一轮复习--分式方程
分式方程-数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向11分式方程【考点梳理】1.分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).：使最简公分母为零的整式方程的根不是原方程的根（是增根），使最简公分母不为零的整式方程的根是原方程的根。
（简称：一化二解三检验）【题型探究】题型一：分式方程的定义1．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①11x x +=；②1302x +-=；③23311x x+=--；④1xx ab+=（,a b 为已知数），其中分式方程有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·全国·九年级专题练习）下列结论正确的是（ ） A ．153y y+=是分式方程 B ．方程221624x x x --+-＝1无解 C ．方程223x xx x x x=++的根为x ＝0 D ．解分式方程时，一定会出现增根3．（2021·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：解分式方程4．（2022·河南洛阳·统考一模）方程210123x x +=+-的解为（ ） A ．73x =B ．=1x -C ．52x =D ．1x =5．（2022·山东滨州·统考二模）在如图解分式方程：3122x xx x --=--的4个步骤中，根据等式基本性质的是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．①④6．（2022·江苏连云港·校考三模）解分式方程：21 322x x x-+=-- 题型三：分式方程解的问题7．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）关于x 的方程312a x x-=-的解为正整数，且关于x 的不等式组534634x x x a -⎧+⎪⎨⎪≥⎩＞恰有4个整数解，则满足条件的所有整数a 值之和为（ ） A ．1-B ．0C ．3D ．48．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组52238m x x x ->⎧⎨-≤+⎩有且只有4个整数解，并且使得关于y 的分式方程5233m y y-=--的解为整数，则满足条件的所有整数m 的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）从7-，5-，1-，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m ，若数m使关于x 的不等式组0243(2)x mx x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的m 的值的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型四：分式方程无解问题10．（2022·黑龙江佳木斯·统考三模）已知关于x 的分式方程2322x m m x x+=--无解，则m 的值是（ ） A ．1或13B ．1或3C ．13D ．111．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）若关于x 的分式方程7311mx x x+=---无解，则m 的值为（ ） A ．3B ．7C ．7±D ．3或712．（2022·四川泸州·校考一模）已知关于x 的方程241422x m m x x x -+=--+无解，则实数m 的取值是（ ） A ．1,22m m ==-B ．1,22m m =-=C ．10,2m m ==-D ．10,2m m ==题型五：列分式方程13．（2022·浙江丽水·模拟预测）为响应承办“绿色奥运”的号召，某校计划组织七年级部分同学参加义务植树180棵．由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵．若设原计划有x 人参加这次植树活动，则根据题意可列出方程为（ ） A ．18018021.5x x+= B ．18018020.5x x+= C ．18018021.5x x-= D ．18018020.5x x-=14．（2022·浙江温州·统考一模）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x人参加聚餐，由题意可列方程（）A．24002400402x x=++B．24002400402+=+x xC．24002400402x x=+-D．24002400402x x+=-15．（2022·山东淄博·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=+D．2000020000(115%)10x x⨯-=+题型六：分式方程的实际应用问题16．（2022·广东广州·校考二模）荔枝是岭州四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．某水果超市用4000元购进一批荔枝，面市后供不应求．超市又用1万元购进第二批这种荔枝，所购数量是第一批的2倍，因每斤进价贵了2元．(1)第一批荔枝每斤进价为多少元？(2)超市销售两批荔枝售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则每斤售价至少为多少元？17．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，①当x 为何值时，售出A 纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A ，B 型纪念品共200件，其中A 型纪念品的件数小于B 型纪念品的件数，但不小于50件．若B 型纪念品的售价为()30m m >元/件时，商场将A ，B 型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m 的值．18．（2022·山东泰安·校考二模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．【必刷基础】一、单选题19．（2022·湖南株洲·校考二模）分式方程221axx +=-的解为2x =，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．（2023·重庆黔江·校联考模拟预测）若关于x 的方程111a x ax x ++=+-的解为负数，且关于x 的不等式组1()022113x a x x ⎧-->⎪⎪⎨-⎪-≥⎪⎩无解．则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．321．（2022·甘肃平凉·校考三模） 2022年北京冬奥会的比赛场馆分为3个赛区，分别是北京赛区、延庆赛区、张家口赛区，3个赛区之间均有高速铁路和高速公路相通，北京赛区清河高铁站与张家口赛区太子城高铁站之间的高速铁路里程为166km ，高速公路里程为178km ，已知从清河高铁站到太子城高铁站乘“复兴号”列车比乘汽车少用2h ，“复兴号”列车的平均速度是汽车平均速度的3倍，求“复兴号”列车和汽车的平均速度．设汽车的平均速度是km/h x ，则可列方程为（ ）A ．16617823x x-= B ．16617823x x+= C ．17816623x x-= D ．17816623x x+= 22．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组()03432x mx x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311x m x x ++=--有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ） A ．6B ．8C ．11D ．1423．（2023·全国·九年级专题练习）小明和小亮在解答“解分式方程：2311x x x x+-=-”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（ ）A ．小明的步骤①错误，漏乘B ．小明的步骤②、③、④都正确C ．小明的步骤⑤错误D ．小亮的解答完全正确24．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A ，B 两地相距80千米，一辆大汽车从A 地开出2小时后，又从A 地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B 地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为km/h x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．