2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷(理科)含答案解析
(完整)2017年全国三卷理科数学高考真题及答案解析,推荐文档
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S = ，则S T ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P I (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）∞U ∞(C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）∞U ∞（2）若z=1+2i ，则 41i zz =-(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量 , 则ABC=1(2BA =u u v 1),2BC =u u u v ∠(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若 ，则 3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=(A) (B) (C) 1 (D) 642548251625（6）已知，，，则432a =344b =1325c =（A ） （B ）（C ）（D ）b a c <<a b c <<b c a <<c a b<<（7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（8）在中，，BC 边上的高等于,则 ABC △π4B =13BC cos A =（A （B（C ）（D ）-- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B ）54+（C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是⊥（A ）4π （B ）（C ）6π92π（D ） 323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为22221(0)x y a b a b+=>>C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）（B ）（C ）（D ）13122334（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，2k m ≤中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有12,,,k a a a （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件 则z=x+y 的最大值为_____________.{x ‒y +1≥0x ‒2y ≪0x +2y ‒2≪0（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长y =sin x ‒3cos x y =sin x +3cos x 度得到。
2017年高考理科数学全国3卷(附答案)
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国III 卷（全卷共11页）(适用地区：云南、广西、贵州、四川)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3B．3C．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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A．3
B．2 2
C． 5
D．2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 0 13．若 x ， y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 3x 4 y 的最小值为__________．
y 0
14．设等比数列 an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a4 = ___________．
15．设函数
x 1，x， 0 f (x) 2x，x， 0
则满足
f (x)
f (x
1) 1的 2
x 的取值范围是_________。
16．a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
A．3
B．2
2．设复数 z 满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
C．1
D．0
1
A．
2
2
B．
2
C． 2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
四川省自贡市2017届高三第一次诊断性考试理数试题Word版含答案
数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，，则A B 为（ ）A ．[]1 3，B ．[)1 3，C ．[)3 -∞，D ．(]3 3-， 2.已知复数11z i i=++，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知函数()f x 的定义域为R ，M 为常数.若p ：对x R ∀∈，都有()f x M ≥；q ：M 是函数()f x 的最小值，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.如果128 a a a ，，…，为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C.1845a a a a +<+ D ．1845a a a a = 5.已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．． D 6.已知集合{}{}{}5 1 2 1 3 4ABC ===，，，，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A ．6 B ．32 C.33 D ．347.设()(32log f x x x =++，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（ ） A ．()()0f a f b +≤ B ．()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D ．()()0f a f b -≥8.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值为（ ） A ．3 B ．3.15 C.3.5 D ．4.59.将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间（ ）A ．()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B ．()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， C.()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， D ．()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 10.已知{}0 1 2a ∈，，，{}1 1 3 5b ∈-，，，，则函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，上为增函数的概率是（ ） A ．512 B ．13C.14 D ．16 11.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．2312.设函数()()31x f x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a的取值范围是（ ）A ．23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在边长为1的正三角形ABC 中，设2 3BC BD CA CE ==，，则AD BE ⋅= ． 14.设实数 x y ，满足70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最小值为 ．15.已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．16.设()'f x 是函数()f x 的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()f x 的拐点，某同学经过探究发现：任何一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数()32342g x x x x =-++，利用上述探究结果 计算：1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC △中， A B C ，，的对边分别为 a b c ，，， 83C b π==，，ABC △的面积为.（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求()cos B C -的值. 18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1211 2b b ==，，若*n N ∈时，11n n n n a b b nb -+-=.（Ⅰ）求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n S . 19. （本小题满分12分）甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至第13次射击中获得优秀的次数ξ的分布列和期望. 20. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ABC ⊥底面，112AA AC AC ===，AB BC =且AB BC ⊥.（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求二面角1A ACB --的余弦值. 21. （本小题满分12分）已知函数()()()()()121'10'2x f x f e f x x f x -=-+是()f x 的导数，e 为自然对数的底数），()()21 2g x x ax b a R b R =++∈∈，. （Ⅰ）求()f x 的解析式及极值；（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为15x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （Ⅰ）写出直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设0m n >>，求证：221222m n a m mn n +≥+-+.