2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷2,参考版解析)
2020年高考文科数学全国卷2-答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷文科数学答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】解绝对值不等式化简集合A B ，的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 因为{}{}321012A x x x Z =<∈=--，，，，，，{}{}111B x x x Z x x x x Z =>∈=><-∈，或，， 所以{}22A B =-，.故选：D .【考点】绝对值不等式的解法，集合交集的定义2．【答案】A【解析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.()()()()2422221i [1i ]12i i 2i 4-=-=-+=-=- 故选：A .【考点】复数的乘方运算性质3．【答案】C【解析】根据原位大三和弦满足34k j j i -=-=，，原位小三和弦满足43k j j i -=-=，，从1i =开始，利用列举法即可解出．根据题意可知，原位大三和弦满足：34k j j i -=-=，．∴158i j k ===，，；269i j k ===，，；3710i j k ===，，；4811i j k ===，，；5912i j k ===，，．原位小三和弦满足：43k j j i -=-=，．∴148i j k ===，，；259i j k ===，，；3610i j k ===，，；4711i j k ===，，；5812i j k ===，，．故个数之和为10．故选：C ．【考点】列举法的应用4．【答案】B【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=， 故需要志愿者9001850=名. 故选：B【考点】函数模型的简单应用5．【答案】D【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 由已知可得：11cos601122a b a b ︒==⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +=+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意； B ：因为21(2)221202a b b a b b +=+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意； C ：因213(2)221022a b b a b b -=-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -=-=⨯-=，所以本选项符合题意. 故选：D .【考点】平面向量数量积的定义和运算性质，两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直6．【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.设等比数列的公比为q ，由53641224a a a a -=-=，可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)12221112n nn n n n n a q a a q S q ----=====---，， 因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B .【考点】等比数列的通项公式的基本量计算，等比数列前n 项和公式的应用7．【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值.模拟程序的运行过程0,0k a ==第1次循环，2011011a k =⨯+==+=，，210＞为否第2次循环，2113112a k =⨯+==+=，，310＞为否第3次循环，2317213a k =⨯+==+=，，710＞为否第4次循环，27115314a k =⨯+==+=，，1510＞为是退出循环输出4k =.故选：C .【考点】求循环框图的输出值8．【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为()0a a a >，，，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()21，在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=.故选：B .【考点】圆心到直线距离的计算9．【答案】B 【解析】因为2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE △的面积为8，可得ab 值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案.2222:1(00)x y C a b a b-=＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=± 直线x a =与双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ， 联立x a b y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>， ∴其焦距为28c ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B .【考点】求双曲线焦距的最值问题10．【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增， 而331y x x-==在()0+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递减， 所以函数()331f x x x =-在()0+∞，上单调递增，在()0-∞，上单调递增． 故选：A ．【考点】利用函数的解析式研究函数的性质11．【答案】C【解析】根据球O 的表面积和ABC △的面积可求得球O 的半径R 和ABC △外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =.设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴，解得：3a =，2233r ∴=∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C .【考点】球的相关问题的求解12．【答案】A【解析】将不等式变为2323x x y y ----＜，根据()23t t f t -=-的单调性知x y ＜，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A .【考点】对数式的大小的判断问题二、填空题 13．【答案】19【解析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.22281cos212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 【考点】余弦的二倍角公式的应用14．【答案】25【解析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-=可得1152a d a d +++=即：()2252d d -++-+=整理可得：66d =解得：1d = 根据等差数列前n 项和公式：*1(1)2n n n S na d n N -=+∈， 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【考点】求等差数列的前n 项和15．【答案】8【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可. 不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大， 此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩， 因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=.故答案为：8.【考点】线性规划的应用，数形结合思想16．【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【考点】空间中线面关系有关命题真假的判断三、解答题17．【答案】（1）3A π=（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【解析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出； 因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π＜＜， 所以3A π=；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将b c -=代入可找到a b c ，，关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c ＞，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC △是直角三角形．【考点】诱导公式和平方关系的应用18．【答案】（1）12000（2）0.94（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【解析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可； 样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=；（2）利用公式20()()i i x x y y r --=∑ 样本()i i x y ，的相关系数为20()()0.943i i x x y y r --===≈∑ （3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样. 由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取19．【答案】（1）12（2）1C ：2211612x y +=，2C ：28y x =.