10[1].1_10.3级数的敛散性判别习题课
正项级数的敛散性判别法(二)
柯西根值判别法
定理2设乌为正项级数，极限= 2存在，则
71 ~OO
(1)^/1 < 1,级数收敛;
(2)若义> 1 (包括4 = 8)
级数发散;
⑶若义=1,
不能由此断定级数的敛散也
例4判别下列级数的敛散性
00
(2)
n=lnn
00
n
3n-l
(1) limVu^ =lim- = 0 < 1
由根值判别法，级数
”"+1
(n+l)"〉 1 n
解
lint—- Um
n-^oo ht8
= lim (n+l)n+2 n—8
=Um (—)n+2 =1
n-»oo \n+17 e
由比较判别法的极限形式,
级数2 00
n=l
m?l+l
^发散
：♦例3判别级数2二亨!（. 其中* ＞ 0）的敛散性
带, 解这是一个正项级数，Un
(2) lim\/u^=liTn
由根值判别法,
例5判断级数
的敛散性（。＞ 0）.
当0=1时，原级数为
,显然是发散的.
当 0 < a < 1时，Um
当 口 ＞ 1时，lim
故当a ＞。且a尹1时，原级数收敛.
例1判别下列级数的敛散性
°°1 n=l ST)!
(2) > \i00
解(1) lim un+l
n n—>00
(2) Um 由比值判别法, (3) lim
(n+1)!
(n+l)n+1 3nn\
(n+1)! 10n
10.1-10.3级数的敛散性判别习题课
n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1 n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
v
n
都是正项级数,如果lim n
un vn
l,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
数项级数敛散性习题课
limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
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3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
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例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
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例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
数项级的敛散性判别法-精品
数项级的敛散性判别法-精品2020-12-12【关键字】情况、思路、方法、条件、矛盾、有效、建立、发现、研究、准则、需要、速度、推广、解决§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q ∞=∑收敛， 根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n n n e ∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a ∞=-∑收敛，这与1(1)nn n a ∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+，根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n p u n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n+→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n ∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n pu p n =>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的收敛性．解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若lim n u =，1lim nn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
(完整版)关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理2.1数项级数收敛的定义数项级数∑∞=1n nu收敛⇔数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S .这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{}n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.2.2数项级数的性质（1）若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，则对任意常数c,d, 级数∑∞=+1)(n n ndv cu亦收敛，且∑∑∑∞=∞=∞=+=+111)(n n n n n n nv d u c dv cu;相反的，若级数∑∞=+1)(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n nv都收敛.注：特殊的，对于级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv，当两个级数都收敛时，∑∞=±1)(n n nv u必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，∑∞=±1)(n n nv u一定发散；当两个都发散时，∑∞=±1)(n n n v u 可能收敛也可能发散.例1 判定级数∑∞=+1)5131(n n n 与级数∑∞=+1)211(n n n的敛散性.