解排列组合问题中的数学思想
排列组合问题之—加法原理和乘法原理
排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。
1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。
例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。
加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。
【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。
在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。
例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。
所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。
对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。
总的情况数等于每类的情况数加和。
运用数学思想解决排列组合问题
称性， 运用对称思想 ， 往得 到意想不到的简捷解法。 往 例 ３ １９ ：（９ ０年全 国） ， ， ， ， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ五人并排站成一排 ， Ｂ必须 若
站 在 Ａ的右 边 Ｂ可 以 相邻 ） 那 么不 同的 排法 共 有 （ ） ， Ａ ４种 ．２ Ｂ ０种 ．６ Ｃ ０种 ．９ Ｄ ２ ．１０种
化 归 思 想 指 的是 变 更 转 化 的 解 题 思 想 ， 即将 条 件 或 结 论 经 过
适当的转化， 整个命题就可以变更 为我们熟知的一些常见 问题 。
例 ｌ （９ ３ 全 国） ： １９ 年 同室 四 人 各 写 一 张 贺 年 卡 ， 集 中起 来 ， 先 然 后 每人 从 中拿 一 张 别人 送 出 的贺 年 卡 ，则 四 张 贺 年 卡 不 同 的分 配方 式有 ［ ］ Ａ６ ． 种 Ｂ ９种 ． Ｃ１ ． １种 Ｄ２ ． ３种 思路分析： 建立数学模型转化 为数学问题。用 １ ２ ３ ４ 四个 ，，， 这
用 广 泛 ， 且 思 想 方法 独 特 灵 活 ， 是发 展 学 生 抽 象 能 力 和 逻 辑 思 而 也 维 能 力的 好 素材 。下 面谈 谈 数 学 思 想在 排 列 组合 问题 中的 运 用 。
（ 化 归 思想 一） （ ） 称 思 想 三 对 对称 思想 在 思想 数 学 中 广泛 应 用 ， 挖 掘 数 学 问 题 中 隐含 的对
解 ： ３ ．５ ＝７ ０种 。 Ａ ３Ａ ５ ２
’ ．
．
第 三类 ： 乙二 人 都未 被 选 上 有 Ａ ３＝ 种 选 法 ： 甲 ３ ６
共有 ６ ２ ＋＝ ６种 ＋４ ６ ３
（ 接 第 １ ０页 ） 上 ７
学 设
运用数学 思想解 决排列组 合问题
职高数学排列组合解题思想方法
特殊元素优先考虑
先考虑甲
甲在中间4个位置中选一个，有 4 种排法；
剩下的5个人排在5个位置有 A55排法.
共有 4 A55 种排法.
04 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
特殊位置优先考虑
先考虑排头和排尾
从5个人中选取2个排在排头和排尾有 A52种排法； 剩下的4个人排中间4个位置有 A44 排法. 共有 A52 A44 种排法.
05 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲、乙、丙3人A必须站在一起的种数有 144 .
捆绑法 相邻问题
甲乙丙
将3人捆绑在一起看成一个整体，与其他3个人排在4个位
置有 A44 种排法.
再将甲、乙、丙内部相互交换排在3个位置有 A33 排法.
共有 A44 A33 种排法.
06 排列组合解题思想方法
02 排列组合解题思想方法 一块木板上钉有9个钉子，排成三行三列，以其中的任意3个钉子
为顶点，可以组成的三角形的个数为 76 . 排除法 从9个钉子中选出3个钉子有 C93 选法.
排除：共线的3点有 8 种；
共有有C93 8 种排法.
03 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
01 排列组合解题思想方法
若11位同学排队照相，第1排5人，第2排6人，则不同的排法
有
A11 11
种.
直接法
第一步，从11人中选出5人排在第一排有 A151种排法. 第二步，从11人中选出6人排在第二排有 A161种排法. 第二步，剩下的6人排在第二排有 A66 种排法. 共有 A151 A161 种排法. 共有 A151 A66 A1111 种排法.
