导数专项训练及答案

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导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算一、单选题（共33题；共66分）′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B.3 C.4 D. －2.函数的导数为（）A. B.C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B.C.D.4.设则等于( )A. B.C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A.B.C. 1D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B. C. D.8.已知函数的值为（）A.B. C .D.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B.C. D .11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin2x C. 1-2sin2x D. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D.＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B.－4 C. －2 D. 2 14.设，若，则（）C.D.15.已知函数，则其导数（）A. B.C.D.16.若函数，则的值为（）A. 0 B . 2 C.1 D.－117.已知函数，且，则的值为（）A. B.C.D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A.B.C.D.19.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B . C.21.若，则函数的导函数（）A. B.C. D.22.函数的导数为（）A. B.C.D.23.下列导数式子正确的是（）A. B.C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B.C.D.26.已知，则（）A.B.C.D.27.设，，则x0＝( )A. e2B.e C.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞) C. (－1，0) D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C.D.31.已知，则( )A. B.C.D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B.e C.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】 D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】 B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。

导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

导数专题训练(含答案)

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)，令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上．又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0，因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，所以a 3－3a 2＋4＝0，即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意．综上a ＝－1或a ＝2.变式训练解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823，解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

导数的运算专项练习(含答案)

导数的运算一、单选题（共33题；共66分）1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －2.函数的导数为（）A. B. C. D.3.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.4.设则等于( )A. B. C. D.5.已知函数的导函数,且满足，则＝( )A. B. C. 1 D.6.已知函数的导函数为，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 57.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.8.已知函数的值为（）A. B. C. D.9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（）A. B. C. D.11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（）A. cos 2x-xsin 2xB. x-sin 2xC. 1-2sin 2xD. cos2x-2sin2x12.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝13.设函数的导函数为，且，则＝( )A. 0B. －4C. －2D. 214.设，若，则（）A. B. C. D.15.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.16.若函数，则的值为（）A. 0B. 2C. 1D. －117.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.18.已知函数，为的导函数，则的值为（）A. B. C. D.19.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.21.若，则函数的导函数（）A. B. C. D.22.函数的导数为（）A. B. C. D.23.下列导数式子正确的是（）A. B. C. D.24.已知，则等于（）A. -2B. 0C. 2D. 425.已知函数，则（）A. B. C. D.26.已知，则（）A. B. C. D.27.设，，则x0＝( )A. e2B. eC.D. ln 228.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.29.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为（）A. (0，＋∞)B. (－1，0)∪(2，＋∞)C. (－1，0)D. (2，＋∞)30.下列求导运算正确的是( )A. B. C. D.31.已知，则 ( )A. B. C. D. 以上都不正确32.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A. e2B. eC.D. ln 233.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共11题；共11分）34.已知函数的导函数为，若，则的值为________.35.若函数,则的值为________．36.已知，则________．37.若函数，则________．38.已知函数，则________．39.已知函数，是的导函数，则________．40.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．41.已知在上可导，，则________．42.已知函数的导函数为，且，则________．43.已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．44.已知函数f（x）＝2e x﹣x的导数为，则的值是________．三、解答题（共6题；共60分）45.求下列函数的导函数.①②③④⑤⑥46.求下列函数的导函数①②③④⑤⑥47.求下列函数的导数：（1）；（2）.48.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．49.求下列函数的导数．（1）；（2）.50.求下列函数的导数．（1）y＝3x2＋xcos x；（2）y＝lgx－；答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：因为，则，所以，故答案为：B.【分析】先由函数，求得导函数，再求即可得解.2.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】因为,则函数的导函数,故答案为：D.【分析】先根据完全平方公式对展开，再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求解.3.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】，，，解得，故答案为：D,【分析】对函数求导，再由可求出实数的值.4.【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】由，得.故答案为：D.【分析】由已知利用导数的运算性质进行计算，即可得结果.5.【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】对函数进行求导，得把代入得，直接可求得。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

《导数》解答题16道(含详解答案)