解：因为级数∑∞=131n n 与级数∑∞=151n n 收敛，故级数∑∞=+1)5131(n n n 收敛.因为级数∑∞=11n n 发散，级数∑∞=121n n 收敛，故级数∑∞=+1)211(n n n发散.（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.例2 判定级数++--+++1111121-1-21n n 的敛散性.解：先考察级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--11111n n n ，因为121111-=+--=n n n u n ，而级数∑∞=-112n n 发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散. （4）级数收敛的必要条件 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.2.3判定定理2.3.1级数收敛的柯西准则级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε,*NN ∈∃,使得当m N >以及*Np ∈∀,都有ε<++++++p m m m u u u 21.例1 用柯西准则判别级数∑nn22sin 的敛散性. 证明：由于pm p m m m m m pm m m u u u ++++++++++++=+++22sin 22sin 22sin 221121mp m m p m m m 21212121212121<-=+++<++++ 因此，对于任意的0>ε.取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1log 2N 使得当N m >及任意的*∈N p ,由上式就有ε<++++++p m m m u u u 21成立，故由柯西准则可推出原级数收敛. 2.3.2正项级数判别法（1）正项∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n S 有界.（2）比较判别法 如果∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是正项级数，若存在某整数N ，对一切N n >都有n n v u ≤(i)若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；（ii ）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散.等比级数和P-级数的敛散性 ①等比级数∑∞=+++++=12n nn aq aq aq a aq ，当1<q 时，级数收敛；当1≥q 时，级数发散.②P-级数∑∞=11n p n ，当1≤p 时，发散；当1>p 时，收敛. 例2 判别级数()∑∞+114n n 的敛散性.解：因为()25441111nnn n n u n =•<+=，而且P-级数∑∞251n收敛，由比较判别法知该级数收敛.（3）比较判别法的极限形式 如果∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是正项级数)0(≠n v ，如果l v u nnn =∞→lim，则（i ）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv同时收敛或发散；（ii ）当0=l 时，∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（iii ）当+∞=l 时，∑∞=1n nv发散时，∑∞=1n nu也发散.例3 判别级数()()∑>-11a a n的敛散性.解：因为a a a t a n t na t t t t nn ln 1ln lim 1lim 111lim00==-=-→→∞→令,而正项级数∑n1发散，由比较原则的极限形式知原级数发散. (4)比式判别法 如果∑∞=1n n u 为正项级数,且ρ=+nn u u 1， （i ）若10<<ρ，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1≥ρ，∑∞=1n nu发散.例4判别级数()∑+nn 10!1的敛散性.解：因为()()+∞=+=+•+=∞→+∞→+∞→102lim !11010!2lim lim 11n n n u u n n n n nn n ，所以由比式判别法知原级数发散.(5)比式判别法的极限形式 如果∑∞=1n n u 为正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（i ）若1<ρ，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1>ρ或+∞=ρ时，∑∞=1n nu发散.例5 判别级数∑•nn n n !3的敛散性.解：因为()()13113lim !31!13lim lim 111>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=•++=∞→++∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n n n nn n ，所以由比式判别法的极限形式知原级数发散. （6）根式判别法 如果∑∞=1n nu为正项级数，（i ）如果1<≤ρn n u ，则∑∞=1n n u 收敛；（ii ）若1≥n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.(7)根式判别法的极限形式 如果∑∞=1n nu为正项级数，还有ρ=∞→n n n u lim ，（i ）当1<ρ时，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）当1>ρ时，则∑∞=1n nu发散.例6 判别级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+nn n 12的敛散性.