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
例谈排列组合中的数学思想方法
（ ） 对 称法 ２用
） 塞顿开 ， 应得排法 １ ＝ ０ 种 ）选 Ｂ应用 ６（ ， ． 对称思想简洁明快 ， 给人以美 的享受． ３分类划分思想 ． 划分 不但是 掌握外延 的逻 辑方 法 ， 而
例４ ｃ＋ ＋ １ ：— ． ．＋ ｃ … （ ＋） ＝ — ｃ ３１ ２ ２ ｃ ｏ ５＋ 解： ＝ ｃ ５２ ・ ２ １ ：＋ 设ｓｃ ３ ｃ十 ＋ ｎ ）～ ０ １ ¨ （ ＋ ｃ ＋ ＋
贝 （） ： ｃ＋ ＋：＋ １ ＋ ０ １ ｃ ｃ＋：… ｃ ｃ＝＋ ／ ＝ ＋１ ～ ｎ ｎ ｃ … ｃ！ｌ＝（ ＋ ＋。＝ ． ａ ＋ ２ ＋ 【 … ｃ ） ： ＋ ，ｌ １ ）（＋ ’ ２ ＋ － ＋ ｃ ： ：
３种 填 法 ；
例 ３已知集 合 Ａ 和集合 曰各含 １ ． ２个 元素 ， ＡｎＢ含有 ４ 个元素 ， 试求同时满足下 面两个条件的集合 的个数．
（） ｉｃＣＡｎＢ， Ｃ中含有 ３个元素 ； 且
（ｉＣＮＡ≠０ ０表 示 空集 ） ｉ ） （ ．
５函数 思 想 ．
运用 函数 的概念 和性质 ， 过类 比、 通 联
解析 ：１ 可以先用常规解法分类法求 （）
合ｃ 曰 取０ 元 有ｃｃ ｎ 中 个 素， ：０ ： 。
①Ａ在左边第一位时有 ４ 种排法 ； １ ②Ａ在左边第二位时有 Ｐｔ１ 法 ； ３ ３ 种排 ③Ａ在左边第三位时有 Ｐ ！ 种排法 ； ④Ａ在左边第 四位时有 ３种排法． １
（ ＋） ， ２ １： ｃ
・ ． ．
解析 ： 用化归思想建立数学模 型转化为
数学 问题 ：用 １２ ３ ４这 ４个 数字组成无 “ ，，， 重 复的 四位数 ， 中 １不在个位 ， 在十 其 ２不 位 ， 在百位 ， ３不 ４不在 千位 上 的四位数 有
例谈排列组合中的数学思想方法
将研究对 象在一定条件下转化并归结 为另 一种研究 对象 的 思想方法称之 为化归转化思想 ．一般将有 待解决 的问题进行转 化 ，使 之成 为大家熟悉的或容易解 决的问题模式 ．
要 的是 ，过 了多 年 以后 ，他 们 掌 握 的数 学 知 识 可 能会 淡 忘 ，或
解 ： （ ）若用四种颜色 给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ １ 涂色 ，则Ａ 必 同 与Ｆ
色 ，Ｃ 也同色 ，故有 × × ＝４ 与Ｅ １１２ 种涂色方法 ； 者 高中数 学知识在他们 将来所从 事的 Ｔ作 中可能无用 武之地 ， （ ２）若 用ｉ种 颜 色给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 色 ：① 当Ｂ、Ｄ同色 涂 但深深地铭 刻于头脑 中的数学思 想将随时 随地发生作用 ，使他 时 ，Ａ、 ｃ 有 ２ 颜 色 可 选 ；② 当 Ｂ、Ｅ同 色 时 ，Ａ有 ２ 颜 色 都 种 种 们受益终生 ．
，
（ ） 的值 ； １ 求ｃ． （ ２）组合数 的两个 性质 ：① ｃ ｃ ；② ｃ ＋ ＝ｃ ： ＝ ｃ 是
一
５ 整 体 思 想 ．
从 问题 的整体性 质 发 ，突 出对 问题 的整体结 构 的分 析
否都能 推广到 （ Ｒ， 是正整数 ）的情 况？若能推广 ，则 和 改造 ，发 现 问题 的 整体结 构 特征 ，把某 些式 子或 图形看 成 写 出推广的形 式并 给出证 明；若不能 ，则说明理由 ； 个整体 ，把 握 它们之 间 的关联 ，进 行有 目的的 、有 意识 的 （ ３）已知组 合数 ｃ 是正 整数 ，证 明 ：当 ｚ，ｍ是正整 整 体 处 理 。
ｘ ｘｘ－１ ｘ－２ （ （ ） （ ） ｘ－ｍ＋１ ｘｘ １（ ） （ ）
－ ． －
— — ． ． ． ． ． ． ． ． ． －
分析 ：将４ 名男生看 作一个整 体Ａ，５ 名女生看作 一个整体 Ｂ先整体 ，将Ａ、Ｂ ． 排队 ，有 种排法 ；后局部 ，男生有 种排 ；
高中数学排列组合问题中的数学思想探究
2019年6月解法探穷一.WX高中数学排列组合问题中的数学思想探究!江苏省吴江中学苗春兰排列组合问题不涉及新的计算方法，但是对思维能力的要求较高.要想学好这部分内容，学生需要掌握基本概念及基本原理,在日常学习中总结常见问题及相应的方法技巧,提高学习效率.在解决排列组合问题时,首先需要看清题目要求,辨别究竟是“排列”问题还是“组合”问题,选用准确的计算方法，而不是盲目套用计算公式.因此需要对高中排列组合问题的常见形式及相应解法进行总结，从而提高学生的求解速度与准确率.-、常见问题及原因分析1.理论知识薄弱排列组合包含“排列”和“组合”两类问题，涉及的思维及计算公式存在较大差别.很多学生在审题时往往会产生混淆,无法正确区分问题类型,进而导致计算公式的选用错误,最终导致结果错误.2.计算不当虽然排列组合问题重点考查的是学生的思维能力，计算层面并没有涉及新的方法，但是很多学生在计算时粗心大意，经常出现重复计算或者遗漏数据的问题，导致失分甚至是不得分.3.重要条件遗漏排列组合问题的情境较为多样，问题形式变化较多，在求解过程中一个符号的改变有可能就会改变计算条件，使得整个计算过程偏离原有的分析思路.在审题阶段如果出现问题，那么就很容易遗漏重要的已知信息,导致“排列”或是“组合”类型的判断失误，最终无法正确求解出问题的结果.二、排列组合中的数学思想探析1.分类讨论分类讨论思想的核心就是根据对象某一维度的差异性进行类别的划分，分类的关键就是分类原则的确定.