《导数》解答题16道专项练习1.已知函数22()x f x e ax e x =+-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0x >时，总有2()f x e x >-，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由22()x f x e ax e x =+-，得2()2x f x e ax e '=+-，即()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率40k a ==此时2()x f x e e x =-，2()x f x e e '=-由()0f x '=，得2x =当(,2)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上为单调递减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上为单调递增函数.（Ⅱ）2()f x e x >-得2x e a x >-，设2()x e g x x =-(0)x >，则2(2)()x e x g x x -'=当02x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,2)上单调递增；当2x >时，()0g x '<，()g x 在(0,2)上单调递减；2()(2)4e g x g ≤=-，所以实数a 的取值范围为2(,)4e -+∞2.函数()ln()ln f x x m n x =+-.（Ⅰ）当1m =，0n >时，求()f x 的单调减区间；（Ⅱ）1n =时，函数()(2)()g x m x f x am =+-，若存在0m >，使得()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由()ln()ln f x x m n x =+-((0,))x ∈+∞，1(1)()1(1)n n x n f x x x x x --'=-=++①当1n =时，1()(1)f x x x -'=+，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞②当01n <<时，由()0f x '<，得01n x n <<-，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)1n n-③当1n >时，由()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞综上可得：当1n ≥时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞当01n <<时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,1n n-（Ⅱ）当1n =时，函数()(2)()(2)[ln()ln ]g x m x f x am m x x m x am =+⋅-=++--，(0,)+∞由()0g x >可得()0g x x >，即(1)ln (1)0m x m x m x a x x x ++++-->，设1m x t x +=>，所以(1)ln (1)0t t a t +-->，(1)ln 01a t t t -->+令(1)()ln 1a t h t t t -=-+，1t >，222(1)1()(1)t a t h t t t +-+'=+，(1)0h =①当2a ≤时，222(1)1210t a t t t +-+≥-+>，所以()0h t '>可得函数()h t 在(1,)+∞上单调递增.可得()(1)0h t h >=②当2a >时，()0h t '=，即2t +2(1-a )t +1=0，得11t a =--，21t a =-+由21t >，121t t =，可得11t <，所以函数()h t 在2(1,)t 上单调递减可得()(1)0h t h <=，舍去综上可得，实数a 的取值范围为2a ≤3.已知函数(a ∈R )，当时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】（1）求函数的导数，可得导函数的零点为1，，根据一元二次不等式的解法可确定函数的单调性．试题解析：因为，所以，，令，可得两根分别为1，，因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．4.已知函数，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．【详解答案】(1)，由题意可得在上恒成立，∴.∵，∴，∴当时函数的最小值为，∴.故实数的取值范围为.(2)当时，，，令得，解得或(舍)，即.当时，，当时，，∴的极小值为.5.已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R)．当0<a <12时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1，因为0<a <12，所以1a－1>1>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x，1a －f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x1，＋f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．6.已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解析：(1)f ′(x )＝ln x －12＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝－14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t －14的最小值为－14，∴a ≤－14.故实数a ∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x ，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为＝e 1212＋2e 12＝4e 12.7.已知函数()1ln f x x a x x=-+（a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）已知()()21112g x x m x x =+-+，2m ≤-，()()()h x f x g x =+，当1a =时，()h x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()()12h x h x -的最小值．【详解答案】（1）由已知可得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，()222111a x ax f x x x x ++'=++= ，210x ax ∴++≥恒成立，21x a x--∴≥，记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，2a ∴≥-．………………+4分（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()21ln 2h x x x mx =++，()211x mx h x x m x x ++'=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，1x ，21x =．()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．……………………+7分令12x t x =，()0,1t ∴∈，()2222121212922x x x x x x m +=++=≥ ，221252x x ∴+≥，221212122152x x x x x x x x +∴=+≥，152t t +≥，10,2t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，()()()1211ln 2h x h x t t t t ϕ⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭，()()2212t t t ϕ-'∴=-，()t ϕ∴10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭． (12)8.已知函数()222x f x e ax a =+-，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x ≥时，()23f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【详解答案】（Ⅰ）()22x f x e a '=+，①0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '>，得()ln x a >-；由()0f x '<，得()ln x a <-，此时()f x 在()(),ln a -∞-上递减，在())ln ,a -+∞⎡⎣上递增．…………………+4分（Ⅱ）令()()()22323x g x f x x e x a =-+=--+，0x ≥，则()()2x g x e x a '=-+，又令()()2x h x e x a =-+，则()()210x h x e '=-≥，()h x ∴在[)0,+∞上递增，且()()021h a =+．①当1a ≥-时，()0g x '≥恒成立，即函数()g x 在[)0,+∞上递增，从而须满足()2050g a =-≥，解得a ≤≤，又1a ≥-，1a ∴-≤≤；②当1a <-时，则00x ∃>，使()00h x =，且()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，即()g x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，即()g x 递增．()()()0200min 230x g x g x e x a ∴==--+≥，又()()00020x h x e x a =-+=，从而()002230x x e e-+≥，解得00ln 3x <≤，由0000x x e x a a x e =-⇒=-，令()x M x x e =-，0ln 3x <≤，则()10xM x e '=-<，()M x ∴在(]0,ln 3上递减，则()()ln 3ln 33M x M ≥=-，又()()01M x M <=-，故ln 331a -≤<-，综上ln 335a -≤≤．……………………+12分9.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【详解答案】（1）由()()22ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为{}0x x >，且()()22a f x x a x '=-++．由题意，()()24212a f a '=-++=，解得2a =．（2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==（0x >）令()0f x '=，得11x =，22a x =①当0a ≤时，02a ≤，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<所以，()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得1x >或02a x <<，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在()0,+∞上为增函数④当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数10.（本小题满分12分）已知函数()()22x f x ax x e =++（0a >），其中e 是自然对数的底数．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]2,2-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1a =时，求整数t 的所有值，使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解．【详解答案】（1）()()222x f x x x e =++，则()()()()2253123x x f x x x e x x e '=++=++令()0f x '=，1x =-，32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值，()()113f x f e -=-=极小值（2）问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立；又0x e >即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立；令()()2213g x ax a x =+++0a > ，对称轴1102x a=--<①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[]2,2-上单调增，()()min 210g x g ∴=-=>102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减，在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增，()221120a a ∴∆=+-≤解得：331122a -≤≤+13122a ∴<≤+综上，a 的取值范围是30,12⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦．（3）1a = ，设()()224x h x x x e x =++--，()()2331xh x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-，()()256xx x x e ϕ'=++令()()2560x x x x e ϕ'=++=，得2x =-，3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值，()()21210x eϕϕ=-=-<极小值()1110e ϕ-=-< ，()020ϕ=>∴存在()01,0x ∈-，()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减，在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=> ，()38310h e-=-<，()020h =-<，()1450h e =->由零点的存在性定理可知：()0h x =的根()14,3x ∈--，()20,1x ∈即4t =-，0．11.设函数211()ln 42f x x x x =--.（1）求()f x 的极值；（2）若21()(()1)4g x x f x x =++，当1x >时，()g x 在区间(,1)n n +内存在极值，求整数n 的值.【详解答案】（1）2'1112()0)222x x f x x x x x --+=--=>，令'()0f x =，解得1x =（-2舍去），根据',(),()x f x f x 的变化情况列出表格：由上表可知函数()f x 的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，在1x =处取得极大值34-，无极小值.（2）2211()(()1)ln 42g x x f x x x x x x =++=-+，'()ln 11ln 2g x x x x x =+-+=-+，令()ln 2h x x x =-+，∴'11()1x h x x x -=-=，∵1x >，∴'()0h x <恒成立，所以()h x 在(1,)+∞为单调递减函数，∵(1)10h =>，(2)ln 20h =>，(3)ln 31h =-，(4)ln 420h =-<.所以()h x 在(3,4)上有零点0x ，且函数()g x 在0(3,)x 和0(,4)x 上单调性相反，因此，当3n =时，()g x 的区间(,1)n n +内存在极值，所以3n =.12.已知函数21()(2)2x f x a x e x x =-∙-+.（1）若1a =，求函数()f x 在(2,(2))f 处切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）'()1()x x f x e x e x x R =--+∈，故切线斜率'2(2)1f e =-，(2)0f =，所以，切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=.（2）令'()0f x =，(1)(1)0x x ae --=，当(,0]a ∈-∞时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，当1(0,)a e ∈时，()f x 在(,1)-∞，1(ln,)a +∞上为增函数，在1(1,ln a 上为减函数当1a e =时，()f x 在R 上恒为增函数当1(,)a e ∈+∞时，()f x 在1(,ln )a -∞，(1,)+∞上为增函数，在1(ln ,1)a上为减函数13.