2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练

2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 计数原理的基本应用
例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
A ．3种
B ．6种
C ．9种
D ．18种
【答案】 C .
【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有
62312=⋅C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=⋅C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C
【易错点】注意先分类再分步
【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置
例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答）
【答案】 480
【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。

先排F
E D ,,三个字母，有12036
=A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=⨯种.
【易错点】注意特殊元素的考虑
【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高.
题型三 捆绑型问题以及不相邻问题
例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.
A ．72种
B ．96种
C ．108种
D ．144种
【答案】 C
【解析】要求是偶数，所以先确定末尾数字，有2，4，6一共3种情况；然后再确定5这个特殊数字的位置，本身有5种情况，但是考虑到要与1，3不相邻，所以根据5的左右两侧情况，分为5这个特殊数字在十万位以及十位（只有1个相邻的位置），以及其它的3个位置；然后
再考虑后面的情况.分析清楚情况后，答案就出来了：108(22221333121213
=+⋅）A A C A C C C 种. 【易错点】需要考虑到不同位置对于后面步骤的不同影响，进行分类讨论.
【思维点拨】对于相邻问题的捆绑法，以及不相邻问题的隔离法，需要考虑到先分类再分步的基本原则，以及瞻前顾后的原则，需要考虑到选择的不同带来的对于后续安排的不同影响.对于本题，5这个数字本身有五种安排方法，但是需要注意到五个位置带来的，相邻位置的不同：如果5这个数字在首位，以及在十位时，只有1个邻位；但是如果在其它位置，就有两个邻位，所以需要分开讨论.
【巩固训练】
题型一 计数原理的基本应用
1.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A ．24种
B ．18种
C ．12种
D ．9种
【答案】B
【解析】这是个分步计数的灵活应用。

注意一下问题的分析，从E 到F 的步骤，水平方向的情况确定了，整体的路径也就确定了。

水平方向如果沿一条路，有3种可能；如果沿两条路，有3种可能（注意由于要求最短路径，所以没有顺序）：所以从E 到F 有3+3=6种情况；而从F 到G 有3种可能，所以可能的情况一共有3*6=18种情况。

2.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方
式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
【答案】 D
【解析】 首先确定事情如何安排：要满足条件要求，得有1个人选择2项工作.哪两项工作24C ,
哪个人来做13C ，剩下2个人2项工作22A ：所以总的安排形式共有36221324
=A C C 种情况. 3.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
【答案】A
【解析】首先确定事情如何安排：安排好甲地的情况，乙地也就唯一确定了.对于甲地的安排，
需要1名教师2名学生，所以共有122412
=C C 种情况. 题型二 特殊元素以及特殊位置
1.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为
A ．72种
B ．120种
C ．192种
D ．240种
【答案】 D
【解析】 注意到题中要求得到的是偶数，所以特殊位置为末位，要求末位是个偶数；另外注意到题中给出的数字，有两个4，所以需要考虑到特殊元素4以及特殊位置末位；如果末位数
字为4，则前面元素可以任意排列，共有12055
=A 种情况；如果末位数字不是4，则必然是2，6中选择1个，前面的数字中，两个4是没有先后顺序的，或者只排列剩余的3个数字即可，
所以有1203512
=A C 种情况；两者合在一起，所以最后的答案为D. 2.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2014是“北斗数”），则“北斗数”中千位为2的共有 （ ）个 .
【答案】21
【解析】给出的是个新定义，但是难度不大，需要认真读题仔细分析。

千位为2，要求后三位的和为5，三个数都相同的不存在，有两位相同的005，113，221，考虑先安排特殊的元素（如005为例，5的位置有3种情况，5排定后，就唯一确定了，所以有3种情况）各有3种，所
以有3*3=9种情况；三个元素都不相同的有014，023两种，进行全排列，各有633
=A 种情况，共有2*6=12种情况。

综合可知，符合要求的所谓“北斗数”共有9+12=21种情况.
3.某天下午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（ ）
A ．36种
B ．39种
C ．60种
D ．78种
【答案】B
【解析】注意到特殊元素有生物，物理，以及自习课（2节），特殊位置是第一节和最后一节.所以首先考虑事情如何安排，物理，化学，生物确定后，自习课也就唯一确定了.所以先安排课程，尤其是特殊的课程.首先安排生物，第一节不排，所以共有4种，但考虑到最后一节属于特殊位置，所以分成两种情况：①生物课排在中间位置，有3种情况，再安排物理，有3种情况，再安排化学，有3种情况，自习课也就唯一确定了，所以这种情况的可能性有3*3*3=27
种情况；如果生物课安排在最后一节，物理，化学就可以任意排列了，所以有123*424
==A 种可能.所以共有27+12=39种情况.
题型三 捆绑型问题以及不相邻问题
1.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事．撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A ．240种
B ．188种
C ．156种
D ．120种
【答案】 D
【解析】考虑到特殊元素A 、E 、F 以及特殊位置前三位，所以首先规划事件的安排：①可以先分析特殊元素A ，考虑到要求E 、F 相邻以及前三位情况比较少，所以可以列举法：A 在首位时，E 、F 有4种情况，再加上可以调换位置，所以有4*2=8种情况，余下的三个元素进
行全排列633
=A 种情况，所以共有8*6=48种情况；同样，A 在第二位时的情况有3*2*33A =36种情况；A 在第三位时的情况有3*2*33A =36种情况；所以不同的安排方案共有48+36+36=120种情况.②也可以先考虑E 、F 的情况，由于要求E 、F 必须排在一起，所以共有5种情况，但注意到这5种情况有些属于一类的，考虑到是不是占了前三位的位置，所以分为三种情况（一二位和二三位情况相同，三四位一种情况，四五位和五六位情况相同），以一二位为例，E 、F 可以调换位置，有2种情况，A 只有1种情况，余下的三个位置进行全排列，所以共有2*1*33A =12种情况；同样E 、F 排在三四位有2*2*33A =24种情况；E 、F 排在四五位有2*3*33A =36
种情况；所以共有12*2+24+36*2=120种情况.
2.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A ．18
B ．24
C ．30
D ．36
【答案】C
【解析】4个人分到3个班，必然有2个人在一起，共有624=C 种情况；要求甲、乙两名学生不能分到同一个班，再排除1种，所以有5种情况，再进行全排列，所以不同分法的种数为30)1(3324=⋅-A C 种情况.
3.7个人排成一列，其中甲乙两人相邻且与丙不相邻的方法总数是（ ）.（结果用数字表示）
【答案】 960
【解析】由于要求甲乙两人相邻，所以可以用捆绑法；由于与丙不相邻，所以需要考虑到甲乙的相邻位置，这样就得分情况讨论，如果甲乙在首位或者末位，则相邻位置只有1个；如果在中间的话，相邻位置有2个，所以总的情况有2*3*44A *4+2*4*44A *2=576+384=960个.。