八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理学习指导素材 (新版)北师大版
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 探索勾股定理(第1课时)
答：斜边AB的长度为13厘米.
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是 先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
巩固练习
变式训练
求下列图形中未知边的长度：
解：由勾股定理得： 62+x2=102 ,
所以x2=64, 所以x=8.
探究新知
素养考点 2 利用勾股定理求面积问题
1.寻求图形面积之间的关系
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
b
c
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米.
12AB×CD.
所以CD=
15 2.
C
4
B
课堂检测
能力提升题
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（ A）
A. S1+S2=S3 B. S12+S22=S32 C. S1+S2>S3 D. S1+S2<S3
课堂检测
拓广探索题
如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三 角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第 2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为 直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
[K12学习]八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理拓展素材 (新版)北师大版
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第一章第一节勾股定理第1课时 1.1勾股定理（1）1、我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．例如：高24米的天线杆，在离地面9米处断裂，如果线杆底部仍和地面垂直，顶部到底部的距离唯一吗？如何解决？解答：上半截杆高24-9=15米，即直角三角形的斜边为15米，一条直角边为9米，由勾股定理可得152-92=144，所以，另一直角边长为12米。
2、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作<勾股圆方图》它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。
请你拼出如图所示的图形并，根据面积验证勾股定理。
解：设直角三角形边长如图：则()22142c ab a b =+-×整理得222c a b =+3、 勾股定理又称商高定理或毕达哥拉斯定理。
据记载，最早给出勾股数的是巴比伦人，在一块公元前18世纪的泥板上刻有十五组勾股数，至今已有三千七百多年。
我国古书《周髀算经》记述了约公元前110年周公和商高的对话中，明确提出"勾三股四弦五"的关系，因此在我国称为商高定理。
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
八年级数学上册第1章《探索勾股定理》学习指导(北师大版)
《探索勾股定理》学习指导一、学习要点勾股定理背景我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对对勾股定理有了明确认识．勾股定理从发现到现在已有三千年的历史，在西方它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国晚了几百年．勾股定理把直角三角形这个几何图形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合的思想．旧知回顾1.直角三角形两个锐角关系：直角三角形的两个锐角互余．2.三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．目标导航重点：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解探索勾股定理的各种方法及其内在联系，进一步发展空间概念和合情推理能力．难点：掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边间的数量关系，它是直角三角形的重要性质之一，并能运用勾股定理解决一些实际问题．考点：能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长．二、学习引导尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理1）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长)a2 b2 c2 可能的关系2）如图所示，思考以下几个问题✧图1-2中，如何计算直角三角形三边的平方（即正方形面积），是否满足探究方法一中猜想的数量关系？✧图1-3中，如何计算正方形面积？思考后根据以下提示计算．①直接数出正方形内部所包含的完整的小方格的个数，而将不足一个小方格的都算作半个．②将不足一个方格的部分进行适当拼凑，以拼凑出若干个完整的小方格．③将斜边上的正方形划分为若干个边长为整数的直角三角形，再利用三角形面积公式求得．④在斜边上的正方形的边长上各补一个直角三角形，得到一个大的正方形．结论：我们古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为．从而得到著名的勾股定理：．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．通过拼图验证勾股定理为了计算图1-4中大正方形的面积，对这个大正方形适当进行了割补，如1-5和1-6所示，思考：①将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；图1-5：图1-6：②两图中正方形ABCD的面积分别为多少？有哪些表示方式？图1-5：图1-6：方式：③分别用两图验证勾股定理．学以致用1）求出下列直角三角形中未知边的长度．2）求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．3）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？思考前面已讨论了直角三角形的三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边也满足这一关系吗？通过数格子的方法验证．A BC结论：锐角三角形中，222a b c +<；钝角三角形中，222a b c +>练一练必做题：1、如图，隔湖有两点A 、B ，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C ，测得AB=40cm ，CB=30cm ，求AC 的长度．（第1题图） （第2题图）2、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?3、已知直角三角形两直角边BC 和AC 的长分别为3cm 和4cm ，那么高CD 有多长？B C将数据标到图上，方便分析选做题：4、若一个直角三角形的一条直角边长为7，其它两条边长为两个连续整数，则这个直角三角形的周长是．5、如图，有一个长方体纸盒，长、宽、高分别为15cm、8cm、5cm，请你估算一下，能否把一根长为18cm的铅笔放入这个纸盒里面？。