8080403x x -= B ．80802.43x x -= C ．80802233x x -=+ D ．80802233x x +=-25．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）若数a 使关于x 的分式方程1133x ax x++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．226．（2022·浙江衢州·模拟预测）某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做50天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍．请问： (1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？(2)若甲工程队先做x 天后，由乙工程队接替，结果乙队再做y 天就恰好完成任务．其中x ，y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？ 27．（2022·江苏无锡·统考一模）若关于x 的方程12022m xx x+-=--有增根，则m 的值为（ ） A ．－5B ．0C ．1D ．228．（2022·吉林长春·校考模拟预测）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多16元，且学校用1950元购买小型号的数量是用1050元购买大型号数量的三倍． (1)求两种型号玩偶的单价；(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200个，但总费用不超过7000元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．29．（2022·吉林长春·模拟预测）为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”.他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用4A 厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用4A 薄型纸双面打印，总质量为160克．已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的4A 厚型纸每页的质量．(墨的质量忽略不计)提示：总质量=每页纸的质量⨯纸张数．【必刷培优】一、单选题30．（2022·重庆·统考二模）若关于x 的不等式组21321()9232x m x -≥-⎧⎪⎨++≤⎪⎩有且只有两个奇数解，且关于y 的分式方程432222my y y y --=---有解，则所有满足条件的整数m 的和是（ ） A ．7B ．10C ．13D ．2131．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠32．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）已知关于x 的分式方程412222m x x -=--的解为整数，且关于y 的不等式43323m y y y +<⎧⎨+≥-+⎩，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m 的和为（ ） A ．20-B ．16-C ．12-D ．10-33．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）若关于x 的一元一次不等式组()3624,1x x x a ⎧+>+⎨+>⎩的解集为2x >，且关于y 的分式方程33133ay y y --=--的解是整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．2-二、填空题34．（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x 的方程62033x mx x --=--有增根，则m 的值是______． 35．（2022·海南海口·海口市第九中学校考模拟预测）如果分式22224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭的值为1，则x 的值为___________．36．（2022·山东济宁·三模）分式方程112112m x x=+--的解是正数，则m 的取值范围为___________37．（2022·宁夏吴忠·校考三模）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是___________________．38．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x 的方程111(1)x ax x x x ++=++的解为负数，则a 的取值范围是__________． 39．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和m 个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m 的值为_________．40．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．三、解答题41．（2022·宁夏银川·校考三模）某零售商店第一次用1000元购进一批雪绒绒挂件若干个，第二次用1800购进冰墩墩挂件是购进雪绒绒挂件数量的32，而冰墩墩挂件的进货单价比雪绒绒挂件的进货单价多1元．(1)求该商店购进的雪绒绒和冰墩墩数量各多少个？(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，雪绒绒挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则冰墩墩挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？42．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．(1)求A到B的平均车速；(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？43．（2022·宁夏吴忠·校考一模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际，用3000元购进A B、两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同，已知A种粽子单价是B种粽子单价的1.2倍．(1)求A B、两种粽子单价各多少？(2)商场准备再次购进A B、两种粽子共2600个，要求B种粽子数量不超过A种粽子数量的3倍，那么要购进多少个A种粽子最省钱？（已知A B、两种粽子进价不变）44．（2022·宁夏银川·校考二模）某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进A，B两种图书各若干本免费赠阅．每本A图书的价格比每本B图书的价格多10元，若在书店购买时每1本A图书和1本B图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠．(1)若学校购买每个套装的费用不超过120元，那么B图书的最高售价不能超过多少元？(2)若用1040元购买的套装中B图书的数量与用600元单独购买B图书的数量相同，那么B图书的售价是多少？45．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．参考答案：1．B【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B ．【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键． 2．B【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断． 【详解】解：A ．原方程中分母不含未知数，不是分式方程， 所以A 选项不符合题意； B ．解方程，得x ＝﹣2， 经检验x ＝﹣2是原方程的增根， 所以原方程无解， 所以B 选项符合题意； C ．解方程，得x ＝0， 经检验x ＝0是原方程的增根， 所以原方程无解， 所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时，不一定会出现增根， 只有使分式方程分母的值为0的根是增根， 所以D 选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识． 3．B【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x+=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ．【点睛】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．4．D【分析】直接利用解分式方程的一般步骤解分式方程即可求解． 【详解】210123x x +=+- 解：去分母，得()()22310x x -++=，∴4610x x -++=，解得1x =，检验：当1x =时，()()23120x x -+=-≠，∴1x =是原分式方程的解，故选：D【点睛】本题考查了分式方程的解法，注意：解分式方程时，一定不能漏掉检验．5．A【分析】根据解分式方程的步骤，等式的性质即可求解．【详解】①两边同时乘以()2x -，()32x x x --=-，②去括号32x x x -+=-，③移项，两边同时加3x -，23x x x +-=-+，④合并同类项得1x =，经检验，1x =是原方程的解．故①，③根据等式的基本性质，故选A【点睛】本题考查了解分式方程，等式的性质，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．6． 1.5x =【分析】将分式方程去分母，化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解：21322x x x-+=--， 等号两边同时乘()2x -，得：23(2)(1)x x +-=--，去括号，得：2361x x +-=-+，移项、合并同类项，得：23x =，系数化为1，得： 1.5x =，经检验 1.5x =是原分式方程的解，∴该方程的解为 1.5x =．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，注意验算．7．D【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a 的值，表示出不等式组的解集，由不等式组恰好有7个整数解，得到a 的值相加即可．【详解】解：分式方程去分母得：63x ax x -=-， 解得：62x a =+， 由分式方程解为正整数，且2x ≠，0x ≠得到23a +≠，21,2,6a ∴+=，解得：1,0,4a =-， 不等式组整理得：54x a x <⎧⎪⎨≥⎪⎩， 解得：54a x ≤<， 由不等式组有解且恰有4个整数解，得到整数解为4，3，2，1，014a ∴<≤， 04a ∴<≤，则满足题意a 的值只能为4，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．8．B【分析】利用不等式组的整数解和分式方程的整数解确定m 的值即可．【详解】解：不等式组52238m x x x ->⎧⎨-≤+⎩的解为：255m x --≤<． ∵关于x 的不等式组52238m x x x ->⎧⎨-≤+⎩有且只有四个整数解， ∴2215m --<≤-， ∴83m -<≤-，∴整数m 的值为：7,6,5,4,3-----．关于y 的分式方程5233m y y -=--的解为：112m y +=． ∵分式方程有可能产生增根3， ∴1132m +≠． ∴5m ≠-．∵关于y 的分式方程5233m y y-=--的解为整数， ∴7m =-或3-．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题要注意之处．9．B【分析】根据不等式组的解集为1x >，求得1m ，根据分式方程有非负整数解，求得m 取值范围，即可求解． 【详解】解：解不等式组0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩可得1x m x >⎧⎨>⎩ ∵不等式组的解集为1x >，∴1m ， 由1322x m x x -+=--可得：13(2)x m x --=-， 解得52m x += 由题意可得，0x ≥，且2x ≠可得：5m ≥-，且1m ≠-此时m 的取值为5-，0，1又∵x 为整数，∴m 的取值为5-，1，个数为2故选：B【点睛】此题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．A【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【详解】解：去分母得，23(2)x m m x -=-，去括号得，236x m mx m -=-，移项得，326x mx m m -=-，合并同类项得，(13)4m x m -=-，∵分式方程2322x m m x x+=--无解， ∴1-3m =0或x =2， ∴13m =，将x =2代入(13)4m x m -=-，得2(13)4m m -=-，解得m =1，综上，m 的值是1或13． 故选A ．【点睛】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．11．D【分析】将分式方程化为整式方程，一次项系数为0时整式方程无解则分式方程无解，整式方程的解使分式方程的分母为0时分式方程也无解；【详解】解：去分母得：7-mx =-3（x -1）去括号得：7-mx =-3x +3移项合并得：（3-m ）x =-4当m =3时，0x =4，整式方程无解，分式方程也无解，当x =1时，m =7，分式的分母为0，分式方程无解，∴m =3或m =7时，分式方程无解，故选：D ．【点睛】本题考查了根据分式方程无解确定字母参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．12．D【分析】分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．根据这两种情况分析解答即可．【详解】解：原方程两边同乘以24x -，得：()422x m m x x -++=-，整理得：220mx m -+=，当240x -=时，2x =±，当0m =时，这个整式方程无解，即当0m =时，原分式方程无解，当2x =时，2是原分式方程的增根，原方程无解，此时220mx m -+=无解，当2x =-时，2-是原分式方程的增根，原方程无解，此时220mx m -+=的解为：12m =， ∴当0m =或12m =时，原分式方程无解， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式方程无解的条件，解题的关键是正确理解分式方程无解的情况有两种：一是去分母之后得到的整式方程无解；二是去分母后得到的整式方程有解，但这个解又使分式方程的最简公分母为0，此时分式方程也无解．13．C【分析】关键描述语为：“结果每人比原计划少栽了2棵”，等量关系为：原计划每人植树的数量-实际每人植树的数量2=．【详解】解：若设原计划有x 人参加这次植树活动，那么原计划每人植树的数量为：180x ，实际每人植树的数量为：()180180.150% 1.5x x =+ 方程应该表示为：180180 2.1.5x x-= 故选：C ．【点睛】本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．14．D【分析】设原来有x 人参加聚餐，则实际有（x ﹣2）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元”列出方程，此题得解．【详解】解：设原来有x 人参加聚餐，则实际有（x ﹣2）人参加聚餐， 根据题意，得24002400402x x +=-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．15．D【分析】设第二次采购单价为x 元，则第一次采购单价为(x +10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设第二次采购单价为x 元，则第一次采购单价为(x +10)元， 依题意得：2000020000(115%)10x x ⨯-=+， 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．16．(1)第一批荔枝每斤进价为8元(2)每斤售价至少为12元【分析】（1 ）设第一批荔枝每斤进价为x 元，则第二批荔枝每斤进价为()2x +元，根据“所购数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可求解．（2 ）设售价为y 元，再根据盈利＝销售价﹣成本价，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）设第一批荔枝每斤进价为x 元，则第二批荔枝每斤进价为()2x +元， 依题意得：10000400022x x=⨯+， 解得：8x =，经检验，8x =是方程的解，且符合题意，答：第一批荔枝每斤进价为8元．（2）设每斤售价为y 元， 依题意可得：()()400040008210400088y y ⨯-+⨯⨯-≥， 解得：12y ≥，答：每斤售价至少为12元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1）找准等量关系，正确列出分式方程；（ 2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 17．