【解析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设A C ，在第一象限，运用代入法求出A B C D ，，，点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； 解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：()c 0F ，，所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中c = 不妨设A C ，在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b+=， 所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此A B ，的纵坐标分别为2b a ，2b a-； 又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⇒=±，所以C D ，的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为ABC △，(20)c -，，(0)，(0)，，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =. 【考点】椭圆的离心率，椭圆和抛物线的标准方程，椭圆的四个顶点的坐标，抛物线的准线方程 20．【答案】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）24【解析】（1）由M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1//MN AA ，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC △中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BBMN BC ⊥由MN AM M =，MN AM ⊂，平面1A AMN∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -. 过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN平面11EB C F NP = //AO NP ∴ 又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心. ∴1111sin606sin60333ON AC ==⨯⨯=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC △中EF AP BC AM = 即323AP BC EF AM ⨯=== 由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH ==，∴1243243V =⨯⨯=.【考点】证明线线平行和面面垂直，求四棱锥的体积21．【答案】（1）1c -≥；（2）()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间 【解析】（1）不等式()2f x x c +≤转化为()20f x x c --≤，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；函数()f x 的定义域为：()0+∞，()()()2202ln 120f x x c f x x c x x c +⇒--⇒+--*≤≤≤，设()()2ln 120h x x x c x =+--＞，则有()()2122x h x x x-'=-=， 当1x ＞时，()()0h x x h '＜，单调递减，当01x ＜＜时，()()0h x h x '＞，单调递增， 所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即()()max 12ln11211h c x h c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在()0+∞，上恒成立， 只需()max 0101h x c c ⇒--⇒-≤≤≥；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x '分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x '的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.()()()()2ln 12ln 12ln ln 0x a x a g x x a x ax x a +---==≠--＞且 因此()()()22ln ln x a x x x a g x a x x --+'=-，设()()2ln ln m x x a x x x a =--+，则有()()2ln ln m x a x '=-，当x a ＞时，ln ln x a ＞，所以()0m x '＜，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减；当0x a ＜＜时，ln ln x a ＜，所以()0m x '＞，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a =＜，即()0g x '＜，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间()0a ，和()a +∞，上单调递减，没有递增区间. 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数判断含参函数的单调性22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=. 的【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=. （2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【考点】极坐标与参数方程的综合应用问题23．【答案】（1）31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥ （2）(][),13,-∞-+∞【解析】（1）分别在3x ≤、34x ＜＜和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤或≥. （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a -≥，由此构造不等式求得结果.()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-≥（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a -≤或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值的问题。
2020年高考文科数学(全国卷Ⅱ真题)——(含答案和解析)
19.已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（）
【详解】 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）
12.若 ，则（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若 ，则 __________．
14.记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 __________．
15.若x，y满足约束条件 则 的最大值是__________．
16.设有下列四个命题：ห้องสมุดไป่ตู้
2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷2,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷2）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．22y x = D ．3y = 7．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．258．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1B ．2C D 1-12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国2卷文科数学试题解析
高考全国2卷文科数学试题解析1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.拓展：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.2. 已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C拓展：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.3. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.拓展：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4. 已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.拓展：向量加减乘：5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.拓展：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.拓展：已知双曲线方程求渐近线方程：.7. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.拓展：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8. 为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.拓展：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.详解：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以则.故选C.拓展：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.拓展：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.11. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.拓展：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.拓展：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考文科数学试题(全国2卷试卷版+解析版)