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理数学家故事毕达哥拉斯素材北师大版
数学家故事·毕达哥拉斯无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。
以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。
后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。
毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。
例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。
他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。
当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。
“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。
但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线()却不能用整数之比来表达。
这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在 (即无理数)的秘密。
天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。
但很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点归纳 (新版)北师大版
第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A A D BC CB D A。
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理素材 (新版)北师大版
1.1探索勾股定理勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足222b a c +=。
利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。
它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。
对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。
这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。
二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：用两直角边是a 、b ，斜边是c 的四个全等直角三角形拼成图1。
观察图形并思考、填空：1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。
对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。
北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形相关问题的重要工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个实际直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
5.激发学生的创新意识，鼓励学生在探索勾股定理的过程中，提出不同的观点和证明方法，培养创新思维。
这些核心素养目标旨在帮助学生全面发展，将所学知识内化为自身能力，为新教材要求下的数学学习奠定坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握勾股定理的表达式：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理（教案）
一、教学内容
本节内容选自北师大版八年级数学上册第一章1.1节，主要探索勾股定理。内容包括：
1.了解勾股定理的起源，通过探究活动引导学生发现直角三角形三边的关系。
2.掌握勾股定理的表达式：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形中未知边的长度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
（1）理解勾股定理背后的数学原理，如平方概念、直角三角形的性质等。
2019版八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理(1)学案(新版)北师大版
2019版八年级数学上册第一章勾股定理 1.1 探索勾股定理（1）学案（新版）北师大版四、课堂探究——质疑解疑、合作探究直角三角形三边的长度，看看三边的平方存在怎样的特殊关系?2019版八年级数学上册第一章勾股定理1.1 探索勾股定理（1）学案（新版）北师大版四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：探索勾股定理1.测量下面直角三角形三边的长度，看看三边的平方存在怎样的特殊关系?2.（1）观察下面两幅图：（2）填表：A的面积B的面积C的面积课题§1.1探索勾股定理（1）主备审阅八年级数学组时间课型新授授课教师ABCCBA（单位面积）（单位面积）（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？3.（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）探究点2：用勾股定理求直角三角形的边长 例题：求出下列直角三角形中未知数的长度．练习：1．Rt△ABC 中，∠C =90°，若a =5 cm ，c =13 cm ，则b =_________．2．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长________． 3．直角三角形的两条直角边的边长分别是3 cm ，4 cm ，则斜边上的高为_______． 4．等腰三角形的腰长为10 cm,底长为12 cm,则其底边上的高为________． 探究点3：用勾股定理求面积例题：如图1，求下图中字母所代表的正方形的面积为A=_______,B=_________.练习：1．斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 ．2．如图2，已知△ABC 中，∠C=90°，BA=15,AC=12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．3. 如图3，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积_______.弦股勾图1AB CABC4. 如图4，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，计算阳光透过的最大面积_______.探究点4：勾股定理的应用例题：一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？练习：1． 如图5,小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A ．9英寸(23厘米)B ．