第11章 级数的敛散性习题及解答
高数(二)期末复习题库
∫L xdy − 2 ydx = (
B
).
( D ) 4. xdy − ydx 2 2 2. 判断：若 L为正向单位圆周 x + y = 1, 则∫ = 2π .( ) 2 2 L x + y 3. 计算曲线积分 I = ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由
2. 设f ( x )是周期为2π的周期函数，且
⎧ 0 , − π ≤ x < 0, 当x = π 时，它的傅里叶级数 f ( x) = ⎨ ⎩ x , 0 ≤ x < π.
收敛于：
π
2
第一型曲线积分
第10章 线面积分
⎧ x = ϕ ( t ), 1. 设f ( x , y )在曲线弧 L上连续， L的参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), (α ≤ t ≤ β ), 其中ϕ ( t ),ψ ( t )在[α , β ]上具有一阶连续导数， 且ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0，则曲线积分 ∫ f ( x , y )ds =
∞ n =1
( B ) 若交错级数 ∑ ( −1)n un收敛，则必为条件收敛 ； (C ) 当 lim un = 0时，级数 ∑ un一定收敛;
n→ ∞ n =1 ∞
( D ) 若对级数 ∑ un的项任意加括号后所成 的新级数发散，
n =1
∞
则原级数一定发散 .
级数敛散性的判别
5. 下列命题正确的是 ( B )
L
( A) 1； ( B ) 3 ；
(C ) 2 ；
√
抛物线 y = x 2和x = y 2所围成的区域 D正向边界曲线 .
级数习题 有答案
题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
(整理)第十一章无穷级数(答案)34872
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
正项级数的敛散性习题+小测+详解(精)
6．解：∵ ，∴原级数发散。
7．解：∵ ，而 发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵ ，而 ，故 ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
Part B
用定义判断下列级数的敛散性
解：分两种情形说明：
（1）当 时， （ ），级数 发散，由比较判别法知 发散。
（2）当 时，任取一 ， ，由于
级数 收敛（ ），由比较判别法的极限形式知 收敛。
8.求 。
解：令 ，考察级数 ， ，且
由比值判别法知 收敛，故由级数收敛的必要条件知 ，亦即 。
9.设 （ ）， ，试判别级数 的敛散性。
解：令 ，由 知数列 严格单调递增，亦即 ，且 ，故有
PartC
1．用定义判断下列级数的敛散性
2．设 ， ，判断级数
的敛散性。
判断下列正项级数的敛散性
3． ；4． ；5． ；
6．判断级数 的敛散性。
1．解：
,
故原级数收敛，且和为 。
2．证： ，由比较判别法知原正项级数收敛。
3．解：∵ ， ，∴由比值判别法知，原级数发散。
4．解：考虑函数 ， ， ，由 得 ，易知 时 的最大值，所以当 地， ，∴ ，但 为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。
与 的敛散性相同。（ 时， ）
3.
解：由于
（ 时， ）
收敛，由比较判别法的极限形式知 收敛。
4.设 为常数，讨论级数 的敛散性。
解：分三种情形说明：
（1）当 时，
由级数收敛的必要条件知 发散。
（2）当 时， ，由级数收敛的必要条件知 发散。
第11章 无穷级数 习题 11- (2)
2
故 ∑ vn 收敛, 所以原级数收敛.
n =1
∞
注意 当直接用比值审敛法去判断级数的敛散性但求极限问题较复杂时, 应考 虑先将级数通项变形, 再用比值审敛法. u 2 ⋅ 5" (3n − 1) 3(n + 1) − 1 3 (5) 设 un = , 则 lim n +1 = lim = < 1 , 所以原级数收 n n →∞ →∞ 1 ⋅ 5" (4n − 3) 4(n + 1) − 3 4 un 敛.
