10[1].1_10.3级数的敛散性判别习题课

n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un

un1
(n

1,2,3,
);(
ⅱ
)
lim
n
un

0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
Sn1

lim
n
nan

lim
n
Tn

AT

故级数 an 收敛。 n 1


例9 级数 an 与 cn 都收敛，且对一切
自然数 n ，下n1列的不n等1 式成立：an bn cn ， 证明级数 bn 亦收敛.
n 1
证明：由于 an bn cn，所以
0 bn an cn an


因为级数 an与 cn 都收敛，所以级数
n 1
n 1

(cn an ) 收敛。
n1
于是，由比较判别法知：

级数 (bn an )收敛。 n1
又因为 bn (bn an ) an ，

于是级数 bn 收敛。 n 1
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un

n
lim
n
ln(n 2) a1

1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n

lim
n
ln(n (1
2) 1 )n

,
原级数也发散．
n
例２
判断级数


n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解

1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
1 n ln(n 2) n n,
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un

1. a
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
问题:

交 错 级 数 (1)n1 un , 如 果 它 不 满 足 n1
莱 布 尼 兹 定 理 中 的 条 件un1 un , 那 麽
(1)n
1
条 件 收 敛.
n1
n

当a 1时,级 数 化 为
1
结论: (1)n an
n1 n
n1
n
发 散.
当a 1时, 级数绝对收敛.
当a 1及a 1时, 级数发散.
当a 1时, 级数条件收敛.
{nan }
例8

设数列{nan
}的极限存在，级数
n(an an1)收敛 ，证明级数 an 亦收敛。
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)

设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un


(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.


(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
考 虑 un 的 收 敛 性 n1
lim un1 n un
a n1 n

lim
n
n1
an
n
lim
a a
n n 1
故,当a 1时, 原 级 数 绝 对 收 敛.
当a 1时, 原 级 数 发 散. (为什么？)
当a 1时,

当a 1时,级 数 化 为
n1
n 1
证明

{na } 设数列
n
的极限为A ，级数 n(an an1) 的

n1
部分和为 Tn ，级数
an 的部分和为 Sn
n 1
n1
n
注意到等式
an nan k (ak ak1)
k 0
k 1
即
Sn1 nan Tn
两边取极限：
lim
n


(1)n


1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n1 n ln n
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
(1) 比较审敛法

若 un 收敛(发散)且vn un (un vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un

与
n1
vn
都是正项级数,如果lim n
un vn

l
,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
s in na n2

1 n2

且
n1
1 收敛 n2

sinna收敛， n2
n1

而
1 发散, 由性质，因而
n1 n

n1

sin na n2

1 n

发散.
例4 判别下列级数的收敛性

n[ln(1 n) ln n]
n1
与P—级数比
1
解
lim n 2 n[ln(1 n) ln n]
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义

un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
是否一定发散？
研究例子: (1) (1)n n2 n (1)n
发散!Hale Waihona Puke Baidu
(1)n
(2) n2 n (1)n
收敛!
例 3
级

数
n1

sinna n2

1 ,(a为常数)( B
n
).
A. 绝对收敛 C. 条件收敛
B. 发散 D. 收敛性与a的取值有关
解
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)

n 1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un

nn (n
注意：比较判别法只适用于正项级数。
测验题
一、选择题:
1、下列级数中,收敛的是( B ).
(A) 1 ；
n1 n

(C)
1；
n 3 2
n1

(B)
1；
n1 n n

(D) (1)n .
n1
2、下列级数中,收敛的是( B ).
(A) (5)n1 ；
n1 4
(B) (4)n1 ；

1)
e lim n
n2
ln
c
os
1 n
n
1
n2

lim
cos
1 n

1


1

e
1 2
1
n
1
n2
2
所以级数 (cos 1 )n3 收敛
n 1
n
例7 讨论级数 (1)n an 的收敛性, 其中
n1
n
a为实数.
解记
un

(1)n
an n
利用达朗贝尔判别法

nn 1 )n

(1
nn 1
)n
,
n
n2

lim(1
n
1 )n n2

lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2

e0

1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un

0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
un

1

0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un

n cos 2 2n
n 3

n 2n
,
令
n vn 2n ,

lim vn1 v n
n

n 1 2n lim 2 n n n1

n1 lim 2n n
1 1, 2


定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1


定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0



若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x), , un ( x), 是 定 义在 I R 上
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,

则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un


(数或 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
n1 5
(C) (1)n1 (5)n1 ； (D) (5 4)n1 .
n1
4
n1 4 5
3、下列级数中,收敛的是( C )
(A) (n!)2 ； n1 2n2
(B) 3n n!；
nn
n1
1

(C) n2 n2 sin n ；

(D)
n1 .
1

lim n n
1 ln n

lim
n
1
n ln n

0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
故 1 当 n 1时单减, n ln n


(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1


(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法

设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun

l

0
(或lim n
nun

),

则级数 un 发散;
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义

un , un 0
n1
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.

的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域

如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1

则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1

x ln(1 x) 1
lim

x0
x2
2
lim n2[ 1 ln(1 1 )] 1
x0
n
n2
例6 判别级数 (cos 1 )n3 的收敛性
n1
n
解
lim n
n
un
lim(cos 1 )n2
n
n
lim
n
n2
ln
cos
1 n

lim
ln(1

cos
1 n
n
1
lim n ln(1 ) 1
n
n

可 知, n[ln(1 n) ln n] 发 散 n1
例5 [ 1 ln(1 1 )]
n1 n
n
收敛
解 泰 勒 公 式: ln(1 x) x x 2 o( x 2 )
2
x ln(1 x) x 2 o( x 2 ) ( x 0) 2
n1 n(n 2)

4、部分和数列 sn 有界是正项级数 un 收敛的 n1
(C)
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .
5、当 k 0 时,级数 (1)n k n 是(
n1
n2