21英寸(54厘米)C ．29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)2．如图6，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，则木条的长为____m.3．如图7，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端?_______(答：是或否)图6图7图5图3图2ACB17cm15cm3 4米图4五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 已知一个直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方是．2. 长方形的一边长为3cm，面积为12 cm2，那么它的一条对角线长是_____cm．3. 如图8，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为____cm2.4. 如图9，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？5. 在Rt△ABC中, 斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=.6. 如图10，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.2mB.3mC.4mD.5m7．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．14或4C．8 D．4或88. 如图11，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AE⊥BC于E，若AB=12，BC=10，•AC=8，求DE的长．图11ABCD7cm图8图9图10。
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理方法学习素材(新版)北师大版
《探索勾股定理》方法学习直角三角形中有关边的计算【例1】在厶ABC中，已知/ B=90° , / A / B ZC的对边分别是a、b、c,且a=5.2b=12，求c •【分析】由/B=90° ,知b才是斜边（如图），所以a2+c2=b2,注意不要受思维定势（勾股定理的表达式：）的影响而误认为c是斜边【解答】由Z B=90° ,则知b是Rt△ ABC勺斜边，由勾股定理，得c2=b2 -a2=122 -52=119.【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解.【例2】如图，在△ ABC中，AB = 25 , AC = 30, BC边上的高AD = 24,求BC的长.【分析】本例不能直接求出BC的长，但通过观察图形可以发现BC边上的高人。
把厶ABC分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD DC的长，从而救出BC的长。
【解答】在直角三角形ABD中，由勾股定理，得BD 2=AB —AD=252—242=49，所以BD=7 ;所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25.【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边,从而找到解题的思路。
中的直角三角形,数形结合要注意发现题目D例2图3【例1】用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.观察，你能验证c 2=a 2 b 2吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流.【分析】仔细观察图形，可以看出图中以c 为边的正方形面积有两种不同表示形式：即 可以利用边长为 C 来表示也可以用四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积来表示。
【解答】由图可知 S 正方形=4少b 0 3=2"『』2心-『.2 2 2 2S 正方形=c , c •【总结】本例通过拼图来验证勾股定理，体现了“数形结合”1的思想, 细致观察、分析，如图形中小正方形的边长为 （b _a ） •【例2】如图如果以正方形 ABCD 勺对角线 AC 为边作第二个正 方形ACEF再以对角线AE 为边作第三个正方形 AEGH 如此下去，- 己知正方形ABCD 的面积§为1，按上述方法所作的正方形的面积依 次为S 2，S 3 - Sn （n 为正整数），那么第8个正方形的面积S 8=—【分析】 求解这类题目的关键策略是：从特殊到一般， 即先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得到一般规律，再利用其一般规 律求解所要解决的问题.S ）T 2 = 1,S 2= AC 2 = 2 S 3 =AE 2 =4,S 4=HE 2 =8 照此规律可知：S 5 =42 =16观察数 1、2、4、8、16 得 1 = 20,2 = 21,4 = 22,8 = 23,16 = 24于是可得 S n =2n ， 因此 S 8 -28 X -27 -128【解答】填：128.【总结】本题利用了正方形是由两个全等的等腰直角三角形构成这个特点，在解题时要注意分析图形的构成。
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理课件 (新版)北师大版
D. c2=（a+b）2
K12课件
22
课后作业
8. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不 同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现， 当四个全等的直角三角形如图1-1-17摆放时，可以用 “面积法”来证明a2+b2=c2. （请你写出证明过程）
证明：因为S五边形=S梯形1+S梯形2=S大正方形+2S直角三角形， 即 (b+a+b)·b+ (a+a+b)·a＝c2+ab，
B. 13
C. 144
K12课件
D. 194
5
课堂讲练
【例2】如图1-1-6所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD 是底边BC上的高，若AB=10，BC=12，则AD的长度为( C )
A. 12 C. 8
K12课件
B. 10 D. 6
6
课堂讲练
模拟演练 1. 如图1-1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正 方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ A ）
因为S3=
，S2=
，S1=
，且△ABC是直角三
角形，所以BC2+AC2=AB2.所以S2+S3=S1.
K12课件
27
课后作业
13. 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车 在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图1-1-20，一辆 小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶 到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽 车与车速检测仪间距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？
由AC2+BC2=AB2，得AC=3（km）.
3÷0.15=20（天）.