(1)A ，B 两种纪念品每件的进价分别是50元和20元(2)①当65x =时，售出A 纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②1063m =【分析】（1）设B 纪念品每件的进价是x 元，则A 纪念品每件的进价是()30x +元，根据用1000元购进A 种纪念品的数量和用400元购进B 种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；（2）①设利润为w ，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进A 型纪念品a 件，则购进B 型纪念品()200a -件，根据题意列出不等式组，求出a 的取值范围，进而得到A 型纪念品的最大利润，设总利润为y ，求出函数关系式，根据函数的性质，求出当2800y =时，m 的值即可．【详解】（1）解：设B 纪念品每件的进价是x 元，则A 纪念品每件的进价是()30x +元，由题意，得：100040030x x=+，解得：20x， 经检验：20x是原方程的解； 当20x 时：30203050x +=+=；∴A ，B 两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）解：①设利润为w ，由表格，得：当5060x ≤≤时，()501001005000w x x =-⨯=-，∵1000k =>，∴w 随着x 的增大而增大，∴当售价为：60元时，利润最大为：1006050001000⨯-=元；当6080x <≤，()()()225040055650200005651125w x x x x x =--=-+-=--+，∵50a =-<，∴当65x =时，利润最大为：1125元；综上：当65x =时，售出A 纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．②设该商场购进A 型纪念品a 件，则购进B 型纪念品()200a -件，由题意，得：50200a a ≤<-，解得：50100a ≤<，由①可知：当A 型纪念品的售价为60元时，售出A 型纪念品的利润最大；设A ，B 型纪念品均全部售出后获得的总利润为：y ，则：()()()605020200y a m a =-+--，整理，得：()302004000y m a m =-+-，∵30m >，∴300-<m ，∴y 随a 的增大而减小，∴当50a =时，y 有最大值，最大值为：()3050200400015025002800y m m m =-⨯+-=-=， ∴1063m =． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．18．(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元(2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x 元，可得240008000240x x =⨯-，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；。
第一轮复习—09分式方程
分式方程1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .4．列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型（1）数字问题（包括日历中的数字规律）①设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数是 ；②日历中前后两日差 ，上下两日差 。
（2）体积变化问题。
（3）打折销售问题①利润= -成本； ②利润率= ×100％.（4）行程问题。
（5）教育储蓄问题①利息= ； ②本息和= =本金×（1+利润×期数）；③利息税= ； ④贷款利息=贷款数额×利率×期数。
练习题一、选择题1、下列关于x 的方程一定有实数解的是 （ ）（Ａ）210x ax ++=；（Ｂ）1111x x x +=--；（Ｃ）m =； （Ｄ）210x ax +-=．2.某公司承担了制作600个广州亚运会道路交通指引标志的任务， 原计划x 天完成，实际平均每天多制作了10个，因此提前5天完成任务．根据题意，下列方程正确的是 ( )A ．600600105x x -=-B ．600600105x x -=+ C ．600600510x x -=+ D ．600600105x x +=- 3.分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 二、填空题1.方程0415=-+xx 的解是 . 2．当分式12x -与3x的值相等时，x 的值为 ． 4.若关于x 的方程211=--x m 的解为正数，则m 的取值范围是 5.分式方程x x -=+1211的解为_____________.。
2025年九年级中考数学一轮复习课件：第7讲分式方程
－50＝
B.
＋50＝
D.
A.
C.
－50＝
＋50＝
16.[工作量问题](2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和
乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追上乙的进度，加工的速度是
( B )
.×
＝0.75
A.0.98×5＝0.75x
B.
C.0.75×5＝0.98x
.×
D.
＝0.98
－
＋
20.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，
甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
B)
分式方程的根或增根
考查角度1：根据分式方程的根求值
－
6.已知x＝3是分式方程
−
＝2的解，那么实数k的值为(
－
A.－1
B.0
C.1
D.2
7.若关于x的分式方程 ＝
有解，则字母a的取值范围是(
－
A.a＝5或a＝0
B.a≠0
C.a≠5
D )
D.a≠5且a≠0
两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2 640个数
据.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各
能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意列方程正确的是( D )
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
2024年中考数学一轮复习考点06 分式方程(精讲)(解析版)29
考点06.分式方程（精讲）【命题趋势】分式方程考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．3）增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。
由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。
若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。
2：分式方程的应用（☆☆☆）1）列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。
2）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。
【易错点归纳】1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
2024届中考数学第一轮复习基础知识过关 第6讲《分式方程》教学PPT课件
(1)解分式方程的基本思想是转化思想,把分式方程转化为整式方程;
(2)解分式方程一定注意要检验;
(3)去分母时不要漏乘没有分母的项,还要注意符号的变化.
[变式 1] (2023 成都双流二模)解方程:
+
解:
-
+
-
=2,
=2.
(-) -
方程两边都乘 2(x-3),得 3x+3-2x=4(x-3),
同时到达;已知汽车速度是自行车速度的3倍,求张老师骑车的速度.
解:设张老师骑车的速度为 x km/h,则汽车的速度是 3x km/h.
根据题意,得 = +2,
解得 x=15.
经检验 x=15 是分式方程的解.
答:张老师骑车的速度为 15 km/h.
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同,要理清
答:摩托车的速度为 40 km/h.
分式方程
分式方程的概念
分母
中含有未知数的方程,叫做分式方程.“分母中含有未知数”
是分式方程与整式方程的根本区别,也是判断一个方程是否为分式方
程的依据.
分式方程的解法(常考点)
1.解分式方程的思想
把分式方程转化为
整式方程
.