在解决排列组合问题时，如何准确对所有可能的情况进行分类是这一类方法的关键，如果类别划分不当，学生很容易发生重复或者遗漏数据的问题;反之，如果类别划分合理，就会将复杂的问题简单化，既不重复，也不遗漏，准确求解出最终结果.案例1盒子里面有8个大小完全相同的小球，其中红色、黄色、蓝色各1个，分别表示一等奖、二等奖和三等奖，剩下5个为白色，表示不获奖.现将这些小球平均分给4个人，试讨论获奖情况.分析：由已知条件可知，每个人会得到两个小球，可以进行如下分类：（1）有一个人获得两个奖，一个人获得一个奖，剩下的两个人没有获奖；（2）有三个人分别获得一个奖，剩下的一个人不获奖.在进行分类处理时，不考虑内部的具体排布，因此上面的两种类别就可以将所有情况包含其中.接下来就是针对每一种类别展开计算.解Q1）首先是从小球的角度考虑，从三个有奖的小球里面挑出两个，放在"位置，共有C2=3（种）可能,$位置为剩下的一个有奖小球及一个无奖小球,C、D位置各两个无差别的无奖小球；接着从抽奖人角度考虑,"、$位置为有奖，从4个人里面选2个出来，并且结果具有差异性，因此是排列问题，即A*=12.剩下的两堆无奖小球无差别,不存在先后顺序.因此共有C2A*=36（种）不同的获奖可能.（2）从四个人里面挑出三个去分别获得不同的奖项，剩余的一个人置后考虑，不存在先后影响，因此共有A*=24（种）可能.综上所述，共有60种不同的获奖情况.2.数形结合数形结合是一种常见的数学思想方法，在排列组合问题中也是如此，学生需要根据题目中的已知信息绘制相关图形来辅助思维，达到准确、快速解决问题的目的.案例2假设有一平面，面上共有10个点，其中有4个点共线，除此之外不存在任何3点在同一直线上.试分析过其中的两点作直线，一共能画出多少条不同的高中彳•了裂：•■?67解法探究2019年%月直线.分析:绘制直线的实质就是寻找到所有不同的两点组合,分析题干信息可知,这些点中，共线的4个点比较 特殊，对于其他的%个点而言，由于不存在多点(大于2) 共线的问题，因此彼此之间可以看成是相同的情况，只 需要考虑其中一种就可以.因此，在绘制示意图时，选择共线的4个点及直线外的2个点进行分析，如图1所示.解：采用分类的思想可以知道,所连直线共存在以下几种情况：(1) 由共线4点确定的直线，易知只存在1种情况；(2) 由共线4点中的1个点与其他%个点连成直线，共有C 'C '=24(种)可能；0)由共线4点外的点连成直线，共有C 2=15(种)可能.综上所述，结合加法原理可知，共可以绘制i +C 4C+C 2=4 0(条)不同的直线.3.递推排列组合问题在解决时经常会用到分步计数原理， 进而确定计算表达式进行求解，这其实就是一种递推的思想!案例3学校教学楼门口的楼梯共有9级，假设上楼梯时最多只能一次跨3个台阶，试求解共有多少种不同的爬楼梯方法.分析:假设走到第"个台阶共有%($)种方法，如果第一步爬1个台阶，那么剩下的$-1个台阶共有($-1)种方法;如果第一步爬2个台阶，那么剩下的$-2个台阶共有% ($-2)种方法；如果第一步爬3个台阶，那么剩下的$-3个台阶共有s($-3)种方法.易知s($)=s ($-1)+s ($-2)+%($-3)且满足%(1) = 1，即第一步爬1个台阶;％(2)=2，即第一步、第二步分别爬1个台阶或第一步爬2个台阶这两 种情况"⑶=4,即每次爬1个台阶、一次性爬3个台阶、第一步1个台阶第二步2个台阶或者第一步2个台阶第二 步1个台阶这四种情况.解：由上述分析可知：s (4)=s (3)+s (2)+s(1)=4+2+1=7；s(5)=s (4)+s (3)+s (2)=7+4+2=13;s(6)=s(5)+s (4)+s (3)=13+7+4=24；s (7)=s(6)+s(5)+s (4)=24+13+7=44； s (8)=s (7)+s(6)+s(5)=44+24+13=81; s (9)=s (8)+s (7)+s(6)=81+44+24=149.综上所述，共有149种不同的方法爬上这个9级台阶.三、结束语实际上，学生接触排列组合的知识并不是始于高 中，早在小学时就已经接触过基础的计数问题.到高中 阶段，问题情境更多样，难度也更大.总体来说，排列组合问题比较灵活，本文列举的只是其中的几种思想方法,诸如对称思想、类比思想、集合思想等也具有较强的适用性.在教学过程中，教师要注意两条线共同推进，即 教材知识、方法技能的讲授这一条“明线”与数学思想的融入这条“暗线”，以此培养学生深入思考的习惯，提升学生的创新思维能力.具体来说，排列组合问题对学生的思维能力要求较高，问题形式灵活多样.在解题过程中，学生常见的问题有两个，一是判断错“排列”或是“组合”问题类型，方法选用错误;二是计算不仔细，出现“重复”或是“遗漏”.因此，在日常学习中,学生要对常见的问题进行归纳总结，抽象成模型，同时要强化计算能力.作为教师，在教学环节需要凸显数学问题的本质，引导学生探索排列组合问题包含的数学思想,只有这样学生才能对这一类问题产生更深层次的理解，进而科学区分“排列”或是“组合”这 两种问题类型，同时也能强化学生的学习与思维能力，促进学生的全面发展.参考文献：[1] 尹爱国.高中数学排列组合解题技巧探究[J ].高中数理化，2015(8).[2] 徐辉梅.高中数学排列组合解题技巧研究[J ].高中数理化，2014(22).[3] 谢9欣.高中数学中排列组合问题的实际应用[J ].数学学习与研究，2017(19).[4] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J ].数学学习与研究，2013(9).[5] 高九明.浅谈高中数学排列组合解题方法[J ].课程教育研究，2017(40).[%]周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J ].知识窗(教师版)，2016(4).应68 彳•了裂:7高中。