解：因为12112lim 12lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n n n n n nn ，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛. (8)积分判别法 若)(x f 为),1[+∞上的非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.例7 判别级数∑+112n 的敛散性.解：设()112+=x x f ，则()x f 在),1[+∞上为非负单调递减函数，而⎰+∞=+1241πxdx 故由积分判别法知原级数收敛.(9)Raabe 判别法 设0>n u ， ,2,1,11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+n u u n R n nn .(i)若存在1>q 及正整数N ,使得当N n ≥时有q R ≥n ，则级数∑∞=1n nu收敛；(ii ）若存在正整数N ,使得当N n ≥时有1≤n R ，则级数∑∞=1n nu发散.(10) Raabe 判别法的极限形式 设∑∞=1n nu是正项级数，且有r R n n =∞→lim ，（i ）若1>r ,则级数∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1<r ,则级数∑∞=1n nu发散.例8 判别级数()()∑∞+⋅-121!!2!!12n n n 的敛散性. 解：容易验证，因为()∞→→n 1ρ这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe判别法.此时，()()()()()()∞→→++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+n n n n n n n n u u n R n n n 23125612232221221.由Raabe 判别法知原级数收敛.正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:①若n n u ∞→lim 易于求的，考察n n u ∞→lim 的值：0lim ≠∞→n n u ，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；②若0lim =∞→n n u ，不能直接判断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当1<ρ时，级数收敛；若1>ρ或+∞=ρ时，级数发散；③当1=ρ时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.2.3.3一般项级数的判别方法（1）交错级数判别法Leibniz 判别法 若交错级数n n n u 11)1(+∞=-∑（0>n u ），满足下述两个条件：（i ）数列{}n u 单调递减；（ii ）0lim =∞→n n u ,则级数收敛.注：用Leibniz 判别法判定1+>n n u u 时，可以用以下几种方法：①比值法：考察是否有11>+n nu u ；②差值法：考察是否有01>-+n n u u ；③导数法：即建立一个连续可导的函数)(x f ，使),2,1()( ==n u n f n ，考察是否有0)(<'n f .例9 判定级数()∑∞=-+++-111ln )1(1)1(n n n n n 的敛散性.解：因为此级数为交错级数 ，设()()1ln 11+++=n n n u n ，易证()()01ln 11limlim =+++=∞→∞→n n n u n n n ，下面判定1+>n n u u ，下面我们用导数的知识判定数列{}n u 单调递减.设()()1ln 11)(+++==n n n u n f n ，则()()()()()1ln 11ln 22++-+='='n n nn u n f n ，又设()()n n n g -+=1ln ，则()0111<-+='n n g ,()n g ∴单调递减，()()0g n g < ，()0<'∴n f ，()n f 单调递减，1+>n n u u ，由Leibniz 判别法，知原级数发散.（2）绝对收敛 若级数∑∞=1n nu各项绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛，则原级数绝对收敛.性质：绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立，即：若∑∞=1n nu收敛，不能判定∑∞=1n nu也收敛.（3）Abel 判别法若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则级数∑nn ba 收敛.例10 判定级数()()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2arctan 411ln 11n nnn n n 的收敛性.解：根据Leibniz 判别法知级数()∑∞=2ln 11-n nn 收敛.因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11递增有界，故由Abel 判别法知级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-211ln 11n nnn n 收敛，又因{}n arctan 4-递减有界，再由Abel 判别法知原级数收敛.(4)Dirichlet 判别法若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则级数∑nn ba 收敛.例11 判定级数()πα2,0,sin 1∈∑∞=x nnxn ()0>α的敛散性. 解：由于当()π2,0∈x 时，有2sin 1sin 1x kx k ≤∑∞=，即∑∞=1sin n nx 的部分和数列有界，而数列()01>⎭⎬⎫⎩⎨⎧ααn 单调递减，且01lim =∞→αn n ，故由Dirichlet 判别法知，原级数收敛. 