自贡市普高2017届第一次诊断性考试理科数学试题答案一、选择题1-5:BAABA 6-10:ABDCB 11、12：CD 解析：4.1845a a a a +=+排除C ；又因()218111177a a a a d a a d =+=+，()()224511111834712a a a d a d a a d d a a =++=++>.5.∵24cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭故23sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而22cos cos 33πααπ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，7.()(32log f x x x =+定义域为R ，∵()((()33322log log log f x x x x x x f x -=-+-+=-+=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()f x 在()0 +∞，上是增函数，故()f x 在R 上为增函数，而0a b a b +≥⇒≥-，所以()()()()0f a f b f a f b ≥-⇒+≥.8.a y bx =-，由回归方程： 2.53434560.350.70.744a y x ++++++=-=-⨯，解得 4.5a =. 10.很显然本题考察考生支一次函数和二次函数的基本性质，使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数，则分情况讨论如下：①当0a =时，()2f x bx =-，情况为 1 1 3 5b =-，，，符合要求的只有一种1b =-；②当0a ≠时，则讨论二次函数的对称轴22b bx a a-=-=要满足题意则1ba≤产生的情况() a b ，表示： ()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数()22f x ax bx =-在区间()1 +∞，为增函数的概率为：41123=. 11.由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，故输出的22n =.12.设()()31x g x e x =-，()h x ax a =-，则()()'32x g x e x =+，∴2 3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，，()'0g x <，()g x 单调递减；2 3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，()'0g x >，()g x 单调递增，所以23x =-处取得最小值233e --，所以()()010g a h =-<-=，()()1120g h e -=>，直线()h x ax a =-恒过定点()1 0，且斜率为a ，所以()()111420e g h a ----=-+≥，∴2e a ≥而1a <，∴a 的取值范围 12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.二、填空题13.14- 14.8 15.3π 16.76试题解析：13.因为2BC BD =，所以D 为BC 的中点即()12AD AB AC =+，∵3CA CE =， ∴13BE BC CE BC CA =+=+，∴14AD BE ⨯=-（化简步骤不详述）.14.作出不等式组70310350x y x y x y +-=⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩表示的平面区域如图：根据图形得：当直线2z x y =-经过点B 时z 取得最大值， 由70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得：()5 2B ，，∴max 5228z =⨯-=.15.由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形，∴四棱锥的外接球即是边长为1∴外接球的表面积243S ππ=⨯=⎝⎭.16.由()32342f x x x x =-++，∴()2'364f x x x =-+所以()''66f x x =-，由()''0f x =得1x =. ∴函数()f x 的对称中心为()1 4，，∴()()28f x f x -+=，故设 1231910101010g g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，则191817110101010f f f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…， 两式相加得819276m m ⨯=⇒=. 三、解答题 17.解： （Ⅰ）已知3C π=，8b =，因为1sin 2ABC S ab C =⨯△，即158sin 23π⨯⨯⨯，解得5a =，由余弦定理得：2222cos 49c b a ab C =+-=解得7c = （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得2224925641cos 2707a c b B ac +-+-===，由于B 是三角形的内角，得sin B所以()1113cos cos cos sin sin337214B C B B ππ-=+=+⨯= （12分） 18.解：（Ⅰ）由数列{}n b 满足1211 2b b ==，，1n n n n a b b nb --=， 当1n =时，1221a b b b -=，即1113322a a =⇒=，又因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以21n a n =+ （3分）由21n a n =+得()1121n n n n b b nb +++-=， 化简得：12n n b b +=，即112n n b b +=， 即数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列， 所以112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭. （6分）（Ⅱ）()11212n n n n c a b n -⎛⎫=⨯=+⨯ ⎪⎝⎭.1231n n n T c c c c c -=+++++…∴()()211111315721212222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，()()12311111113572121222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，∴()()0121111113222121222222nnn T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…， 整理得：()11112211322112212n n n T n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-+ ⎪⎝⎭- （10分） ()1113222122n nn -⎛⎫⎛⎫=+-⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()111151215222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以111042n n T n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭. （12分）19.解： （Ⅰ）∵()1784710x =+++=甲…，()1957710x =+++=乙…， ∴()()()22221778747410s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦甲…， ()()()22221975777 1.210s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦乙…，∵22s s <乙甲，∴乙比甲的射击成绩稳定.（Ⅱ）由题意得：甲运动员命中8环及以上的概率为25p =， 则甲在第11至13次射击中获得优秀次数的情况为ξ取得0 1 2 3，，，，∴()333270555125P ξ==⨯⨯=；()13233541555125P C ξ==⨯⨯⨯=， ()2232336255125P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()32835125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴ξ的分布列：∴()43688401230.672125125125125E ξ=+⨯+⨯+⨯== （12分） 20.解：（Ⅰ）作AC 的中点O ，因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， ∴1AO AC ⊥， 又侧面11AAC C ABC ⊥底面，其交线为AC ，且111AO AAC C ∈平面， ∴1AO ABC ⊥底面 （2分） 以O 为坐标原点，OB 、OC 、1OA 所在直线分别为 x y z ，，轴建立空间直角坐标系：由已知得：()0 0 0O ，，，()0 1 0A -，，，(10 0 A ，，()0 1 0C ，，，(10 2 C ，， ()1 0 0B ，，，则有：(1 1 0 A B =，，，()02 0AC =，，，10A B AC ⨯=， ∴1A B AC ⊥ （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得可设平面1AAC 的法向量为() m x y z ，，，同理平面1A CB 的法向量为() n a b c ，，，则满足：(()()()10 1 00 2 0 0AA m x y z AC m x y z ⎧⨯=⨯=⎪⎨⎪⨯=⨯=⎩，，，，，，，(()(()110 1 01 0 0A C n a b c A B n a b c ⎧⨯=⨯=⎪⎨⨯=⨯=⎪⎩，，，，，，，，，解得：()0 1m =，，，)1n =，，则cos m n m n m n ⨯<>==⨯，. ∴二面角1A ACB --的余弦值为. （12分） 21.