第8节 排列组合中的数学思想方法及模型
排列组合问题中的数学思想方法及模型（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C A B ≠⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠ 解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C 中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12128C C ；2）含A 中2个元素的有21128C C ；3）含A 中3个元素的有30128C C ，故所求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30128C C =1084个（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？解：1）两个0不相邻的情况有26C 种，2）两个0相邻的情况有16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C +16C =21种。
2）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有48C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有48C -12个三棱锥，因而共有3（48C -12）=174对异面直线。
解决排列组合问题的几种思想
解决排列、组合问题的几种思想刘星红排列、组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，解答排列、组合问题，首先要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些策略和技巧，恰当地运用数学思想，可以使一些看似复杂的问题迎刃而解。
本文就解决排列、组合问题的常见思想简单归纳如下。
一. 主元思想主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑，抓住主要矛盾，从而达到解决问题的目的。
例1. 某单位安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙2人都不安排在5月1日和5月2日，则不同的安排方法有多少种？解析：确定特殊对象，找出主元，优先考虑主元。
可优先安排甲乙2人有A 52种安排法，再安排其他5人，有A 55种安排法，这样共有A A 52552400=（种）安排法。
二. 分类思想分类思想，就是当问题中的元素较多，取出的情况也较多时，可按要求分成互不相容的几类情况，从而避免遗漏和重复，使问题顺利得到解决。
例2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给行政区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。
现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法有多少种？解析：因区域2和4、3和5不相邻，故分两类： （1）当2和4同色，3和5同色时，着色方法有A 43种；（2）当2和4、3和5其中之一同色时，着色方法有C C A 214133种。
这样着色方法共有A C C A 4321413372+=（种）。
例3. 某学校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？ 解：由题意知，甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，丙去，则不同的选派方案有C A 5244240·（种）=； （2）甲不去乙去，丙不去，则不同的选派方案有C A 5344240·（种）=；（3）甲、乙都不去，则丙不去，此时不同的选派方案有A 54120=（种）。
排列组合常见问题的策略
（ 78 ）
六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排旳不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其他4人共有_A_44__
种排法即（5-1)！
一般B地,n个不同元素作圆形排 列C ,共有(A n-1A)!种B 排C 法D.假E 如A
分步计数原理各步相互依存，每步中旳措施 完毕事件旳一种阶段，不能完毕整个事件．
处理排列组合综合性问题旳一般过程如下:
1.仔细审题搞清要做什么事 2.怎样做才干完毕所要做旳事,即采用分步还
是分类,或是分步与分类同步进行,拟定分多 少步及多少类。
3.拟定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
其他书3本,将它们排成一行放在书架上,其
中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少
种放法?