所以级数 ∑ un 收敛, 因此 lim un = 0 .
n =1 n →∞
∞ u an a n +1 n ! a = = < , 所以级数 , 而 lim n +1 = lim lim 0 1 un ∑ n →∞ u n →∞ ( n + 1)! a n n →∞ n + 1 n! n =1 n
(2)
n =1 n =1
∞ ∞ 1 但 ∑ un = ∑ (− ) 发散. n n =1 n =1 ∞ ∞
(2)
不正确. 如对于 p -级数 ∑
1 , 当 p > 1 时, p n =1 n
∑ n p 收敛,
பைடு நூலகம்n =1
1
但
un +1 np 1 = lim = lim =1. n →∞ u n →∞ ( n + 1) p n →∞ 1 p n ( + 1) n lim
u π π 设 un = tan n , vn = n , 而 lim n = lim n →∞ vn n →∞ 2 2
tan
π ∞ 2n = 1 , 且 v 收敛, 所以原 ∑ n π n =1 2n
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数习题及答案
第十一章 无穷级数(A)用概念判定以下级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n ；3．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+15131n n n ρ。
判定以下正项级数的敛散性4．∑∞=1100!n nn ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞=+121n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．n n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+113；10．()∑∞=-+121n nnn 。
求以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．()∑∞=---11121n n n n ；12．()∑∞=-2ln 11n nn；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14．++-+++-14413312221222； 求以下幂级数的收敛半径和收敛区间15．∑∞=13n nnx n ；16．()∑∞=-11n n n nn x ；17．∑∞=1!n nx n ；18．()∑∞=-1121n n n x n ；19．∑∞=+-112121n n n x；20．∑∞=123n nn x n ；求以下级数的和函数21．∑∞=-11n n nx；22．121121+∞=+∑n n n x ； 将以下函数展开成0x x -的幂的级数23．2xx e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ；25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26．x1，30=x ； 将以下函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数27．()2cosxx A =，()ππ≤≤-x 。
28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x29．将函数()⎩⎨⎧≤≤≤≤-=30,03,2t x t x x x f 展开成付里叶级数。
30．将函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=lx l x l l x x x f 2,20,别离展开成正弦级数和余弦级数。
第11章 级数的敛散性习题及解答
第十七讲：数项级数的敛散性一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑， 1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．11nn ∞=- D ．()1312nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）1n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kUn =-222k n = lim1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B6．设正项极数!1limn n n n nU U p U ∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散 解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
高等数学习题解答(上海交大)习题11解答
第11章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!nn n n∞=∑解答：(1)23451111133333-+-+-；(2) 1131351357135792242462468246810∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++； (4)234511212312341234512345∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++++。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项： (1)2341357++++；(2)261220-+-；(3)22242462468x x+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯解答：(1) 21n n -；(2)1(1)(1)n n n --+；(3)2242nx n∙ 。
所属章节：第十一章第一节难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和： (1)1n n S n+=；(2)212nn nS -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n nn n n -+-=-=-==--，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222nn n n n nn nu S S n -----=-=-==，故该级数为112nn ∞=∑，该级数的和为21lim lim12nnnn n S →∞→∞-== 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级4．根据定义求出下列级数的和：(1) 1326n n nn ∞=+∑；(2) 11(2)n n n ∞=+∑；(3) 1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4) 1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123n n nn nn n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑；(2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n n n ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑；(3) 111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n nn n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4) 11n n ∞∞===-∑∑111n ∞==-∑11=-=-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1) 121n n n ∞=+∑；(2) 12nn n∞=∑；(3)11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑；(4) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212nn u n =→≠+，所以级数121n nn ∞=+∑发散；(2) 由于2nnu n=→+∞≠，所以级数12nn n∞=∑发散；(3)由于1()01nn nu n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散；(4) 由于1111011(1)()(1)n n nn n nnnnnnn u n en nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。
无穷级数习题课及答案
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
ch11无穷级数典型例题.pptx
∑ ∑ ∴
∞
(−1)n
∞
=
1 发散,
n=1 n − ln n n=1 n − ln n
即原级数非绝对收敛．
∑∞ (−1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n=1 n − ln n
lim ln n = lim ln x = lim 1 = 0,
n n→+∞
x x→+∞
x x→+∞
1
∴
lim
n→+∞
n
1 − ln n
=
lim
n→+∞
1
n − ln n
=
0,
n
f ( x) = x − ln x ( x > 0),
f ′( x) = 1 − 1 > 0 ( x > 1), x
∴ 在 (1,+∞) 上单增, 即 1 单减, x − ln x
故 1 当 n > 1时单减, n − ln n
n=0
∑ 解 1
cos 2x − (1 + x)2
∞
= an xn
n=0
∑ 根据co= s t
∞
(−1)n
1
t 2n ,
n=0
(2n)!
