高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
函数与导数例高考题汇编(含答案)
函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。
高三数学函数与导数练习题及答案
高三数学函数与导数练习题及答案（一）1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2，求函数 f(x) 的定义域。
解析：定义域为使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围。
首先，由于函数 f(x) 中存在 x^3 和 x^2，所以 f(x) 对于任意实数 x 都有定义。
然后，我们要找出使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围，即求解不等式：x^3 - 3x^2 - 9x + 2 ≥ 0通过求解不等式，我们可以得到函数定义域的范围。
答案：函数 f(x) 的定义域为全体实数。
2. 已知函数 f(x) = |x + 2| - |x - 2|，求函数 f(x) 的值域。
解析：值域是函数 f(x) 在定义域内可以取到的所有值的集合。
首先，我们来研究函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的取值情况。
当x ≥ 2 时，|x + 2| - |x - 2| = (x + 2) - (x - 2) = 4因此，函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的值取 4。
接下来，我们来研究函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的取值情况。
当 x < 2 时，|x + 2| - |x - 2| = -(x + 2) + (x - 2) = -4因此，函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的值取 -4。
综上，函数 f(x) 的值域为{-4, 4}。
（二）3. 已知函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，证明方程 f(x) = 0 在区间 (-2, 3) 内有根。
解析：根据函数 f(x) 的连续性和介值定理，可以证明方程 f(x) = 0在区间 (-2, 3) 内有根。
首先，根据函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，可以得知函数 f(x) 在闭区间 [-2, 3] 上存在连续的曲线。
高考数学压轴专题专题备战高考《函数与导数》真题汇编及答案解析
数学《函数与导数》试卷含答案一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<< D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】 由题意得，120.20.455550.40log 0.51444339<<<==<==，故选D.3．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(],2-∞D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案.【详解】令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-，()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增, Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立, 所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f ==∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-， 即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】 本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B【解析】【分析】 利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4k ）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k， 则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k+≤165， ∴x 1+x 2＞165， 故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． AB．C．2 D．【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =-所以1a b =，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为22 故答案选D考点：基本不等式．7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.3 1.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.130.50.24f log f f << 【答案】A【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称.因为()()()0.3 1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.3 1.130.20.54f f log f <<. 故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.10．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥11．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≥或2t ≤-或0t =D ．12t ≥或12t ≤-或0t = 【答案】C【解析】【分析】 ()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2121f t at -≤--即可. 【详解】∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =，∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立， ∴()22111t at f --≥-=-， 即220t at -≥，①0t =时，不等式成立；②0t >时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥； ③0t <时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤- 故选：C.【点睛】本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.12．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.13．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．34 【答案】B 【解析】【分析】 将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程 ()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B. 【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．14．函数()3ln x f x x=的部分图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x f x x=>，排除CD ，得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x f x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】 本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.15．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．16．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =，则()2020f =（ ） A ．2020B ．12020C ．11010D ．0【答案】D【解析】【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.17．下列求导运算正确的是（ ）A ．()cos sin x x '=B ．()1ln 2x x '=C ．()333log x x e '=D ．()22x x x e xe '= 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.18．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]a r r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]a r r r+-+ 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.19．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x ππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义20．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-UD ．[4,2]- 【答案】D【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩， 解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】f a取不同的解析式，从而本题考查与分段函数有关的不等式，会对a进行分类讨论，使()将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.、设函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）若对任意及，恒有成立，求的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.当时，，.令，解得.……2分当时，；当时， .又，所以的极小值为，无极大值.………4分（Ⅱ）…………5分当时，，令，得或，令，得；…………6分，当时，得，令，得或，令，得；当时，.8分综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.当时，在单调递减.当时，的递减区间为；递增区间为.…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.当时，取最大值；当时，取最小值.所以.……11分因为恒成立，所以，整理得.又所以，又因为，得，所以所以.………14分【解析】略2.已知，则 .【答案】2【解析】略3.（本题满分14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在上，且，设．（1）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【答案】（1）；（2）【解析】（1）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性．试题解析：（1）因为，（3分）（6分）（2），令，（8分）所以在上减，（10分）所以当或时，（13分）答：当或时，．（14分）【考点】利用三角函数解应用题．4.函数的零点所在区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故函数的零点所在区间为．【考点】函数零点的判断．5.已知函数对任意的有，且当时，，则函数的大致图像为【答案】D【解析】由题可知，由可得，函数为奇函数，排除选项A、B，又因为当时，，图像是缓慢递增的，故排除选项C，选项D正确；【考点】奇偶函数图像的对称性6.（本小题满分10分）已知函数（1）若直线与曲线相切，求实数的值;（2）若，比较与的大小【答案】（1）；（2）【解析】（1）求曲线切线的思路是：无切点的，应先设出切点坐标，然后用导数求出曲线的切线斜率，最后由点斜式求出切线方程．设点为曲线上任意一点，可求出过点P的切线方程为．则其与直线为同一条直线，由对应系数相等可求出k的值．（2）通过求导数的方法得出函数的单调性，单调递增区间为，单调递减区间为．显然当时，，整理即可．试题解析：（1）设点为曲线的任意一点．因，所以．所以过点P处的切线斜率为，由直线的点斜式方程得，切线方程为：．显然其与直线为同一条直线．则，所以．（2）函数的导数为，显然在时函数单调递减．因，所以即，故．【考点】导数法求曲线的切线、利用函数单调性比大小．7.已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若，下恒成立，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，则，因为当时，，所以当时，，所以函数在上是单调递增的，所以当时，，即；当时，，即．综上所述，不等式的解集为，故应选．【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用；8.已知函数，若与同时满足条件：①；②，则实数a的取值范围是（）A．（－，－1）（，2）B．（－，－1）（0，）（，2）C．（－，0）（，2）D．（－，0）（0，）（，2）【答案】B【解析】如图1，由的图象可知，当时，，为满足条件①，可得在上恒成立；为满足条件②，由于在上总有，故，；当时，，不满足条件；当时，考虑函数的零点，；当时，，为满足条件得解得；当时，（ⅰ）当时，，为满足条件，得解得，；（ⅱ）当时，，为满足条件，得解得，；（ⅲ）当时，，不满足条件．综上所述，得，故选B．【考点】分段函数图象、二次函数的图象和性质．【思路点睛】先画出分段函数的图象，结合条件①，得在上恒成立，由条件②得，，对a是否得0进行讨论，当时，恒等于0，不符合题意，当时，分和进行讨论，根据二次函数的图象讨论方程根的位置．9.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域应满足条件：且且，解之得：且且，所以函数的定义域为，故应选．【考点】1、对数函数；2、函数的定义域．10.设为自然对数的底数，则的值为．【答案】．【解析】因为，所以应填．【考点】1、定积分的计算；2、分段函数．11.定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，函数恒成立，所以．又当时，；当时，．所以，即，解得，故选B．【考点】1分段函数的值域；2恒成立问题．12.设函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当【答案】（1）当时没有零点，当时存在唯一零点；（2）详见解析．【解析】（1）求导，讨论导数的单调性，结合图像分析可得的零点个数．（2）由（I），时可设在的唯一零点为，当时，；当时，．从而可得函数的单调性，根据单调性可求得其最小值只需证其最小值即可．试题解析：（1）的定义域为．当，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增又结合函数与的图像可知当时存在唯一零点．（2）由（1），可设在的唯一零点为，当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值为，由于．由于，所以．故当．【考点】用导数研究函数的性质．13.分析函数＝＋的性质：①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③函数的值域为；④方程有两个解．其中描述正确个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①因为，所以函数不是奇函数，所以错误；②因为，所以函数关于直线对称，所以正确；③由②可得，故函数的值域为，所以正确；④令，则方程等价于，即，由③可知，故不存在，所以④错误．