对于交错级数敛散性判定问题，应先判定其是否绝对收敛，即若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛;若不是绝对收敛，则根据Leibniz 判别法，Abel 判别法，Dirichlet 判别法判定其是否条件收敛.3、巧妙判别数项级数敛散性以上介绍了一些判别数项级数敛散性的基本方法，但是在实际的应用中往往需要多种方法结合，且有时还有一定的技巧性，下面结合一些实例列举一些常用的判别方法和技巧.3.1等价无穷小替换的方法判断级数敛散性应用定理：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，且当∞→n 时，n u 和n v 为等价的无穷小量，则∑∞=1n nu和∑∞=1n nv的敛散性保持一致.证明：由于当∞→n 时，n u 和n v 为等价的无穷小量，即01lim≠=∞→nnn v u ，由比较判别法的极限形式可知级数∑∞=1n nu和级数∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.例1 判定级数()()()∑∞=+-⎪⎭⎫⎝⎛+1142411ln 1-n n n n n 的敛散性. 解：设()()()142411ln 1+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n u n n ，则()()()142411ln 1+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n u n n～()∞→=n n n n ,41412，而级数∑∞=1231n n 收敛，所以原级数绝对收敛. 3.2运用常用不等式判断级数的敛散性常用的不等式有：n n <ln ， ()x x <+1ln ， x e x+>1例2 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n 的敛散性. 解：此题我们可以利用不等式()x x <+1ln ， 有111111ln 11ln 11ln 1+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=+-=n n n n n n n n n n u n 因为级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-1111n n n 收敛，故原级数收敛. 3.3运用平均不等式()2221b a ab +≤判断级数敛散性 应用定理：若级数∑∞=12n na和级数∑∞=12n nb都收敛，则级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证明：已知级数∑∞=12n na 和级数∑∞=12n nb 都收敛，根据级数收敛的性质，则级数()∑∞+2221nn b a 收敛，由于有不等式()2221n n n n b a b a +≤，再根据比较判别法，知级数∑∞=1n n n b a 收敛，所以级数∑∞=1n n n b a 绝对收敛.例3 设常数0>λ，级数∑∞=12n n a 收敛，判断级数()∑∞=+-121n n nn a λ的敛散性.解：因为级数∑∞=12n na 收敛，并且级数∑∞=+1211n n 也收敛，所以级数∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛++λ221n a n 收敛，又因为⎪⎭⎫⎝⎛++≤+=+λλλ22221211n a n a n a n nn ，由比较判别法可知，级数∑∞+λ2n a n 收敛，故原级数绝对收敛.3.4拉格朗日微分中值定理判断级数敛散性应用定理：设()x f 在()1,0内可导，且其导函数有界，则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12111n kn f k n f 绝对收敛.证明：因为()x f 在()1,0内可导，且其导函数有界，所以存在0>M ，对于一切()1,0∈x ，都有()M x f ≤',于是由拉格朗日中值定理得()()()()211221211111k n k n k k M kn k n f kn f k n f ++-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ξ，由于级数()()∑∞=++1211n k n k n 收敛，所以级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12111n kn f k n f 绝对收敛. 例4 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+111s 101sin n n in n 的敛散性. 解：设函数()x x f 1sin=，则()x xx f 1cos 12⋅-='，知()x f '有界，令1,1021==k k ，由于满足上述定理条件，故级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+111s 101sin n n in n 收敛. 3.5对数判别法判断级数敛散性应用定理：若级数∑∞=1n n u 为正项级数，若有0>α，使得当0n n ≥时，α+≥1ln 1lnn u n，则级数∑∞=1n nu 收敛，若有0n n ≥时，1ln 1ln≤n u n，则级数∑∞=1n n u 发散. 证明：如果0n n ≥时，不等式α+≥1ln 1lnn u n 成立，则有α+≥11n u n .由于级数∑∞=+111n nα收敛，所以由比较判别法知级数∑∞=1n n u 收敛.同理可证，当不等式1ln 1ln≤n u n成立时，则级数∑∞=1n n u 发散. 例5 判定级数()∑∞=>1ln 12n n na a 的敛散性.