∑ 则cos 2=x
∞
(−1)n
1
22n x2n;
n=0
(2n)!
∑ 根据
1
∞
= (−1)n xn ,
1+x n=0
∑ ∑ 则
−
1 (1+x)2
=( 1
∞
)' =(
1 < n ln(n + 2) < n n,
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
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∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
2014李复习全书例题第十一章
例11.1 判定下列级数的敛散性：（Ⅰ）n ∞； （Ⅱ）=1+1ln n n n ∞∑； （Ⅲ）=12-12n n n ∞∑.例11.2 判定下列级数的敛散性（是条件收敛还是绝对收敛）：（Ⅰ）2=1sin3n n n π∞∑； （Ⅱ）()()-1=1-1sin >0n n x x n ∞∑； （Ⅲ）()-111sin 1-1n n n n ∞=+∑. 例11.3 求下列函数项级数的收敛域：（Ⅰ）()-1=1-11-2-11n nn x n x ∞⎛⎫⎪+⎝⎭∑； （Ⅱ）=111+nn x∞∑. 例11.4 求下列幂级数的收敛域： （Ⅰ）()-11-1n n n n ∞=∑； （Ⅱ）()-11-1n n nn xn ∞=∑. 例11.5 求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域及其和函数.例11.6 设()=sin ,-,>0f x ax x a ππ≤≤，将其展开为以2π为周期的傅里叶级数. 例11.7 判定下列级数的敛散性：（Ⅰ）()=1!>0n nn p n p n ∞∑为常数；（Ⅱ）()ln =1ln n n n n n ∞∑. 例11.8 判别下列级数的敛散性：（Ⅰ）1n ∞=∑；（Ⅱ）111-ln n n n n ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；（Ⅲ）1/011+n n dx x ∞=∑⎰；（Ⅳ）+11n n n e ∞=∑⎰. 例11.9 考察级数1p n n a ∞=∑，其中()()1352-1=2462n n a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，p 为常数.（Ⅰ）证明：()11<<=2,3,4,42+1p n a n n n ⋅⋅⋅； （Ⅱ）证明：级数1pnn a∞=∑当>2p 时收敛，当2p ≤时发散.例11.10 判别级数2112+1p n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的收敛性，其中{}n x 是单调递增而且有界的正数数列.例11.11判别下列级数的敛散性（包括绝对收敛或条件收敛）； （Ⅰ）()-111+11-1n n nn∞=∑;（Ⅱ）21sin +ln n n n π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.例11.12 判别级数()()()1-1>0+-1npn n p n ∞=⎡⎤⎣⎦∑的敛散性（包括绝对收敛或条件收敛）.例11.13 设常数>2a ，则级数()1ln !-1n n n α∞=∑ (A)发散. （B ）条件收敛. （C ）绝对收敛. （D ）敛散性与α有关 例11.14 设>0a 为常数，则级数()-111-1n n n n n n n a n-∞=+∑(A)发散. （B ）条件收敛. （C ）绝对收敛. （D ）敛散性与a 有关. 例11.15 判断如下命题是否正确：设无穷小()n n u v n →∞ ，若级数1nn u∞=∑收敛，则1nn v∞=∑也收敛，证明你的判断.例11.16 确定下列函数项级数的收敛域: （Ⅰ）()1ln 1+xn n n∞=∑; （Ⅱ）()()-121-1+2+3n xn n n ∞=∑例11.17 求下列幂级数的收敛域或收敛区间：（Ⅰ）()-11ln 1+n n n x n∞=∑；（Ⅱ）22111+n nn x n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.（Ⅲ）()+1=1-1n nn na x ∞∑,其中=0nn n a x∞∑的收敛半径=3R ；（只求收敛区间）.（Ⅳ）()0-3nn n a x ∞=∑，其中=0x 时收敛，=6x 时发散.例11.18 求下列幂级数的和函数并指出收敛域. （Ⅰ）()2-1+1nn n x n ∞=∑；（Ⅱ）()=1+1nn n n x ∞∑.例11.19 将下列函数展开成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间. （Ⅰ）()21++n x x ∞=∑；（Ⅱ）1+arctan1-xx例11.20 将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： （Ⅰ）21+3+2x x ，在=1x 处； （Ⅱ）()2ln 2+-3x x ，在=3x 处. 例11.21 将下列函数()f x 展开成的幂级数并求()()0n f：（Ⅰ）()()=d f x g x dx ,其中()-10,,=0;1,x e x g x x x ⎧≠⎪⎨=⎪⎩（Ⅱ）()0sin =x t f x dt t ⎰.例11.22 设有两条抛物线21=+y nx n 和()21=+1++1y n x n ，记它们交点的横坐标的绝对值为n a .