果，研究人员引入了遗忘因子的概念，形成了一种带遗忘因子的递推最小二乘法。
带遗忘因子的递推最小二乘法是指对历史数据进行加权处理，赋予最新观测值更高的权重，以达到更好的估计性能。
这样的处理方式使得算法能够更快速地适应系统变化，并且对异常数据的影响较小。
在实际应用中，遗忘因子通常是一个介于0到1之间的参数，表示对历史数据的遗忘程度。
值越接近1，说明系统对历史数据保持了更多的记忆；值越接近0，说明系统更加重视最新的观测值。
以自适应滤波为例，假设我们要估计一个未知系统的状态变量。
传统的RLS方法使用等权处理，忽略了历史数据的接近性。
而带遗忘因子的递推最小二乘法能够更准确地反映最新的观测值，使得估计结果更加稳定。
这种方法对于需要快速适应环境变化的应用场景非常有用，比如噪声环境下的语音信号处理、移动通信中的信道估计等。
带遗忘因子的递推最小二乘法的数学原理相对复杂，主要涉及到递推关系和权重参数的更新。
这里简要介绍一下算法的基本过程：首先，需要定义初始的估计参数和协方差矩阵；然后，通过递推关系，更新估计参数和协方差矩阵；最后，根据更新后的参数和协方差矩阵，得到最新的估计结果。
在每一次更新过程中，遗忘因子起到了调节历史数据权重的作用，使得算法能够更好地适应系统变化。
在实际应用中，带遗忘因子的递推最小二乘法可以有效地改善估计结果的准确性和稳定性。
然而，由于遗忘因子的选择和调整需要一定的经验和技巧，算法的性能往往会受到人为因素的影响。
因此，在实际应用中，研究人员需要根据具体问题的要求和实际环境的特点，合理选择和调整遗忘因子，以达到最佳的估计效果。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种常用的自适应滤波算法，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
它通过不断更新模型参数，逐步逼近最优解，具有较好的收敛性能和适应性。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
首先，我们来了解一下最小二乘法（Least Squares, 简称LS）的基本原理。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于估计模型参数使得观测数据和模型预测之间的误差平方和最小。
对于线性回归模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算来得到最优参数。
但是，对于动态系统或者非线性系统，参数可能会随时间变化，这时候就需要使用递推最小二乘法来动态更新参数。
递推最小二乘法的核心思想是不断更新模型参数，使得最小化误差平方和。
它采用递推的方式，每次接收到新的数据就更新一次参数，从而实现动态适应。
递推最小二乘法可以通过递推公式来更新参数，其中包括增益矩阵、误差协方差矩阵等重要参数。
通过不断迭代更新，可以逐步逼近最优解。
在实际应用中，递推最小二乘法常用于自适应滤波器的设计。
自适应滤波器可以根据环境变化自动调整滤波器参数，从而更好地适应不断变化的信号特性。
递推最小二乘法作为自适应滤波器设计的核心算法之一，具有较好的性能和稳定性，被广泛应用于信号去噪、信道均衡、自适应控制等领域。
除了自适应滤波器，递推最小二乘法还可以用于系统辨识、参数估计等问题。
在系统辨识中，递推最小二乘法可以根据系统的输入输出数据，动态地估计系统的参数，从而实现对系统的建模和预测。
在参数估计中，递推最小二乘法可以根据观测数据不断更新参数，从而实现对参数的实时估计。
总之，递推最小二乘法作为一种自适应算法，具有较好的性能和适应性，被广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过动态更新参数，递推最小二乘法可以实现对动态系统的建模和预测，具有重要的理论和应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解递推最小二乘法的原理及其应用。
递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明
控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016任课教师：蔡启仲老师2012年06月29 日摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。