A55 A33 A22 1440
三.插空法:不相邻问题策略 例3.一种晚会旳节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目旳出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
二.捆绑法:相邻元素策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同旳排法. 解：可先将甲乙两他元素进行排列， 要求同某步几对种相元邻素元必素须内排部在进一行起自旳排问。题,能够用
甲乙 丙丁
捆绑由法分来步处计理数问原题理.即可将得需共要有相A5邻5A22旳A22元=素48合0 并
种不同旳措施．N=m1+m2 + +mn
数学思想方法在排列组合中的应用+++
数学思想方法在排列组合中的应用安徽李庆社排列组合中的数学思想方法主要体现在如下几点，举例说明如下，供同学们参考。
（1）分类讨论的思想许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从一个不同的侧面，把原问题变几个小问题．分而治之，各个击破．【例1】已知集合和集合各含有12个元素，含有4个元素，求同时满足下面两个条件的集合的个数：（1），且中含有3个元素；（2）（为空集）．分析：该题是1986年的高考题，可算是高考试题里“数数”问题第一例，此题单纯利用集合的概念及运算显然无法解决，如图所示，中的三个元素的取法不只一类，可考虑分类解之．解：因为、各有12个元素，含有4个元素，所以中元素的个数是（个）.其中，属于的元素有12个，属于而不属于的元素有8个，要使，则组成中的元素至少有一个含在中，集合的个数是1）只含中1个元素的有个．2）含中2个元素的有个；3）含中3个元素的有个.故所求的集合C的个数共有++=1084（个）．（2）等价转化的思想很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，从而使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局．①具体与抽象的转化【例2】某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有多少种？分析：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，那么我们考虑的问题就转化为下列问题：数列、、、、、、中有5项是1，两项是0，不同的数列数目有多少个？解：（1）两个“0”不相邻的情况有种．（2）两个“0”相邻的情况有种．所以，击中和未击中的不同顺序情况有（种）．②不同数学概念之间的转化【例3】连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线的有多少对？分析：正面求解或反面考虑（利用补集）虽然可行，但容易遗漏或重复．注意到这样一个事实，每一个三棱锥对应着3对异面直线，因而转化为计算以正方体的顶点为顶点，可以组成多少个三棱锥？解：从正方体的8个顶点中任取4个，有种取法，其中4点共面的有12种（6个表面正方形，6个对角面长方形）．将不共面的4点构成一个三棱锥、共有个三棱锥，每个三棱锥确定了3对异面直线，因而共有=174对异面直线．③情景迁移转化【例4】在的展开式中的系数为（）A．160 B．240 C．360 D．800分析：这是1992年高考题，表面看，题目并非要求“数数”，但如果我们将情景迁移，便可转化为“数数”问题，解：根据多项式的乘法法则，不妨将看作是五个相同的口袋，每个口袋都装有三个不同颜色的球：、、；依次记为黑、白、红球，于是可得下面的做法：先从五个口袋中的一个口袋取出一个白球（），有种取法，然后从乘下的四个口袋中各取出一个红球（2），有种取法，则得含的项为，其系数为，故选B．点评：利用此法可准确、迅速地解决如下列一般的问题：展开式中含项的系数（其中）是，.在这里，精巧的构思转化发挥了令人振奋的作用．④分解（分组）转化【例5】从集合中任取3个元素作为直线中的，其中，那么不同的直线共有多少条？解：考虑到，构造行列表如下：第1行：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12第2行：2 4 6 8 10 12第3行：3 6 9 12易知第2、第3行中任三数作出的直线必与第1行中对应的三个数作出的直线相同，故不同的直线共有条.3、数与形的转化的思想【例6】设，从A中任取两个元素作为虚数的实部和虚部，则能组成模大于5的不同虚数的个数为多少？解：由题设知且；根据复数模的几何意义，结合补集思想，只需求出以为圆心，5为半径的圆上及圆内以中元素为横纵坐标的点的个数，然后从中所有元素组成的不同复数对应的点中去除即可．如图所示，圆内及圆上的点有（个）（不含实轴上的5个点）．则圆内圆外及圆上共有（个）点（不含实轴上10个点），所以满足题设的虚数共有（个）．4、构造模型思想证明组合恒等式，一般是利用组合数公式，组合数的性质，数学归纳法，二项式定理等，通过适当的计算或化简来完成．但是很多恒等式，也可以直接利用组合数的定义来证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等即可证出要证明的组合恒等式．如，组合数的两个性质①，②在课本中给出了利用组合数定义的解释证明．【例7】证明。
排列组合题型及解题方法
排列组合题型及解题方法
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算对象的不同排列或组合的数量。
在解决排列组合问题时，可以使用以下几种常见的方法：
1. 计数法：根据问题的条件，逐步计算出排列或组合的数量。
例如，如果要求从n个不同的元素中选取r个元素进行排列，可以使用计数法计算出排列的数量为n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。
2. 公式法：排列组合问题有一些常用的公式，可以直接使用这些公式计算出排列或组合的数量。
例如，排列的数量可以使用阶乘计算，组合的数量可以使用组合公式计算。
3. 递归法：对于一些复杂的排列组合问题，可以使用递归的方法进行求解。
递归法的基本思想是将问题分解为更小的子问题，并通过递归调用解决子问题。
4. 动态规划法：对于一些具有重叠子问题的排列组合问题，可以使用动态规划的方法进行求解。
动态规划法的基本思想是将问题划分为多个阶段，并通过保存中间结果来避免重复计算。
在实际应用中，排列组合问题常常与概率、统计、组合优化等领域相关。
解决排列组合问题需要灵活运用数学知识和方法，同时也需要具
备一定的逻辑思维能力。
排列组合原理思维方法
排列组合原理思维方法在数学中，排列组合原理是一种重要的思维方法，广泛应用于各个领域。
它通过计算不同元素之间的排列和组合方式，帮助我们解决各种问题，如概率计算、组合优化等。