【考点】1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多．我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口．本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数满足,则有函数关于直线对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值．14.已知函数在上有最大值1和最小值0，设（为自然对数的底数）．（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）1，0；（2）；（3）．【解析】（1）分三种情况讨论的最大值和最小值，首先排除两种情况，当时，在上是减函数，∴，得的值分别为1、0；（2）利用化归思想，原题等价，在上有解，令，则，，，；（3）令，原方程可化为有两个不同的实数解，，，再根据一元二次方程根的分布列不等式组求出k的范围．试题解析：（1），当时，在上是增函数，∴，即，解得，当时，，无最大值和最小值；当时，在上是减函数，∴，即，解得，∵，∴舍去．综上，的值分别为1、0．（2）由（1）知，∴在上有解等价于在上有解，即在上有解，令，则，∵，∴，记，∵，∴，∴的取值范围为．（3）原方程可化为，令，则，由题意知有两个不同的实数解，其中，或，，记，则得．【考点】1、函数的单调性；2含参数不等式有解问题；3、方程根的个数以及一元二次方程根的分布．【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题．不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），本题（2）就用了这种方法．15.设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值；（2）令,若存在使得,求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）当时，，要研究函数零点需先根据函数值域求，对分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是求；（Ⅱ）（1）由，得：，，所以恒成立，特殊化，时，，验证时，对任意的成立，所以问题解决．（2）化简问题得．又，，，从而，利用求解．试题解析：（Ⅰ）当时，①若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，，此方程无解．……2分②若，则．（i）若，即时，，此方程组无解；（ii），即时，，所以c=3；（iii），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：．（Ⅱ）由，得：，，又，对任意的,恒成立．当时，，又时，对任意的,，即时，，实数的最小值是1，即．（Ⅲ）法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立；由（Ⅱ）得：在上恒成立，．又因为当时,，．，即，，，．．法2：，设，则，由下图得：，∴，，．【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论．16.奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则（）A．－2B．－1C．0D．1【答案】．【解析】因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，于是，令，则；令，则；令，则，所以，故应选．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的对称性．【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性，属中档题．其解题的一般思路为：首先由为偶函数可得出，关于直线对称，即可得出，然后运用赋值法分别令可分别求出值，进而得出所求的值．其解题的关键是灵活运用赋值法求出的值．17.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】【解析】在切线方程中，时，，求导，又切线的斜率为，所以，即．【考点】导数的几何意义．18.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选C．【考点】导数的运算．19.曲线在点处的切线方程是，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数且有最大值B．函数是奇函数且有最大值C．函数是偶函数且有最小值D．函数是奇函数且有最小值【答案】C【解析】导数的几何意义就是在该点出切线的斜率，对函数求导，则，解得，函数为二次函数，开口向上，有最小值，且为偶函数．故选C．【考点】1、导数的几何意义；2、二次函数的性质．20.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义分别求出在处与在处的切线的斜率，然后由两直线平行的充要条件求出的值；（Ⅱ）求导，然后由的符号求出函数的单调区间；（Ⅲ）原不等式等价于在区间上恒成立，设，求导，分、、讨论函数的单调性，从而求得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，，与坐标轴交点为，解得，又，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，显然函数在区间上单调递减，且当时，，在上单调递增当时，，在上单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅲ）原不等式等价于：在区间上恒成立．设，则令，时，在区间上单调递增，在上单调递增，不符合题意，舍去．当时，若，则在上单调递增，在上单调递减，不符题意，舍去．当时，在恒成立，在上单调递减，在上函数单调递减,即对上恒成立，综上所述，实数的取值范围是．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题．21.（2007春•沙坪坝区校级期末）已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2B．m≤﹣4C．m＞﹣5D．﹣5＜m≤﹣4【答案】D【解析】由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0，x1•x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围．解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：x 1+x2=﹣（m+2）＞0，x1•x2=m+5＞0解得：﹣5＜m＜﹣2，又由△＞0得，m＜﹣4，或m＞4，故：﹣5＜m＜﹣4故选D【考点】二次函数的性质．22.已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知关于的方程有两个不等的正根，设，则，令，得，分析可知在上单减，上单增，在处取得极小值，结合的图像可得，故选D．【考点】1．函数的零点问题．23.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，满足条件；当时，，为上的单调递增函数，也满足条件；当时，，要满足条件，需，即，综上实数的取值范围是【考点】分段函数图像与性质24.若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数【答案】C【解析】由题意得，根据命题的否定的定义，可知命题所有的对数函数都是单调函数，则为“存在一个对数函数不是单调函数”，故选C.【考点】命题的否定.25.已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设.①若是上的增函数，求的最大值；②是否存在，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）①3；②存在且点为．【解析】（1）已知图象在点处的切线方程为，说明有两个条件，一个是，一个是，由此可求得；（2）①问题可转化在上恒成立，即在上恒成立，即，这个问题可用换元法转化为二次函数的知识解决；②本题的实质就是求函数的对称中心，如能求得对称中心，这点就是点，如不能求出对称中心，说明不存在．求对称中心的基本方法是设对称中心为，则满足，由此恒等式可求得．即存在．试题解析：（1）时，，，在直线上，,即.（2）①，是上的增函数，，在上恒成立，令，则，设在上恒成立，恒成立，，实数的最大值为；②由，，，.表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称，这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，则这两个封闭图形面积相等.【考点】导数的几何意义，导数与单调性，函数的图象的对称性．【名师】（1）函数的图象关于直线对称对定义域的任意有；（2）函数的图象关于点对称对定义域的任意有．26.已知函数，则_________.【答案】【解析】由题意得，.【考点】指数、对数函数的运算.27.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，求得，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意，恒成立，分离参数可得在上恒成立，设，，利用导数研究其单调性，求得，即得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，，.则点处的切线的斜率为.故曲线在点处的切线方程为，即，即.（2）的定义域为，由题意知，在上恒成立，即在区间上恒成立.又，所以在区间上恒成立.设，，则.又令，，则.当时，，单调递减，所以.即在恒成立.所以在单调递增.所以.故.【考点】导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为，系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数的范围.28.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.【考点】导数的计算，导数的几何意义【名师】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好地考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.29.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，从而得出结论．解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），故在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，结合所给的选项，故选：C．30.曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，曲线在点处的切线方程是,故选A.【考点】利用导数求切线方程.31.已知函数为常数）的图象在处的切线方程为.（1）判断函数的单调性；（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）递减（2）【解析】（1）由导数几何意义得，而所以，又解得（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，，由于在上单调递减,所以，再利用变量分离转化为对应函数最值，，易得，；由于恰有一个恒成立,所以一真一假，解得实数的取值范围为试题解析：（1）由的定义域为,可得,由条件可得,把代入可得,,在上递减.（2）由（1）可知,在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需,即，,对恒成立或对恒成立, 令,则,令可得.而恒成立,当时,单调递减；当时,单调递增.最大值为,而,显然,在上最大值为.又或,即或,实数的取值范围是.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.32.定义在上的偶函数，对于，有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因,故在上是减函数,故，应选B。
高中数学函数与导数练习题及参考答案
高中数学函数与导数练习题及参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)的值为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-3x+4C. 6x^2-6x-4D. 6x^2-3x-42. 已知函数f(x)=e^(2x)-x，下列说法正确的是：A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为RC. 对任意x∈R，f(x)≥0D. f(x)在R上递增3. 函数f(x)=log(2x+1)的定义域为：A. x>1/2B. x≥1/2C. x>1D. x≥-1/24. 函数f(x)=(x-2)^2-1的图像对称于：A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x=25. 函数f(x)=x^3+3x^2-x+2的最小值为：A. -∞B. -4C. 1D. 66. 函数f(x)=log_a(x^2-4)的定义域为：A. x>2B. x<-2C. x>2或x<-2D. x>07. 设函数f(x)=(x+1)e^x，则f'(x)=：A. (x+2)e^xB. xe^xC. (x+1)e^x+e^xD. (x+1)e^x+18. 函数y=2^(x^2)的图像在y轴的左侧为：A. 上拋曲线B. 下落曲线C. 开口向上的曲线D. 开口向下的曲线9. 函数f(x)=√(x-1)的定义域为：A. x>1B. x≥1C. x>0D. x≥010. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f''(x)的值为：A. 6x-6B. 6x-2C. 6x-3D. 6x-4二、计算题（每小题5分，共40分）1. 计算函数f(x)=e^(2x)-3x在x=1处的导数f'(1)的值。