但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。
为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。
本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。
又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。
关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。
2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
（3）白噪声过程定义：如果随机过程()t ω的均值为0，自相关函数为()()2R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即(){(),00,01t t t dt δδ∞∞=≠∞==⎰-且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。
2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{()}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为()2,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,00,0l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。
递推最小二乘估计公式
递推最小二乘估计公式好的，以下是为您生成的关于“递推最小二乘估计公式”的文章：在咱们的数学世界里，有一个神秘又有趣的家伙，叫做递推最小二乘估计公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多复杂问题的大门。
我还记得有一次，我在给一群高中生讲解这个公式的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
当时，教室里的气氛有点沉闷，大家都被这个看起来有点复杂的公式搞得有点晕头转向。
于是，我决定换一种方式来讲解。
我问同学们：“假设你们是侦探，要通过一些线索来推测一个神秘人的身份。
而这些线索就像是数据，你们会怎么去做呢？”这一下，大家的眼睛都亮了起来，开始七嘴八舌地讨论。
我接着说：“递推最小二乘估计公式，其实就像是咱们侦探的推理工具。
它能根据不断出现的新线索，也就是新的数据，不断地优化我们的推测结果。
”就拿一个简单的例子来说吧，假设我们要根据一系列的测量数据来估计一个物体的重量。
最开始，我们可能只有几个不太准确的数据，但是通过递推最小二乘估计公式，我们可以随着新数据的加入，越来越准确地估计出这个物体的真实重量。
比如说，我们先有了三个数据，分别是 10 千克、12 千克和 11 千克。
我们可以先简单地取个平均值，当作初步的估计值。
然后，又得到了新的数据 13 千克和 10 千克。
这时候，递推最小二乘估计公式就发挥作用啦，它会综合考虑之前的估计值和新的数据，重新计算出一个更准确的估计值。
这个公式的核心思想就是，不断地根据新的数据来调整和改进之前的估计结果。
就像我们在生活中，不断地根据新的经验和信息来修正自己的看法和判断一样。
在实际应用中，递推最小二乘估计公式可太有用啦！比如在工程领域，要对某个系统的参数进行估计和预测；在经济领域，分析市场趋势和预测价格走势；在科学研究中，处理实验数据等等。
它的优点也很明显，计算相对简单，而且能够实时处理新的数据，具有很好的适应性。
但是呢，它也不是完美无缺的。
比如，如果数据中存在异常值或者噪声过大，可能会对估计结果产生较大的影响。
递推最小二乘法
递推最小二乘法递推最小二乘法是用于拟合函数的一种最广泛和有效的方法。
递推最小二乘法(RecursiveLeastSquares,RLS)是针对给定样本进行线性拟合的一种机器学习算法,它在求解具有最小均方差的最优参数时用于模型的更新。
递推最小二乘法以更新参数的方式估计参数，从而将当前参数和新数据结合起来。
它可以用来求解给定样本具有最小平均方差的最优参数表达式，以解决传统最小二乘法的计算开销大的问题。