本文将介绍排列组合原理的基本概念和应用方法。
首先，让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定元素中选出若干个进行排列，注意顺序，即考虑元素之间的位置关系。
组合是指从给定元素中选出若干个进行组合，不考虑元素之间的位置关系。
这两个概念是排列组合原理的核心。
在排列中，我们首先需要确定元素的总数和每个排列中元素的个数。
然后，通过计算逐个位置的可能情况数，并将其相乘得到总的排列数。
例如，对于元素集合{A，B，C}，要求选出2个元素进行排列，第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，因此总共有3*2=6种排列方式。
在组合中，我们只需确定元素的总数和每个组合中元素的个数。
通过计算不同元素的可能组合数，并将其相加得到总的组合数。
与排列不同，组合不考虑元素的位置关系。
例如，对于元素集合{A，B，C}，要求选出2个元素进行组合，共有3种方式：{A，B}、{A，C}和{B，C}。
通过排列组合原理，我们可以解决各种实际问题。
例如，计算概率时，可以利用组合的思想计算出不同事件之间的可能性。
在组合优化问题中，可以利用排列组合方法确定最优解。
此外，排列组合原理还被应用于密码学、图论和组合数学等领域。
在使用排列组合原理时，需要注意一些细节。
首先，要正确理解排列和组合的定义，确保问题的要求与所使用的方法相符。
其次，要注意对重复元素的处理，避免重复计算。
另外，排列组合问题的求解思路要灵活，可以通过转化、化简等方法简化计算过程。
综上所述，排列组合原理是一种重要的思维方法，它通过计算不同元素之间的排列和组合方式，帮助我们解决各种问题。
我们需了解排列和组合的定义，掌握计算方法，并在实践中灵活运用。
通过合理运用排列组合原理，我们可以更好地理解和解决相关问题，提高数学思维能力。
组合数学中的容斥原理和排列组合——数论知识要点
组合数学中的容斥原理和排列组合——数论知识要点组合数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散结构的组合方式和计数方法。
在组合数学中，容斥原理和排列组合是两个重要的概念和方法。
本文将介绍容斥原理和排列组合的数论知识要点。
一、容斥原理容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，它用于解决涉及多个集合的计数问题。
容斥原理的核心思想是通过减去重复计数的部分，来得到准确的计数结果。
容斥原理的具体表述如下：对于有限个集合A1，A2，...，An，它们的并集的元素个数可以通过如下的公式计算：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1 ∩ A3| - ... - (-1)^(n-1) |An-1 ∩ An| + ... + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A|表示集合A的元素个数，|A1 ∩ A2|表示集合A1和A2的交集的元素个数，以此类推。
容斥原理的应用范围非常广泛，可以用于解决包括组合数、数论、概率论等各个领域的计数问题。
在组合数学中，容斥原理常常与排列组合相结合，能够解决一些复杂的计数问题。
二、排列组合排列组合是组合数学中的一个重要概念，它研究的是对象的排列和组合方式。
在排列组合中，排列和组合是两种不同的计数方法。
1. 排列排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排列的方式。
对于n个对象中选取m个对象进行排列，排列的总数可以表示为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
2. 组合组合是指从一组对象中选取若干个对象进行组合的方式。
对于n个对象中选取m个对象进行组合，组合的总数可以表示为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)排列和组合是排列组合中的两个基本概念，它们在组合数学中有着广泛的应用。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。
它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。
二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。
读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。
2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。
3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。
4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。
5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。
6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。
因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。
三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。
其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。
例谈排列组合中的数学思想方法
例谈排列组合中的数学思想方法作者：程勇来源：《新课程·教研版》2010年第19期在排列组合中蕴含着许多数学思想方法,诸如化归思想、对称思想、分类划分思想、整体思想、函数思想、逆反思想等,本文就这些思想举例说明.1.化归思想前苏联数学家雅诺夫斯卡娅在回答“解题意味着什么”时说“解题——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题”,可见化归是重要的解题策略和思维方式。
