高考数学复习系列-排列组合专题

高考数学复习系列，排列组合专题，共两篇文章：

一、排列组合中“重复”的产生与纠正

二、排列组合应用问题的九种求解策略

一、排列组合中“重复”的产生与纠正

有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生错误原因之一是由于重复造成的。在解题时，应做到既不出现重复，又能判断出解题的正误，并加以剖析、纠正，这样对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题能力均有很大益处。重复出现在下面几种情况中：

1、分步违反“无关”而产生重复

例1：假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有多少种？

分析：“至少有件次品”是指“恰有2件次品或恰有3件次品”，因此可分成两类求解。

解法1：（直接法）第一类，2件次品3件合格品，有种；第二类，3件次品2件合格品，有种。由分类计数原理得抽法为＋＝3783976（种）。

解法2：（间接法）不论次品，合格品抽法共有，恰有1件次品的抽法种数有，没有次品的抽法种数为，至少有2件次品的抽法种数为－－＝3783976（种）。

评注：“至少”或“至多”问题是组合问题中的常见类型，可分成几类用直接法，也可用间接法。当所分的类较多时，用间接法会更简捷。

2、均分组问题易重复

例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？

解法1：分四步完成。首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有种取法；然后从其余的6个小球中任取2个有种取法；再从剩下的4个小球中任取2个有种取法；最后留下的2个小球作为一堆有种取法，根据分步计数原理，共有不同的分堆方法种数为＝2520种。

解法2：首先从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆有种取法；然后从其余的6个小球中任取2个有种取法；再从剩下的4个小球中任取2个有种取法；最后留下的2个小球作为一堆有种取法，根据分步计数原理，共有种取法，再除以均分堆的重复次，所以共有不同的分堆方法有＝105种。

评注：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1,2，…,8。第一种取法：第一次取出1,2号球，第二次取出3,4号球，第三次取出5,6号球，第四次取出7,8号球，分成了四组。第二种取法：第一次取出7,8号球，第二次取出1,2号球，第三次取出3,4号球，第四次取出5,6号球，分成了四组，不难看出这两种取法是同一种分组方法，因此解法1出现重复，导致错误。

3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复

例3：6人排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？

解法1：6个人任意排成一排排法总数为种，其中不合题意的排法分两类。

①甲排在左端，其余5人排在剩下的5个位置上，有种；②乙排在右端，其余5人排在剩下的位置上，有种。所以适合题意的排法有－2＝480（种）。

解法2：6人全排列为种，减去不符合题意的两种：甲在左端有种；乙在右端有种，再补上多减去的甲在左端且乙在右端的一类排法种，所以适合题意的排法有－2＋＝504（种）。

评注：解法1错误，解法2正确。

原因：解法1第一类中，甲在左端乙在右端有种；第二类中，乙在右端甲在左端有种；

故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导致错误。

二、排列组合应用问题的九种求解策略

解排列组合问题的基本策略有：特殊元素优先安排的策略；合理分类与准确分步的策略；正难则反,等价转化的策略；相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理的策略；元素定序，先排后除的策略等．

一、分类法

例1：某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语各1人，有多少种不同的选法？

解析:：“完成一件事”指从9人中选出会英语与日语各1人，由题意可知，9人中仅会英语的有6人，既会英语又会日语的有1人，仅会日语的有2人．因此可根据此人是否当选将所有选法分为三类：(1)此人不当选有6×2种；(2)此人按日语当选有6×1种；(3)此人按英语当选有2×1种。根据加法原理，共有6×2＋6×1＋2×1=20种不同的选法。

二、分步法

例2：有4位同学参加3项不同的比赛，每位学生必须参加一项竞赛，有多少种不同结果？

解析：“完成一件事”是指每位学生都必须参加一项竞赛，可分四步完成，每位学生选择好竞赛项目为一步。学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3项不同的机会。根据乘法原理，共有3×3×3×3种。

三、排除法

例3：用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？

解析：由所有1～6这6个数组成的五位数有A个，去掉1～6这6个数组成可被5整除的五位数A个。因此，所求的五位数共有A－A=720－120=600个。

四、插空法

例4：3个男生和4个女生站成一排，男生不能相邻，有多少种不同的排法？

解析：采用插空法，把4个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进5张椅子，如___女___女___女___女____，再将3个男生放到这5个位子中的3个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了，这样，男生有A种排法，女生有A种排法，所以共有A·A种排法。

五、定序排列法

例5：书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原有顺序，有多少种不同插法？

解析：9本书按一定顺序排在一层有A，考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了A次，所以有A÷A种。

评注：此题易产生误解：将新买来的３本书插入原来的６本书的７个空档中，故有Ａ=210种，错误的原因在于新买来的３本书可以相邻，而上式中不包含相邻的情况。

定序排列问题，其一般结论是：若m个元素参加排列，其中有n个元素的顺序是确定的，则排法种数为

六、捆绑法

例6：某小组6人排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

解析：采用捆绑法，先把甲、乙两人看成一个人，这样有A种不同排法，然后甲、乙两人之间再排队，有A种排法，因为是分步问题，应当用分步计数原理，所以有A·A种排法。

七、特殊元素（位置）法

例7：从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有多少种？

解析：在这里黄瓜是特殊的元素，必须选出有1种选法，然后再从其它3个品种中选出2种有Ｃ种选法，最后进行排列有A种排法。由分步计数原理，共有1·Ｃ·A种

八、挡板法

例8方程x1＋x2＋x3＝7的正整数解有多少组？

解：因为7＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，在每两个1之间可放入一个“＋”号共六个，因此问题转化为把七个1分成三组，每组至少要有一个1，所以只要在1＿1＿1＿1＿1＿1＿1六个“＿”中选两个放“＋”即可，所以共有C＝15（组）。

九、平均分组法

一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法为：