2020全国2卷高考文科数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(A B ⋂=)
A．∅B．{3-，2-，2，3}C．{2-，0，2}D．{2-，2}
2．4(1)(i -=)
A．4-B．4C．4i -D．4i
3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ，2a ，⋯，12a ．设112i j k <<．若3k j -=且4j i -=，则i a ，j a ，k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ，j a ，k a 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()
A．5B．8C．10D．15
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国 Ⅱ卷)解析版
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷） 文科数学一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 答案： D 解析：{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -=（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i 答案： A 解析：42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ． 5B ． 8C ． 10D ． 15 答案： C 解析：原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名答案： B 解析：积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b + C ．2a b - D ．2a b - 答案： D 解析：21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ．6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a =（ ）A ． 21n -B ． 122n --C ． 122n --D ． 121n -- 答案： B 解析：设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案： C 解析：当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A 5BCD 答案： B 解析：依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --=的距离为=；当圆心坐标为(5,5)时，其到直线230x y --=的距离为=，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 32 答案： B 解析：双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==时，等号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =．10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减 C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增 D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减 答案： A 解析：因为331()f x x x =-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x=-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x=-为(0,)+∞增函数，故选A ．判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x'=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的． 11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） AB ．32C ．1 D答案： C 解析：2ABC S AB ∆==，所以3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==．从而O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A ． ln(1)0y x -+>B ． ln(1)0y x -+<C ． ln ||0x y ->D ． ln ||0x y -< 答案： A 解析：11223323232233x y x y x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233x yx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ． 二、填空题13．若2sin 3x =-，则cos 2x = ．答案：19解析：22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=．14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 答案：25 解析：由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．答案： 8 解析： 方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥． 则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 答案： ①③④ 解析：对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④． 三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）b c -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 答案： （1）3π；（2）证明过程见解析．解析：（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b =（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18． 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021()80i i x x =-=∑，2021()9000ii yy =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：nx y r =1.414≈答案： （1）12000； （2）0.94； （3）见解析 解析：(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得0.94nx y r ===≈；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程． 答案： （1）12e =（2）221:11612x y C +=；22:8C y x =解析：（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12．（2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c pd c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．答案： 见解析 解析：（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A NBC ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA 平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，3ON AP ==，过M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH ⊥平面11EB C F ，由23PM =,6AO =,26MN =,得PM MN MH PN ⋅==11111()242EB C F S B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F ，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．答案：（1）[1,)-+∞； （2）见解析 解析：（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞；（2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--， 令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=，令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减． 四、选做题（2选1）22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 答案： 见解析 解析：（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥；因为222222212:12x t tC y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=． 23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+. (1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； (2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.答案： （1）解集为32x ≤或112x ≥；（2）3a ≥或1a ≤-. 解析：（1）当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥.（2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
2020高考全国2卷文科数学带答案