从广义上说,数学的推理、演绎的过程就是不断的地优化的过程.例1.(1993年全国高考题)同室四个人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种B.9种C.11种D.23种解析:用化归思想建立数学模型转化为数学问题:“用1,2,3,4这4个数字组成无重复的四位数,其中1不在个位,2不在十位,3不在百位,4不在千位上的四位数有多少个?”那么这个问题就可以利用乘法原理进行求解.首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法为3×3×1=9,故选B.2.对称思想对称是美的一种形式,对称思想在数学中有广泛应用,挖掘数学问题中隐含的对称性,运用对称思想解题,往往得到出人意料的简捷的解法.例2.(1990年全国高考题)A,B,C,D,E五个人并排站成一排,若B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同排法共有()A.24种B.60种C.90种D.120种解析:(1)可以先用常规解法分类法求解①A在左边第一位时有4!种排法;②A在左边第二位时有P313!种排法;③A在左边第三位时有P322!种排法;④A在左边第四位时有3!种排法.∴共有4!+P313!+P322!+3!=60(种)故选B.(2)用对称法。
排列组合中的数学思想
（ ： ＝ ； Ｃ ） Ｃ ．
比较 两端 展开式 中 的系数 即可 ， 由于
解析 ： 构造组 合模 型 ， 设想 一只 口袋 内有 ｎ个 不 同的红球 和 凡个 不 同的 白球 ， 这 ２ 从 个球 中任取 ／ ｇ －
（ ＋ （ ） １ ） １＋ ＝（ ：＋ｃ ＋ｃ ＋… ＋ ｃ Ｃｘ） ｃ ＋ ＋ ＋ ＋ ： ） 的系数为第 ： （： ｃ ｃ … Ｃｘ ，
分别写在每张卡片上 ， 先从 中任取 ３张排成一个三 位数 ， ６可当 ９用 ， 若 问可组成 多少个不 同的三位 数？ 解析 ： 以下 两种 情况 ： 有
解 析 ：ｔ （） 示这 ５位 同学无 限制条 件 时 的 － ，表 ３ ￣ｎ 全 排 列种数 ，（ 、，Ｂ） Ｃ） 别 表示 Ａ站 在排 ｎ Ａ） ｒ ｌ 、（ 分 （ 头 、 在 排尾 、 Ｂ站 Ｃ站在 中间的 排列 种数 ，，ＡｎＢ） １ ７ （ 、
１ ＢＯＣ 一 （ Ｏｃ ＋ （ Ｂ ） ７ ， （ ） ｎ Ａ ） ｎ ＡＡ Ｏｃ ］
＝
； ３ ： ３； Ａ 一Ａ ＋ Ａ ～ ；
＝
６ ４．
和 ｃ区不相邻 ， 它们可 以同色 ， 也可异色 ， Ａ区和 ｃ 区的涂色状况影响着 Ｄ区的选色种数． 故应按 Ａ区 和 Ｃ区是否同色（ 这一标准 ） 分类来解决．
般 地说 ， 用集合法解含有附加条件的排列组 合问题 ， 容易对 问题进行科学分类 ， 能够避免重复或
一
遗漏 现象 发生．
所有符合条件的涂色方法分两类 ： 区和 ｃ区 同色 ， 时 Ａ， Ｃ， 此 Ｂ， Ｄ各个 区域可 选颜色种数分别为 ５４ １４ 故有 ５Ｘ １ ４＝ ０ ，， ， ， ４× × ８
ｒ Ｂｎｃ 、，ＡｎＧ 分 别表示 Ａ站在 排头 且 站在 ｔ ， （ ）１ １ （ ） 排尾、 Ｂ站在 排尾且 Ｃ站在 中间 、 Ａ站排 头且 Ｃ站在
关于排列组合中的数列求解思想
关于排列组合中的数列求解思想排列组合作为中学数学中的一部分基础内容，其在实际生活中的应用比较广泛，历年高考时排列组合内容的考查多以实际应用题形式出现，其解题过程出现思辩性和解法的多样性，对运用数学思想及方法技巧的要求较高，这就要求教师在平时的教学中，把培养学生的思维能力、对数学思想的渗透及方法的总结作为教学的重点。
在中学教材中，排列是指从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排成一列，记为Anm（n≥m）。
组合是指从n个不同的元素中取出m个元素并成一组，记为Cmn（n≥m）。
排列与组合的基础就是两个原理：分类原理（加法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn類办法，那么解决此问题的方法种数是n=m1+m2+…+mn。
分步原理（乘法原理），即完成一件事情共有m1、m2、…、mn个步骤，那么解决此问题的方法种数是n=m1m2…mn。
下面以一些实例来浅谈在排列组合问题的解决中如何渗透数学思想、以及常用的一些方法解题方法。
一、基本数学思想解决排列组合问题的基本思想主要有：分类讨论、对称或排异除重、递推、等价转化、正难则反等。
（一）分类讨论思想对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类与准确分步，分类时应根据同一标准，做到“类与类”之间具有并列性、独立性和完整性;分步时要注意“步与步”之间的连续性、独立性和依赖性;尽量做到不重复不遗漏，有时还可能涉及到逐级分类。
例1 从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），要求每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个，共有多少种不同的排法？可先考虑：一类是字母O、Q和数字0只出现一个，只出现数字0有C19C23·A44种，字母O与Q出现一个有C12·C13·C29·A44;另一类是字母O、Q和数字0都不出现有C23·C29·A44种，故共有（C19C23+C12·C13·C29+C23C29）A44=8424种。
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秦 振
解排列组合问题中的数学思想
如果学生能掌握并应用数学思想解决排列组合问题,将有利于数学能力的提高.下面结合例题介绍解排列组合问题时,经常用到的数学思想,供大家参考.
一、方程思想
有些排列组合问题,可以根据条件中的等量关系,列出方程(组),解方程或利用方程性质求解.
例1 用n 种不同颜色为下列两块广告牌着色,如图1所示,要求在图1 、!、∀、#各区域中分别着一种颜色,并且相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n =6,为甲着色时共有多少种不同方法?
(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求
n.
分析:(1)完成着色可分四个步骤,可依次考虑为 、!、∀、#着色时,各自的方法数,再由分步计数原理可求出着色方法数.(2)可利用(1)的方法根据条件列出方程求解.
解:(1)给 着色有6种方法,给!着色有5种方法,给∀着色有4种方法,给#着色有4种方法.因此,总共有着色方法为6∃5∃4∃4=480(种).
(2)给 着色有n 种方法,给!着色有n
-1种方法,给∀着色有n -2种方法,给#着色n -3种方法.由题意得
n (n -1)(n -2)(n -3)=120.化为(n 2
-3n )(n 2
-3n +2)-120=0,即(n 2
-3n )2
+2(n 2
-3n )-12∃10=0.由十字相乘法分解因式,有(n 2
-3n +12)(n 2
-3n -10)=0.所以n 2
-3n -10=0,或n 2
-3n +12=0(因 <0,舍去).
所以n =5或n =-2(舍去).所以n =5.
若注意到n(n -1)(n -2)(n -3)是连续正整数之积,而120=5∃4∃3∃2,易得n =5.
评注:此题用方程的思想方法求解,思路清晰、过程简捷.方程的思想方法是解决数学问题的常用方法之一.