（Ⅰ）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ； （Ⅱ）求级数=1nn nS a ∞∑的和.例11.23 求级数=0+1!n n n ∞∑的和. 例11.24 求下列级数的和：（Ⅰ）()2=0-1-12nn n n n ∞+∑； （Ⅱ）()2=21-12nn n ∞∑. 例11.25 （Ⅰ）设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(]-1,1上定义为()32,-10,=,01,x f x x x <≤⎧⎨<≤⎩， 则()f x 的傅里叶级数在=1x 处收敛于 ；（Ⅱ）设函数()2=,0<1f x x x ≤，而()()=1=sin ,-n n S x b n x x π∞∞<<+∞∑，其中()()1=2sin ,=1,2,3,,n b f x n x dx n π⋅⋅⋅⎰则1-=2S ⎛⎫⎪⎝⎭.例11.26 设周期为2π的函数(),0=+2,-0x x f x x x πππ<<⎧⎨<<⎩的傅里叶级数为()0=1+cos +sin 2n n n a a nx b nx ∞∑, （Ⅰ）求系数0a ，并证明()=0,1n a n ≥；（Ⅱ）求傅里叶级数的和函数()()-g x x ππ≤≤，及()2g π的值. 例11.27 设函数()[]2=,0,fx xx π∈，将()f x 展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明22=11=6n nπ∞∑. 例11.28 设数列{}n na 收敛，级数()-1=1-nn n n a a ∞∑收敛，证明：=1nn a∞∑收敛.例11.29 设()>0,>0,=1,2,n n a b n ⋅⋅⋅，且满足+1+1,=1,2,,n n n na b n a b ≤⋅⋅⋅试证： （Ⅰ）若级数=1nn b∞∑收敛，则=1nn a∞∑发散； （Ⅱ）若级数=1nn a∞∑发散，则=1nn b∞∑发散.例11.30 设函数()f x 在1x ≤上有定义，在=0x 的某个领域内具有二阶连续导数，且()0li m=0x f x x→，试证：级数=11n f n ∞⎛⎫⎪⎝⎭∑绝对收敛. 例11.31 求级数()=111352-1n n ∞⋅⋅⋅∑ 的和.。
第十一章级数
第十一章 级数学习测试题答案1. 选择题（1）A ：由∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 收敛，则∑∞=+122)(n n n v u 收敛，且因为)(2)(222n n n n v u v u +≤+，则由正项级数比较判别法知∑∞=+12)(n n n v u 收敛。
B ：若∑∑∞=∞==111n n n n u ，∑∑∞=∞=-=11)1(n n n n n v ，则∑∑∞=∞=-=11)1(n n n n n n v u 收敛，但是∑∑∑∞=∞=∞===112121n n n n nn v u发散，所以结论不成立。
但若∑∞=12n n u 和∑∞=12n n v 收敛，由正项级数比较判别法可知∑∞=1n n n v u 收敛。
C ：因为∑∞=11n n 发散，则由正项级数比较判别法可知∑∞=1n n u 发散。
D ：若∑∑∞=∞==1211n n n n u 收敛，∑∑∞=∞=-=11)1(n n n n v ，n n v u ≥，但∑∑∞=∞=-=11)1(n n n n v 发散。
题目如要求∑∞=1n n v 为正项级数，则结论成立。
（2）A ：∑∑∞=∞==1121n n n n u 满足题目要求，但为发散级数。
B ：令⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数n nn nu n 2121，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∑∑∑∞=∞=∞=为奇数为偶数n nn nu n n n n n 1211)1(21)1(，可见其可以分解为收敛数列和发散数列和的形式，所以∑∞=-1)1(n n n u 发散。
C ：令n u n 21=，则∑∑∞=∞==1121n n n n u 发散。
D ：由题2210n u n ≤≤，则∑∞=-12)1(n n n u 绝对收敛。
（3）由题212)1(||222222n a n a n a n n n +≤++≤+λλ，因为∑∞=12n n a 和∑∞=121n n 都收敛，则由正项级数比较判别法可知∑∞=+12||n n n a λ收敛，即原级数绝对收敛。
级数的收敛性与敛散判别法
级数的收敛性与敛散判别法当然可以！以下是根据标题“级数的收敛性与敛散判别法”出的20道试题，包括选择题和填空题，并附有详细的序号介绍：1. 选择题：下列哪个条件是级数收敛的充分条件？A. 正项级数B. 交错级数C. 调和级数D. 发散级数2. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 的收敛性是（填入“收敛”或“发散”）。
3. 选择题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) 的敛散性是？A. 收敛B. 发散4. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 的前5项部分和为（填入计算出的数值）。