2020高考全国2卷文科数学带答案2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1．A2A B=A{}3,534，则A52020高考全国2卷文科数学带答案 精心整理A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y = B．y = C．y x = D．y = 7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A．BCD． 8199100++-图，则在空白框中应填入 A B C D 9A 10A 1160︒，A 12(50)f +AB ．0 二、填空题：本题共4小题，每小题精心整理13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．15．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB△21题17．18．2,,7）2020高考全国2卷文科数学带答案精心整理19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C到平面20．两点，||AB =21．22．精心整理程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）绝密17172020高考全国2卷文科数学带答案所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．精心整理精心整理连结OB．因为AB=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．由222OP OB PB+=知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．20(3)x-，即y=2020高考全国2卷文科数学带答案精心整理因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．21．解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x=3-x=3+g（x 以(1f +22精心整理当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．2=-． 23[2,)+∞．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷II,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷II ，解析版）【名师简评】2020年全国2卷文科数学试题从整体看，强调了基础知识和基本方法技能的落实，全卷结构平稳，题型常规，注重基础过关，考生容易上手，同时试题又力求创新，注重了对考生能力的考查，所以要得高分也极不容易，考生常有笑着提笔，哭着收笔的感觉.如20题考查与物理学电路相关的知识，对文科同学来讲，命题背景新颖却又不超纲，符合2020年《考试说明》精神；如22题2小题，一改方法简单却超大计算量的风格，重在对思维的考查，对数学能力有较高要求，具有较好的选拔性，如11题对空间想象能力有较高要求；21题2小题等等能有效区分不同能力层次的考生群体.本套试卷基础题约占84分，中档题约占39分，有较大难度试题约占27分，有较好的梯度和区分度；本题还注重数学思想方法的渗透，如2、5、6、12、18、21题，有效地考查了函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想和化归转化的数学思想.第Ⅰ卷 （选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式(+)()+()P A B P A P B = S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B •=• 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径-()(1-)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n ==L 一、选择题（1）设全集{}*N 6U x x =∈<，集合{}{}1,33,5A B ==，，则U ()A B =U ð（ ） （A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【答案】C【命题意图】本题考查求集合的并集和补集，集合的子交并补等基本运算是历年高考的热点，属于基础题型，需要考生熟练掌握.【解析】Θ {}5,4,3,2,1=U ，{}1,3,5A B =U ，{}()2,4U A B ∴=U ð，或者由狄莫弗性质：()()()U U U A B A B =U I 痧?，故选C.（2）不等式302x x -<+的解集为（ ） （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <-（C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【答案】A【命题意图】本题考查分式不等式的解法，转化成整式二次不等式求解，蕴涵了等价转化的数学思想. 【解析】320)2)(3(023<<-⇔<+-⇔<+-x x x x x ，故选A. （3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （A）（B ）19- （C ）19 （D【答案】B【命题意图】本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，在三角化简求值等运算中，公式是基础.【解析】∴911981sin 22cos )2cos(2-=-=-=-=-αααπ，故选B. （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是（A ）11(0)x y ex +=-> （B ）11(0)x y e x -=+> （C ）11(R)x y ex +=-∈ （D ）11(R)x y e x -=+∈ 【答案】D【命题意图】本题考查求函数的反函数的三步骤：1.求原函数的值域，2.反解解析式，3.对调y x ,,写出定义域(即原函数值域).【解析】1,R x y >∴∈Q ，由1)1ln(1+=⇒-=--i y e x x y ，11()1(R)x f x e x --∴=+∈，故选D.（5）若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a = （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35【答案】C【命题意图】本题考查等差数列基本量的计算，1a ，d ，n ，n a ，n S 五个量知三求二，应用到方程思想，同时也考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式.【解析】12931543=+=++d a a a a Θ，431=+∴d a ，而d a S ⋅-+=2)17(7717 2847)3(71=⨯=+=d a ，故选C.（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-【答案】A【命题意图】本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导函数值等于图象在这点的切线的斜率.【解析】12|0'==+===a a x y k x ，又切线过该点),0(b ，1=∴b ，故选A.（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）34 （B ）54 （C ）74 （D ）34（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种【答案】B【命题意图】本题考查排列组合的分配问题，解决方法是：先分组，后全排；也考查了平均分组问题，用除法处理，考生要注意除法意义上的理解.【解析】先将1，2分为一组，再将3，4，5，6平均分为2组，共有3222224=⋅A C C 种分法，然后在将三组卡片全排列在3个信封里，不同的放法有18333=⋅A 种.故选B.（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ） 4355a b + 【答案】B【命题意图】本题考查平面向量加减运算法则和线性基底表示，属于向量基本集合性质；还考查了角平分线定理，这个知识点初高中教材中均未明确提出，很多学生比较生疏，需引起注意.【解析】由角平分线定理知：12==CB CA DB AD ，→→=∴AB AD 32， →→→→→→→→+=-+=+=∴b a b a b AD CA CD 3132)(32.故选B. （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22by =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】B【命题意图】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，是近年来高考中常考题型，知识覆盖宽，对分解决析问题能力和计算能力要求较高．涉及交点问题，面积问题，夹角问题，弦长问题通常需要联立直线和曲线方程，利用韦达定理求解.本题对椭圆的形状可特殊化处理，简化计算，降低难度.【解析】23=e Θ， 1,3,2===b c a 则取，)0,3(F ∴，椭圆方程为：1222=+y x )3(-=x k y l 的方程为：设直线 ，联立化简得：02634)21(2222=-+-+k x k x k ，设交点),(),,(2211y x B y x A ，由→→=FB AF 3得：)3(3321-=-x x ，代入韦达定理：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-=⋅+=+∴343212621342122212221x x k k x x k k x x 消去21x x 和，解得：2=k .故选B. 第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考文科数学全国II卷(含答案)
6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得 ，结合奇偶性可得 .
【详解】 是奇函数， ．当 时， ， ，得 ．故选D．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】 ， ．
，又 ， ，又 ， ，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
1.已知集合 ， ，则A∩B=
A.(–1，+∞)B.(–∞，2)
C.(–1，2)D.