递推最小二乘法的基本原理是求解通过要拟合的数据图形的几何图案的最小二乘参数，并逐渐拟合出数据图形的最小二乘参数。
它使用一种迭代计算的方法，用新的样本点替换旧的样本点，以不断更新拟合函数参数。
该方法有利于跟踪变化快的参数。
递推最小二乘法的思想很简单：从给定的样本中求出最小二乘拟合参数，并以迭代和递推的方式求解最优拟合参数，不断地更新最小二乘拟合参数，以达到拟合数据的最优状态。
此外，递推最小二乘法也可以利用状态空间表示来改进拟合性能，尤其是在模型存在时滞性和高阶非线性性质时，能更好地拟合函数从而获得更详细的函数图形。
在应用递推最小二乘法时，我们需要注意它存在的一些局限性。
首先，它要求拟合的模型必须是线性的，这意味着参数的变化关系必须是线性的。
其次，它的迭代方式容易出现收敛速度慢的问题。
在实际应用中，一般用共轭梯度法或牛顿法加速收敛速度。
最后，它只能处理维度为n的数据，而不能处理大规模的数据。
因此，在实际应用中，在使用递推最小二乘法之前，需要结合其他方法，以减少数据维度，从而提高计算效率。
总之，递推最小二乘法是一种应用广泛、计算量小、拟合效果好的数据拟合算法，它主要用于模型参数在时间上有变化，并且有高阶非线性特性时，拟合函数参数的更新。
由于这种算法的收敛速度慢，因此，在实际应用中，一般要结合其他方法或技术进行优化，以进一步提高拟合的准确性和稳定性。
递推最小二乘参数估计
递推最小二乘参数估计(RLS)考虑如下系统：() 1.5(1)0.7(2)(1)0.5(2)()y k y k y k u k u k k ξ--+-=-+-+ 式中(k )为方差为0.1的白噪声。
采用方差为1的白噪声序列作为输入信号u (k ):clear all; close all;a=[1 -1.5 0.7]';b=[1 0.5]';d=3; %对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %计算阶次L=500; %数据长度uk=zeros(d+nb,1);yk=zeros(na,1); %输入输出初值u=randn(L,1); %输入采用方差为1的白噪声序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); % 方差为0.1的白噪声干扰序列theta=[a(2:na+1);b]; %对象参数真值thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %参数初值P=10^6*eye(na+nb+1);for k=1:Lphi=[-yk;uk(d:d+nb)]; %此处phi 为列向量y(k)=phi'*theta+xi(k); %采集输出数据%递推公式K=P*phi/(1+phi'*P*phi);thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1); P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P;%更新数据thetae_1=thetae(:,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endplot([1:L],thetae); %line([1:L],[theta,theta]); xlabel('k');ylabel('参数估计a,b');legend('a_1','a_2','b_0','b_1');axis([0 L -2 2]);thetae =-1.49740.70311.01380.5008（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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一种递推最小二乘估计简化算法
刘桂英 李传庆 邵联合
（ 东北电力学院 （ 大学）自 动化工程学院 吉林省 吉林市 １２１ ３０２ ）
摘 要
本文介绍了 递推最小二乘估计及它的简化算法，该方法原理简单，使用方便，并有较好的准确性，良 好的估 计性能， 通过仿真说明它是一种正确、有效的并且具有计算量小， 辨识速度快，建模效率高等 特点的参数估计方 法． 适用于数据里较大， 建模速度要求较高的研究对象的在线建模。
０二０ ０Ｔ ０（ ０… ＂ １２ ０ ００ ）