已知函数()x f x ae x b =-+，()ln(1)g x x x =-+，（,,a b R e ∈为自然对数的底数），且曲线()y f x =与()y g x =在坐标原点处的切线相同.（1）求()f x 的最小值；（2）若0x ≥时，()()f x kg x ≥恒成立，试求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）因为'()1x f x ae =-，'1()1(1)1g x x x =->-+，依题意，''(0)(0)f g =，且(0)0f =，解得1,1a b ==-，所以'()1x f x e =-，当0x <时，'()0f x <；当0x >时，'()0f x >.故()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.∴当0x =时，()f x 取得最小值为0.（2）由（1）知，()0f x ≥，即1x e x ≥+，从而ln(1)x x ≥+，即()0g x ≥.设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-，则'()(1)1(1)11x kkF x e k x k x x =+-+≥++-+++，①当1k =时，因为0x ≥，∴'1()1201F x x x ≥++-≥+（当且仅当0x =时等号成立）此时()F x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0F x F ≥=，即()()f x kg x ≥.②当1k <时，由于()0g x ≥，所以()()g x kg x ≥，又由（1）知，()()0f x g x -≥，所以()()()f x g x kg x ≥≥，故()0F x ≥，即()()f x kg x ≥.（此步也可以直接证1k ≤）③当1k >时，令()(1)1x kh x e k x =+-++，则'2()(1)x kh x e x =-+，显然'()h x 在[0,)+∞上单调递增，又'(0)10h k =-<，'11)10h -=->，所以'()h x 在1)上存在唯一零点0x ，当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，∴()h x 在0[0,)x 上单调递减，从而()(0)0h x h <=，即'()0F x <，所以()F x 在0[0,)x 上单调递减，从而当0(0,)x x ∈时，()(0)0F x F <=，即()()f x kg x <，不合题意.综上，实数k 的取值范围为(,1]-∞.14.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A '2()1f x x =-，'(1)121f =-=-，当0a ≤时，∵0x >，∴'()0f x >恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令'()0f x =，得x a =，∵0x >，∴'()0f x >，得x a >；'()0f x <得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.15.已知函数1()f x x x=-.（1）用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数；（2）若2(4)(2)0t t tf mf -=，当[1,2]t ∈时，求实数m 的取值范围.【详解答案】（1）证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则1212121212121212()(1)1111()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+=∵120x x <<，∴1210x x +>，120x x >，120x x -<，有12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数（2）∵22112(4)(2)2(2)(2)022t t t t t t t t f mf m -=---=即24(21)21t t m -=-∵2210t ->，∴221t m =+∵[1,2]t ∈，∴212[5,17]t +∈故m 的取值范围是[5,17].16.已知函数2()ln 2f x x ax x =--.（1）若函数()f x 在1[,2]4x ∈内单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当14a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【详解答案】（1）2'1221()22ax x f x ax x x --+=--=由题意'()0f x ≤在1[,2]4x ∈时恒成立，即221212(1)1x a x x-≥=--在1[,2]4x ∈时恒成立，即2max 12[(1)1]a x ≥--，当14x =时，21(1)1x --取得最大值8，∴实数a 的取值范围是4a ≥（2）当14a =-时，1()2f x x b =-+可变形为213ln 042x x x b -+-=令213()ln (0)42g x x x x b x =-+->，则'(2)(1)()2x x g x x --=列表如下：∴()(2)ln 22g x g b ==--极小值，5(1)4g b =--又(4)2ln 22g b =--∵方程()0g x =在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，∴(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩得5ln 224b -<≤-.17.已知函数2()2ln f x x x =-+，函数()f x 与()a g x x x =+有相同极值点.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求实数a 的值；（3）若121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）'22(1)(1)()20)x x f x x x x x--+=-+=>，由'()00f x x ⎧>⎨>⎩，得01x <<；由'()00f x x ⎧<⎨>⎩，得1x >∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-.（2）因为()a g x x x =+，所以'2()1a g x x=-，由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又因为函数()f x 与()a g x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴'(1)10g a =-=，解得1a =经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意（3）因为211(2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+∵2192ln 321e -+<--<-，即1(3)()(1)f f f e <<，∴11[,3]x e ∀∈，1min ()(3)92ln 3f x f ==-+，1max ()(1)1f x f ==-，由（2）知，1()g x x x=+，∴'21()1g x x =-∴()g x 在1[,1)e 上，'()0g x <；当(1,3]x ∈时，'()0g x >∴()g x 在1[,1)e 上为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11()g e e e =+，(1)2g =，110(3)333g =+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<∴21[,3]x e ∀∈，2min ()(1)2g x g ==，2max 10()(3)3g x g ==①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立即12max [()()]1k f x g x ≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，由12k k >⎧⎨≥-⎩，得1k >.②当10k -<时，即1k <，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立即12min [()()]1k f x g x ≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+综上所述，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ .。