2.设z=i(2+i)，则 =
A. 1+2iB. –1+2i
C. 1–2iD. –1–2i
3.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A B. 2
C. 5 D. 50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
9.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A.2B.3
C.4D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的方法，如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷(全国Ⅱ卷)(含解析)
绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国Ⅱ卷）（含解析）1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
回答选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-2. 41i =-（）A.-4B.4C.-4iD.4i 3.如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2+a bB.2+a bC.2-a bD.2-a b6.记n S 为等比数列{n a }的前n 项和. 若5a -3a =12, 6a -4a =24，则n nS a = A ．2n -1 B ． 2-2t n - C. 2-n-12 D ．t-n 2-17. 执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45 9.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：2222x 1y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A.4B.8C.16D.3210.设函数331()f x x x=-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A.3B.32C.1D.32 12. 若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学全国卷2-文科(附详解)
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设 讨论函数 的单调性 &#' +.&#
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&二'选考题"共"&分#请考生在##!#*题中任选一题作答#多答 按所答第一题评分$
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" 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷
文科数学
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2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅱ卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则= A.B. C. D.2. A.-4 B.4 C.-4i D.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为,,…,.设.若且，则称,,为原位大三和弦；若且，则称,,为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A.5 B.8 C.10 D.154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊{}3,x x x Z <∈{}1,x x x Z >∈A B ∅{}3,2,2,3--{}2,0,2-{}2,2-41i =-（）1a 2a 12a 112i j k ≤<<≤3k j -=4j i -=i a j a k a 4k j -=3j i -=i a j a k a跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名5.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 A. B. C. D.6.记为等比数列{}的前项和. 若-=12, - =24，则= A ．-1 B ． 2- C. 2- D ．-17. 执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为： A. 2 B. 3 C. 4 D. 5a b b 2a b +2a b +2a b -2a b -n S n a n 5a 3a 6a 4a nnS a 2n 2t n -n-12t-n 28. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为A ． B. C. D.9．设O 为坐标原点，直线与双曲线C ：（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．3210.设函数，则 A.是奇函数，且在(0,+)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+)单调递减 C.是偶函数，且在(0,+)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+)单调递减230x y --=5253545x a =2222x 1y a b-=ODE ∆331()f x x x =-()f x ∞∞∞∞11.已知△ABC的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 AB ．C ．1D12. 若，则 A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)含答案
