高考考前复习资料—高中数学排列组合易错题分析
易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)
专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
排列组合十种解题技巧与易错题归纳总结
排列组合问题十种题型及其解题技巧、易错归纳（一）至少变恰好例题1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．144【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案，选D巩固1 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84B ．48C ．36D ．28【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. （二）插空法例题2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法，选A.巩固2 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，所以选B（三）特殊元素优先例题3 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有8种，选B.（四）捆绑法例题4 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法，第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=，故选D.巩固3 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，选A. （五）不在问题的间接法例题5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C.巩固4 某公司安排五名大学生从事A B C D 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96B ．120C ．132D ．240【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种，共36+96=132种，选C 巩固5 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，选B ．（六）走街道问题例题6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C （七）隔板法例题7 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种B ．()1!n n ⋅+种C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n n C n n +=+ 选D巩固6 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7B ．10C ．14D ．20【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，选B ． （八）回归原始的方法例题8 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.巩固7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。
【高考数学 易错专练】知识点 排列组合综合 易错点5 混淆分堆与分配问题(学生版)
知识点排列组合综合易错点5 混淆分堆与分配问题知识点排列组合综合易错点5 混淆分堆与分配问题【易错诠释】（1）分堆与分配问题：将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为C C…C个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为．（2）相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．【典例】有12本不同的书，分成4堆．(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】(1)有C C C C种分法；(2)有C C C C种分法；(3)有C C C C种分法．【错因】A、B、C、D四本书平均为分两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C·C＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB 是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．【正解】(1)有分法种．(2)有分法种．(3)有分法C C C C种【针对练习】1．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）．2．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.3．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法. 4．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？5．（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？（2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？。
高考数学总复习排列组合常用题型及易错点分析
第一部分 高考数学总复习排列组合常用题型及易错点分析一、基本知识点回顾1.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同2.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.相邻元素捆绑策略例1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 二.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？三.定序问题倍缩空位插入策略例3.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合易错题------教师用
排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。
学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1. “加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有类方法，这类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种. (注：所选高考题为理科题，以下同)【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有(分两步，用乘法原理)种；第二类，有4件次品的抽法同理有种，最后由加法原理，不同的抽法共有 +＝4186种 .【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有( ) (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种【正解】(合理分类，合理使用两个基本原理)从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( ).种(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040【正解一】不同的选法有＝2520种 .【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种.【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.【正解】有＝24(或=24)种植方法.3、重复计数出增解【例6】(题目同例2)【正解一】(注意到错解正好多算一倍) . 【正解二】有=70种选法,所以选C.【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.【正解一】在错解中消除重复，有＝144种放法.【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有＝144种放法.【解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒(自然出现一空盒)，有＝144种放法.【例8】(课本变式题)7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？【正解一】减去重复数，应为-5＝3720种. 【正解二】减去重复数，应为+2- ＝3720种排法.