2.解分式方程的一般步骤
最简公分母
(1)把方程两边都乘
(2)解这个 整式 方程;
- =
(+%)
(+%)
B. D.
=10
- =10
(+%)
3.(2023广安)为了降低成本,某出租车公司实施了“油改气”措施.如
中考数学一轮复习教案分式方程
中考数学一轮复习教案分式方程教学目标：1.能够理解和运用分式方程的概念和性质；2.能够解决包含分式的一元一次方程；3.能够解决包含分式的一元二次方程。
教学重点：1.分式方程的概念和性质；2.分式方程的解决方法；3.解决一元一次和一元二次方程中的分式方程问题。
教学难点：1.解决一元二次方程中的分式方程问题；2.能够利用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。
教学准备：1.多媒体教学设备；2.分式方程的课件及相关练习题目；3.板书工具。
教学过程：Step 1: 导入引导学生回忆一元一次方程和一元二次方程的概念和解决方法，并复习线性方程组的解法。
Step 2: 分式方程的概念和性质1.引导学生思考分式方程的概念，并给出定义。
2.介绍分式方程的性质：分式方程的解是方程左右两边相等时的值，解的存在与否与分式的定义域和分母的取值有关。
Step 3: 解决包含分式的一元一次方程1.反复强调要化简分式方程，寻找分式方程的解集。
2.通过示例演示化简分式，然后使用消元法、倒置法等解决一元一次方程中的分式方程问题。
3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元一次方程中的分式方程问题的能力。
Step 4: 解决包含分式的一元二次方程1.通过示例引入一元二次方程中的分式方程问题。
2.介绍使用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。
3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元二次方程中的分式方程问题的能力。
Step 5: 拓展应用引导学生思考分式方程在实际问题中的应用，并提供一些相关的应用题目，让学生应用所学知识解决实际问题。
Step 6: 归纳总结带领学生回顾分式方程的解题过程和方法，并总结解决分式方程问题的一般步骤和方法。
Step 7: 检测与评价收集学生解答的习题，进行检测与评价，对学生的掌握情况进行评估，并及时给予指导和反馈。
Step 8: 课堂小结对本堂课的重点知识进行总结，强调重点、难点和易错点。
Step 9: 课后作业布置相关的作业，要求学生进一步巩固所学知识。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
备战九年级中考数学一轮复习第7课 分式方程的解法及应用(全国通用)
(1＋50%)x km/h，依题意，得：25
解得 x＝50，
x
x
30
50%
x
6 60
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴(1＋50%)x＝75.
答：走路线B的平均速度为75 km/h.
A组 10．(202X·南京)方程 x x 1 的解是__x___14___．
x 1 x 2
11．(202X·广州)方程
1
2
4 x2
4
1.
解：方程两边都乘(x2－4)，得 x＋2－4＝x2－4， 解得x1＝2，x2＝－1 检验：当x＝2时，x2－4＝0， ∴x＝2不是原分式方程的解 当x＝－1时，x2－4≠0， ∴原分式方程的解为x＝－1.
考点2 分式方程的应用
8.【例4】(广东中考)某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店
2.(202X·抚顺)随着快递业务的发展，某快递公司为快递员更换
了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到
4 200件，平均每人每周比本来多投递80件，若快递公司的快递
员人数不变，求本来平均每人每周投递快件多少件？设本来平
均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为( D )
A.3000 4200 x x 80
50%)x元/件，
依题意，得： 7200
1+50%
x
3200 x
40,
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴(1＋50%)x＝60，32x0080, Nhomakorabea7200
1 50%
x
120
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购
进甲商品120件，购进乙商品80件．
中考数学一轮复习：分式方程
【思路点拨】 审题确定等量关系 → 设未知数x → 列方程 → 解方程 → 验根，判断根是否合理 → 确定根并写答
【解析】设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需(x＋25) 天． 30 30 根据题意得： ＋ ＝1. x x＋25 方程两边同乘x(x＋25)，得30(x＋25)＋30x＝x(x＋25)，即x2－35x－750＝0. 解之，得x1＝50，x2＝－15. 经检验，x1＝50，x2＝－15都是原方程的解． 但x2＝－15不符合题意，应舍去． ∴当x＝50时，x＋25＝75.
解分式方程去分母时，漏乘整式项，最后忘记验根． x2－4x 2x 解分式方程： 2 ＋1＝ . x －1 x＋1
【错因分析】(1)去分母时漏乘不含分母的项；(2)忘记验根．
x2－4x 2x 【解析】原方程变形为 ＋1＝ . x＋1x－1 x＋1 方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x2－4x＋(x＋1)(x－1)＝2x(x－1)． 1 整理得x2－4x＋x2－1＝2x2－2x，即2x＝－1，x＝－ . 2 1 检验：当x＝－ 时，(x＋1)(x－1)≠0， 2 1 所以x＝－ 是原方程的根． 2
知识点三
列分式方程解应用题
1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题的思路基本一样．不同之处是列出的方 程是分式方程．
2．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) ①设个位数字为 c，十位数字为 b，百位数字为 a，则这个三位数是 100a＋10b＋c ； ②日历中前后两日差 1，上下两日差 7. (2)体积变化问题． (3)打折销售问题 ①利润＝售价－成本； 利润 ②利润率＝ ×100%. 成本 (4)行程问题 路程＝速度×时间． 若用 v 表示轮船的速度，用 v 顺、v 逆、v 水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在 下列式子中填空． v 顺＝v＋v 水 v 逆＝v－v 水 v顺＋v逆 v顺－v逆 v＝ ` v 水＝ 2 2 在轮船航行问题中，如果知道 v 顺、v 逆、v、v 水中的任何两个量，总能求出其他的量．
分式方程及应用
x=6
解这个整式方程
检验：当x=6时， x(x-2) ≠0 ∴x=6是原方程的根
验根
3.