解：由于a nn n a n n n a n u nn n ln ln 2ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 1ln ln -=•-==， 由洛必达法则可知：+∞=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-∞←+∞→+∞→a xa x x a n n n n n ln 11lim 2ln ln ln lim 2ln ln ln 2ln lim所以，对0>α，存在0n ，使得当0n n ≥时，α+≥-1ln ln 2ln a nn，因而根据以上定理原级数发散.3.6 泰勒展开式判断级数的敛散性例6 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n n e 的敛散性.解：因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22121111ln 11n o n n n n n n n e e e e n e u ～⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n o ne 12111 ～()∞→n n e 2.由于级数∑∞=12n ne 发散，所以原级数发散. 3.7拆项法判断级数的敛散性将级数的一般项运用等价变形、三角基本公式、有理化等方法拆成几项之差也是判别级数收敛的一种常用方法.例7 判别级数()∑∞=-122sin sin n n n n αα的敛散性. 解：因为()()n sin -sin sin sin 2222ααααn n n n n =-，而且()2221sin n n n ≤α，由于级数∑∞=121n n收敛，根据比较判别法知级数()∑∞=122sin n n n α收敛；而且∑∞=1sin n n α，当παk =时，该级数收敛；当παk ≠时，该级数发散.由此可知，当παk =时，原级数收敛；当παk ≠时，原级数发散.3.8 Gauss 判别法判断级数的敛散性若() ,2,10=>n a n ，且⎪⎭⎫⎝⎛++=++εμλ111n O n a a n n ，0>ε，则级数∑∞=1n n a 当1>λ时收敛；当1<λ时发散；而当1=λ时，对1>μ收敛，对1≤μ发散.例8 判别级数()()∑∞=>>-++1)0,0(1!11n qq p nn n p p p 的敛散性. 解：对于这个级数来说，⎪⎭⎫⎝⎛++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+211111111111n O n p q n n p n n n p n a a q q n n ， 所以它在p q >时收敛，在p q ≤时发散.3.9运用函数判定数项级数的敛散性以前讨论的方法判定级数敛散性都与数列极限紧密联系，这种方法利用函数来研究数项级数.给出了利用函数的导数和极限判别数项级数敛散性的的方法.应用定理1 若级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 收敛，则()0lim 0=→x f x证明：已知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 收敛，有级数收敛的必要条件得01lim =⎪⎭⎫⎝⎛∞→n f x ，因而()01lim lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→→n f x f n x . 例9 判别级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n n e n π的敛散性. 解：由于11lim 1lim 01=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→∞→x e e n xx nn ，又由于 2cos lim 0π→x 不存在，所以⎪⎭⎫⎝⎛∞→n f x 1lim 不存在，由定理1的逆否命题可知，级数不收敛. 应用定理2 如果()x f x '→0lim 存在，∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛，则()0lim 0='→x f x .应用定理3 如果函数在0=x 存在二阶导数，且()()000='=f f ，则∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛. 应用定理4 如果()x f x ''→0lim 存在，而且()()0lim lim 0='=→→x f x f x x ，则∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛. 证明：首先作辅助函数 ⎩⎨⎧≠==0)(00)(x x f x x G考察()x G ，有()00=G ()()()0lim lim 000='=='→→x f xx f G x x()()()()()x f xx f x G x G G x x x ''=='-'=''→→→000lim lim 0lim0 由于已知()x f x ''→0lim 存在，即()00=''G 存在，对()x G 满足定理3条件，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.例10 判别级数2111112∑∞=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+n n nn a a a 的敛散性.解：不妨设()212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-x x x a a a x f ，则()()()3212ln 2--+='-x x x a a a a x f()()()4223211692146ln 2-+-+-+-=''--xx x x x x aa a a a a x f求极限得()0lim 0=→x f x应用洛必达法则，得()()03242722ln 8lim 3220=+-+-+='--→x x x xx x x x a a a a a a a a x f ()()a aa a a a a a a a x f x x x x x x x x x x x 2234223200ln 4248164932149681ln lim lim =-+--+-+=''--→→ 所以()x f x ''→0lim 存在，根据定理4知级数2111112∑∞=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+n n nn a a a 绝对收敛.从以上分析和各例子可以看出，判定数项级数敛散性方法众多，我们应深刻体会各个定义、性质、定理的条件及结论，同时也要善于观察和总结，正确且灵活地使用各定理.。