重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解(遗漏有关情形)【例9】(题目同例8)【正解一】(方法同错解，补上被多减的部分)有－2 +＝3720种排法. 【正解二】分为两类：甲排中间5个位，有种方法；甲排尾，有种方法，由加法原理，共有＋＝3720种排法.【例10】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B 可以不相邻)，那么不同的站法有( )种 . (A) 24(B) 60 (C) 90 (D) 120【正解一】按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是、3、2、，所以共有+3+2+ =60种排法，选B.【正解二】利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，有=60(种)，选B .【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有( )种 .(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式－4＝150而错选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式－4－3＝147而错选B；若只考虑到情形①、③，就会由算式－4－6＝144而错选C；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果－4－6－3＝141，选D. (从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心)5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种【正解一】A的卡分给B、C、D三人，有种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、C、D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有种方法，所以共有＝9种不同的分法.【正解二】设A先拿卡有种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.【错解】(应用对称关系)有=90个.【错因】1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.【正解】：有(或- )＝72个.。
专题6：高考数学易错题分析(排列组合二项式定理)
专题6：高考数学易错题分析（排列组合二项式定理）一、典型例题分析【易错点1】二项式()na b +展开式的通项中，因a 与b 的顺序颠倒而容易出错。
例1、n⎫展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x 的一次项为 。
解析：椐题意有：()()22122162,212162,9n n C C n n n n ⋅--⋅=-+=∴=即()929231992rr rrr rr r T C C x ---+⎛⎫==⋅-⋅ ⎝则由921,323r r r --=∴= ()3334912672T C x x ∴=-⋅⋅=-【评析引申】二项式()()n na b b a ++与的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。
【易错点2】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。
例2、在5322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，5x 的系数为 ，二项式系数为 。
【易错点分析】在通项公式155152rr r r T C x -+=⋅⋅中，5r C 是二项式系数，52r r C ⋅是项的系数。
解析：令1555r -=，得2r =，则项5x 的二项式系数为2510C =，项的系数为225240C ⋅=。
【评析引申】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r 的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。
【易错点3】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。
例3、已知()22nn N x +⎫∈⎪⎭的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。
【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。
【高考数学 易错专练】知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错(学生版)
知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错 知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错【易错诠释】．解排列组合的应用题，要注意：由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．【典例】从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg lg a b-的不同值的个数是（ ）A ．9B ．10C ．18D ．20错解：D 由题意可知不同值的个数为5420⨯=．错因分析：错解中忽略了20种不同a ，b 取值的情况中，存在lg lg a b -数值相同的情况，因此出现了重复计数的问题，需将其减掉．正解：C 从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数有5420⨯=种不同的方法，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=．【针对练习】1．4名运动员参加4*100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有A ．12种B ．14种C ．16种D ．24种2．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）．3．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．24。
高考错位排列真题答案解析
高考错位排列真题答案解析导语：高考是每个学生都要经历的一场考试，考试中的各种题型都是考生们备战所需的重点之一。
错位排列题是高考数学中的难点题型，很多考生在解答时往往束手无策。
本文将为大家详细解析高考错位排列真题答案，希望对广大考生有所帮助。
一、什么是错位排列题错位排列题是高考数学中的一类组合题，是考察考生对排列组合知识的理解和运用能力。
在这类题目中，要求我们求排列或组合的个数，并要保证某些特定的元素不能相邻、不能相连等。
二、常见形式及解题思路1. 示例一：有3个甲、3个乙、3个丙三种不同的球，把如下9个球排成一行，使乙不能够紧挨着甲摆放，要求每次将甲、乙、丙这三种球的一个摆在一行的空位上，那么有效排列的个数是多少？解题思路：这是一个错位排列的问题。
首先，我们可以先假设把甲和乙看成一个整体，即2个元素看作1个对，然后将丙球插入这些对之间，变相成为了一个无相同元素的排列组合问题。
那么问题就变为了将3个甲乙丙的球排列在一行上的问题。
根据排列组合的公式，我们可以得出答案为3!，即3的阶乘，结果为6.2. 示例二：有8个小球，其中有2个红球、2个蓝球、2个绿球和2个黄球，现将这只球放在一排的位置上，要求使得同颜色的球不相邻，一共可以有多少种不同的放法。
解题思路：这是一个错位排列的问题。
我们可以将这8个小球分成4对，然后将这些对放在一排的位置上。
根据错位排列的原理，共有4！种不同的放法。
但是要注意的是，每对之间的元素又可以进行排列，所以实际的解答应该是4!*(2!)^4，即解答等于24*(2^4)=384.三、真题解析下面为大家提供一道高考真题的错位排列题解析，希望对大家更好地理解和掌握该类型题目的解答方法。
示例题：有8本书，其中诗集5本，文学评论2本，小说1本。
（1）把8本书排成一行，使得同种书类不相邻，有多少种不同的方法？（2）如果除了要求同种书类不相邻外，诗集之间和文学评论之间也不相邻，有多少种不同的方法？解题思路：（1）这是一个错位排列的问题。
高考中排列组合题的常见错误剖析
