安徽省合肥一中及其联谊学校2011届高三第二次全省大联考(数学理)

合肥一中及其联谊学校2011届高三第二次全省大联考数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}7,5,4,3,2,1=U ，集合{}7,5,3,1=M ，集合{}5,3=N ,则（ ）A ．N M U ⋃=B ．)(NC M U U ⋃= C ．)()(N C M C U U U ⋃=D ．N M C U U ⋃=)(2．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时32)(-=x x f ，则)2(-f 的值是（ ）A ．1B ．41 C ．1- D ．411- 3．已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3π=B ，3=c ，7=b ，则a 为（ ）A ．2B ．1C ．1或2D ．无解 4．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|x x x A ，集合{}30|<<=x x B ，那么“A x ∈”是“B x ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若数列}{n a 是等差数列，且π=++1581a a a ，则=+)tan(124a a （ ）A ．3B ． 3-C ．33 D ．33- 6．已知向量)1,sin 1(θ-=→a ，)sin 1,21(θ+=→b ，且→→b a //，则锐角θ等于（ ）A ．o 30B ．o 45C ．o 60D ．o75 7．函数)323(log )(311+=x x f ，[]1,1-∈x 的值域是（ ）A ．[]1,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡311,1 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3log ,0311 D ．∅8．已知函数k x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期是2π，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,24ππx 上单调递增，则下列符合条件的解析式是（ ） A ．)64sin(4π+=x y B ．2)32sin(2++=πx yC ．2)34sin(2++=πx yD ．2)64sin(2++=πx y9．已知函数)(x f 的图像如图所示，)('x f 是)(x f 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A ．)2()3()3(')2('0f f f f -<<< B ．)2(')2()3()3('0f f f f <-<< C ．)2()3()2(')3('0f f f f -<<< D ．)3(')2(')2()3(0f f f f <<-<10． 函数bx x x f +=2)(在点))1(,1(f A 处的切线方程为013=--y x ，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和n S ，则2011S 为（ ）A ．20092008 B ．20102009 C ．20112010 D ．20122011第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中第13小题第一空2分，第二空3分，共25分． 11．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 是ABC ∆的面积，且2224c b a S -+=，则角=C ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OB OA OC 3132+=，＝ ．13．已知数列}{n a ，满足31-=a ，*)(32N n a S n n n ∈+=，则=3a ，=n a ．14．下列命题中，真命题的序号是①若函数)()(322Z m x x f m m∈=--的图象与坐标轴无公共点，则m 为1或2；②若对∀[]b a x x ,,21∈，21x x ≠，都有0))()()((2121>--x f x f x x ，则函数)(x f 在 []b a ,上是单调增函数；③已知向量)1,2(=→a ，),1(xb -=→所成角为钝角，则实数x 的取值范围为)2,(-∞． 15．函数x x x f 2)(-=，[]2,1∈x ，a xa x g 252cos )(-+=π，)0(>a ，对任意的[]2,11∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，则a 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知向量)1,22(b x m -=→，向量)21,1(b n +=，),(n n n b a P 在函数→→⋅=n m y 的图象上，1P 为该函数图象与y 轴的交点．（Ⅰ）若}{n a 为等差数列，且公差为1，求数列}{n b 的通项n b 及其前n 项和n B ； （Ⅱ）若}{n b 为等比数列，且公比为2，求数列}{n a 的通项n a 及其前n 项和n A ． 17．（本小题满分12分）已知)cos ,sin 3(x x a =→，)cos ,(cos x x b -=→．（Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,3ππx 时，5421=+⋅→→b a ，求x 2cos ； （Ⅱ）当⎪⎭⎫⎢⎣⎡1213,125ππ时，关于x 的方程m b a =+⋅→→21有且只有一个实根，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133千米．假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y （以元为单位）由固定部分和可变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．（Ⅰ）把全程运输成本．．．．．．)(v f （元）表示为速度v （千米/时）的函数；（Ⅱ）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？ 19．（本小题满分12分） 设),(11y x P ，),(22y x Q )(21x x ≠是函数c bx ax x x f +++=23)(的图象上的两点，对于任意实数21,x x ，当021=+x x 时，过点P ，Q 分别作函数)(x f 的图象的切线必平行，并且当1=x 时，函数)(x f 取得极小值1． （Ⅰ）求实数a 、b 、c 的值；（Ⅱ）若直线l 是函数x x x x f x g 3)()(23++-=在3=x 处的切线，求切线l 与)(x g 及直线6=x 所围成图形的面积． 