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引进符号：
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Ｐｔ （一 （Ｏ（）（ １ （＝Ｉ ＫｔＴ ｔ ） ） ） ｔＰ 一 ） 注 到 有 矩 Ｔ （是 奇 时 阵Ｐｔ 定 。 意 只 当 阵。 （（ｔ 非 异 矩 （被 义 ｔ ） ） Ｄ ）
４简化算法
犷
一一
１ － ２
＇ 一ｔ ＋ ｔｏｔ ｔ ｎ 一 ） ｔ ） ｅ ｎ （（ 一 （ １ｒ ｔｅ １ ａ （ 尹 ） Ｂｔ Ｏｔ ）＇ ｎ ） （） ｒ ） ） 一 ）Ａ） （ ） ｙ 一 （ （
Ａ 八
这里ａ是 拉格朗日 系数。 取关于８ｔ和ａ的导 得： （ ） 数， Ｏｔ一 （ １ 时 （ ＝ （ Ｏｔ ） ） 一 一 ｔ ０ ）
式中ｅ 是 从 态 布的白 声Ｎ ０ ） 按 式构 （ ， 权 取 位阵Ｉ用 化 服 正 分 （ Ｏ 噪 （ １。 上 造Ｏ ） 加 阵 单 ， ｔ 。 简 算
法辨识结果如表 １ 所示。 仿真结果 表明， 大约递推到第十步时， 参数辨识的结果基本达到稳定 状 态。 参数的 此时 相对变化量Ｅ ０００５」 ： ， ０００． ５０ ００ 墩终的 精度可以 达到很小。从整个辨识过程来看， 精度的要求直接影响辨识的速度。
［ Ｕ ｂｈ ｅ， ｄ Ｍ ｔ ｄａｄ ｌ ｔｎｉＡ ａｔｅ ｔ ｌ ｅｉ Ｓｒｇ －ｅａ １ ０ ４ ｎｅ ｕｎＨ， ． ｅ ｏｓ Ａ ｐｃ ｉ ｓ ｄ ｉ Ｃ ｎｏ Ｂｒ ： ｎｅＶｒｇ ９ ． ］ ａ ． ． ｈ ｎ ｐ ｉ ｏ ｎ ｐｖ ｏ ｒ． ｎ ｐ ｒ ｌ， ８ ｅ ａ ｌ ｉ 刘桂英 （９５ ，女，吉林省吉林市人， １ － ７） 硕士， 研究方向为检测技术与自 动化装置。
ｒ（ 必ｔ ）
为 避 ０） ０ 一 潜 的 题 生 修 项 的 母 尹（ （到 ｒ）ｔ ａ 了 免 （＝ 时 个 在 问 发 ， 正 中 分 从 ｔ ｔ ０（ （＋ 变 ｔ ） ） ｔ ） ＂ Ｏ
化， 这里ａ是一正常数。然后得到下面的算法。
投影算法
人 Ａ
Ｂｔ＝ （ １ （ ９ｔ ） ） 一 ＋
这里ａ＞０ 且０＜ｒ＜２。
假 对ｔ ｔ 设 ＞ｏ Ｄ ） 秩． 数ｅ 下 递 给出 使 程 （） 化。 ＿ 矩阵（ｔ （ 满 参 由 式 推 ， 方 ２ 最小
ｅ） ９ 一）Ｋｔ （一Ｔ ｔ１ （＝ （ １ （（ｔ Ｏ（Ｏ 一） ｔ ｔ ＋ ） ） ｔ（ ） ｙ ） Ｋｔ Ｐｔ１（（ ＋Ｔ ｔ１（ 一 （＝ （ ）ｔＡ ０（Ｐ 一）ｔ ， ） 一 沪）Ｉ ｔ （ 护） ） ）
于ｔ 时刻测量的最小二乘估计。 一１ 定理 １递推最小二乘估计 （ Ｌ ） Ｒ Ｓ
假设 矩阵（ ｔ满秩， Ｄ ） （ 最小二乘估计８ｔ满足递推方程： （ ）
了 ． 、 、
矛 ‘
、 ． 少
｜
二 （ １＋ （ （ｔ ｏ（Ｏ 一） Ｏ 一） Ｋｔ ｙ） ｒ （ １ ｔ ） 一 ｔ ｔ ） （ ）
知变量的可知函数。引进下面向量：
０（＝鸽ｉ （…汽１ １）（（汽ｔ （ ， ） ） ） ｉ ）
这 模型由 量ｉ 变 表征，ｉ 时 变 （ 叫 归 量 归 且 程 Ｉ 的 叫 个 表示 间。 量护０ 回 变 或回 量， 方 （中 模型 ）
一个回归模型。 选取参数夕 使最小二乘损失函数最小化。
数据的有效方法。 而且介绍了简化算法， 投影算法， 在保证辨识准确度的情况下， 减小计算量， 以 提高辨识速度。
２最小二乘和回归模型
最小二乘法数学模型能写成以下形式：
．）＇１１９０２… Ｙｔ， ０ｗ ｏ Ｔ 、 ｖ ＝１ ＋２ ＋ ＋ｎ ＝ ｏ （ ｆ） ＇ ０ １ ＇０ （ （ ＇） （ ０ （ １ ） 观 变 ， １２． 要 确 的 型 数 ００二０ 可 依 其 可 这 是 察 量 ００．衅是 被 定 模 参 ，１２ ，是 以 靠 它 里ｙ ＂ １ ． １ １， ．
［ ２ 媛彬， 梅， 琦． 统辨识 】侯 汪 王立 系 及其ＭＴＡ 仿 Ｍ． ＡＬＢ 真［ 北京： ］ 科学出 版社， ０ ：－ ． ２０ ５ ７ ４３２
［ Ｎｒｄ Ｋ ．ｎＲ Ｍ ｎｐｉ ｐｌ ｔｎｏ ｄ ｔｅ ｔｌ ｅ ＹｒＡａ ｍｃ ｓ９ ． ３ ａｎ ａ ， ． ｏｏ ｌＡｐ ａ ｓ ａｉ ＣｎｏＮｗ ｋ ｃ ｅｉ ｒ ， ］ ｅ ｒ ． ａ Ｖ ｏ， ｉ ｉ ｆ ｖ ｏｒ． ｏ ： Ｓ ｄ ． ｃ ｏ Ａ ｐ ｄ Ｐ ｓ１ ０ ｅ ８
