第11章 级数的敛散性习题及解答

第十七讲：数项级数的敛散性

一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞

=则常数项级数

1

n

n U

∞

=∑（ D ）

A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛

解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211

n n

∞

=∑收敛 选D

2．设

1

n

n U

∞

=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）

A ．

1n n U ∞

=∑ B.()12008n n U ∞

=∑ C ．()1

0.001n n U ∞

=+∑ D ．11

n u

U ∞

=∑

解：

()1

2008n

n U ∞

=∑＝20081

n

n U

∞

=∑， 1n

n U ∞=∑

收敛∴由性质()1

2008n

n U ∞

=∑收敛

3．下列级数中一定收敛的是…( A )

A ．210

14n n ∞

=-∑ B ．10244n n n

n ∞=-∑ C ．101n

n n n ∞

=⎛⎫

⎪+⎝⎭∑ D

… 解：214n U n =

- 0n ≥

2

1

n = lim

1n n n

U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法2101

4n n ∞

=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）

A ．1

1n n n ∞

=+∑n

（－1） B ．()2

11n n n ∞=-∑ C ．

11n

n ∞=- D ．()1312n

n n ∞

=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1

）

1

n ∞

∞=n=1发散（1

12p =<）（2

）1

1n

n ∞

=-为莱布尼兹级数收敛，选C

5．级数

()

1

11cos n

n k n ∞

=⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭∑ （k>0）…（ B ）

A ．发散

B ．绝对收敛

C ．条件收敛

D ．敛散性与K 相关

解：11(1)(1cos )1cos n

n n k k n n ∞

∞-=⎛

⎫--=- ⎪⎝

⎭∑∑

1cos n k

U

n =-222k n = lim

1n n n

U V →∞=且1n n V ∞

=∑收敛，故选B

6．设正项极数

!

1

lim

n n n n n

U U p U ∞

+→∞==∑若则（D ）

A..当0

B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散

C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散

D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散 解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞

≠则常数项级数

1

n

n U

∞

=∑一定是 （发散）

解：若

n

n x U

∞

=∑收敛，则lim 0n n U →∞

=。由逆否命题知：若lim 0n n U →∞

≠则

1

n

n U

∞

=∑发散

8．当

3

1

1

p n n

∞

-=∑收敛时，则P>4

解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数

()1

11n n n ∞

=+∑的前9项的和9

S ＝9

10 解:()9

91111111n n n n n

n ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．

1

13n n ∞

=∑的和S=12 解：11

3112

13

q S q ===--

11．若数项级数

112n n n r ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝

⎭∑收敛，则r 的取值范围是 －1

=∑收敛，∴当1r <时112

n n n r ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛

12．若

1n

n n

a

∞

=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a > 解：111lim

lim n n n n n n

U n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝1

1a <，1a >收敛故 三、计算题（每小题8分，共64分） 13

．判别

2

n ∞

=∑的敛散性解： n U

=