解方程：
x 3 2 x 1 1 x
4、增根
在分式方程变形时，有时可能产生不适合原方程的 根，这种根叫分式方程的增根。解分式方程时，有 可能产生增根（使方程中的分母为 0 的根），因 此解分式方程必须验根，其方法是代入最简公分母 中，看最简公分母是否为 0 ，为0的是增根，否则 不是。
x x x2 2 x x2 , 1 , y 1, 1、在方程 3 2 x 3 x 1
1 ( x 3) 3 4
A 1个
中，分式方程的个数为(
B 2个 C 3个 D
) 4个
3 2 0 2：解方程： x x2
解：方程两边同乘x(x-2)得 方程两边同乘以最简公分 3（-2）-2x=0 解这个方程，得
中考第一轮复习)
分式方程及其应用
考点聚焦：
考点1、分式方程定义及解法 1、分式方程 分母里含有 未知数 的方程叫做分式方程。 2、解分式方程的基本思想
把分式方程 转化 为整式方程，即分式方 程去分母→转化→整式方程 3、解分式方程的一般步骤
（1）方程两边同乘以最简公分母，转化成整式方程。
（2） 解这个整式方程 （3） 验根
4. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产 的1200件新产品进行精加工后再投放市场。现有甲、 乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别 到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独 加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数 量的1.5倍。
3.若关于x的方程 根，试求m的值
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用复习目标1、了解分式方程的概念。
2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。
考点梳理一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 综合训练1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ） A ．12012032x x =+- B ．12012032x x=+- C ．12012032x x=++ D ．12012032x x =++ 【答案】B 【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出方程即可． 【详解】解：原计划每天修建道路120xm ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，12012032x x=+-． 故选：B ．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ） A ．1.2 1.216x+= B ．1.2 1.213x+= C ．1.2 1.2162x += D ．1.2 1.2132x += 【答案】C 【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1x由题意可得，1.2 1.2162x +=， 故选：C ．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A 【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可． 【详解】 解：112x x x ++-＝1， 去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得： （x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解． 故选：A ．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50ss v xx++= 所表达的等量关系是（ ）A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B 【分析】根据题意可以知道s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案， 【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程， ∵某次列车平均提速v km/h ，路程=速度×时间 ∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km ， 故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2【答案】B 【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠. 【详解】 解：302m xx+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m=-，∵分式方程有解，∴20x-≠，∴2x≠，∴68m-≠，∴2m≠-，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是310，利用概率公式列出方程，解之可得．【详解】设白球有x个，由题意得：33 3210x=++，解得x=5．经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程2152x x =+-的解是______． 【答案】9x = 【分析】方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：2152x x =+-， 方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+， 去括号，得245x x -=+ 移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解， 故答案为：9x =．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3mx -有增根，则m ＝___． 【答案】0 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可； 【详解】2x x -﹣2＝3mx -， ()()()()32232x x x x m x ----=-， 223210122x x x x mx m --+-=-，∴()271220x m x m -+--+=， ∵方程有增根， ∴()()230x x --=， ∴2x =或3x =，当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在； 当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =； 故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元． （1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元 【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：160007500210x x=⨯+，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：160160150(160)24840m mm m≥-⎧⎨+-≤⎩，解得：80≤m≤84，又∵m为整数，∴m可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程： （1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--， 解得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．。
中考数学一轮复习《分式方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：分式方程（含答案）一、知识要点：1、定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验。
3、分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。
根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。
根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。
检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
二、课标要求：1、能解可化为一元一次方程的分式方程。
2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
三、常见考点：1、根据问题描述列分式方程。
2、解分式方程。
3、应用分式方程解决实际问题。