二、整体思想
整体的思想方法,体现在排列组合解题中,就是不着眼于问题的%某些细节&,而是将要解
决的问题看作一个整体,从而达到顺利而又简捷解决问题的目的.
例2 A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排,若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻),那么不同排法共有( )
(A )24种 (B)60种(C)90种
(D )120种
分析:不考虑限制,对五人整体进行排队,而其中B 在A 的右边与B 在A 的左边机会均等,由此可得结果.
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解:由题意,得1
2
A55=60(种).选(B).
评注:应用整体的思想方法解题,省略了%一些细节&,只进行整体变换,达到快捷解题的目的.
三、补集思想
对于有些排列组合问题,如果从正面求解比较困难,则可以先考虑问题的反面,求出使问题反面成立的集合,则该集合的补集即为所求.
例3 编号1、2、3、4、5的5个人,入座编号也为1、2、3、4、5的5个座位,至多有两人对号的坐法有几种?
分析:问题的正面有3种情况:全不对号;有且仅有1人对号;有且仅有2人对号.直接求解较困难,而反面只有2种情况:全对号;有且仅有3人对号.
解:考虑问题的反面:全对号只有1种方法;3人对号入座有C35种方法,其余两人不对号入座有1种情况.由计数原理,反面情况共有1 +C35∋1=11种.5人全排列有A55种,所以满足要求的坐法为
A55-(1+C35∋1)=109种.
评注:使用补集思想解题的关键是正确找到问题的%反面&(集合A,然后确定出全集U,再求出%反面&的%反面&,即)U A,最后正确地给出问题的结果.
四、分类讨论思想
它是根据题目的特征,确定划分标准,进行分类,然后对每一类分别进行求解,最后综合给出答案.
例4 有11名外语翻译人员,其中5名会英语,4名会日语,另外两名英、日语都精通.现从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
分析:解题的难点是两名英、日语都精通的人员的安排,我们可以分成三类考虑,即这两人都不参加,一人入选,两人入选.
解:按两名英、日语都精通的人员参与情况,分三类:
(1)这两人不参加,有C45∋C44=5(种);
(2)这两人有一人入选,此时又有该人参加英语或日语两种可能,因此有
C12∋C35∋C44+C45∋C12∋C34=60(种).
(3)这两人均入选,这时又分三种情况,两人都译英语,两人都译日语,两人各译一个语种,共有C22∋C25∋C44+C45∋C22∋C24+C12∋C35∋C34=120(种).
综上所述,共有185种选派方式.
评注:使用分类讨论思想解题时,划分标准十分重要,这个标准应该是科学的、合理的,要满足互斥、无漏、最简的原则.
五、数形结合思想
根据已知条件的特点,画出图形,利用图形的直观性求解问题.
例5 新年前某宿舍的4位同学各写1张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡的不同分配方式有( )
(A)6种 (B)9种
(C)11种(D)23种
分析:由于排列要按一定的次序,而且又要避免重复和遗漏,往往用树形图或框图.
解:设4张贺卡分别记为A、B、C、D,由题意,某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种,将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其他人依次取卡分步进行.其树形图如图2所示,所以共有9种不同的分配方法
.
评注:解题时,若借助数形结合思想,把问题直观化、形象化,有利于问题的解决.
六、转化与化归思想
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.它的原则就是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决的问题,将复杂问题转化为简单问题.
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例6 从1~9的九个数字中,取出五个数
进行排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个?
分析:将问题转化为%偶数位置上的数字必是偶数&求解.
解:由题意可知,对于两个偶数位置,应从四个偶数中选取2个排列在这两个偶数位置上,有A24种排法;再从剩下七个数字中选取3个排列在其余三个位置上,有A37种排法.故适合题意的排列个数是
A24∋A37=2520(种).
评注:数学大师波利亚强调:%不断地变换你的问题&.解题过程就是合理地%转化&问题的过程.
根据问题的结构,选取适当的数学思想解题,可以使解题思路更加清晰、过程更加简捷,同时这也是一种数学能力.
山东省枣庄市第九中学(277100)
杨惠民
排列组合应用题的
常见类型与分析方法
排列组合应用题,题型多样,解法十分灵活,注重对思维科学性的考查,是高考的热点内容之一.历年备考复习的经验说明,解排列组合应用题的关键是识别题型,用对方法.下面从历年的高考题及模拟题中,摘选一些典型题目,归类分析解答,供复习时参考.
一、相邻问题
例1 有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其它书3本.若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有种.(结果用数字表示)
解:由于数学书排在一起,外文书也排在一起,故可将数学书与外文书分别捆在一起,看作两本书,再与其它3本书一起排列,有A55=120种排法.再将3本数学书之间排列,有A33=6种,2本外文书之间排列,有A22=2种.故共有排法
A55A33A22=1440种.
评注:所谓%捆绑法&,就是在解决某几个元素相邻的问题时,将相邻的几个元素整体视为一个大元素,与其它元素排列,然后这几个相邻的元素再进行内部的小排列.
二、相离问题
例2 高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
(A)1800 (B)3600
(C)4320 (D)5040
解:先将4个音乐节目和1个曲艺节目进行排列,有A55种,然后在这5个节目之间及首尾的6个空中选出2个空,将舞蹈节目插入,有A2
6种.所以符合要求的排法共有A55A26=3600种.
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