级数习题 有答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型一 正项级数敛散性的判定
判定下列级数的敛散性.
1) );0(11>⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+∑∞
=a n na n
n 2) )0(!
1>∑∞
=a n
n a n n n
3) ;)cos
1(1
∑∞=-n n π
4) ;)1
1ln()1(1
∑∞
=+-+n p n n n
解 1）a n na
u n n n n =+=∞→∞
→1
lim
lim ，则
（1）当10<a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01
)1(
lim lim ≠=+=∞
→∞
→e
n n u n n n n ，原级数发散。 2） e a
n n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim
1=+=∞→+∞→n
n n n n n
e u u ，但n n )1
1(+是单调增趋于e 的，
则
1)11(1>+=+n
n
n n
e
u u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12
∞→-n n n ππ
，而∑
∞
=12
1
n n
收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1
~)11ln(∞→+n n
n ，而 p p
p n n n n ]111[)1(2-+=-+，
n
n 21
~111-+
则原级数与级数∑
∞
=+1
2
121n p
p n
同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰
∞
=+110
2d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1
n n n
解 1）由于
⎰⎰=≤+ dx x dx x x 1 0231 213210， 而∑ ∞ =12 31n n 收敛，则原级数收敛. 2）由于2 32 221 ln 1 1 ln 1ln ~ 112 1 2n n n n n n n e n n n n =<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式 )0(,)1ln(1><+<+x x x x x 知 21)1(1111111 1)11ln(10n n n n n n n n n n <+=+-=+-<+-<. 而∑∞ =1 21 n n 收敛，则原级数收敛. 设∑∞ =1 n n u 为正项级数,下列结论正确的是 (A) 若∞ →n lim 0=n nu ,则∑∞ =1 n n u 收敛; (B) 若存在非零常数λ,使∞ →n lim λ=n nu ,则∑∞ =1 n n u 发散. (C) 若∑∞ =1n n u 收敛,则∞ →n lim 02=n u n . (D) 若∑∞ =1 n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞ →n lim λ=n nu . 解法1 直接法. 由0lim ≠=∞ →λn n na 知， 01 lim ≠=∞→λn a n n ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞ =11 n n 同敛散，则∑∞ =1n n a 发散，故应选（B ）. 解法2排除法. 考虑n n a n ln 1 =，级数∑∞ =2ln 1n n n 发散. 但0ln 1 lim lim ==∞→∞ →n na n n n ，则（A ）和（D ）都不正确. 考虑21 n a n =，显然级数∑∞ =1 n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确. 故应选（B ）. 题型二 交错级数敛散性判定 判定下列级数的敛散性 (1) ∑ ∞ =-1ln )1(n n n n (2) ∑∞ =+1 22)sin(n a n π 解 （1）本题中的级数为交错级数，且n n u n ln = ，考虑函数x x x f ln )(= . 由于 )0(2ln 1 )(>-= 'x x x x x x f )(,02ln 22e x x x x ><-=