导数试题及答案

导数试题及答案一、选择题1. 设函数 $f(x)=2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$，则 $f'(x)$ 的值为：A) $6x^2 - 6x + 5$B) $6x - 5$C) $6x^2 - 3x + 5$D) $6x^2 - 6x - 3$2. 函数 $f(x) = e^x \sin x$ 的导数为：A) $e^x \sin x + e^x \cos x$B) $e^x \sin x - e^x \cos x$C) $e^x \sin x + e^{-x} \cos x$D) $e^{-x} \sin x + e^x \cos x$3. 设 $y = \arcsin(\cos x)$，则 $\frac{dy}{dx}$ 的值为：A) $-\sin(\cos x)$B) $-\sin x$C) $\cos(\cos x)$D) $\cos x$4. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 的导数为：A) $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$B) $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$C) $\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$D) $\frac{x^2 + 1}{2x}$5. 函数 $f(x) = \ln(2x + 1)$ 的导数为：A) $\frac{1}{2x + 1}$B) $\frac{1}{x}$C) $\frac{2}{2x + 1}$D) $\frac{2}{x}$二、解答题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ 在 $x = 2$ 处的导数和导数值。

解：首先求导数 $f'(x)$，利用导数的定义及基本求导法则：$$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = (3x^2 - 12x + 9)$$然后代入 $x=2$，得到导数值 $f'(2)$：$$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$所以函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数为 $-3$。

导数专项训练及答案

导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______.6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+L ,则曲线 ()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++L 在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++L 的值为．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=L ,则sin A 的值是______. 【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为．【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ．（1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e - 11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e ; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3.88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4.312a≤≤; 5. []1,3; 6.0m≥[5] 解答题1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l rπππ+=≥,即2804233l r rr=-≥,则02r<≤.容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r crππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+⎪⎝⎭,即2216084y r r crπππ=-+,定义域为{}02x r<≤.(2)2160168y r rcrπππ'=--+,令0y'=,得3202rc=-.令32022rc==-,得92c=,①当932c<≤时,32022c≥-,当02r<≤时,0y'<,函数单调递减,∴当2r=时y 有最小值;②当92c>时,32022c<-,当3202rc<<-时,0y'<;当3202rc>-时,0y'>, ∴当3202rc=-时y有最小值.综上所述,当932c<≤时,建造费用最小时2r=;当92c>时,建造费用最小时3202rc=-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln0+22110220 (5)f x ax a x xax aa f x ax a xx x=-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11 (6)2ax a x axf x f xx xx xa-+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]。