习题参考解答(第四部分) 收敛判定
无穷级数部分练习题参考解答1、 判断级数()()31ln ln ln pqn n n n ∞=∑的敛散性.解：考察反常积分()()3ln ln ln p q dx x x x +∞⎰()ln3ln tx eq pdt t t =+∞=⎰当1p >时，取充分小的0ε>，使1p ε->，则有()1lim 0ln p q p t tt t ε-→+∞=，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰收敛. 当1p <时，取充分小的0δ>，使1p δ+<，则有()1lim ln p q p t tt t δ+→+∞=+∞，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰发散.当1p =时，()ln3ln ln3ln ut eq qdt dt u t t =+∞+∞=⎰⎰，知1q >时，()ln3ln q dt t t +∞⎰ 收敛，1q ≤时()ln3ln q dt t t +∞⎰发散.又显然函数()()()1ln ln ln pqf x x x x =在()3,+∞上非负递减，于是由积分判别法知：当1p >或1p =且1q >时级数收敛，其余情况级数发散. 2、讨论级数111(1)n p n n-∞+=-∑的敛散性，如果收敛，讨论是绝对收敛还是条件收敛.解：当0p ≤时，通项不趋于零，发散；当1p >时，111p p n n n+<，原级数绝对收敛；当01p <≤时，11(1)n p n n -∞=-∑收敛，11nn 单调有界，由Abel 判别法知原级数收敛. 又 11(1)lim11n p nn pnn -+→∞-=，知111(1)n p n nn-∞+=-∑发散. 故原级数条件收敛.3、已知1221(1)12n n n π-∞=-=∑，计算10ln(1)x dx +⎰. 解：函数ln(1)x +在0x =点的Taylor 级数为123(1)ln(1)23n n x x x x x n--+=-+-++ ，(1,1)x ∈- 112ln(1)(1)123n n x x x x x n --+-=-+-++ ，1232220ln(1)(1)23n n x t x x x dt x t n -+-=-+-++⎰ 10ln(1)x dx x +⎰1232222011ln(1)(1)lim lim 1223n n x x x t x x x dt x t n π-→→+-⎛⎫==-+-++= ⎪⎝⎭⎰ . 4、证明（1）方程10nx nx +-=（n 为正整数）存在唯一正实根n x ；（2）级数1n n x α∞=∑当1α>时收敛.证：（1）令()1nn f x x nx =+-,[]0,1x ∈ 则()01n f =-，()10n f n =>，∴()0n f x =在()0,1内有根n x .由()10n n f x nx n -'=+>知()1n n f x x nx =+-在()0,+∞ .∴ ()0n f x =即10nx nx +-=存在唯一正实根n x .（2）由10nnn x nx +-=， 110nn n x x n n -<=<，当1α>时，10n x nαα<<， 而11n n α∞=∑是1p α=>的p 级数，收敛. ∴ 级数1nn x α∞=∑收敛.5、用多种方法求级数1212nn n∞=-∑的和S.解法1： 2n n n S S S =-=121111212121112122212n n n n n n -----++++-=+-- ，∴ lim 3n n S S →∞==. 解法2： ()112121222n n n n n n n ∞∞==-=-∑∑，而111211212n ∞===-∑；对12n n n ∞=∑：1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 21,1(1)nn x n x x x ∞==<-∑.12x =时，12n n n ∞=∑＝2 . ∴ 1214132n n n ∞=-=-=∑.解法3：考虑级数()()2021nn n xs x ∞=+=∑，从0到x 逐项积分，得()2121xn n x s t dt x x ∞+===-∑⎰，1x <.再求导,得()()22211x s x x +=-,1x <.令()1,1x =- 得()201121262112n n n s ∞=++===-∑ ∴ 1212nn n ∞=-∑= 100211213222n n n n n n ∞∞+==++==∑∑.6、证明函数项级数1(1)cos n n n x∞=-+∑在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上一致收敛.证法1：记1()(1),()c o s nn n a x b x n x =-=+.显然1()n n a x ∞=∑的部分和函数列在[,22ππ-]上一致有界，{}()n b x 关于n 单调递减趋于零，且[,]22lim sup()00n n x b x ππ→∞∈--=.即,22()0n b x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦−−−−→−−−−→.由Dirichlet 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.证法2：记(1)(),()cos n n n n a x b x n n x -==+.1()n n a x ∞=∑是收敛的数项级数，当然在[,22ππ-]上一致收敛；{}()n b x 关于n 单调，且在[,22ππ-]上一致有界.