解： （Ⅰ）由已知得()()()1''10x f x f e f x -=-+，令1x =，得()()()'1'101f f f =-+，即()01f = （1分）又()()'10f f e =，∴()'1f e =，从而()212x f x e x x =-+ （2分） ∴()'1x f x e x =+-，又()'1x f x e x =+-在R 上递增，且()'00f =，∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >，故0x =为极值点，∴()302f = （2分）（Ⅱ）()()()21102x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+， ①当10a +≤时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增，x ∈-∞时， ()h x -∞→与()0h x ≥相矛盾；②当10a +>时，()()'0ln 1h x a >⇔+，()()'0ln 1h x x a <⇔<+得：当()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，即()()()11ln 1a a a b +-++≥，∴()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++，()10a +> （9分） 令()()22ln 0F x x x x x =->，则()()'12ln F x x x =-，∴()'00F x x >⇔<<()'0F x x <⇔>，当x =()max 2eF x =，即当1a =，b =时，()1a b +的最大值为2e，∴()12a b+的最大值为4e. （12分）22.解：（Ⅰ）直线l：15x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数t 得普通方程4y x =-（2分） 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，以及222x y ρ+=，整理得：()2224x y +-= （2分）（Ⅱ）由()2220x y -+=得圆心坐标为()0 2，，半径2R =，则圆心到直线的距离为：d ==而点P 在圆上，即'O P PQ d +=（Q 为圆心到直线l 的垂足点）所以P 到直线l的距离最小值为2.23.解： （Ⅰ）12123x x x x +--≤++-=，31212x x x x =++-≤++-，∵对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-都成立， ∴3a = （4分） （Ⅱ）证明：()()()22211222m n m n m n m mn n m n +-=-+-+-+-， ∵0m n >>，∴()()()213m n m n m n -+-+≥=-，∴212232m n m mn n +-≥-+， 即221222m n a m mn n +≥+-+ （6分）。
四川省2017届高三数学三诊试卷 理(含解析)
四川省2017届高三数学三诊试卷理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）-2 -A ．2016B ．1024 C． D ．﹣18．已知M （x 0，y 0）是函数C ： +y 2=1上的一点，F 1，F 2是C上的两个焦点，若•＜0，则x 0的取值范围是（ ） A ．（﹣，）B ．（﹣，） C ．（﹣，） D ．（﹣，）9．等差数列{a n }中的a 2、a 4032是函数的两个极值点，则log 2（a 2•a 2017•a 4032）=（ ） A．B ．4C．D．10．函数f （x ）=sinx•（4cos 2x ﹣1）的最小正周期是（ ） A．B．C ．πD ．2π11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（ ） A ．男医生 B ．男护士 C ．女医生 D ．女护士 12．设集合，C={（x ，y ）|2|x ﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A ∪B ）∩C ≠ϕ，则实数λ的取值范围是（ ） A． B．C．D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m ﹣2n的取值范围是．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有种．（用数字作答）16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．- 4 -23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．2017年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．- 6 -【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣- 8 -（+）=﹣+．故选：A ．7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ．2016B ．1024C ．D ．﹣1【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=2，y=0满足条件y ＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y ＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）- 10 -A．B．4 C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x）=x2﹣8x+6，由等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，利用韦达定理得a2+a4032=8，a2•a4032=6，从而=4，由此能求出log2（a2•a2017•a4032）的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，∴a2+a4032=8，a2•a4032=6，∴=4，∴log2（a2•a2017•a4032）=log2（4×6）==3+log23．故选：C．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c＞a，③a＞b④d≥2得出：c＞a＞b＞d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b﹣1符合，即女医生．假设：d＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选：C12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；- 12 -结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为- 14 -；故答案为：．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有150 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，若分成2、2、1的三组，有=15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有=10种分组方法，则共有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，有A33=6种情况，则不同的选择方案有25×6=150种；故答案为：150．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点- 16 -①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．- 18 -【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望-20 -．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，可证B 1C ⊥平面ABO ，可得B 1C ⊥AO ，B 10=CO ，进而可得AC=AB 1； （2）以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ， ∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 10=CO ，∴AC=AB 1，（2）∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO=CO ， 又∵AB=BC ，∴△BOA ≌△BOC ，∴OA ⊥OB ， ∴OA ，OB ，OB 1两两垂直， 以O为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB 1=60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB=BC ，∴A （0，0，），B （1，0，0，），B 1（0，，0），C （0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x ，y ，z ）是平面AA 1B 1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为20．如图，设抛物线C 1：y 2=﹣4mx （m ＞0）的准线l 与x 轴交于椭圆C 2：的右焦点F 2，F 1为C 2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C 1与椭圆C 2交于x 轴上方一点P ，连接PF 1并延长其交C 1于点Q ，M 为C 1上一动点，且在P ，Q 之间移动．（1）当取最小值时，求C 1和C 2的方程；（2）若△PF 1F 2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ 面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）用m 表示出a ，b ，根据基本不等式得出m 的值，从而得出C 1和C 2的方程； （2）用m 表示出椭圆方程，联立方程组得出P 点坐标，计算出△PF 1F 2的三边关于m 的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号，当m=1时，a=2，b=，∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为．（2）因为，则，∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1），由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．∴抛物线方程为y2=﹣12x，，∴直线PQ的方程为．联立，得或x1=﹣2（舍去），于是．∴，设到直线PQ的距离- 22 -为d，则，∴当时，，∴△MPQ的面积最大值为．此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣e x，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，g′（x）=x+1﹣e x，g″（x）=1﹣e x＜0，故g′（x）在22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．- 24 -（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。
(完整版)2017全国三卷理科数学高考真题及答案(20190418084743)