解答：f'(x)=2e^(2x)-3f'(1)=2e^2-32. 已知函数y=log_a(x^2-4)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知，其中均为实数，（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）设，求证：对恒成立；（Ⅲ）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【解析】第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ），,在上是增函数,在上是增函数设，则原不等式转化为即令即证，即在在恒成立即在，即所证不等式成立（3）由（1）得在所以，又，当时，在，不符合题意当时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即得，且函数在由题意得在上的值域包含于在和上的值域内，下面证时，，取，先证，即证令内恒成立再证【考点】函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．2.（本小题满分14分）对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（Ⅱ）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，第二组，设，从而得，从而判断；第二问，化简，从而为，再设，则，从而得，从而化为最值问题；第三问，将函数使恒成立，转化成，再分情况讨论函数的最小值，即可得到b的取值范围．试题解析：（Ⅰ）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即设，则，，，故，．（Ⅲ）由题意，得若，则在上递减，在上递增，则，所以，得若，则在上递增，则，所以，得．若，则在上递减，则，故，无解综上可知，【考点】简单的合理推理．3.（本小题满分12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）求证：当时，【答案】（1）；（2）在上是增函数；（3）见解析．【解析】（1）对函数求导，由可得；（2）求导得，为研究其符号，令，再求导，研究其符号可得在区间恒成立，从而得函数的单调性；（3）由函数的单调性可知，令，求导研究其单调性可知，从而可证结论成立．试题解析：（1），令,得，解得．（2分）（2）由（1）知，，．再令则当时,, 递增;当时，, 递减;∴在处取得唯一的极小值，即为最小值．即∴,∴在上是增函数．（6分）（3）要证，即证，由（1）知，当时，为增函数，故故．令，则，∵, ∴∴即在上是减函数，∴时，，（11分）所以，即．所以．【考点】1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．4.（本小题满分12分）若关于x的方程有两个相等的实数根．（1）求实数a的取值范围．（2）当a＝时，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据方程有两相等实根，从而得到其判别式等于零，从而求得，结合题中所给的角的范围，从而求得，结合角的范围，求得的范围，第二问将的值代入，从而求得的值，从而求得结果．试题解析：（1）依题意得，，∵，∴≠0，则a＝，∵，∴ 0＜＜1，∴ 0＜a＜2（2）a＝时，，又，．【考点】一元二次方程根的个数，同角三角函数关系式，正余弦和差积的关系．5.（本小题满分12分）如图是函数f（x）＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝的简图，它与x 轴的交点是（1,0）和（3,0）（1）求函数f（x）的极小值点和单调递减区间；（2）求实数a的值．【答案】（1）是函数的极小值点，函数的单调减区间是;（2）．【解析】（1）导数大于0得增区间,导数小于0得减区间．在左侧,右侧．所以在处取的极小值．（2）先求导,由导数图像可知和是的两根,将和分别代入可求得的值．试题解析：解:（1）由图象可知：当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在为增函数；∴是函数的极小值点，函数的单调减区间是．（2），由图知且∴∴【考点】1导数图像;2函数的单调性,极值．6.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数和的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．作出函数的图象如图：当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y=ax和函数f（x）相切时，当x＞1时，函数，设切点为（m，n），则切线斜率，则对应的切线方程为，即又∵直线切线方程为y=ax，∴，解得，即此时，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足；故选B．【考点】1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．7.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以函数的一个零点落在区间内；故选B．【考点】零点存在判定定理．8.设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．－2D．－【答案】C【解析】，，由导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，又直线的斜率为，依题意可得，解得．故C正确．【考点】1导数的几何意义；2直线垂直．9.设函数，（1）若函数在处与直线相切；①求实数，的值；②求函数上的最大值；（2）当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）①，，②；（2）．【解析】（1）①根据题意，可知，，从而课建立关于，的方程组，即可求解，②通过①中求得的，的值可确定的解析式，从而课通过求导判断在上的单调性即可求其最大值；（2）参变量分离后可知，从而问题等价于求，通过变换主元后，可将视为关于的一次函数，即可求其最小值，从而求解．试题解析：（1）①，∵函数在处与直线相切，∴，解得；②，，当时，令，得；令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴；（2）当时，，∴问题等价于对所有的，都成立，令，∵，∴，故为关于的一次函数，∴，∴对所有的都成立，∴．【考点】1．导数的运用；2．恒成立问题．【方法点睛】函数与导数相结合的问题需要具备识图，推断，联想，构造的能力，常见的解决问题的策略有：①画草图，特点关注特特殊点：零点，极值点；②掌握单调性和导函数正负的关系，不能与原函数混淆；③常常需要根据条件特点，找到隐藏的原函数，，，；④含参的恒成立问题，通常考虑参变分离转化为求函数最值处理．10.某市政府欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求曲线所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【答案】（1）；（2）.【解析】第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程（），由已知可知在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得，从而确定出抛物线的方程；第二问根据题意，确定好点和的坐标，从而确定出所在直线的方程为，设（），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果.试题解析：（1）设所在抛物线的方程为（），抛物线过，，得，所在抛物线的方程为，（2）又，，则所在直线的方程为，设（），则，，，公园的面积（），，令，得或（舍去负值），当变化时，和的变化情况如下表：极大值当时，取得最大值．故该公园的最大面积为．【考点】抛物线的方程，导数的应用.【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，第二问将图形的面积表示为关于的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果.11.如图，点O为坐标原点，点A（1，1）．若函数且及且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，恰好是线段的两个三等分点所以，把代入函数，即，解得把代入函数，即，即得所以故答案选【考点】指数函数和对数函数．12.函数为上增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为上增函数的一个充分不必要条件是在上恒成立，所以，因为，所以，故选B．【考点】1、导数与单调性；2、恒成立问题；3、充要条件．【方法点睛】恒成立问题与存在性问题的常见形式：①恒成立问题的转化：恒成立；；②能成立问题的转化：能成立；能成立；③恰成立问题的转化：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值；④设函数、，对任意的，存在，使得，则．13.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项定义域为，不合题意；C选项在内既有增又有减，不合题意；D．，在内单调递减，故选B【考点】函数的单调性和零点14.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算对数式时，要先把底数化成同底的，再进行运算．．故选B．【考点】对数的运算性质．15.已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】利用导数判断函数在区间上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．试题解析：（1）当时当,有；当，有，在区间上是增函数，在上为减函数，又（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．①①若，令，得极值点当，即时，在（，1）上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．【考点】函数与导数性质的应用．16.已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值．（2）根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点,，（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解．当x=0时，显然无解．当时，变形为，令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，．而，故方程①无解．若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是．法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程（）有唯一解,当x=0时，显然无解．当时，变形为，解得．令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解．综上知，所求x的取植范围是【考点】函数与导数性质的应用．17.已知函数.（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；（II）或.【解析】（I）由函数可知函数，显然无法利用单调性的定义来求单调区间，所以用导函数法来求其单调区间，，对进行分类讨论，并令可求得的单调区间；（II）由题意可得在区间上有解，即的极小值（最小值）为负数或零，结合的单调性，列不等式，求的取值范围.试题解析：(1) ,定义域为（0，+∞），①当即时，令，令，得故在上单调递减，在上单调递增②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。
高三数学 导数解答题专项训练(含解析)
高三数学 导数解答题专项训练（含解析）1、已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L ．2、设函数41)(2+=x x f ，)2ln(21)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83)(111∑=++<⋅-nk k k ka a a。
3、已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1->>e y x 时，求证：)1ln()1ln(++>-y x e yx ．4、已知函数mx x x f ++=21ln )(．（Ⅰ）若)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1-=m 时,求函数)(x f 的最大值； （Ⅲ）当1=m ,且10≤<≤a b 时，证明:2)()(34<--<ba b f a f ．5、已知函数()ln f x x a x =-，1()()ag x a R x+=-∈． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在区间[1,]( 2.71828......)e e =上不存在．．．0x ，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．6、函数()ln f x ax x x b =++是奇函数，且图像在点(,())e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 、b 的值；（2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当1(,)m n m n Z >>∈时，证明：()()nmm n nm mn >．7、已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[)1,+∞上为增函数,且(0,)θπ∈，θ为常数，1()ln ()m f x mx x m R x-=--∈． （1）求θ的值；（2）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调函数,求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=,若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求 m 的取值范围．8、已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数m ex x x f xx h -+-=2)(ln )(2的零点的个数．9、已知函数2()(25)5ln ()f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在3x =和5x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设25()-2g x x x =，若对任意15(0,]2x ∈，均存在25(0,]2x ∈，使得12()()f x g x <， 求a 的取值范围．10、已知函数bx x x g x x f -==221)(,ln )(（b 为常数）。
高三数学 导数解答题专项训练附解析
高三数学 导数解答题专项训练附解析一、解答题1．设函数21()ln 2f x x ax bx =--.(1)令21()()(03)2a F x f x ax bx x x=+++<≤，以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当0,1a b ==-时，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2．已知函数()32f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 3．已知函数()e sin cos x f x x x ax =+--．(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值．4．已知函数()e 1xf x ax =--，a ∈R ．(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．5．已知函数()e xf x kx =-，()()28ln ag x x x a R x=--∈.(1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； (2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，求实数k 的取值范围；(3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有()21221ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.6．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围. 7．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 8．已知函数()()()2e 1,e 2.718xf x m x m R =-+∈≈.(1)选择下列两个条件之一：①12m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)12a ≥ (2)12m = 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，得到()002012x a k F x x '-==≤，在0(0,3]x ∈上恒成立，利用分离参数法得到2000max1,(0,3]2a x x x ⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭，即可求解； （2）把题意转化为22ln 20x m x mx --=有唯一实数解.设2()2ln 2g x x m x mx =--，利用导数计算得到222ln 10x x +-=.设函数()2ln 1h x x x =+-，由()h x 是增函数，且(1)0h =，得到21x =1=，即可解出m .(1)()ln ,(0,3]aF x x x x=+∈所以()002012x a k F x x '-==≤，在0(0,3]x ∈上恒成立， 所以2000max1,(0,3]2a x x x ⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭ 对于()2011122y x =--+,所以当01x =时，20012x x -+取得最大值12.