Ａ）ｏ ｔ （＝ ｔ ｒ） ｔ ０ 一 （Ｂ）
解这些方程得：
９ｔ＝ （ １ （ ９ｔ ） ） 一
引进因子ｒ 改Ｏ（９ 一） ｙ） ｒ） ｔ１ （一 ｔ （ ）
ｅｔ＝ （ １ （ Ｏｔ ） ） 一 ＋
（ｔ ０（９ 一） ｙ） ７）（ １ （一 ＇ ｔ ） １ ｏ（ （ ｒ）ｔ ｔ ） ｏ
（ｔ ｏ（９ 一） ｙ） ｒ ｔ１ （一 ｔ （ ） ） ａ 沪（护） ＋ Ｔ）ｔ ＯＷＯ Ｔ ｔ（ Ｗ
ｒ（ Ｏｔ ）
投 算 假 数 由 程ｖ） （ 没 差 生 当 据 方 Ｙ） （ ０ ） 影 法 设 据 方 ． ＝ ） 误 产 ． 数 由 程 （＝ ） ＋（带 （ ｏｔ ｔ ｒ ８ １ ０１ ｅ Ｔ １ Ｂ
关键词：递推最小二乘 参数估计 回归因子
１引言
在系统辨识的广阔背景下，讨论参数估计是有用的。系统辨识的关键因素是 选择模型结构， 实验设计， 参数估计和证实。在自 适应控制中， 一个过程的参数连续变化，于是，有递推更新参
数的 估计方 必 法是 要的。 ８ 在１世纪末Ｋｒ ｒｄｃＧｕ 形成了 二 理Ｉ 用 ａ Ｆｅｉ ａ ｓ ｌ ｒｈ ｓ ｉ 最小 乘原 ［ 它来决 行 １ 且 定
３时 变参数
在 应问 几个自 适 题中， 考虑参 数是时 情况是 变的 有益的。 １ ＂ 艺 兄 － 丫刃； 土 ｙ）必（ｅ ｖ９ｔ＝２廿 － （一 Ｔ ２ （， ， ） （１ １） ）
－
（） ２
这里兄 是一参数且０ 兄＜１ ＜ 。参数兄叫遗忘因子或贴现因子。 定理２ 具有指数遗忘的递推最小二乘
参考文献
［ Ｋｒ ｏａ Ａｔｍ ｒＷｉ ｎ ａ ． ｔｅ ｔｌ ｏｄ ｔｎＰａｏ Ｅｕａｏ，ｃ ２０： － ． １ ａ Ｊ ｎ ｓｏ Ｂｏ ｔ ｍ ｒ Ａ ａ ｉ Ｃｎ （ ｃｎ Ｅｉ ）ｅ ｓ ｄｃ ｉ ｌ ． ０３ １ ４ ］ ｌ ｈ ｒ ｊ ｎ ｅ ｋ ｄｐｖ ｏ ｒ Ｓ ｏ ｅ ｄｉ ． ｒ ｎ ｔｎｎ ， ４ ７ ｏ
有额外随机误差产生，一简化算法由下式给出：
Ｂ）Ｂ一＋（（ｙ 一Ｔ 一） ｎ ＝（１Ｐ））ｔＯｔ（１ （ ，） ｔｔ（ （ ，） ｔ Ｏ（） ） 乡
ｔ
这里，
Ｐ）（｝ｌ ， （： Ｔ ） ｔ 艺 （＇ 一 ）） Ｙ （ ｔ
这 随 的 似 法 注 到 Ａ ） 一 标 时 Ｐｔ Ｗ 是 个 量 个 一 是 机 近 算 。 意 当 ｔ 个 量 ， （＝ 是 ） 一 标 一 进 步
表 １最小二乘递推算法的辨识结果
Ｉ ｎ ｔ ｇ ａ ｓ ｎｕ Ｓ ｎ ｌ ｉ
Ｐ ｒｍ ｔ Ｉ ｔｃｔ 洲山Ｒ ｃｒｖ Ｌａｔ ａｅ Ｍ ｔ ｄ ａ ｅ ｒ ｉ ａｍ ａ ｅｄ ｔ ｉ ｎ ｅ ｉ ｅｕｓ ｅ ｓＳ ｕ ｒ ｅ ｏ ｉ ｅ ｑ ｓ ｈ
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一
６结论 该 法 算 简 ， 比 方 ， 真 果 好有 好 参 估 特 ， 实 辨 中 较 单 ’用 较 便 仿 效 较 ，较 的 数 计 性 确 是 识 方 计 比 应
的一种较好的方法。 注意到，如果我们没有观察到方程误差不是白 噪声，我们就会被误导， 避免 错误的可能就是计算方程误差的修正量并且检查它是否是白噪声．
Ｐｔ （一 （＂（）（ １ Ａ （＝Ｉ ＫｔＴ ｔ ） ） ） ｔＰ 一 ／ ）
处理时变参数的一替代方法是假设一个时变数学模型。时变参数能由下面的模型获得：
９ｔ １＝ ｖ（ ＋ （ （ ） （９ｔ Ｖｔ ＋ Ｄ ） ） 这 ， 知 且ｖ０是离散时间白 里中 是已 矩阵 （ 噪声。
第十届全国电工数学学术年会论文集
星和小行星的轨道。 最小二乘方法是参数估计的基本方法，标准递推最小二乘辨识算法， 对于时 不变系统具有最优特性，但它不适用于具有时变参数的系统。对于具有时变参数的系统，为了 跟
踪 态 程的 化， 必 有 地 扣旧 据。 数 忘 （ｘ ｎ ｔｌ ｔｇ 是 种 扣旧 动 过 变 就 须 效 折 数 指 遗 Ｅｐ ｅｉＦｇ ｉ ） 一 折 ｏ ｎａ ｏｅｎ ｒ
一种递推最小二乘估计简化算法
３递推计算
在自 适应控制器里， 顺序实时获得观察。 期望做递推计算来节省计算时间， 最小二乘 估计的
计 能 这 一 方 安 ： ｔ１ 刻 得 结 能 来 到 时 的 计 用 （ １ 示 算 以 样 种 式 排 在 一时 获 的 果 用 得 ｔ 刻 估 。 ９ 一） 基 ｔ 表
的 简化是最小平均二乘（ Ｓ Ｌ ） Ｍ 算法， 在这算法中 参数由 下式更新：