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A= 2 2(x, y│)x y 1 ，B= (x, y│) y x ，则A B 中元素的个数为A ．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足(1+i) z=2i，则∣z∣=A ．12B．22C． 2 D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D．各年 1 月至6 月的月接待游客量相对7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳5的展开式中x3 y 3 的系数为4．( x+ y )(2 x- y )A ．-80 B．-40 C．40 D．805．已知双曲线C：2 2x y2 2 1a b(a＞0,b＞0) 的一条渐近线方程为5y x ,且与椭圆22 2x y 12 3 1有公共焦点，则 C 的方程为A ．2 2x y8 101 B．2 2x y4 51 C．2 2x y5 41 D．2 2x y4 316．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是3A ．f(x)的一个周期为-2 πB．y=f(x)的图像关于直线x= 83对称C．f( x+π的)一个零点为x= D．f( x)在( , π单)调递减6 27．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5 B．4 C．3 D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB．3π4C．π2D．π49．等差数列a n 的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则a n 前6 项的和为A ．-24 B．-3 C．3 D．810．已知椭圆C：2 2x y2 2 1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为a b直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为A．63B．33C．23D．1311．已知函数 2 x 1 x 1f ( x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则a=A．12B．13C．12D．112．在矩形ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP = AB + AD ，则+ 的最大值为A．3 B．2 2 C． 5 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷(理科)
2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题1．（5分）设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤3}2．（5分）已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（5分）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣64．（5分）阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．635．（5分）已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（）A． B． C．D．6．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6 B．8 C．9 D．107．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．+28．（5分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种9．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（）A．或B．C．或D．12．（5分）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）二、填空题13．（5分）向图所示的边长为1的正方形区域内任投一粒豆子，则该豆子落入阴影部分的概率为．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，c=4，C=，则△ABC的面积为．15．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=1，a5=，设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*），λ为实数．若对∀n∈N*都有λ＞S n成立，则λ的取值范围是．16．（5分）如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF 的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于．三、解答题17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．18．（12分）如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．19．（12分）社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生中任意选取3位学生，记ξ为3名学生中参加社区服务时间不少于80小时的人数，试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，它过点P（﹣1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣x+对称，求△OAB 的面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+m）﹣x（m为常数），在x=0处取值极值，设g（x）=f（x）﹣x2．（Ⅰ）求m的值及g（x）的单调区间；（Ⅱ）n∈N*，n≥2时，证明：ln＜1+++…+．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2017•自贡模拟）设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤3}【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：B．2．（5分）（2017•自贡模拟）已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【解答】解：因为复数z=1+i，所以===﹣=2i．故选A．3．（5分）（2017•自贡模拟）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z=2x+4y为y=x+，由图可知，当直线y=x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12=﹣6，故选：D．4．（5分）（2017•自贡模拟）阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．63【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，n=1满足条件n≤3，执行循环体，x=7，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=15，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=31，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．故选：C．5．（5分）（2017•自贡模拟）已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（）A． B． C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=，||=2，且（+）⊥，∴（+）•=+=+||•||cosθ=2+2cosθ=0，解得cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：A6．（5分）（2017•自贡模拟）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．7．（5分）（2017•自贡模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．+2【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，该几何体的表面积S=+1×1+++=．故选：A．8．（5分）（2017•自贡模拟）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【解答】解：根据题意，先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，有C63=20种情况，再安排甲乙丙三人的顺序，由于甲安排在另外两位前面，则甲有1种情况，乙丙安排在甲的后面，有A22=2种情况，则三人的安排方法有1×2=2种情况，则不同的安排放法共有20×2=40种；故选：C．9．（5分）（2017•自贡模拟）给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①函数y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；②函数y=sin（x+）的单调增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，在闭区间[﹣，]上是增函数，正确；③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．故选：B．10．（5分）（2017•自贡模拟）已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f （a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），则g（x）为奇函数，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，则g（x）为减函数，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则有f（a2）﹣2＞﹣[f（a﹣2）﹣2]，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），则有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范围是（﹣2，1）；故选：D．11．（5分）（2017•自贡模拟）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（）A．或B．C．