四、专题训练：1．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）A．40×1.25x﹣40x＝800 B．﹣＝40C．﹣＝40 D．﹣＝402．解分式方程的结果为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．无解3．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．64．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣185．已知x为实数，且﹣（x2+3x）＝2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或36．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣17．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（）A．＝B．＝C．+＝140 D．﹣140＝8．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（）A．﹣30＝B．+30＝C．﹣＝D．+＝9．分式方程＝的解是．10．若关于x的分式方程无解，则m＝．11．已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为．12．分式方程﹣＝0的解为x＝．13．方程的整数解x＝．14．若关于x的分式方程＝﹣3有增根，则实数m的值是．15．如果在解关于x的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为．16．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：．17．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程．18．若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．19．解方程：﹣＝1．20．解方程：＝+1．21．解方程：．22．解方程：23．甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．参考答案1．解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是﹣＝40，故选：C．2．解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+2），得：x+2＝3解得：x＝1．检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）＝0，即x＝1不是原分式方程的解．则原分式方程无解．故选：D．3．解：由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y＝，∵有非负整数解，∴≥0，∴﹣3≤a＜5，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝﹣3，a＝1，a＝3，（a＝0，﹣2，2或4时，y不是整数），它们的和为1．故选：B．4．解：，解①得x≥﹣3，解②得x≤，不等式组的解集是﹣3≤x≤．∵仅有三个整数解，∴﹣1≤＜0∴﹣8≤a＜﹣3，+＝13y﹣a﹣12＝y﹣2．∴y＝∵y≠2，∴a≠﹣6，又y＝有整数解，∴a＝﹣8或﹣4，所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，故选：B．5．解：设x2+3x＝y，则原方程变为：﹣y＝2，方程两边都乘y得：3﹣y2＝2y，整理得：y2+2y﹣3＝0，（y﹣1）（y+3）＝0，∴y＝1或y＝﹣3，当x2+3x＝1时，△＞0，x存在．当x2+3x＝﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x＝1，故选：A．6．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选：B．7．解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，故选：A．8．解：设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，根据题意可得：﹣＝．故选：C．9．解：分式方程的两边同时乘x（x﹣1），可得4（x﹣1）＝3x解得x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故答案为：x＝4．10．解：∵关于x的分式方程无解，∴x＝﹣，原方程去分母得：m（x+1）﹣5＝（2x+1）（m﹣3）解得：x＝，m＝6时，方程无解．或＝﹣是方程无解，此时m＝10．故答案为6，10．11．解：根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1，可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，故答案为：x1＝n+3，x2＝n+412．解：去分母得：x﹣2﹣3x＝0，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣113．解：设y＝，则y2﹣5y+6＝0，解得y＝2或3，∴或，解得x＝2或x＝1.5，经检验：x＝2或1.5是原方程的解．但整数解是：x＝2．故本题答案为：x＝2．14．解：去分母，得：m＝x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程可得：m＝1，故答案为：1．15．解：分式方程去分母得：x﹣k＝2x﹣2，解得：x＝2﹣k，由分式方程的增根为x＝1，得到2﹣k＝1，解得：k＝1，故答案为：116．解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x﹣20）个，根据题意得，＝（1﹣10%），故答案为＝×（1﹣10%）．17．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：﹣＝．故答案为：﹣＝．18．解：去分母，得2x+a＝2﹣x解得：x＝，∴＞0∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．19．解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解．20．解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：x（x﹣1）＝2（x+2）+（x﹣1）（x+2），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x﹣1）（x+2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣；21．解：设＝y，则＝y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6＝0．解得y1＝﹣2，y2＝．即：＝﹣2或＝．解得x1＝2，．经检验，x1＝2，是原方程的根．22．解：设＝y，则原方程可变形整理为：y+＝，整理得：2y2﹣5y+2＝0．解得：y1＝2，y2＝．当＝2时，方程可整理为2x2﹣x+2＝0，因为△＝b2﹣4ac＝﹣15＜0，所以方程无解．当＝时，解得x＝1．经检验x＝1是原方程的根．∴原方程的根为x＝1．23．解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．根据题意，得：+＝，解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），∴x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．当x＝80时，x+10＝90．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．。
2024年九年级中考数学一轮复习课件：分式方程的解法及其应用
重点2 分式方程的应用(9年6考)
【广东中考高
频考点·
常与不等式结合考查】
例 2 ： (2023·广 东 ) 某 学 校 开 展 了 社 会 实 践 活 动， 活 动 地 点 距 离 学 校
12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2
倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.
解：(2)方程两边同乘2(3x－1)，得
2x－5＝3x－3－3(x－2)，
3(3x－1)－2＝5，
解得x＝4.
解得x＝ .
检验：当x＝4时，x－2≠0.
∴原分式方程的解是x＝4.
检验：当x＝ 时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解是x＝ .
4.( 广 东 中 考 ) 某 社 区 拟 建 A ， B 两 类 摊 位 以 搞 活 “ 地 摊 经 济 ” ， 每 个 A 类
分式方程的解法及其应用
1
知识梳理
知识点1
分式方程的概念及其解法
(1)分式方程的概念：分母中含有
(2)分式方程的解法
未知数
的方程叫做分式方程.
1.(1)下列是分式方程的是( B )
A.2x－1＝3
1
B.
＝3
2−1
C.2x2－1＝3
−1
D. ＝3
5
5
7
(2)方程 ＝ 的解是
−2
D.m＞－1且m≠1
植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50
6中考一轮复习---分式方程
× 10-8 ）
A.m=-4,x=2
B. m=4,x=2
C.m=-4,x=-2
D.m=4,x=-2
6. 若已知分式
A. 1 或－ 1 9
x 2 1 的值为 0，则 x－2 的值为 ( ) x2 6x 9
B. 1 或 1 9
C. － 1
7．某人上山和下山走同一条路，且总路程为
千米，若他上山的速度为 千米 / 时，下山的速度为
x
a
练习： 解关于 x 方程 1
a
1
b (a
b) .
ax bx
练习： 解关于 x 的方程： x m x n 2( m n 0) . xn xm
6
题型三 分式方程的增根
? 已知增根求参数
例 1： 若分式方程 a x2
1 x2 4
2
0 有增根 x
2 ，求 a 的值 .
中小学 1 对 1 课外辅导专家
练习： 若 x 1是方程 x 2 x 3
x x
3 2
1
2x x2
4x 1 2x 1
练习： 解方程： 4 x2
10 x1
例 6： 解方程： 2 x2 x
3 x2 x
4x x2 1
0
练习： 解方程：
6x 1 x2 3x 2
2x 3 x1 x 2
5
中小学 1 对 1 课外辅导专家
例 7： 先练习一个含有字母的整式方程：在式子 v v0 at 中，所有字母都不等于 0，已知 v、 v0、 a ，求 t .