所以12a ≥. (2)因为方程22()mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解.设2()2ln 2g x x m x mx =--，则2222()x mx mg x x--'=令()0g x '=，得20x mx m --= 因为0,0m x >>，所以10x =<（舍去），2x =， 当()20,x x ∈时，()0,?()g x g x '<在()20,x 单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0,()'>g x g x 在()2,x +∞单调递增.当2x x =时，()20,()g x g x '=取最小值()2g x .因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =.则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln 220,2ln 0m x mx m m x mx m +-=+-= 因为0m >，所以222ln 10x x +-=. 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解.因为(1)0h =，所以方程的解为21x =1=，解得12m =. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为4027-． 【解析】 【分析】（1）由题意可得(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)由题意可得，2()32f x x ax b '=++．由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩ 经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-． 令()0f x '=，得12x =-，223x =，()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27-． 3．(1)2a ≤(2)3a = 【解析】 【分析】（1）由题意()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，利用分离参数法得到e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立.设()e cos sin xh x x x =++，利用导数判断出函数()h x 在[)0,∞+上单调递增，求出2a ≤；（2）把题意转化为(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥恒成立.由0x =为()g x 的一个极小值点，解得3a =.代入原函数验证成立. (1)由题意知()e cos sin xf x x x a '=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0xf x x x a '=++-≥，即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立设()e cos sin xh x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭当02x π≤<时，()e 1104xh x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝⎭ 当2x π≥时，()2e e 0h x π'>>>所以函数()e cos sin xh x x x =++在[)0,∞+上单调递增所以()()min 02a h x h ≤== (2)由题知()()()()()ln 1e sin cos ln 11xg x f x x x x ax x x =--=+----< 所以()1e cos sin 1xg x x x a x'=++-+-，()00g = 因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，所以()010e cos0sin 0010g a '=++-+=-，解得3a = 当3a =时，()()()e sin cos 3ln 11xg x x x x x x =+----<所以()11e cos sin 3e 3141xx g x x x x x x π⎛⎫'=++-+=+-+ ⎪--⎝⎭ ①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立） 所以()g x 在[)0,1上单调递增②当0x <时，若02x π-≤<，()11310g x '<+-+=；若2x π<-，()22132e 3302222g x πππ-'<+<+-+<++ 所以()g x 在(),0∞-上单调递减综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增 所以当3a =时，()()00g x g ≥= 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用．4．(1)2a = 时，函数 () f x 的单调增区间是(ln2,)+∞ ，递减区间为 (,ln2)-∞ ; (2)a 的取值范围为 (], 0-∞ 【解析】 【分析】（1）将2a =代入，对()f x 求导，根据导数正负，确定函数增减即可； （2）()x f x e a '=-，根据题意函数单调增，所以需要()0f x '≥在R 上恒成立，利用参变分离即可求解. (1)当2a = 时，()e 21x f x x =--，()e 2x f x '∴=-.令()0f x '> ，即e 20x -> ，解得 : ln 2x > ； 令()0f x '< ，即e 20x -< ，解得 :ln 2x < ；()f x ∴ 在ln 2x =时取得极小值，亦为最小值，即(ln 2)12ln 2f =- .∴ 当2a = 时，函数()f x 的单调增区间是(ln2,)+∞，递减区间为(,ln2)-∞.(2)()e 1x f x ax =-- ()e .x f x a ∴-'=()f x 在R 上单调递增，()e 0x f x a ∴='-≥ 恒成立，即e x a ≤在x ∈R 恒成立，x ∈R时,e (0,)x ∈+∞，0a ∴≤.即 a 的取值范围为(],0∞-. 5．(1)最大值为e 1-，最小值为1；(2)21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(3)(],1-∞-. 【解析】 【分析】（1）求得'()f x ，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数()e xh x x=，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据12,x x 是()g x 的极值点，求得12,,x x a 的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围. (1)当1k =时，()e xf x x =-，'()f x e 1x =-，令'()f x 0=，解得0x =，当()1,,0x ∈-时，()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()f x 单调递增； 又()()()111,01,1e 1ef f f -=+==-，且()()11f f >-， 故()f x 在[]1,1-上的最大值为e 1-，最小值为1. (2)令()e xf x kx =-0=，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x ≠，故e xk x =，令()e 1,,22x h x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则'()h x ()2e 1 x x x -=，故当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()h x 单调递减，当()1,2x ∈，()h x 单调递增，又()()2111e,2e 22h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 故()h x 的值域为21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则要满足题意，只需21e,?e 2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 即()h x 的取值范围为：21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)因为()28ln a g x x x x =--，'()g x 2228282a x x a x x x -+=+-=，因为()g x 有两个极值点12,x x ，故可得12126480,4,02a a x x x x ->+==>， 也即08a <<，且12124,2ax x x x +==. 因为11x ≠，12x x <，故()()10,11,2x ∈⋃，则()21221ln 51a x m x x x >--，即()()()211111124ln 5441x x x m x x x -⎡⎤>---⎣⎦-， 因为140x ->，故上式等价于()11112ln 11x x m x x >+-，即()21111112ln 01m x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，又当()0,1x ∈时，1101x x >-，当()1,2x ∈时，1101xx <-，令()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，则'()m x 222mxx mx ++=， 当0m ≥时，'()m x 0>，故()m x 在()0,2单调递增，又()10m =， 故当()0,1x ∈时，()0m x <，当()1,2x ∈时，()0m x >，故不满足题意；当0m <时，令()22n x mx x m =++，若方程()0n x =对应的2440m =-≤时，即1m ≤-时，'()m x 0≤，()m x 单调递减， 又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x >，当()1,2x ∈时，()0m x <，满足题意； 若2440m =->，即10m -<<时，又()y n x =的对称轴11x m=->，且开口向下， 又()1220n m =+>，不妨取1min ,2b m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 故当()1,x b ∈，'()m x 0>，()m x 单调递增，又()10m =， 故此时()0m x >，不满足题意，舍去； 综上所述：m 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理12,,x x a 以及m 多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 6．(1)在(0,)+∞单调递增； (2)1b ≤ 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围. (1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x'-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x 对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x，当44≤b ， 即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意.当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减； 此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾. 综上：1b ≤. 【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围. 7．(1)答案见解析 (2)e π-- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值. (1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增， 当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减， 此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0； 当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞ 上单调递减，极值点个数为1. (2)由()()0af x g x +=，得sin 1xx a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根， 所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=，所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->-所以当)e ,0xa -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．8．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，（2）令()0g x =，则可得()()()1ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围(1)若选择①12m =，则()()2112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .(2)令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >， 所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得. 设()ln l x x x =-，由()11l x x '=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-(2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案.(1)解：（1）()226f x x ax '=+-， 因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；(2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-， ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-， 所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a+-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a +->-+-恒成立.构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
(完整版)高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
高考数学必做题--函数与导数 (后附参考答案与详解)