或D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，设直线方程为y=x﹣c，由和解得y M=，y N=﹣，∵△OMF与△ONF的面积比等于2：1，若a＞b，∴：=2：1，∴a=3b，∴e====若a＜b，∴：=2：1，∴3a=b，∴e===，故选：C12．（5分）（2017•自贡模拟）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，b=m．∵|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，∴0＜f（m）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0＜am+b＜﹣m，即0＜（a+1）m＜﹣m，∴﹣2＜a＜﹣1．故选D．二、填空题13．（5分）（2017•自贡模拟）向图所示的边长为1的正方形区域内任投一粒豆子，则该豆子落入阴影部分的概率为ln2．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域的面积S==ln（x+1）=ln2，区域D的面积为S1=1×1=1，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P=ln2，故答案为ln2．14．（5分）（2017•自贡模拟）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，c=4，C=，则△ABC的面积为．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．sinA=2sinB，c=4，C=，∴a=2b，∴16=b2+4b2﹣2×，解得b=，∴△ABC的面积为S==．故答案为：．15．（5分）（2017•自贡模拟）已知{a n}是等比数列，a2=1，a5=，设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*），λ为实数．若对∀n∈N*都有λ＞S n成立，则λ的取值范围是[，+∞）．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=1，a5=，∴，解得，∴=（）n﹣2，∴，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*）=（）﹣1+（）+（）3+…+（）2n﹣3==＜，∵对∀n∈N*都有λ＞S n成立，∴，即λ的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．16．（5分）（2017•自贡模拟）如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则B（，﹣），设抛物线方程为x2=ay，则，∴a=﹣t，∴x2=﹣ty，由题意，x=1.1，y=﹣∴﹣+≥2，t=8，﹣+＜2，t=9，﹣+＞2，∴能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9．故答案为9．三、解答题17．（12分）（2017•自贡模拟）已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．【解答】解：函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．化简可得：f（x）=4sinxcosxcos+4sin2xsin+1=sin2x+2sin2x+1=sin2x﹣cos2x+2=2sin（2x﹣）+2（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵x∈[﹣，]上时，∴2x﹣∈[，]当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为2×（﹣1）+2=0；当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×+2=∴函数f（x）在区间[﹣，]上的值域为[0，]．18．（12分）（2017•自贡模拟）如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结OC、AQ，∵O为AB的中点，BQ的中点为C，∴OC∥AQ，∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，∵SO⊥平面ABQ，SO⊥BQ，QB⊥平面SOC，OH⊥BQ，∴OH⊥平面SBQ．解：（Ⅱ）由已知得QC=，OQ=2，OC=1，SO=2，以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（﹣2，0，0），S（0，0，2），Q（1，，0），=（2，0，2），=（3，，0），设=（x，y，z）为平面的法向量，则，令z=1，得=（﹣，3，1），而平面SAB的法向量=（0，1，0），∴cosθ==．19．（12分）（2017•自贡模拟）社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生中任意选取3位学生，记ξ为3名学生中参加社区服务时间不少于80小时的人数，试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[80，85）的学生人数为200×0.06×5=60（人），参加社区服务在时间段[85，90）的学生人数为200×0.02×5=20（人），∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于80小时的学生人数为80人，∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率为：p==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于80小时的概率为，由已知得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：∵ξ～B（3，），∴Eξ=3×=，Dξ==．20．（12分）（2017•自贡模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，它过点P（﹣1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣x+对称，求△OAB 的面积的最大值（O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，它过点P（﹣1，），∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为y=mx+n，联立，消去y，得：（1+2m2）x2+4mnx+2n2﹣2=0，由△=（4mn）2﹣4（1+2m2）（2n2﹣2）＞0，得1+2m2＞n2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，AB的中点（）在直线y=﹣上，∴n=﹣，，|AB|=•=，d==，=f（t）=，（1＜t＜4），∴S△OAB∴t=1+2m2=2，∴m=，△OAB的面积的最大值S=．21．（12分）（2017•自贡模拟）已知函数f（x）=ln（x+m）﹣x（m为常数），在x=0处取值极值，设g（x）=f（x）﹣x2．（Ⅰ）求m的值及g（x）的单调区间；（Ⅱ）n∈N*，n≥2时，证明：ln＜1+++…+．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）﹣x，∴f′（x）=﹣1，∵f′（0）=0，∴﹣1=0，解得m=1，（检验满足），∴g（x）=f（x）﹣x2=ln（x+1）﹣x﹣x2，x＞﹣1，∴g′（x）=﹣1﹣2x=﹣，当g′（x）＞0时，解得﹣1＜x＜0，函数g（x）为增函数，当g′（x）＜0时，解得x＞0，函数g（x）为减函数，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，g（x）max=g（0）=0，∴g（x）ln（x+1）﹣x﹣x2≤0，即ln（x+1）≤x+x2，设x=，n∈N*，n≥2，∴ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn≤＜=，∴ln=（ln3﹣ln2）+（ln4﹣ln3）+…+ln（n+1）﹣lnn＜1+++．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•自贡模拟）在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得：+9=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=5，t1t2=9，于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•自贡模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．参与本试卷答题和审题的老师有：742048；qiss；w3239003；whgcn；lcb001；沂蒙松；danbo7801；zhczcb；zlzhan；左杰；caoqz（排名不分先后）菁优网2017年5月24日。
2017年全国高考理科数学Ⅲ卷(四川卷)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．2C D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -=B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3B．3C．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)2017年全国卷3理科数学试题及答案解析
A B 游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．2AP=λAB+μAD，则λ19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．11+)2n )(﹤45π=sin 6AB AD AC AD =23，所以BAC 200,300,500，由表格数据知OA 的方向为OA为单位长，建-(1，0，0),(0，3，0),(1，0，0),(0，0，1)A B C D()()1，0，1，2，0，0，1，AD AC AE ⎛=-=-=- ⎝设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则0，即0，AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 0，0，AC AE ⎧=⎪=m 同理可得)013,,-77=n m n m 所以二面角AE -C 的余弦值为)(112x ,y ,B x 可得22y my -1212-4==-14y x，圆M 的半径0AP BP =,故)2200y ++=11或2m =-.y -2=0，圆心的极坐标方程为()()22240＜＜2cossin ,-=≠()()2224+-2=0cossin cossin⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin-.13tan =-，从而2291=，=1010cos sin代入()222-=4cossin 得2=5，所以交点M 的极径为解：()3＜12112,x f x x ,x --⎧⎪=--≤≤⎨A. AB. BC. CD. DA. 0.1 mol 的中，含有0.6N A个中子B. pH=1的H3PO4溶液中，含有0.1N A个C. 2.24 L（标准状况）苯在O中完全燃烧，得到0.6N个CO分子A. 电池工作时，正极可发生反应：2Li S+2Li++2e-=3Li S12．短周期元素W、X、Y和Z在周期表中的相对位置如表所示，这四种元素原子的最外层电子数之和为21。