5. 选择题：用比较判别法判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\)的敛散性，下列哪个级数可以作为比较对象？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\)6. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right)\) 的敛散性是（填入“收敛”或“发散”）。
7. 选择题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) 的收敛性是？A. 收敛B. 发散8. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\) 的前5项部分和为（填入计算出的数值）。
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第十七讲：数项级数的敛散性一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑， 1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．11nn ∞=- D ．()1312nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）1n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kUn =-222k n = lim1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B6．设正项极数!1limn n n n nU U p U ∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散 解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
故选D 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．若lim 0n n U →∞≠则常数项级数1nn U∞=∑一定是 （发散）解：若nn x U∞=∑收敛，则lim 0n n U →∞=。
由逆否命题知：若lim 0n n U →∞≠则1nn U∞=∑发散8．当311p n n∞-=∑收敛时，则P>4解：由p 一级数的敛散性知，当P –3 >1时级数收敛，故P>4 9．级数()111n n n ∞=+∑的前9项的和9S ＝910 解:()991111111n n n n nn ==⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑＝111111223910⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1110-＝910 10．113n n ∞=∑的和S=12 解：11311213q S q ===--11．若数项级数112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，则r 的取值范围是 －1<r< 1 解：112n n ∞=∑收敛，∴当1r <时112n n n r ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛12．若1nn na∞=∑收敛（a>0），则a 的取值范围是1a > 解：111limlim n n n n n nU n a U a a ++→∞→∞+=⨯＝11a <，1a >收敛故 三、计算题（每小题8分，共64分） 13．判别2n ∞=∑的敛散性解： n U=取21n v n = lim 1n n nU V →∞=且211n n ∞=∑收敛∴由比较法的极限形式知2n ∞=∑也收敛14．判别311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性 解：（1）当n →∞时，31arctan2n ~312n(2) limnn nU V →∞212n V n =221arctan2lim12n n n n →∞＝1，且2112n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法的极限形式知，311arctan 2n n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑也收敛 15．判别12(1)4nn n ∞=⎛⎫+-⎪⎝⎭∑的敛散性 解法：（1）这是正项级数 2(1)4n n +-<34n且134n n ∞=∑，收敛114q =< ∴由比较法非极限形式知12(1)4nnn ∞=+-∑收敛 解法（2） 124n n ∞=∑收敛，1(1)4n n n ∞=-∑收敛， ∴由性质知12(1)4n nn ∞=+-∑也收敛 16．判别1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑的敛散性 解：这是正项级数()1113(21)(21)lim lim 31!n n n n nU n n U n ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅-+=+⨯3!13(21)n n n ⋅⋅⋅⋅-＝21lim 3(1)n n n →∞++＝23<1 ∴由此值判别法知1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑也收敛 17．