1 23 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 1617 18 19 20 212223，且关于的方的取值范围是．24252627 28 29 30123，4．567解析式最值奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式数列的前n项和89恒成立,则有即恒成立,，令,解得．得:,,或，时矛盾．函数的模型及其应用导数及其应用利用导数研究函数的单调性10如图点在的下方，∴得．再根据当与相切时，设切点坐标为，则，∴，此时，此时与有个交点，∴．故选．函数与导数函数分段函数图象函数与方程方程根的个数函数图象的交点11函数与导数函数单调性函数与方程函数的零点导数及其应用导数与零点导数与分类讨论导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式1213解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率14又图象可知交点为∴解得．∵，∴，由（）知，当时，在故要证原不等式成立，只需要证明：当时，令，则，∴在上为增函数，∴，即，∴，即．函数与导数函数与方程函数图象的交点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率直线的方程15对应的点坐标的最高点为最低点为，此两点也是函数的最高和最低点，由此可知．同理可得时，取得最大值．依理，当时，取得最小值，即．16在上至少有三个零点可化为少有三个交点，在上单调递减，则，解得：．函数与导数函数奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质对数函数对数函数的概念、图象及其性质函数与方程方程根的个数函数的零点B. C.，关于的不等式只有两个整数解，则实数17C函数的定义域为，则，当得，即即，即，由得，得即，即，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值即当时，有一个整数解当时，有无数个整数解，若，则得若，则由得或当时，不等式由无数个整数解，不满足条件．当时，由得当时，没有整数解，则要使当有两个整数解，∵，，∴当时，函数有两个整数点，∴要使有两个整数解，则，即．故选．函数与导数二次函数二次型函数导数及其应用导数与零点导数的运算利用导数研究函数的单调性18单调性19复合函数20易知共有个交点．函数与导数函数分段函数奇偶性周期性函数与方程函数图象的交点2122，则，恰好是正方形的面积，所以23，且关于的方的取值范围是．，如图所示，2425函数与导数导数及其应用导数与恒成立导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式不等式与线性规划解不等式分式不等式2627正弦函数的图象与性质282930。
高三数学 导数解答题专项训练附解析
高三数学 导数解答题专项训练附解析一、解答题1．已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈．(1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围． 2．已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值；(2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-；(3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 3．已知函数()f x 满足()21bf x ax =-，0a ≠，()11f =，()02f '=-． (1)求函数()f x 的表达式；(2)若0a <，数列{}n a 满足123a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，设11n nb a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的通项公式．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．6．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 7．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值. 9．已知函数()12ln f x x x x=--. (1)判断函数()f x 的单调性；(2)设()()()28g x f x bf x =-，当1x >时，()0g x >，求实数b 的取值范围.10．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）【参考答案】一、解答题1．(1)[2,)+∞ (2)2[e ,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由题意可得()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立，从而可求出a 的取值范围，（2）将问题转化为2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成立，构造函数2()e x g x x -=-，利用导数求出其最大值即可 (1)由()()e ,R x f x x a a =+∈，得()(1)e x f x x a '=++， 因为()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数， 所()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立， 所以10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立， 因为1y x a =++在[3,)-+∞上为增函数， 所以满足题意只需310a -++≥，得2a ≥， 所以a 的取值范围为[2,)+∞ (2)因为()()e ,R x f x x a a =+∈所以2()e e x x a +≥ 即2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成立， 令2()e x g x x -=- ，[]0,2x ∈，则22()e 1(e 1)0x x g x --'=--=-+<， 所以2()e x g x x -=-在[]0,2x ∈上递减，所以2max ()(0)e g x g ==，所以2e a ≥，所以a 的取值范围为2[e ,)+∞ 2．(1)2max ()e f x -=- (2)证明见解析 (3)1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断单调性，求出最大值； （2）利用分析法，转化为证明1e x x -＞f (x ). 令g (x )＝1e xx-，[]0,x π∈，利用导数求出g (x )≥g (2)＝-2e -，而2max ()(0)e f x f -==-，即可证明；（3）把问题转化为x cos x －sin x ＋2ax 3≥0恒成立，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，二次求导后，令()6sin x ax x ϕ=-，对a 分类讨论：i. a ≤－16， ii. a ≥16，iii.－16＜a ＜16，分别利用导数计算即可求解. (1)∵2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈，∴()cos sin cos sin 0f x x x x x x x '=--=-，∴f (x )在[0，π]上单调递减，∴2max ()(0)e f x f -==-．(2)要证2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-，只要证21cos sin e e x x x x x -->--，即证1e xx -＞f (x )， 令g (x )＝1e x x -，[]0,x π∈，则()2ex x g x -'=， 故g (x )在（0，2）上单调递减；g (x )在（2，π）上单调递增，所以g (x )≥g (2)＝-2e -，又 f (x )≤-2e -，且等号不同时取到，所以2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+- (3)()3220f x ax -≥++e ，等价于x cos x －sin x ＋2ax 3≥0，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，则()2sin 66sin h x x x ax x ax x '=-+=（-），令()6sin x ax x ϕ=-，则()6cos x a x ϕ=-'，i.当a ≤－16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递减，所以()(0)0x ϕϕ=， 所以()0h x '≤，所以h (x )在[0，π]上递减，所以h (x )≤h （0）＝0，不合题意． ii.当a ≥16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递增，所以()(0)0x ϕϕ= 所以()0h x '≥，所以h (x )在[0，π]上递增，所以h (x )≥h （0）＝0，符合题意． iii.当－16＜a ＜16时，因为(0)610a ϕ=-<'，()160a ϕπ=+>'，且()x ϕ'在[0，π]上递增，所以0x ∃[]0,π∈，使得()00x ϕ'=，所以当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，此时()ϕx 在（0，x 0）上递减，所以()(0)0x ϕϕ<=，所以()0h x '<，所以h (x )在（0，x 0）上递减，所以h (x )＜h （0）＝0，不合题意．综上可得： 1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 3．(1)2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)12n nb =. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后列方程组求得,a b ，得函数解析式； （2）由（1）得2()1f x x =+，求出{}n a 的递推关系，从而得出{}n b 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式. (1)由题意22()(1)ab f x ax '=--，所以2(1)11(0)22b f a f ab ⎧==⎪-⎨⎪=-=-⎩'，解得11a b =-⎧⎨=-⎩或212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)0a <，则2()1f x x =+， 11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭22111n n n a a a ==++，11111222n n n n a a a a ++==+，11111(1)2n n a a +-=-， 11n n b a =-，则112n n b b +=，又111112b a =-=，所以{}n b 是等比数列，1111()222n n nb -=⨯=. 4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x-> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x ix +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222mx ax a x =-++++21x x ->5．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解；（2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-， 所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x，当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.6．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-.所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =，max 10()3g x =【解析】 【分析】（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间； （2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域：()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=，由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >， ∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =， 从而()1g x x x =+，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上递增, 又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1033g =,∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =.9．(1)在(0,)+∞单调递增； (2)1b ≤ 【解析】【分析】（1）对函数()f x 通过求导，判断出导数恒大于等于0，得到()f x 在(0,)+∞单调递增.（2）将()g x 化简整理并求导，得到222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，讨论b 的取值可确定()g x 在(1,)+∞单调性，即可得到取值范围. (1)因为()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数()f x 求导，则222221221(1)()10x x x f x x x x x'-+-=+-==≥，∴函数()f x 在(0,)+∞单调递增. (2)因为()()()28g x f x bf x =-，所以22211()2ln 8(2ln )0=----->g x x x b x x x x 对1x ∀>恒成立， 322412()28(1)'=+--+-g x x b x x x x4232312248(2)⎡⎤=+--+-⎣⎦x x b x x x x222322(1)2(1)1(1)4(24)--⎡⎤=+-=++-⎣⎦x x x bx x b x x x当1x >时，124++>x x，当44≤b ， 即1b ≤时，()0g x '>对1x ∀>恒成立，∴()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)g x g >=0符合题意.当1b >时，存在01x >使得当0(1,)x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减； 此时()(1)0g x g <=这与()0>g x 恒成立矛盾. 综上：1b ≤. 【点睛】本题考查函数恒成立条件下求解参数范围问题，属于难题.对函数()g x 求导，有222(1)1()(24)-'=++-x g x x b x x，再利用()1=0g 的特点，可分类讨论b 的取值范围，在1b ≤时，()g x 在(1,)+∞单调递增，原式成立，此时满足要求；当1b >时，()g x 在(1,)+∞先出现递减区间，必有()0g x <出现，与已知矛盾，即可确定b 的范围.10．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关；(2)①0310p =；②()73a b + 【解析】 【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减，∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望.由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.。
高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
高三数学理科测试题函数、导数、三角函数、解三角形(供参考)