2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷及答案(理科)
2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．55．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．17．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．98．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）14．（5分）曲线y=和直线y=x围成的图形面积是．15．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n }中，a 2=2，其前n 项和S n满足：（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，，AB ⊥AC ，D 是棱BB 1的中点． （Ⅰ）证明：平面A 1DC ⊥平面ADC ；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．2017年四川省大教育联盟高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（）A．M∪N=U B．（∁U M）∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．（∁U M）∪（∁U N）=∅【解答】解：∵全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，作出文氏图，如下：∴由文氏图得M∩（∁U N）=∅．故选：C．2．（5分）已知复数z满足（2+i）z=2﹣i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（2+i）z=2﹣i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故悬案：D．3．（5分）已知α是锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【解答】解：∵α是锐角，α+∈（，），且cos（α+）=，∴sin（α+）==，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足不等式，则3x+2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），令z=3x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．100πcm3B．C．400πcm3D．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB=6，AD=2，PD=6．则该阳马的外接球的直径为PB====10．∴该阳马的外接球的体积==cm3．故选：B．6．（5分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．0或﹣1 C．±1 D．1【解答】解：根据如图所示的程序语言知，该程序运行后输出函数y=；当x≥0时，y=2x=1，解得x=0；当x＜0时，y=|x|=1，解得x=﹣1；综上，输出y的值为1时，输入x的值为0或﹣1．故选：B．7．（5分）设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D 两点，则=（）A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9【解答】解：直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2，由双曲线的定义可得轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，且c=2，a=1，b=，方程为x2﹣=1，x=2代入方程得：y=±3，可设C点的坐标为（2，3），D（2，﹣3），则=（4，3）•（0，﹣3）=4×0+3×（﹣3）=﹣9．故选：A．8．（5分）利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×【解答】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．9．（5分）已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+在区间内单调递增，则函数f（x）（）A．最小值为，其图象关于点对称B．最大值为，其图象关于直线对称C．最小正周期为2π，其图象关于点对称D．最小正周期为π，其图象关于直线对称【解答】解：∵f（x）=sinωxcosωx+=sin2ωx+﹣=sin （2ωx+），又∵f（x）在在区间内单调递增，∴由﹣≤2×（﹣）ω+，2×ω+≤，解得：ω≤，ω≤，∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）=sin（2x+），∴f（x）的最大值为，最小正周期为π，故A，C选项错误；∵令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈z，可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣对称．∴B选项错误，D选项正确．故选：D．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示，若E 为线段BC的中点，则直线AE与平面ABD所成角的余弦为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取DB中点O，连接CO、AO，∵四边形ABCD为正方形，∴CO⊥DB．又∵面DCB⊥面ADB，∴CO⊥面ABD，过E作EH∥CO交DB于H，则有EH⊥面ADB．H为OB中点，连接AH，则∠EAH就是直线AE与平面ABD所成的角．设正方形ABCD的边长为2，则EH=，AH=，∴，cos∠EAH=，∴直线AE与平面ABD所成角的余弦为．故选：C．11．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ﹣5μ的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤π），由=λ+μ得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα=2λ﹣μ，sinα=λ+⇒λ=，∴2λ﹣5μ=2（）﹣5（）=﹣2（sinα﹣cosα）=﹣2sin（）∵∈[﹣，]∴﹣2sin（）∈[﹣2，2]，即2λ﹣5μ的取值范围是[﹣2，2]．故选：C12．（5分）已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：由题意可知c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：，当直线AB斜率不存在时，t可以为任意非零实数，当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x 1+x2=，x1x2=，由∠APO=∠BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，则+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，∴2×﹣（t+1）×+2t=0，解得：t=2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．（结果用最简分数表示）【解答】解：从0，1，2，3，4五个数字中随机取两个数字组成无重复数字的两位数，基本事件总数n=4×4=16，所得两位数为偶数包含的基本事件的个数m=4×1+2×3=10，∴所得两位数为偶数的概率p=．故答案为：．14．（5分）曲线y=和直线y=x围成的图形面积是．【解答】解：曲线和直线y=x交点为：（1，1），所以围成的图形面积为=（）|=；故答案为：．15．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，点D在BC上，且AD=BD，则AD=．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AC=2AB=4，∴由余弦定理得BC==2，由正弦定理，得：，∴sinB===，∴cosB==，∵AD=BD，∴设AD=BD=x，由余弦定理得：cosB==，∴AD=x==．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）有两个零点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．【解答】解：f′（x）=）=（x﹣1）e x+e x+ax=x（e x+a），①当a≥0时，e x+a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，且f（0）=0，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；②当a=﹣1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）单调，此时f（x）=（x﹣1）e x+（其中a∈R）不存在有两个零点；③当a＜0且a≠﹣1时，令f′（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣a）（a≠﹣1）．a∈（﹣1，0）时，x2＜0，函数在（﹣∞，ln（﹣a）））递增，在（ln（﹣a），0）递减，在（0，+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；a∈（﹣∞，﹣1），时，x2＞0，函数在（﹣∞，0）递增，在（0，ln（﹣a））递减，在（ln（﹣a），+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；综上，则a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}中，a2=2，其前n项和S n满足：（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题意有．所以，则有（n≥2），所以2（S n﹣S n﹣1）=na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）．