）
x2
mx y6
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列分式中，计算正确的是（
）
2(b c)
一轮复习学案——2.3——分式方程
第三节、分式方程 一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
二、解分式方程1、解分式方程的基本思路：把分式方程转化为 ，即分示方程（去分母）变为整式方程。
2、解分式方程的一般步骤：（1）把分式方程两边都乘以各分母的 ，化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的根代入 ，看计算结果是否为0，若 0就是原方程的 ，若为0则为原方程的 ，必须舍去。
3、增根：分式方程去分母后所的得整式方程的根，使原方程的最简公分母的值为 时，叫做分式方程的增根。
易错：方程有增根和无解区分例：234222+=-+-x x ax x（1）此方程有增根，则a= ；（2）此方程有增根，则增根为 ；（3）此方程无解，则a= ；知识梳理1、下列方程中，是分式方程的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2、解分式方程，去分母后所得的方程是（ ）A ．1﹣3（2x +1）=3B ．1﹣3（2x +1）=3xC ．1﹣3（2x +1）=9xD ．1﹣6x +3=9x 3、已知关于x 的分式方程+=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2 B ．m ≥2 C ．m ≥2且m ≠3 D ．m ＞2且m ≠34、若关于x 的方程+=0有增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣4 D ．0或﹣45、若分式方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则它的增根是（ ） A ．0 B ．1C ．1-D ．1和1- 5、关于x 的方程=无解，则k 的值为（ ）A ．0或B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣36、若关于x 的方程=+m 有增根，则m 的值为 ． 7、已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 解方程（1）x x x --=-3323 （2）114112=-+-+x x x （3）2236111x x x +=+--三、分式方程的应用1、解分式方程的应用题与解其他方程步骤基本一致，但要进行双检验；2、常见关系式：工作时间 == ，时间 == 。
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学大教育学科教师辅导教案
组长审核：
班课精品班辅导科目数学课时数2课时
学员姓名年级九年级学科老师彭万霞授课主题一轮复习--分式方程
1.会解可化为一元一次方程的分式方程；
教学目的
2.列分式方程解决实际问题；
教学重点会解可化为一元一次方程的分式方程
授课日期及时段 2016 年 1 月日 10:00--12:00(第次课)
教学内容
分式方程在中考中出现的题型：
一、选择题或填空题：（1.经常出现的考点是解方程；2.此外含参的分式方程，求参数的取值范围也是一个知识点；含参的分式方程无解（增根）等知识点的分类都是可能会出现的考点；
3.分式方程的应用有可能会以选择题的形式出现）
二、解答题：分式方程的实际应用相对来说比较简单一些，但是一定注意要检验；分式方程的实际问题在2013年考过，2014、2015没有出现，虽然出现的频率不是很高，但是因为知识点比较容易掌握，是个得分的地方，所以一定要掌握好。
2013年，考查了分式方程的实际问题（4分）；
2014年，以选择题形式考查了解分式方程（3分）；
2015年，以填空题形式考查了解分式方程（4分）；
由近三年的试卷情况来看，分式方程在中考中占到3——4分，知识点比较好掌握，是个得分点。
知识点一：分式方程的解法
解分式方程的一般方法和步骤
（1）去 _________ ，方程两边都乘以最简公分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个 _______ 方程，求出整式方程的解；
（3）________ ：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的_____，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程______. 注：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 例题精讲： 例1．解分式方程：
（1）； （2）．
随堂练习： 解方程：（1）
()
021
23222=--+x
x x x
知识点二：分式方程的增根与无解
1.增根：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
2.无解：指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 【例题精讲】
例1.已知关于x 的分式方程11
1=--++k k
x k x 的解为负数，则k 的取值范围是__________.
例2.当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+会产生增根？
例3.当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+无解？
随堂练习：
1.若关于x 的分式方程11
2=--x a
x 的解为正数，那么a 的取值范围是_________.
2.已知关于x 的分式方程1131=-+-x
x m 的解是非负数，则m 的取值范围是_______.
3.若解分式方程产生增根，则m 的值是__________.
4.关于x 的方程x
m
x x 21051-=--无解，则m =_____________.
知识点三：分式方程的实际问题
1.常见的题型有行程问题和工程问题
2.用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是否为____________的根，再检验方程的根是否符合__________，缺一不可。
基本步骤：审——仔细审题，找出等量关系。
设——合理设未知数。
列——根据等量关系列出方程（组）。
解——解出方程（组）。
验——注意检验（两步）
答——答题。
例题精讲：
（一）行程问题：基本量是路程、速度和时间，基本关系是：路程= 速度×时间
例1.2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时，已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至城市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
（二）工程问题
例2.为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题
例3.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．求今年A型车每辆售价多少元？
随堂练习：
1.甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
2.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
3.端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
1.解方程：（1）1262=++-x x x . （2） .14
16
222-=-+-+x x x
（3） )2)(1(3
11+-=
--x x x x （4）211x x x
-=-
2.若分式153-+x x 无意义，当
021
235=---x
m x m 时，._______=m
3.若关于x 的分式方程
x
x x m 2
132=--+无解，则m 的值为__________. 4.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.
(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.
5.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了10元。
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按同样的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
6.某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？。