高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科）一、选择题1．设2:f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则AB 为( ) A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）3．若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，23)D ．(0，1)∪(1，23)4.若0()ln 0xe x g x xx ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = ( )A ．12B ．1C ．12e D ．ln 2-5．已知32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b <<C ．12b <<D ．2b >6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线12x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称.其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ 7.y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数8.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则( )xA ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π129.若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0)D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝211.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°·tan50°的值应是( )A ．－1B ．1C ．－ 3D.3 12. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<二、填空题13．设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1a f a -=+，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xx x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是 ．15.已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．16.对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出下列命题：①f (x )的最小正周期为2π；②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)． 三、简答题17.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．19.向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π6))，设函数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a 为常数)．(1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；(2)若g (x )在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．20.设函数22()(1)ln(1)f x x x =+-+ (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当]1,11[--∈e ex 时，不等式()f x m <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)关于x 的方程2()f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根，求a 的取值范围. 21.设函数bx xex f xa +=-)(，曲线)(x f y =在点（2，)2(f ）处的切线方程为4)1(+-=x e y .（1）求a ,b 的值； （2）求)(x f 的单调区间. 22.答案解析选择题 1—5 DBCAA 6—12 CDBAC CB填空题 13. 213aa <-≥或 14. 321x x x >> 15.[－1,2] 16.②③ 简答题17.[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝72，∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴7＝(a ＋b )2－3ab ，解得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.18.[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.19.[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π6)＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1 ＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a(1)g (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，T ＝π.(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，y max ＝2＋a .当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.20. (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞ ,,1)2(2]11)1[(2)(++=+-+='x x x x x x f 由,0)(>'x f 得210x x -<<->或 ；由,0)(<'x f 得.012<<--<x x 或则递增区间是(2,1),(0,)--+∞递减区间是(,2),(1,0)-∞--。
高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案
高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D 解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B.5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解， 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解，故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0，∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A 解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A. 6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x ,t ∈(0,2］，则1+2x +(a-a 2)4x >0⇔a 2-a<21t t +=(t 1+21)2-41. ∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］,∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D解析：y=(x+x 1)2-(x+x 1)-2=(x+x 1-21)2-49，令t=x+x1， 因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4. 10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个.11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1. 12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271. （文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin 3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y, 又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x ,故选D. 15. B 解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0， 故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减. 17. D解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π. 18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15.19. B解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31. 20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1, 又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］. 21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21log x 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21log x 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1， 而g(x)=x+x a -2a ，g′(x)=1-2xa . ∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减.24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx,∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3， 又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题 26.（1）（3）（4） 解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9 解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23) 解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3, 23). 28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c, ∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4,∴b=5411+a ,c=51616a-. 所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0， 解得q=1或q=-21, 当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m m a a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列； 综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真. 33.解：函数图象的对称轴为x=2a ， ①当2a<0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍）， ②当0≤2a≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍）， ③当2a>2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍）， 综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2, (1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6, ∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425,∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12. 35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x - 19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x=)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x xx <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.（2）∵0<193+x x=xx 3131+≤21， ∴当x≤0时，f(x)=193+x x -21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+x x +1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21). （3）∵f(x)=(-21,21)， 又∵f(x)>31， ∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+x x(x>0)，令21-193+x x >31，即193+x x <61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x >3+22⇒x>log 3(3+22)，∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞). 36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)．∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)， f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)， ∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23. （2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3,∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2, ∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m. （2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0）， 因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ， ∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t). 令y=0，则x 1=t t 212+,令y=-23,则x 2=2t,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m. 答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t, 当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增; 当x>6t 时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减. ∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax+2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+, 又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x. （2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x . 