所以（n﹣1）a n+1=na n，两式相加得2（n﹣1）a n=（n﹣1）（a n+1+a n﹣1），即2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2，n∈N），故数列{a n}是等差数列．又a1=0，a2=2，所以公差d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则…+n•22n﹣2，两边同乘以22得+…+（n ﹣1）•22n ﹣2+n•22n ， 两式相减得+22n ﹣2﹣n•22n ，即=，所以．18．（12分）第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量t （袋），得到如下数据：（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．（参考公式：=，）【解答】解：（Ⅰ）由数据，求得，，10×25+12×29=1273，102+122=510，=，，∴t关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的线性回归方程，当x=14时，，即预计需要原材料34.2袋，∵∴，若t＜35，利润L=600t﹣（300t+20）=300t﹣20，当t=34时，利润L max=300×34﹣20=10180元；若t≥35，利润L=600×34.2﹣290t=20520﹣290t，当t=35时，利润L max=20520﹣290×35=10370元；综上所述，该餐厅应购买35袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是10370元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，设AB=a，由，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．得，AA 1=2a，则+，∴AD⊥A1D，∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．又∵A1D⊂平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．显然是平面ABC的一个法向量，设平面A 1DC的法向量，由令z=1，得平面A 1DC的一个法向量，∴=，即平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值为．20．（12分）已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x﹣6；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x﹣6上，当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=me x+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导函数，由曲线f（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，所以a=1，b=0．（Ⅱ）令=，则=，当0＜x＜1时，u'（x）＜0，u（x）单调递减；当x＞1时，u'（x）＞0，u（x）单调递增，所以，当x=1时，u（x）取得极小值，也即最小值，该最小值为u（1）=0，所以u（x）≥0，即不等式成立．（Ⅲ）函数g（x）=me x+lnx（x＞0），则，当m≥0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）内单调递增，g（x）无极值，不符合题意；当m＜0时，由，得，结合y=e x，在（0，+∞）上的图象可知，关于x的方程一定有解，其解为x0（x0＞0），且当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）内单调递增；当x＞x0时，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）内单调递减．则x=x0是函数g（x）的唯一极值点，也是它的唯一最大值点，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，即，则．所以g（x）max=g（x0）==．由于g（x）≤0恒成立，则g（x）max≤0，即，（*）考察函数，则，所以h（x）为（0，+∞）内的增函数，且，，又常数k满足klnk=1，即，所以，k是方程的唯一根，于是不等式（*）的解为x0≤k，又函数（x＞0）为增函数，故，所以m的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知α∈[0，π），在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数）；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．（Ⅰ）求证：l1⊥l2（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），P为直线l1，l2的交点，求|OP|•|AP|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l1的参数方程为（t为参数）；消去参数t可得：直线l1的普通方程为：xsinα﹣ycosα=0．又直线l2的极坐标方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）．展开为ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+）．即直线l2的直角坐标方程为：xcosα+ysinα﹣2sin（α+）=0．因为sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2．（Ⅱ）当ρ=2，时，ρcos（θ﹣α）=2cos=2sin（α+）．所以点A（2，），在直线ρcos（θ﹣α）=2sin（α+）上．设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为=1．于是|OP|•|AP|=d•|OA|=2d≤2所以|OP|•|AP|的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|﹣|，其中﹣3≤a≤1．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|﹣|x|，①当x＜﹣2时，不等式即为﹣x﹣2+x≥1，不等式无解；②当﹣2≤x≤0时，不等式即为x+2+x≥1，解得；③当x＞0时，不等式即为x+2﹣x≥1，不等式恒成立．综上所述，不等式的解集是．（Ⅱ）由．而=4+4=8，∴，∴．要使不等式f（x）≥m的解集为空集，则有，所以，实数m的取值范围是．。
2017全国三卷理科数学高考真题及答案(最新整理)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A =，B =，则A B 中元素的个数为{}22(,)1x y x y +=│{}(,)x y y x =│ A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B C D ．2123．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为x y x y x y A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆22221x y a b -=y x =有公共焦点，则C 的方程为221123x y +=A ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=6．设函数f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是3πA ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称83πC ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减6π2π7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π3π4π2π49．等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和{}n a {}n a 为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为22221x y a b+=直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A B C D ．1311．已知函数有唯一零点，则a =211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-131212．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=AP+，则+的最大值为λAB μADλμA ．3B．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}2．已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣64．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．635．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（）A． B． C．D．6．已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6 B．8 C．9 D．107．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ． +28．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 9．给出下列命题：①函数y=cos （﹣2x ）是偶函数；②函数y=sin （x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin （2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos （2x ﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x 的图象，其中正确的命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数f （x ）=﹣2x 5﹣x 3﹣7x+2，若f （a 2）+f （a ﹣2）＞4，则实数a 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，3） C ．（﹣1，2） D ．（﹣2，1）11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），过双曲线右焦点F 倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M 、N ，O 为坐标原点，若△OMF 与△ONF 的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．