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理教法建议素材 (新版)北师大版
探索勾股定理的教法建议1．注重使学生经历探索勾股定理的过程．教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论．教学时，教师也可以根据学生的实际情况，设计其他的探索情景．通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力．教师还可以让每一个学生任意画一个直角三角形，验证自己的发现，并在此基础上得到结论．在这个过程中，学生体验到由特例归纳猜想、由特例检验猜想的过程．教师最后可以向学生说明，这个发现是可以证明的．教学中，教师可以首先向学生渗透一下归纳与验证的关系（归纳的结论不一定正确，需要进一步验证）．在验证过程中，教师要引导学生进行联想，将形的问题与数的问题联系起来；要鼓励学生大胆地拼摆，对于学生可能拼摆出来的与图1－7不同的图形，教师都应给予鼓励．对于教科书中给出的图1—7，教师可以联系整式运算的有关知识，让学生自己推导出勾股定理．2．注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理的广泛应用．勾股定理在现实世界中有着较为广泛的应用，教师应充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用．教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息．3．尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值．勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，古代很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一．当考虑等腰直角三角形的斜边时，这一定理又导致了无理数的产生——数学历史上的第一次数学危机．教师应鼓励每一个学生阅读教科书提供的勾股定理的历史，还可以向学生详细介绍一些有关勾股定理的历史、人类对它的研究、它的广泛应用等，以激发学生的学习欲望，使他们了解勾股定理对人类发展的重要作用，体会它的重大意义和文化价值．教师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值．4．注意渗透数形结合的思想．2 在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现．教师在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系．例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到222,,c b a ，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数222,,c b a 想到正方形的面积．5. 本节的重点是探索勾股定理，并能用它来解决一些简单的问题．难点是勾股定理的发现， 能运用拼图的方法证明勾股定理．勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将222,,c b a 与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）。
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《探索勾股定理》学习指导
一、学习要点
勾股定理背景
旧知回顾
1.直角三角形两个锐角关系：直角三角形的两个锐角互余。
2.三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第
三边。
目标导航
难点：掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边间的数量关系，它是直角三角
形的重要性质之一，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
考点：能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长。
二、学习引导
尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理
1）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条
边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长) Array
2）如图所示，思考以下几个问题
✧图1-2中，如何计算直角三角形三边的平方（即正方形面积），是否满足探究
方法一中猜想的数量关系？
✧图1-3中，如何计算正方形面积？思考后根据以下提示计算。
①直接数出正方形内部所包含的完整的小方格的个数，而将不足一个小方格的都算
作半个。
②将不足一个方格的部分进行适当拼凑，以拼凑出若干个完整的小方格。
③将斜边上的正方形划分为若干个边长为整数的直角三角形，再利用三角形面积公
式求得。
④在斜边上的正方形的边长上各补一个直角三角形，得到一个大的正方形。
结论：我们古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为．从而得到著名的勾股定理：．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
通过拼图验证勾股定理
为了计算图1-4中大正方形的面积，对这个大正方形适当进行了割补，如1-5和1-6所示，思考：
①将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
图1-5：
图1-6：
②两图中正方形ABCD的面积分别为多少？有哪些表示方式？
图1-5：
图1-6：
方式：
③分别用两图验证勾股定理。
学以致用
1）求出下列直角三角形中未知边的长度。
2）求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积。
3）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方骑车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，骑车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？
B
思考
前面已讨论了直角三角形的三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边也满足这一关系吗？通过数格子的方法验证。
结论：锐角三角形中，2
2
2
a b c +<；钝角三角形中，2
2
2
a b c +>
练一练 必做题：
1、如图，隔湖有两点A 、B ，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C ，测得AB=40cm,CB=30cm ，求AC 的长度。
（第1题图） （第2题图）
2、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?
3、已知直角三角形两直角边BC 和AC 的长分别为3cm 和4cm ，那么高CD 有多长？
选做题：
4、若一个直角三角形的一条直角边长为7，其它两条
边长为两个连续整数，则这个直角三角形的周长是 。
5
、如图，有一个长方体纸盒，长、宽、高分别为15cm 、8cm 、5cm ，请你
估算一下，能否把一根长为18cm的铅笔放入这个纸盒里面？。