判别12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑ 的敛散性解：（1）这是正项级数且含有!n ,2n,nn 用比值法（2） 1lim n n nU U +→∞＝()221!lim (1)(1)n n n n n n n →∞⋅+⋅++⋅2!n n n n ＝lim 2(1)n n n n n →∞⋅=+12lim 1(1)n n n→∞+＝21e<∴由比值法知12!nn n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛 18．判别21arctan 3nn n n∞=∑的敛散性 解：（1）arctan 2n π< ∴2arctan 3n n n ＝223n n n U π< 取223n nn V π= （2）判别2123n n nπ∞=∑的收敛性， ρ＝1lim n n n V V +→∞＝()211lim3n n n +→∞+23nn ⨯<1，∴1n n V ∞=∑收敛 （3）综合（1）（2）有1n n U V ∞<∑nn ＝且V收敛，故原级数收敛19．判别211sin 3n n nπ∞=∑的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛 解：（1）这是任意项极数211sin3n n π∞∑n ＝ （2） 2211sin 3n n n π<（sin 13n π≤）且211n n ∞=∑收敛∴21sin 3n n nπ∞=∑收敛 故21sin 3n n nπ∞=∑绝对收敛 20．11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛解：（1）11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋＝11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ln 1＋ 1ln(1)lim 1n n n→∞+＝1且11n n ∞=∑发散∴11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋发散11(1)n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑n-1ln 1＋为交错级数1ln(1)n U n =+ 1lim 0n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 1＋令1ln(1),01y x y x =+>+’=（1x >）y → 即有1ln(1)n U n =+>1ln(1)1n ++故原级数条件收敛四、综合题（每小题10分，共20分） 21．讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性 解：（1）当0<a<1时，lim n n U →∞= 1lim 1n n a →∞+01a << 10≠∴级数111n n a∞=+∑发散 （2）当a ＝1时lim n n U →∞= 1lim1n n a →∞+＝110112=≠∴+级数发散（3）当1a >时1111nn n n U a a a ⎛⎫=≤= ⎪+⎝⎭()111nn a a ∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭∑收敛， ∴由比较法111nn a ∞=+∑也收敛 22．讨论级数21(0)nn a a n∞=>∑在0<a<1;a=1;a>1三种条件下的敛散性解：（1）当0<a<1时221n a n n < 且211n n ∞=∑收敛（p=2>1）∴由比较法知21n n a n ∞=∑也收敛（2）当a=1时，21n n a n ∞=∑＝211n n∞=∑收敛（p ＝2>1）（3）当a>1时，()112lim lim 1n n n n nU a U n ρ++→∞→∞==+ ()22lim 11n n n n a a a n →∞⨯==>+ ∴由此值判别法知21n n a n ∞=∑发散 综合：当01a ≤≤时21n n a n ∞=∑收敛，当1a >时21nn a n ∞=∑发散 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．若正项极数1nn U ∞=∑收敛，证明：21n n U ∞=∑也收敛（反之不成立） 证明：（1）1nn U∞=∑收敛∴lim 0n n U →∞=当n 充分大时，有：0<n U <1故有2n n U U >（n 充分大时）（2） 2n n U U>且1n n U∞=∑收敛∴由比较法21nn U∞=∑也收敛注：反之不成立如211n n ∞=∑收敛但11n n ∞=∑发散24．若21nn U∞=∑收敛，21nn V∞=∑收敛，证明：1nn n UV ∞=⋅∑也收敛证：（1）()20n nU V -≥∴2220n n n n U V U V +-≥（2） 222n n n n U V U V +≥且()221nnn UV ∞=+∑收敛∴由此比较法知12n n n U V ∞=⋅∑也收敛 即1n n n U V ∞=⋅∑也收敛选作题：设n U >0 1nn U∞=∑收敛，且lim n n nu →∞存在。
证明lim n n nu →∞＝0（提示：用反证法）证：反证法：设lim01nn U n→∞≠且lim n n nu →∞存在又 11n n ∞=∑发散，∴由此比较法的极限形式知：1n n U ∞=∑也发散 这与1n n U ∞=∑的题设矛盾故有lim n n nu →∞＝0。