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1. 已知集合A ={x||x |<3，x ∈Z}，B ={x||x |>1，x ∈Z}，则A ∩B =( ) A.⌀B.{−3，−2，2，3}C.{−2，0，2}D.{−2，2}2. (1−i)4=( ) A.−4 B.4C.−4iD.4i3. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，⋯，a 12，设1≤i ≤j ≤k ≤12．若k −j =3且j −i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k −j =4且j −i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A.5B.8C.10D.154. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名 B.18名 C.24名 D.32名5. 已知单位向量a →，b →的夹角为60∘，则下列向量中，与b →垂直的是( ) A.a →+2b →B.2a →+b →C.a →−2b →D.2a →−b →6. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sn a n=( )A.2n −1B.2−21−nC.2−2n−1D.21−n −17. 执行下面的程序框图，若输入k =0，a =0，则输出的k 为( )A.2B.3C.4D.58. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( ) A.√55 B.2√55C.3√55D.4√559. 设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A.4 B.8 C.16 D.3210. 设函数f (x )=x 3−1x 3，则f (x )( ) A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11. 已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A.√3 B.32C.1D.√3212. 若2x −2y <3−x −3−y ，则( )A.ln (y −x +1)>0B.ln (y −x +1)<0C.ln |x −y|>0D.ln |x −y|<0二、填空题13. 若sin x =−23，则cos 2x =________.14. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=−2，a 2+a 6=2，则S 10=________.15. 若x ，y 满足约束条件 {x +y ≥−1，x −y ≥−1，2x −y ≤1，则z =x +2y 的最大值是________.16. 设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是________.① p 1∧p 4 ；②p 1∧p 2； ③¬p 2∨p 3 ；④¬p 3∧¬p 4. 三、解答题17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，己知cos 2(π2+A)+cos A =54.(1)求A ；(2)b −c =√33a ，证明： △ABC 是直角三角形．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x 1,y 1)(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i 20i=1=60，∑y i 20i=1=1200，∑(x i −x ¯)220i=1=80，∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数 r =∑(x −x ¯)n (y −y ¯)√∑(x i −x )2n i=1∑(y i −y )2n i=1，√2≈1.414.19. 已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|=43|AB|. (1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．20. 如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO//平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B −EB 1C 1F 的体积．21. 已知函数f (x )=2ln x +1. (1)若f (x )≤2x +c ，求c 的取值范围；(2)设a >0，讨论函数g (x )=f (x )−f (a )x−a的单调性．22. 已知C 1，C 2的参数方程分别为C 1：{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ （θ为参数）， C 2：{x =t +1t ,y =t −1t（t 为参数）． (1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．23. 已知函数f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|. (1)当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)若f (x )≥4，求a 的取值范围.参考答案与试题解析2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】A 二、填空题13.【答案】1914.【答案】2515.【答案】816.【答案】①③④三、解答题17.【答案】解：(1)由cos2(π2+A)+cos A=54可得：sin2A+cos A=54，4cos2A−4cos A+1=0，⇒(2cos A−1)2=0，⇒cos A=12.∵A∈(0,π)，∴A=π3.(2)由b−c=√33a可得a=√3(b−c)，又cos A=b2+c2−a22bc=12，即b2+c2−a2=bc，b2+c2−3(b−c)2=bc⇒(b−2c)(2b−c)=0，∴b=2c或c=2b（舍），∴a=√3c，即a2+c2=b2.故三角形为直角三角形．18.【答案】解：(1)野生动物数量的估计值为1200÷20×200=12000.(2)将数据代入公式得r=√80×9000=600√2=2√23≈0.94.(3)应使用分层抽样．因为各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性应从植物覆盖面积不同的各地块间进行抽取.19.【答案】解：(1)设抛物线方程为y 2=2px ， 由题意知：{2p =43⋅2b 2a ,c =p 2,a 2=b 2+c 2, ∴ 4c =43⋅2b 2a，∴ 3ac =2(a 2−c 2)，即2c 2+3ac −2a 2=0， ∴ 2e 2+3e −2=0， ∴ e =12或e =−2． ∵ 0<e <1， ∴ C 1的离心率为12.(2)设C 1的四个顶点到C 2的准线距离为d 1，d 2，d 3，d 4，则：{d 1=a −c,d 2=a +c,d 3=c =p 2,d 4=c =p 2.又∵ d 1+d 2+d 3+d 4=12，∴ {a −c +a +c +c +c =12,c =p 2,∴ a +c =6． ∵ ca =12，∴ 2c +c =6，∴ a 2=16，c 2=4，p =2c =4， ∴ b 2=12， ∴ C 1：x 216+y 212=1，C 2：y 2=8x .20.【答案】(1)证明：由题意知AA 1//BB 1//CC 1.又因为侧面BB 1C 1C 是矩形，且M ，N 分别是BC ，B 1C 1的中点， 所以MN//BB 1，BB 1⊥BC ， 所以AA 1//MN ，MN ⊥B 1C 1. 又因为底面是正三角形， 所以AM ⊥BC ，AN ⊥B 1C 1. 又因为MN ∩AM =M ， 所以B 1C 1⊥平面A 1AMN .又因为平面EB 1C 1F ∩平面A 1B 1C 1=B 1C 1，平面EB 1C 1F ∩平面ABC =EF ，平面ABC//平面A 1B 1C 1， 所以EF//B 1C 1，所以EF ⊥平面A 1AMN . 