或B ．C ．或D ．12．已知函数其中m ＜﹣1，对于任意x 1∈R 且x 1≠0，均存在唯一实数x 2，使得f （x 2）=f （x 1），且x 1≠x 2，若|f （x ）|=f （m ）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）二、填空题13．向图所示的边长为1的正方形区域内任投一粒豆子，则该豆子落入阴影部分的概率为．14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，c=4，C=，则△ABC的面积为．15．已知{a n}是等比数列，a2=1，a5=，设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1（n∈N*），λ为实数．若对∀n∈N*都有λ＞S n成立，则λ的取值范围是．16．如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于．三、解答题17．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．19．社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（）A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}【考点】1D：并集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：B．2．已知复数z=1+i，则等于（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：因为复数z=1+i，所以===﹣=2i．故选A．3．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（）A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣6【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z=2x+4y为y=x+，由图可知，当直线y=x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12=﹣6，故选：D．4．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（）A．7 B．15 C．31 D．63【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=3，n=1满足条件n≤3，执行循环体，x=7，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=15，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=31，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．故选：C．5．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（）A． B． C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量，的夹角【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=，||=2，且（+）⊥，∴（+）•=+=+||•||cosθ=2+2cosθ=0，解得cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：A6．已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D． +2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，该几何体的表面积S=+1×1+++=．故选：A．8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，再安排乙丙三人的顺序，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，有C63=20种情况，再安排甲乙丙三人的顺序，由于甲安排在另外两位前面，则甲有1种情况，乙丙安排在甲的后面，有A22=2种情况，则三人的安排方法有1×2=2种情况，则不同的安排放法共有20×2=40种；故选：C．9．给出下列命题：①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin（x+）的增区间，判断②的正误；直线x=代入函数y=sin（2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．【解答】解：①函数y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；②函数y=sin（x+）的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确；③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．故选：B．10．已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性与单调性，则f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以转化为g（a2）＞﹣g（a﹣2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），则g（x）为奇函数，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，则g（x）为减函数，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则有f（a2）﹣2＞﹣，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），则有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范围是（﹣2，1）；故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（）A．或B．C．或D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先求出栓曲线的渐近线方程直线方程，求出M，N的纵坐标，再根据三角形的面积比得到a与b的关系，根据离心率公式计算即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，设直线方程为y=x﹣c，由和解得y M=，y N=﹣，∵△OMF与△ONF的面积比等于2：1，若a＞b，∴： =2：1，∴a=3b，∴e====若a＜b，∴： =2：1，∴3a=b，∴e===，故选：C12．已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据f（x）在上的值域．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；HW：三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．化简可得：f（x）=4sinxcosxcos+4sin2xsin+1=sin2x+2sin2x+1=sin2x﹣cos2x+2=2sin（2x﹣）+2（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵x∈上时，∴2x﹣∈[，]当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为2×（﹣1）+2=0；当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×+2=∴函数f（x）在区间上的值域为．18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OC、AQ，推导出OC∥AQ，OC⊥BQ，SO⊥BQ，从而QB⊥平面SOC，进而OH⊥BQ，由此能证明OH⊥平面SBQ．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（Ⅰ）连结OC、AQ，∵O为AB的中点，BQ的中点为C，∴OC∥AQ，∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，∵SO⊥平面ABQ，SO⊥BQ，QB⊥平面SOC，OH⊥BQ，∴OH⊥平面SBQ．解：（Ⅱ）由已知得QC=，OQ=2，OC=1，SO=2，以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（﹣2，0，0），S（0，0，2），Q（1，，0），=（2，0，2），=（3，，0），设=（x，y，z）为平面的法向量，则，令z=1，得=（﹣，3，1），而平面SAB的法向量=（0，1，0），∴cosθ==．19．社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得+9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t 为参数）．圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，直角坐标方程为x 2+y 2﹣4y=0；（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得：+9=0，设A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1+t 2=5，t 1t 2=9， 于是|MA|•|MB|=|t 1|•|t 2|=|t 1t 2|=9．23．已知函数f （x ）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f （x ）≥0（Ⅱ）若存在实数x ，使得f （x ）≤|x|+a ，求实数a 的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，由此求得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x ＜﹣时，由﹣x ﹣3≥0，可得x ≤﹣3．当﹣≤x ＜0时，由3x ﹣1≥0，求得 x ∈∅．当x ≥0时，由x ﹣1≥0，求得 x ≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x ≤﹣3 或x ≥1}．（Ⅱ）f （x ）≤|x|+a ，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x 对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，求得a ≥﹣3．2017年5月23日。