高考中排列组合题的常见错误剖析福建宁德一中 金新雄排列组合是高考考试大纲的一个基本要求和重要考点,是考查学生分析能力和解决问题能力的好题材,是学生的一个易错点.每年高考大多考一道选择题或填空题,2005年高考全国卷也不例外.本文对学生解答高考试题时的错误进行剖析,并充分暴露学生错误的思维过程,使学生认识到出错的原因,在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象,从而有效地提高解题准确率,培养学生的分析问题和解决问题的能力,这也是教师在进行排列组合教学与复习时必需关注的问题. 1违背原理例1 (1993年全国卷)50件产品中有4件次品,从中任意抽出5件,其中至少有3件次品的抽法有 种.正解 按次品数为3个和4个分为两类32414504504186C C C C +=种.错解 有3241450450()()46575C C C C ++=种. 错因分析 分类计数原理混为分步计数原理,违背两个基本原理. 2 排组混淆例2 (2004福建卷)某校高二年级共六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( ).(A)2264A C (B)2264/2A C (C)2264A A (D)262A正解 应用对称关系2264/2A C 选(B). 错解 选(A)2264A C 从六个班级中选2个班是组合问题不是排列.选(C)2264A A 从六个班级中选2个班是组合问题不是排列,从4个学生中选2个学生分到所选的班级是组合问题不是排列.错因“排列”、“组合”概念混淆,将组合问题当做排列问题去计算.3 重复遗漏例3 (2005年福建卷)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览、每人只游览一个城市、且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案有( ).(A)300种 (B)240种(C)144种 (D)96种 正解 从甲、乙两人外的4人中选1人去巴黎游览,再从5人中选3人去其余的三个城市游览1345C A ,选B. 错解 分三类情况:(1)甲、乙两人中只有一人被选中,有3134233144C C A ⋅⋅=种.(2)甲、乙两人均被选中,有2222423272C C A A =种.(3)甲、乙两人均未被选中,有444424C A ⋅=种共有144+ 72 + 24=240种,但学生遗漏甲、乙两人均被选中和甲、乙两人均未被选中的情况,导致选C,或遗漏甲、乙两人中只有一人被选中情况选,导致D.例4 (1995年全国卷)四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法有 种.正解 从四个球中取出2个作为一组,与另两个球一起放入四个盒子中的三个内,有2344144C P =种放法.或将四个球分别放入四只盒子后,取出其中的2盒并为一盒,有4244P C = 144种放法.错解 从4个球中取出3个放在四只盒子中的三只内,再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内,有331443288C P C =种放法. 错因分析 显然两种取法的结果是相同的,但却作为2种不同取法重复进行了计数,且正好多算了一倍.这是学生解答排列组合问题时最容易出现的一种错误,且自己还很难查出错因. 4 图形认识不清例5 (2003年全国卷)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区 不得使用同一颜色,现·32·有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 正解4种颜色中可分选择4种颜色和3种颜色两种情况,334112434432272C A C C C A +⋅=. 错解 4322148××××=. 错因分析 图形认识不清,从图“3”开始考虑,没考虑到“3”“5”可同色.或没考虑到可只选3色,综合利用知识的能力差. 例6 (2005年全国卷)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有( ). (A)18对(B)24对 (C)30对(D)36对 正解 三棱柱共有6个顶点,任取4点,不共面的情况共有46312C −=种,不共面的4点可构成一个四面体,而每一个四面体有3对异面直线,故共有31236×=对异面直线.选D. 错解 侧棱有3条,每条有4对异面直线,底边有6条,每条异面直线有4对,346330×+×=. 错因分析 图形认识不清,题意不理解. 5 曲解题意 例7 (1990年全国卷)A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排,如果B 必须站在A 的右边(A 、B可以不相连),那么不同的站法有( )种. (A)24 (B)60(C)90 (D)120正解 根据对称性原则,55/260P =(种),选B. 错解 选A. 错因分析 审题不严或不能正确理解题意,综合利用知识的能力差,由于漏掉“A 、B 相邻”一类情形,而错误算为32132132P P P ++=24,选A. 例8 (1991年全国卷题15)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )对.(A)12 (B)24 (C)36 (D)48正解 有侧棱中一条可与底边中的4条构成异面直线,则116424C C =(对),选B. 错解 选A 或D. 错因分析 把题意理解为“两组异面直线为一对”而错选A;或理解为“异面直线有48条”而错选D. 6算法不当例9 (2004年广东卷)某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是________.(用分数作答) . 正解 从7人中选2人担任正副班长排除都是男生的4选2,得222747()/C C C −. 错因分析 算法选择不当,不知用排除法而造成易出错的复杂局面,得不到正解.例10(1993年全国卷题)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( ). (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种正解 用特殊元素法有11339C C =(种);或用枚举法将所有可能的分配方案一一写出也不失为一法.选B. 错因分析 错因多在于选用了间接法,由于情形复杂而出错.如在90年题(14)、96年题(17)及97年题(15)中,应该用间接法而不恰当地选用了直接法.7 数位不清 例11 (1995年全国卷)用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). (A)24 (B)30 (C)40 (D)60正解 122424C A =选A. 错解3560A =或35/230A =. 错因分析 只选3个数排列或认为偶数与奇数各半,而1,2,3,4,5中奇数是3个,偶数为2个.例12 (2004年天津卷)从0,1,2,3,4,5中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中能被5整除的三位数共有 个.(用数字作答) 正解 考虑特殊位置法21154436A A A +=. 错解122540A A =. 错因分析 没注意到0不能当首位.8 关系不当 例13 (1999年全国卷)在一块并排10垄·33·的田地中,选择2垄分别种植A 、B 两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有 种(用数字作答).正解 2(321)12×++=种.错解 110330C ×=. 错因分析 对A 、B 两种作物的关系认识不当例14 (1987年全国卷)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数,求这种五位数的个数.正解3234P P 或用排除法54542P P −或用插空法、414372P P =个.错解 (应用对称关系) 553/490P =个. 错因分析 1与2在这个五位数中的位置有12、1×2、1××2、1×××2四种情形,故误以为1、2不相邻的情形有占总数的1/2,而实际上,这四种情形下的五位数的个数是不同的,不具有对称性.创新信息技术教学方式, 增强学生创造能力福建厦门第一中学 吴旭日“创新是一个民族的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力”.然而,由教育部科技司、共青团中央学校部、中国科协青少年部和中国科普研究所联合发起的“全国青少年创造能力培养社会调查”活动显示:我国有七成多的青少年不知如何创造,缺少运用技术“计划和行动”的能力;亲身体验过科学探究和技术创新全过程的青少年分别低于29％和26％.青少年亲身体验过科学探究全过程的比率不高,创造力不强,这是一个摆在我们面前非常严峻的课题.新一轮的高中课程改革提升了技术课程的教学的地位,其核心是提高学生的技术素养,促进学生全面和富有个性的发展;着力发展学生的信息交流与处理,技术的设计与应用等实践能力;努力培养学生的创新精神、创业意识和一定的人生规划能力.同时,注重学生对技术中思想和方法的领悟与运用;注重学生对技术的人文因素的感悟与理解;注重学生在技术学习中的探究、试验与创造;注重学生情感态度、价值观以及沟通能力的发展,为学生应对未来挑战、实现终身发展奠定基础.1 信息技术课程的设定标准《通用技术课程标准》规定,我国普通高中开设的技术课程包括信息技术和通用技术.信息技术课程的必修内容是《信息技术基础》,选修内容有5个模块:《算法与程序设计》、《多媒体技术应用》、《网络技术应用》、《数据管理技术》和《人工智能初步》.在高中阶段,每个学生最低必须修满4学分,即修完必修模块后至少应选修一个选修模块.从最新的课程标准可以看出,信息技术课程的内容既包括具有时代气息、适应社会发展、体现未来科技走向的内容,也包括贴近学生实际、富有挑战意义、满足学生个性发展需要、有利于于课程实施和学生选修的内容.在实施策略上,课程考虑到了城乡差异和全国经济文化的不平衡性,采取“不提要求,不明确规定载体”,注重课程资源的有效整合.教学上,要求教师注重学生全程参与、亲身经历,重视技术思想和方法指导等,力求实现有效的教和学.评价上,强调以学生的发展为核心,建立合理的评价机制.2转变教师观念,建立合理评价机制现在,信息技术教育所面临的最大挑战不再是技术和资源的匮乏,而是教师思想观念的转变.朗科公司在1999自主研发了全球第一款闪存盘——优盘,公司总裁邓国顺曾这样比喻:“世界上没有一座金矿山的知名度超过埃及的金字塔,尽管后者并非用黄金,而是用石头堆砌而成,这充分说明了创造性思维的价值所在.”·34·。