又因为EF ⊂平面EB 1C 1F ，所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解：因为AO//平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1NMA ， 平面A 1NMA ∩平面EB 1C 1F =NP ， 所以AO//NP . 又因为NO//AP ，所以四边形APNO 是平行四边形， 所以AO=NP =6，ON =AP =√3. 过M 做MH 垂直NP 于H .因为平面EB 1C 1F ⊥平面A 1AMN ，平面EB 1C 1F ∩平面A 1AMN =NP ，MH ⊂平面A 1AMN ， 所以MH ⊥平面EB 1C 1F . 因为∠MPN =π3，所以MH =MP ⋅sin π3=3，S EB 1C 1F =12(B 1C 1+EF )⋅NP =24. 因为BC//平面EB 1C 1F ，所以V B−EB 1C 1F =V M−EB 1C 1F =13⋅S EB 1C 1F ⋅MH =24. 21.【答案】解：(1)f (x )≤2x +c 等价于2ln x −2x ≤c −1， 设ℎ(x )=2ln x −2x ，则ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x，所以ℎ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−2. 所以c −1≥−2，即c ≥−1， 所以c 的取值范围是[−1,+∞). (2)g (x )=2(ln x−ln a )x−a(x >0，x ≠a ，a >0)，所以 g ′(x )=2x(x−a )−2ln x+2ln a x−a=−2ax−2ln x+2ln a+2(x−a )2.令w (x )=−2a x−2ln x +2ln a +2(x >0)，则w ′(x )=2ax 2−2x =2(a−x )x 2.令w ′(x )>0，得0<x <a ，所以，w (x )在(0，a)上单调递增，在(a ，+∞)上递减， 所以， w (x )≤w (a )=0，即g ′(x )≤0，所以，g (x )在(0，a)和(a ，+∞)上单调递减． 22.【答案】解：(1)由题：C 1的普通方程为：x +y −4=0,(x ≥0,y >0)； 因为 C 2：{x 2=t 2+1t 2+2,y 2=t 2+1t2−2,故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4.(2)联立C 1，C 2， {x +y −4=0,x 2−y 2=4,解得：{x =52,y =32,所以点P 坐标为：P (52,32).设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ， 故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为Q (1710,0)，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为： (x −1710)2+y 2=(1710)2， 将方程化为一般形式为：x 2−175x +y 2=0，化为极坐标方程为：ρ=175cos θ.23. 【答案】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4， 所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4，所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).。
2020年全国卷2高考文科数学试卷
2020年全国卷2高考文科数学试卷解析版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}【解答】解：集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＜﹣1或x＞1，x∈Z}，∴A∩B＝{﹣2，2}．故选：D．2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【解答】解：若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦，即有i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i ＝5，j＝9，k＝12，共5个；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则a i，a j，a k为原位小三和弦，可得i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i ＝5，j＝8，k＝12，共5个，总计10个． 故选：C ．4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算， 第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算， 因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为1600+500−120050=18名，故选：B ．5．已知单位向量a →，b →的夹角为60°，则在下列向量中，与b →垂直的是（ ） A ．a →+2b →B ．2a →+b →C ．a →−2b →D ．2a →−b →【解答】解：单位向量|a →|＝|b →|＝1，a →•b →=1×1×cos60°=12，对于A ，（a →+2b →）⋅b →=a →•b →+2b →2=12+2=52，所以（a →+2b →）与b →不垂直；对于B ，（2a →+b →）⋅b →=2a →•b →+b →2=2×12+1＝2，所以（2a →+b →）与b →不垂直；对于C ，（a →−2b →）⋅b →=a →•b →−2b →2=12−2=−32，所以（a →−2b →）与b →不垂直；对于D ，（2a →−b →）⋅b →=2a →•b →−b →2=2×12−1＝0，所以（2a →−b →）与b →垂直．故选：D ．6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5﹣a 3＝12，a 6﹣a 4＝24，则S na n=（ ）A ．2n ﹣1B ．2﹣21﹣nC ．2﹣2n ﹣1D ．21﹣n ﹣1【解答】解：设等比数列的公比为q ， ∵a 5﹣a 3＝12， ∴a 6﹣a 4＝q （a 5﹣a 3）， ∴q ＝2，∴a 1q 4﹣a 1q 2＝12，∴12a 1＝12， ∴a 1＝1，∴S n =1−2n1−2=2n ﹣1，a n ＝2n ﹣1，∴S n a n=2n −12=2﹣21﹣n ，故选：B ．7．执行如图的程序框图，若输入的k ＝0，a ＝0，则输出的k 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：模拟程序的运行，可得 k ＝0，a ＝0执行循环体，a ＝1，k ＝1 执行循环体，a ＝3，k ＝2 执行循环体，a ＝7，k ＝3 执行循环体，a ＝15，k ＝4此时，满足判断框内的条件a ＞10，退出循环，输出k 的值为4． 