由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x的单调增区间为（-1，1）. 因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x, ∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x , 直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］ ［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］.（文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c.∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x 2-6x+3.对任意的x ∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f ′(x)=x 3-6x 2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x 3+6x 2-9x+3. ∵F′(x)=-3x 2+12x-9,当x ∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x ∈(1,3)时，F′(x)>0;当x ∈(3,4］时，F′(x)<0,又F （-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F （-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.已知且，，当均有，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.函数的零点个数为（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【解析】由题意得：求与交点个数，因为时，，所以当时，与有6个交点；当时，与有6个交点；所以共有12个交点，选D．【考点】函数零点3.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数在处取得最值的概率是．【答案】【解析】根据题意有，时符合函数在处取得最值的条件，连续抛骰子共有个结果，满足条件的有三个结果，故对应的概率为．【考点】古典概型．4.设函数，则（）A．0B．38C．56D．112【答案】D【解析】由得，因此选D．【考点】二次函数性质5.定义在R上的偶函数f（x），对任意（），有，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵对任意（），有，∴函数在上单调递减，∴，∵函数是偶函数，∴，∴．【考点】函数的奇偶性与单调性．6.已知函数（1）若函数在上无零点，请你探究函数在上的单调性；（2）设，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）若：在上无单调性，若：在上单调递增，若：在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】（1）根据条件在上无零点首先可求得的取值范围，再对求得的的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于在上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得的取值范围．试题解析：（1）令，从而可知，∵，∴，故满足在上无零点的实数的取值范围是，若：，在上无单调性，若：，在上单调递增，若：则，∴在上单调递减，在上单调递增；（2），而在上恒成立等价于，∴实数的取值范围是．【考点】1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．7.定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，．记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得：当时，．当时；当时；函数恰有两个零点即函数与直线有且仅有两个交点，而过点时，有且仅有一个交点，，过点时，有且仅有两个交点，，因此实数的取值范围是【考点】函数零点【名师】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8.（本小题满分10分）设命题函数的定义域为；命题不等式对一切正实数均成立．．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】(1)正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；(2)解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意或为真，且为假说明一真一假．试题解析：（1)若命题是真命题，则有①当时，定义域不符合题意；②由，得，因此所求实数的取值范围（2）命题是真命题，不等式对一切正实数均成立，令，，，当，，若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假①若真假，则，得空集②若假真，则，得综上，实数的取值范围【考点】1、命题逻辑连结词；2、集合的运算．9.定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】求函数的零点即求函数与交点的横坐标，在同一坐标系内作出两个函数的图象（如下图所示），由图象可知，共有5个零点，其中与关于直线对称，所以有，同理，又由得，，所以这五个零点之和为，故选B．【考点】1．函数与方程；2．数形结合；3．对数函数性质；4．绝对值的意义．10.已知函数，关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的范围为．【答案】【解析】如图作出函数的图象，因此只有在时直线与的图象有四个交点，所以要满足关于x的函数有8个不同的零点，则方程在上有两个不等实根，，解得．【考点】一元二次方程根的分布，函数的零点．【名师点晴】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值的值的正负；三是区间端点的值正负．题中方程根不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．题中方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是t＝f（x）；二是t2－bt＋3＝0，由于t2－bt＋3＝0最多只有两解，因此t＝f（x）必须有4解，这样由函数的图象知t必须有范围限制，最终问题转化为一元二次方程根的分布问题．11.设函数为常数，若方程的根都在区间内，且函数在区间上单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数(b为常数)，所以的根都在区间内，所以；又因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，所以，综上可得：，故选．【考点】1、利用导数在研究函数的单调性；2、方程与函数．【思路点睛】本题主要考查了利用导数在研究函数的单调性和方程与函数，考查学生学科内综合知识能力和应用能力，属中档题．其解题的一般思路为：首先由函数的解析式可知方程的根的分布情况，然后结合已知可得参数的取值范围，再结合函数在区间上单调递增可得，在区间上恒成立，进而得出参数的取值范围，最后将其作交集即可得出所求的结果．12.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，．，在上恒成立，在上恒成立．在上单调递增．，即，，．故A正确．【考点】1用导数求函数的单调性；2用单调性比较大小．【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题，难度稍大．根据已知可联想到需构造函数．根据函数的正负得函数的增减区间．根据函数的单调性再比较大小．13.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A中函数定义域为，所以它是非奇非偶函数，不合题意；B中，所以它是偶函数，不合题意；C中函数，由复合函数的单调性法则可知它是定义域内的减函数，也不符合题意；故选D．【考点】奇偶函数的定义和函数的单调性．14.（2015•海口模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x＞﹣1．则正确命题是．【答案】②③④【解析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x＞﹣1．故答案为：②③④【考点】命题的真假判断与应用．15.设，函数的图象在点处的切线方程为．（1）求函数的最大值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）根据切线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，建立待定系数的方程组，求得解析式，利用导数研究求单调性得其最大值点，求出最大值；（2）要证明可构造新函数，通过研究其值域来证得不等式成立.试题解析：（1）解：∵，∴解得∴．，令，得，令，得，此时单调递增；令，得，此时单调递减．∴．（2）证明：设，，令，得，令，得，此时单调递增；令，得，此时单调递减．∴，∴．从而．【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性极值、最值等.【方法点睛】本题首先从导数的几何意义入手，求出解析式，要充分利用切线方程，一方面求得切点，另一方面可得切线的斜率，抓住了这两点即可求得其解析式，不论是研究求单调性还是求最值时，都要把握好“定义域优先”这一基本原则，显然本题中，这是不少同学常犯的错误，有了函数的单调性，结合图象即可发现其最值点，从而求得最值；函数中证明不等式的问题常常可以通过构造新函数，研究新函数的值域来达到证明的目的，这又体现了导数在研究函数中的工具作用.16.函数，若，使得都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故，，使得都有，即对恒成立，故，所以实数的取值范围是．选D．【考点】利用导数研究函数的单调性及函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数的恒成立问题的求解，着重考查了函数的极值、最值的求解与应用及转化的数学思想方法，属于中档试题，本题的解答中，求解函数的导数得出函数的单调性，确定，再把都有转化为对恒成立，即可求解参数的取值范围．17.函数的大致图像是（）【答案】B【解析】由于，所以，所以函数是非奇非偶函数，又当时，，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，故选B．【考点】函数的图象及函数的性质．18.已知函数在处取得极值，并且它的图象与直线在点处相切，则函数的表达式为________．【答案】【解析】在处取得极值，所以，又它的图象与直线在点处相切，故，解得：，把点代入函数解析式得：，所以答案应填：．【考点】1、导数的几何意义；2、函数的极值．【思路点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值，及函数切线的斜率属于中档题．解题时一定要注意切点条件的使用，利用极值点的导数为，切线的斜率等于该点的导数，建立方程组，同时注意切点即在切线上也在函数的图象上，求出，得到函数解析式．涉及切线问题时，注意切点即在曲线上也在切线上．19.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】∵奇函数关于直线对称，∴，即，∴是周期函数，其周期，又∵当时，，故在上的函数图象如下图所示，∴可知方程在的根共有4个，其和为，故选C．【考点】本题主要考查函数与方程．20.函数的定义域和值域都是[0,1]，（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为函数的定义域和值域都是，当时，，所以是减函数，所以时，，，因此，，故选C.【考点】1、函数的定义域、值域；2、函数的单调性.21.设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（）.A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；、、中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D. 【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.22.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）依据题设条件和导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识求解；（3）建立不等式求解.试题解析:（1）当时,, 故在上单调递减, 上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上.（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是.（3）不妨设,则恒成立.因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上单调递增,设,则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,. 由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则.当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增, 因此.综上述,.【考点】函数的导数在研究函数的单调性等方面的运用．23.函数的极小值是_____________.【答案】【解析】，由得，在上递增，由得，在上递减，所以的极小值为，故答案为.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的极值.24.已知函数有两个不同零点，则的最小值是（）A．6B．C．1D．【答案】D【解析】，由得或.因为函数有两个不同零点，又，则，即，整理得，所以，所以所以当时，的最小值是，选D．【考点】函数的零点.25.已知函数.（1）当时，求函数零点的个数；（2）当时，求证：函数有且只有一个极值点；（3）当时，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）有且只有1个零点；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）依据题设运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识分析推证；（3）借助题设条件构造函数运用导数求解.试题解析：（1）当时，，.令得.∴函数在区间上单调递增，在上单调递减.∵，，∴函数在区间内有且只有一个零点；又当时，恒成立，∴函数在区间内没有零点.综上可知，当时，函数有且只有1个零点.（2）∵，∴.令，∵，∴函数在区间上单调递减.∵（∵），，∴，使得，∴当时，，即，在区间上单调递增；当时，，即，在区间上单调递减.∴是函数在区间内的极大值点.即当时，函数有且只有一个极值点.（3）当时，总有成立，即当时，总有成立，也就是函数在区间上单调递增.由可得在区间恒成立，即在区间恒成立.设，则.令，则.∴当时，即，函数在区间上单调递减；当时，即，函数在区间上单调递增.∴.∴所求的取值范围是.【考点】导数的有关知识及综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究零点极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问求零点的个数,这时,求解时只要先对已知函数进行求导,再讨论其在定义域内的单调性,最后依据函数的图象变化情况确定零点的个数;第二问中的证明极值点的个数是个,也是先求导后构造函数,通过对求该函数单调性的研究确定了极值点的个数；第三问中的求取值范围问题则是借助导数可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求出其最小值从而使得问题获解.26.