高考复习资料-排列组合易错题分析
高考数学复习易做易错题选排列组合易错题正误解析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
高中数学排列组合题型总结易错点提示
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中数学排列组合题型总结与易错点提示
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
高中数学排列组合题型总结与易错点提示
排列组合复习巩固１。
分类计数原理(加法原理)完成一件事,有类办法,在第１类办法中有种不同得方法,在第2类办法中有种不同得方法,…,在第类办法中有种不同得方法,那么完成这件事共有:种不同得方法。
2、分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同得方法,做第2步有种不同得方法,…,做第步有种不同得方法,那么完成这件事共有:种不同得方法.3、分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事、分步计数原理各步相互依存,每步中得方法完成事件得一个阶段,不能完成整个事件、一。
特殊元素与特殊位置优先策略例1。
由０,1,２,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数、解:由于末位与首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求得元素占了这两个位置. 先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同得花种在排成一列得花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端得花盆里,问有多少不同得种法?二。
相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同得排法。
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并瞧成一个复合元素,同时丙丁也瞧成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排、由分步计数原理可得共有种不同得排法例3.一个晚会得节目有4个舞蹈,2个相声,３个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目得出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排2个相声与3个独唱共有种,第二步将４舞蹈插入第一步排好得6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同得方法,由分步计数原理,节目得不同顺序共有 种新节目不相邻,那么不同插法得种数为 30四。
定序问题倍缩空位插入策略例４、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同得排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定得排列问题,可先把这几个元素与其她元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间得全排列数,则共有不同排法种数就是:(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外得四人就坐共有种方法,其余得三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有种方法。
2021年高考数学重难点10 排列组合的易错题分析(学生版)
重难点10 排列组合的易错题分析排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
【高考常见题型分类总结】解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)二、特殊元素与特殊位置优待法三、插空法、捆绑法【高考常见题型限时检测】（建议用时：45分钟）1.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种2.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A ．120种B ．96种C ．78种D ．72种3. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C4.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）5.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） 13 254(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种6.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）（A ） 280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种7.某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）6308.7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？9.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）（A ） 5544A A （B ）554433A A A （C ）554413A A A （D ）554422A A A10.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种11.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.12.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A ．8B ．24C ．48D ．12013.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．64814.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种15.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
排列组合(6大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。
（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A ．3565A A ⋅种B ．()863863A A A -⋅种C ．3353A A ⋅种D ．()8486A A -种变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中工序A ，B 必须相邻，工序C ，D 不能相邻，那么有（）种加工方法．A ．24B ．32C ．48D ．64变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列.中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A．12C．1 411．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，A．4种B．A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A．甲乙不相邻的不同排法有48种B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C．甲乙不排在两端的不同排法有36种D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种16．某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（）A．若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序B．若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序C．若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序D．若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序17．