故选：C ．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d=|2×5−5−3|√2+1=2√55或d=|2×1−1−3|√2+1=2√55；故选：B．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a −y2b=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE=12a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2√2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．10．设函数f（x）＝x3−1x3，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减【解答】解：因为f（x）＝x3−13，则f（﹣x）＝﹣x3+1x3=−f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1=1x3在（0，+∞）为减函数，y2=−1x3在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3−1x3单调递增，故选：A ．11．已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．√3B ．32C ．1D ．√32【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC 是面积为9√34的等边三角形，可得√34AB 2=9√34， ∴AB ＝BC ＝AC ＝3，可得：AO 1=23×√32×3=√3， 球O 的表面积为16π，外接球的半径为：4πR 2＝16，解得R ＝2， 所以O 到平面ABC 的距离为：√4−3=1． 故选：C ．12．若2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，则（ ）A ．ln （y ﹣x +1）＞0B ．ln （y ﹣x +1）＜0C ．ln |x ﹣y |＞0D ．ln |x ﹣y |＜0【解答】解：由2x ﹣2y ＜3﹣x ﹣3﹣y ，可得2x ﹣3﹣x ＜2y ﹣3﹣y ， 令f （x ）＝2x ﹣3﹣x ，则f （x ）在R 上单调递增，且f （x ）＜f （y ），所以x ＜y ，即y ﹣x ＞0，由于y ﹣x +1＞1，故ln （y ﹣x +1）＞ln 1＝0， 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C.3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43（B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17（D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ， 输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P(A)的估计值；(II)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值； （III ）求续保人本年度的平均保费估计值.【试题分析】（I ）由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数，进而可得()P A 的估计值；（II ）由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％的频数，进而可得()P B 的估计值；（III ）计算出险次数的频率，进而可得续保人本年度的平均保费估计值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF V 沿EF 折到'D EF V 的位置.（I ）证明：'AC HD ⊥； (II)若55,6,,'224AB AC AE OD ====,求五棱锥'ABCEF D -体积.【试题分析】（I ）先证C A ⊥OH ，C D 'A ⊥O ，再证C A ⊥平面D 'OH ，即可证C D 'A ⊥H ；（II ）先证D 'O ⊥OH ，进而可证D 'O ⊥平面CD AB ，再计算菱形CD AB 和FD ∆E 的面积，进而可得五棱锥'ABCEF D -的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（I ）当AM AN =时，求AMN V 的面积 (II) 当AM AN =32k <<.【试题分析】（I ）设点M 的坐标，由已知条件可得点M 的坐标，进而可得∆AMN 的面积．请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【试题分析】（I ）先证DFC DC ∆∆E ∽，再证FDG FC ∆∆B ∽，进而可证B ，C ，G ，F 四点共圆；（II ）先证GF GC ∆B ≅∆B ，再计算GC ∆B 的面积，进而可得四边形BCGF 的面积． 解析：（I ）在正方形CD AB 中，DF DCF ∠E =∠，所以DC FC ∠E =∠B 因为DF C ⊥E ，所以DFC DC 90∠=∠E =o，所以DFC DC ∆∆E ∽所以GC 1111C CG 12224S ∆B =B⋅=⨯⨯= 所以GC CGF 122S S ∆B B ==四边形23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,ì=ïïíï=ïî（t 为参数），l 与C 交于A ，B两点，AB =求l 的斜率.【试题分析】（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．解析：（I ）由()22625x y ++=得2212110x y x +++=Q 222x y ρ=+，cos x ρθ=∴212cos 110ρρθ++=故C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=（II ）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）得tan y x α=，即tan 0x y α-=圆心()C 6,0-，半径5r =圆心C 到直线l的距离2d ===2=tan α=，所以l的斜率为．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M Î时，1a b ab +<+.当1122x -≤≤时，()12f x =<，所以1122x -≤≤ 当12x >时，()22f x x =<，解得1x <，所以112x <<所以()1,1M =-（II ）()()()()()()2222222222212121111a b ab a ab b ab a bab a a b +-+=++-++=-+-=--Q 11a -<<，11b -<<∴201a ≤<，201b ≤< ∴210a -<，210b ->∴()()221a b ab +<+即1a b ab +<+。