已知奇函数的定义域为，且当时，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为奇函数的定义域为，所以；又当时，，所以当时，，因此要使函数有2个零点，则实数的取值范围是【考点】函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.27.已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于“函数的图象关于点对称”，故图象关于原点对称，为奇函数，不妨设.根据，得，作图象如下图所示，故最大值为.当时，过，由图象可知还不是最小值，不合题意，故选C.【考点】1.函数奇偶性与单调性；2.最值问题.【思路点晴】本题考查函数图象与性质，导数与图象等知识.第一个问题就是处理这两个函数图象的关系，图象向右移个单位得到图象，向左移个单位得到图象.由此可以确定函数是一个奇函数，由于为增函数，而且为抽象函数，不妨设，这样可以简化题目的化简过程.28.已知二次涵数,过点作直线与的图象相切于两点,则直线（）A．过定点B．过定点C．过定点D．过定点【答案】B【解析】由图可知，切线的斜率存在，设斜率为，切线方程为，联立直线的方程和二次函数的方程并化简得，判别式，设切点为，则切线方程为.不妨设则，由，由，故，直线过.设，则，求得切点为，直线也过，故选B．【考点】导数与切线．【思路点晴】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线切线问题.由于本题是一个选择题，我们采用特殊值的方法，首先设出切线方程，联立直线的方程和二次函数的方程并化简，并求其判别式，可得到两者的关系，令，求出，可求得两个切点的坐标为，这条直线过，为了确保答案正确，再取，用同样的方法求得切点为，此时直线也过，故选B.29.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意得，得，设，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，因为当时，，当时，，所以要使得函数在区间上有两个零点，所以实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．30.已知函数在时有极值，则_________．【答案】【解析】因为，所以，所以，解得或，当时，函数，则，函数在单调递增，函数无极值，所以．【考点】利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值，反之结论不成立，即函数由，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．31.已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为______________．【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．故答案为．【考点】1、函数的奇偶性及分段函数的解析式；2、利用导数求曲线的切线方程．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题．求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．32.若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数是减函数，则____________．【答案】1【解析】当时，是增函数，，则，此时，为增函数，不合题意，当时，是减函数，，，则，此时，为减函数，符合题意，所以．【考点】函数的单调性．33.已知函数，若实数满足，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故函数为偶函数，，即，故，解得.【考点】函数奇偶性与单调性．34.已知为奇函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数为奇函数，则，故选A.【考点】函数的奇偶性．35.已知函数，若对于任意实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于任意实数，总存在实数，使得成立，即值域为,因此要求取遍一切正数．•时,符合题意．‚时,需即．综上,实数的取值范围是．【考点】对数函数的图象与性质．36.若关于的函数（）的最大值为，最小值为，且，则实数的值为．【答案】【解析】由题意得，，显然是奇函数，因为函数的最大值为，最小值为，且，所以，即所以.【考点】1.函数奇偶性的应用；2.函数最值.【方法点睛】本题主要考查的是函数奇偶性的应用以及函数最大值，最小值，分析解决问题能力，属于中档题，通过观察发现可对其进行变形（裂项）成一个常数加上一个奇函数形式，进而加上最大值与最小值的关系，从而可得到与之间的关系，即，即可求出答案，因此解决此类题目分析观察能力很关键.37.已知函数，设，且，则的最小值为（）A．4B．2C．D．【答案】D【解析】由于，且，所以可得，从而，当且仅当时取等号，故选D.【考点】1.基本不等式；2.最值.38.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B．【考点】分段函数．39.若函数，且，．（1）求的最小值及对应的值；（2）取何值时，，且．【答案】（1）当时，有最小值；（2）．【解析】（1）由已知可得当时，有最小值；（2）由．试题解析：（1），，由已知，所以，，，．又，，，，故．从而．当，即时，有最小值．（2）由题意即．【考点】函数与不等式．40.奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是偶函数，则的图象关于直线对称，又是奇函数，则，且是周期函数，且周期为4，所以．故选D．【考点】函数的奇偶性，周期性．【名师】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；41.已知函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，，．故选D．【考点】分段函数．42.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.【答案】（I）当时，的单调增区间为，减区间为，当时，的单调增区间为，无减区间；（II）.【解析】（I）写出函数定义域，求出导函数，通过讨论的范围，判断的符号，求出单调区间；（II）若在区间上有最值，则在区间上总不是单调函数，由由题意知，对任意，恒成立，，因为，，又因为对任意，恒成立，解得.试题解析：（I）由已知得的定义域为，且，当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，无减区间；（II），在区间上有最值，在区间上总不是单调函数，又由题意知：对任意，恒成立，，因为，对任意，恒成立，，综上，.【考点】利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了分类讨论的思想和转化的思想方法，属于中档题.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，确定讨论的标准，研究导数的符号，求出单调区间，本题解答的难点是第二问，把在区间上有最值，则在区间上总不是单调函数，通过分类参数求最值，得到的范围.43.已知函数，给下列三个命题：若，则的最大值为不等式的解集为集合的真子集当时，若恒成立，则那么，这三个命题中所有的真命题是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，故，当且仅当，即时取等号，故其最大值为，即为真；如图所示作出的简图，且由图可知不等式的解集为集合的真子集，即为真；要使恒成立，只需即可，通过观察图象可知，即正确，故选A.【考点】（1）基本不等式；（2）恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的解析式以及利用基本不等式求函数最值问题，同时还考查了数形结合在函数中的重要性，画出函数、的简图是判断、正确性的关键所在；对于代入的解析式结合基本不等式可直接得到最大值；要使不等式成立，即的图象始终在图像的下方；恒成立，即在给定区间内的最低点不低于的最高点.44.下列函数中，是偶函数且在上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A非单调函数，选项B是减函数，选项D是奇函数，故选C.。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.如下图是函数的大致图象，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的图像看到函数的零点为0,1,2，所以有，解得，所以，，又是使导数为零的点，所以由韦达定理有，，所以，选C2.（本小题满分12分）已知，设函数．（Ⅰ）若在上无极值，求的值；（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）若（为自然对数的底数）对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）在上无极值就是其导函数在（0, 2）不变号，（Ⅱ）本题实质求函数在[0, 2]上的最大值，①当时，；②当时，不合题意；③当时，④当时，满足条件，综上可得（Ⅲ）由题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，研究函数单调性就可得t的取值范围．试题解析：（Ⅰ），又在（0, 2）无极值（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，由得：在时无解②当时，不合题意；③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值．…8分（Ⅲ）若对任意恒成立，即对任意恒成立，令，由于m的最大值为1，则恒成立，否则存在使得则当时，不恒成立由于，则当时由得则在上递减，在上递增，则，所以在上是递增函数，满足条件，所以t的取值范围为【考点】利用导数求函数最值，极值3.李华经营了两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为,（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（）A．11000B．22000C．33000D．40000【答案】C【解析】设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售辆，故利润，所以当x=60辆时，有最大利润33000元，故选C。
【考点】函数的最大值．4.设函数，则函数（）A．在区间内均有零点B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点【答案】D【解析】由已知得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，且，因此在区间内无零点，在区间内有零点，选D.【考点】函数的零点.5.（本小题满分12分）设函数（1）若求的单调区间；（2）若当时，，求的取值范围．【答案】（1）在，单调增加，在（-1，0）单调递减；（2）．【解析】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对求导，再利用和判断函数的单调性；第二问，，构造函数，分类讨论，先利用导数判断确定函数的单调性，再确定函数的正负，从而求出函数的正负，即可得到a的取值范围．试题解析：（Ⅰ）时，，。
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（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-•，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
理科函数与导数
答 案
1．A
2．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3．6(31)n -
4．解：（Ⅰ）化简可得21()sin 3sin cos 2
f x x x x =+- 131(1cos 2)sin 2222
31sin 2cos 222
πsin(2)6
x x x x x =-+-=-=- 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+可得π5πππ36
k x k +≤≤+， ∴()f x 的单调区间为π5π[π,π]()36
k k k ++∈Z ； （Ⅱ）由（1）知π()sin(2)6
f x x =-， 当(0,π)x ∈时，ππ11π2666
x -<-<， 结合正弦函数的图像，当ππ262x -=，即π3
x =时，()f x 取得最大值， ∵()f A 是()f x 在(0,π)上的最大值，
∴π3
A =
， 在ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即211216242b b =+-⨯⨯，
解得2b =，
∴ABC △的面积11πsin 24sin 23223S bc A ==
⨯⨯=． 5．解：（Ⅰ）()1ln ln 1x x f x x x
=+•=+' 1x =时，)1(1f '=，0(1)f =，
故()f x 在1x =处的切线方程是：1y x =-，
联立212y x y x ax =-⎧⎨'=-+-⎩
消去y 得：2(1)10x a x +-+=，
由题意得：2(1)40a -=-=△，
解得：3a =或1-；
（Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'，
1(0,)e
x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e
x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4
t <≤-时， min 111)ln )444
()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e
t -<<时， min e ()1e
)(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min
1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--⎧⎪⎪-<<≥⎪=⎨⎪⎪⎪⎩； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立，
又两次最值不能同时取到，
故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e
x x x x >-成立．
高三数学专题练习 理科函数与导数 解 析
1．解析：令12
()e ()x g x f x =，则11122211()e ()e ()e (()2())22x x x g x f x f x f x f x '''=+=+， ∵函数()f x 满足()2()0f x f x '+>，
∴()0g x '>，
∴函数()g x 在定义域内为增函数，
∴(1)(0)g g >，即12
e (1)(0)
f f >，亦即(0)(1)e f f >， 故选：A ．
2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥，
∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数，
又∵()sin ()f x x x f x -=--=-，
∴()sin f x x x =+为奇函数，
∴2222222222(23)(41)0(23)(41)
(23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤⇔-+≤--+⇔-+≤-+-⇔-+≤-+-⇔-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ⎧-+-≤⎨≥⎩
可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1
y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1
y x +的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
3．解析：依题意，可得右图：()2f x = 1226x x +=⨯，
34218x x +=⨯，
…，
212223n n n x x -+=⨯⨯，
2122123(31)...4(33...3)46(31)31n n
n n n x x x x --++++=⨯+++=⨯=⨯--．。