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（）A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．512变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A ．12种B ．24种C ．72种D ．120种1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A A C ．7314222473543254A A A A C A A A --D ．4345A A 7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）1．两个重要公式(1)排列数公式()()()()()n m N m n m n n n n m n n A m n ≤∈+---=-=*且,,!!121 ．(2)组合数公式()()()()()nm N m n m m n n n n m n m n C m n ≤∈+---=-=*且,,!!!!121 2、要点：()()()!m m n n n n C mn121+---= 一般用于计算，而()!!!m n m n C m n -=和m m mn mn A A C =一般用于证明、解方程（不等式）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mm n m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（2）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mmn m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（3）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．例、解不等式288A 6A x x -<.变式1．若37C C n n =，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10变式2．计算34C ＋35C ＋36C ＋L ＋32015C 的值为（）A ．42015CB ．32015C C ．42016C －1D ．52015C －1变式3．若整数x 满足232551616C C x x x +++=，则x 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或31．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（）A ．132A x -B ．142A x -C ．1315A x -D ．1415A x -2．已知23A C n n n -=，则n =（）易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理）正难则反问题技巧总结正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
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高考考前复习资料—高中数学排列组合易错题分析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法.例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种误解：先从5本书中取4本分给4个人，有45A 种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有480445=⨯A 种不同的分法，选A .错因分析：设5本书为a 、b 、c 、d 、e ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：表1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书e 给甲的情况；表2是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。
正好重复了一次.正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有44A 种方法.由乘法原理，共有⋅25C 24044=A 种方法，故选B .例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：1260332527=A C C ，选B . 错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.乙 丙 丁 a 甲 e d c b 表1 乙丙 丁 a 甲 e d cb 表2正解：6302332527=A C C 种. 4遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）（A ）36个 （B ）48个 （C ）66个 （D ）72个误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取 法，剩下3个数排中间两个位置有23A 种排法，共有363223=⨯⨯A 个.错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有363233=⨯⨯A 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D .5忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例7 (2003全国高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有1222213=⋅⋅A C 种，由乘法原理共有：48124=⨯种. 错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择．．”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务. 正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C 种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有242334=⨯⨯C 种.综上共有：722448=+种.例8 已知02=-b ax 是关于x 的一元二次方程，其中a 、}4,3,2,1{∈b ，求解集不同的一元二次方程的个数.误解：从集合}4,3,2,1{中任意取两个元素作为a 、b ，方程有24A 个，当a 、b 取同一个数时方程有1个，共有13124=+A 个.错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同．．．．的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4221b a b a 和同解、⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2412b a b a 和同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有11213=-个解集不同的一元二次方程.6未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有10231210=-种.错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有15351329=-⨯种.7题意的理解偏差出错例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C ）3335A A ⋅ （D ）4688A A - 误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有55A 种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有36A 种方法，这样共有5536A A ⋅种排法，选A . 错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻．．．．”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即336688A A A ⋅-，故选B . 8解题策略的选择不当出错有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A ）16种 （B ）18种 （C ）37种 （D ）48种误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有48443=⨯⨯种方案.错因分析：显然这里有重复计算.如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与b班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：⨯⨯⨯种方案.4=⨯-4374333排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.。