递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明

控制理论与控制工程

学位课程《系统辨识》考试报告

递推阻尼最小二乘法公式详细

推导

专业：控制理论与控制工程

班级：2011双控（研）

学生姓名：江南

学号：20110201016

任课教师：蔡启仲老师

2012年06月29 日

摘要

在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。

关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法

正文

1.题目的基本要求

已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。

2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则

（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；

（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。 2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程

（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。 （3）白噪声过程定义：如果随机过程

()

t ω的均值为0，自相关函数为

()()2

R t t ωσδ= （2.2.1）

式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即

(){

(),00,0

1t t t dt δδ∞

∞=≠∞

==⎰

-且t （2.2.2）

则称该随机过程为白燥声过程。 2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{()

}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为

()2

,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,0

0,0

l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。

2.4白噪声序列的产生方法

(1) （0，1）均匀分布随机数的产生

在计算机上产生（0，1）均匀分布随机数的方法很多，其中最简单、最方便的是数学方法。产生伪随机数的数学方法很多，其中最常用的是乘同余法和混合同余法。

①乘同余法。

这种方法先用递推同余式产生正整数序列{Xi=Axi-1(modM),i=1,2,3…

式中：M 为2的方幂，k 为大于2的整数；A ≡3(mod8)或A ≡5(mod8),且A 不能太小；初值x0取正奇数，例如取x0=1.

再令 ,1,2, (i)

i x i M

ξ=

= 则{}i ξ 是伪随机序列，循环周期可达2

2k - 。

②混合同余法。

混合同余法产生伪随机数的递推同余式为

1(m od )i i x Ax c M -=+式中：

2,k

M =K 为大于2的整数；A ≡1(mod4),即21n

A =+其中n 为满足关系式2≦n ≦34的整数。初值x0

为非负整数。令(),2k

i i x M

ξξ=

i 则是循环周期为的伪随机数序列。

(2) 正态均匀分布随机数的产生

①统计近似抽样法：

正态分布白噪声 2

(,)N μσ12

(1)*121

{()(6)}i k i k ημσξ+-==+-∑，其中ξ为服从（0，1）均匀分布的白噪声。

②变换抽样法：设1ξ和2ξ是2个互相独立的（0，1）均匀分布随机变量，则

()()1

2112

1

2212

2ln cos 22ln sin 2ηξπξηξπξ=-⎛ ⎝

＝－ （2.4.1）

是相互独立、服从N(0,1)分布的随机变量。 2.5伪随机噪声

对白噪声的一个样本函数w(t)截取[0,T]时间内一段，对其它时间段[T,2T],[2T,3T],…,以 周期 T 延拖下去，这样获得的函数w(t)是周期T 的函数，在[0,T]时间内是白噪声，在此时间之外是重复的白噪声，它的自相关函数

()()()w R E w t w t ττ=+⎡⎤⎣⎦的周期也是T.由于在[0,T]时间内自相关函数()w R τ就是白噪声的自相关函数，

它具有周期性，称为w(t)为伪随机噪声。

2.6 M 序列的产生方法

M 序列是一种离散二位式：随机序列，所谓“二位式”是指每个随机变量只有2种状态。可用多级线性反馈移位寄存器产生M 序列。

2.6.1 M 序列的性质

（1）由n 级移位寄存器产生的周期为N=2ⁿ-1的M 序列，在一个循环周期内，“0”出现的次数为N-1/2,”1”出现的次数为N+1/2.

（2）M 序列中，状态“0”或“1”连续出现的段称为游程，一个游程中“0”或“1”的个数称为游程长度。 （3）所有M 序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价的相异M 序列，按位模2相加所得到的和序列仍为M 序列，并与原M 序列等价。

2.6.2二电平M 序列的自相关函数

分为三种情况: 设每个基本电平的延迟时间为△