20．（本小题满分13分） 已知函数1tan 2)(2-+=θx x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ． （Ⅰ）若)(x f 在[]3,1-∈x 上单调函数，求θ的取值范围；（Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,3ππθ时，)(x f y =在[]3,1-上的最小值为)(θg ，求)(θg 的表达式．21．（本小题满分14分）已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且∀R x x ∈21,，总有1)()()(2121++=+x f x f x x f 恒成立．（Ⅰ）求证：1)(+x f 是奇函数；（Ⅱ）对∀*N n ∈，有)(1n f a n =，1)21(1+=+n n f b ，求：13221++++=n n n a a a a a a S 及nn n a b a b a b T +++=2211； （Ⅲ）求n n n a a a n F 221)(+++=++ ),2(N n n ∈≥的最小值．数学（理科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BCCABBADBD二、填空题题号 11121314 15第一空第二空答案 o 453142- n n 32231⋅-⋅-②[]4,3三、解答题16．解：12+=x y ，)1,0(1P ，即01=a ，11=b ．（Ⅰ）若}{n a 为等差数列，1=d ，所以1-=n a n ，1212-=+=n a b n n ， 所以22)121(n n n B n =-+=（Ⅱ）若}{n b 为等比数列，公比2=q ，所以12-=n n b ，又12+=n n a b ，所以()2121212-=-=-n n n b a ，所以2121+-=-n A n n 17．解：2162sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅→→πx b a （Ⅰ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,3ππx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ,262x又5462sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅→→πx b a ，∴5362cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴10334662cos 2cos +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x （Ⅱ） 当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1213,125ππx 时，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈-πππ2,3262x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,162sin πx m x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅→→62sin 21π有且只有一个实根，由图： 1-=m 或230≤≤m 18.解：⑴依题意02.01202004882=⇒⨯+=k k )12060)(02.0200(133)02.0200(133)(2≤≤+=+=v v vv v v f ⑵53202.02002133)02.0200(133)(=⨯⨯≥+=v vv v v f当且仅当v v02.0200=即100=v 时，“＝”成立 即汽车以100h km /行驶，全程运输成本最小为532元．19.解⑴b ax x x f ++=23)('2 ∀021=+x x ,)(')('21x f x f =,)(')('x f x f -=∴对∀R x ∈成立即b ax x b ax x +-=++232322，b x x f a +==∴23)(',0 又)(x f 在1=x 处取得极小值，1)1(,0)1('==∴f f⎩⎨⎧=++=+∴,1103c b b 3,3=-=∴c b ⑵由⑴知33)(3+-=x x x f ，3)(2+=∴x x g ，x x g 2)('=∴， 直线l 斜率6)3('==g k ，66:-=∴x y l ，9)96()663(632632=+-=+-+=∴⎰⎰dx x x dx x x S20.解：⑴1tan )tan (1tan 2)(222--+=-+=θθθx x x x f ，对称轴为θtan -=x ． )(x f y = 在[]3,1-上单调．1tan -≤-∴θ或3tan ≥-θ，即1tan ≥θ或3tan -≤θ．又⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ ，24πθπ<≤∴或32πθπ-≤<-．⑵若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,3ππθ，则[]3,3tan -∈-θ，当1tan 3-≤-≤-θ，即34πθπ≤≤时，θθtan 2)1()(-=-=f g ． 当3tan 1≤-≤-θ，即43πθπ<≤-时，1tan )tan ()(2--=-=θθθf g ．综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤---=34tan 2431tan )(2πθπθπθπθθg ． 21.解：⑴证明：1)()()(2121++=+x f x f x x f ，令021==x x 得1)0(-=f ，再令x x x x -==21,，得1)()()0(+-+=x f x f f[]1)(1)(+-=+-∴x f x f ，函数1)(+x f 是奇函数．⑵令1,21==x n x 得2)()1(+=+n f n f ，所以12)(-=n n f ，121-=n a n ， n n n b 21112121=+-⨯=+，)121121(21)12)(12(11+--=+-=∴+n n n n a a n n 12)1211(21+=+-=n nn S n 又n n n n a b 21)12(-=，n n n T 21)12(2132112-++⨯+⨯= ①13221)12(21321121+-++⨯+⨯=n n n T ② 由①-②得nn n T 2323+-= ⑶0)12)(34)(14(1)()1(12212>+++=-+=-++++n n n a a a n F n F n n n)()1(n F n F >+∴．又2≥n ，∴)(n F 的最小值为3512)2(43=+=a a F。