由Abel 判别法知()()1n n n a x b x ∞=∑在[,22ππ-]上一致收敛.7、证明：① 1ln nn x x ∞=∑在(]0,1不一致收敛；② 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰.证：① 级数1ln nn x x ∞=∑的每一项在(]0,1都连续，容易求出其和函数()()ln ,0,110,1x x x x S x x ⎧∈⎪-=⎨⎪=⎩由()10lim 1x S x →-=，知()S x 在(]0,1不是处处连续，所以1ln nn xx ∞=∑在(]0,1不一致收敛.② 对01x δ∀<<<，易知ln ln 1nn t tt t∞==-∑在[],x δ上一致收敛，有()110000ln ln ln 1x x nnxn n t dt t tdt t tdtt δδδ∞∞====---∑∑⎰⎰⎰⎰⎰ （*）∵ ()1201ln 1nt tdt n =-+⎰， ∴ 2100ln 6n n t tdt π∞==-∑⎰.又∵ ()21ln 1nt tdt n δ≤+⎰，()121ln 1n xt tdt n ≤+⎰∴ln nn t tdt δ∞=∑⎰和1ln n xn t tdt ∞=∑⎰分别在01δ≤≤和01x ≤≤上一致收敛.在（*）式两端令0,1x δ→→，得 210ln t dt π=-⎰，或 2101ln 16n n x x dx π∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑⎰. 8、给出1sinpn nx n∞=∑(0)p >一致收敛的区间，并证明之.证：当1p >时，sin 1p p nx n n ≤，(,),1,2,x n ∈-∞+∞= ，且11p n n∞=∑收敛. 由Weierstarss 判别法,知1sinpn nx n∞=∑在(,)-∞+∞上一致收敛.当01p <≤时，因对n N ∀∈，有 1212sin sin cos cos 222nk x n x kx x =+-=-∑.对(0,)επ∀∈，[,2]x επε∈-，有 121cos cos 2211sin 2sin 2sin sin 222nk n xx kx x x ε=++≤≤≤∑ 由Dirichlet 判别法知：1sinpn nx n∞=∑在[,2]επε-上一致收敛，即在(0,2)π上内闭一致收敛.同理可证：1sinpn nx n∞=∑在任意不包含2,0,1,2,k k π=±± 的闭区间上一致收敛.。
无穷级数敛散性练习题含答案
无穷级数敛散性练习题（含答案）1.判断级数∑∞=1n n的敛散性。
解：u n =n, s n =1+2+3+…+n, →n lim s n =s ，该极限存在故原级数是收敛的2.判断级数∑∞=121n n的敛散性解：u n=21n,u n =21×21n-1,q =21<1,故原级数是收敛的若q ≥1，则说明级数是发散的3.若级数)(∑∞=-12n n u 是收敛的，求n n u lim ∞→解：有题意可知，)(n n u -∞→2lim =0，则n n u ∞→lim =2 若级数∑∞=1n n u 收敛，则通项n u 必趋于零，即n n u lim ∞→=0反之，未必成立4.证明调和级数∑∞=11n n 是发散的证明：取前2n项和n s 2=1＋21＋31＋41＋…＋n21n s 2=1+21+31+41+51+61+71+81+…+n21=1+21+（31+41）＋（51＋61＋71＋81）＋…+（1211+-n ＋…+n21）>21＋（41+41）+（81+81+81+81）+…+（n21+n21+…+n21)=21+21+21+…+21 =2n n s n 2lim∞→≥2limn n ∞→=+∞，所以该级数是发散的若级数∑∞=1n n u 的通项u n ,当∞→n 时（注意是∞→n ，而不是1→n 或0→n ）n n u ∞→lim ≠0，则级数∑∞=1n n u 是发散的5.p 级数的敛散性，级数∑∞=11n pn，当p ≤1时发散，当p >1时收敛 讨论级数∑∞=+12)1(1n n 的敛散性解：因为2)1(1+n <)1(1+n n ∑∞=+1)1(1n n n ，u n=)1(1+n n =（n 1－11+n ）s n=（1－21+21－31＋31＋…+11-n －n 1）s n=（1－n1），n n s l i m ∞→=1故该级数是收敛的令u n =2)1(1+n ，v n =)1(1+n n6.判别级数∑∞=+1211n n的敛散性解：因为调和级数∑∞=11n n 发散nn n 1112lim+∞→=1,0<1<＋∞故级数∑∞=+1211n n是发散的设级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都是正项级数，且nn n v u lim∞→=L若L=0,且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛若L=＋∞且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散7.p 级数敛散性的经验判别法∑∞=1n nu ，nu 关于n 的有理分式，当分子n 的最高次数为k ，分母n 的最高次数为m 若m －k >1,该级数是收敛的 若m －k ≤1,该级数是发散的例如级数∑∞=+121n n n，k=1,m=2,故该级数是发散的8.比值判别法 设∑∞=1n n u 为正项级数，且nn n u u 1lim+∞→=ρ（n u 中含n a ，n!) 当ρ<1，级数收敛当ρ>1（或ρ=+∞），级数发散 当ρ=1，级数可能收敛也可能发散 判别级数∑∞=1!n n nn 的敛散性解：n u =n n n !nn n n n n n !)1()!1(1lim+∞→++=!)1()1(!1limn n n n n nn n ∙+++∞→ =nnn n n )1(lim+∞→ =nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→1lim=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 111lim=e1 ρ=e1<1故该级数收敛。
级数敛散性的判别
正项级数敛散性的判别刘 兵 军无穷级数是数学分析的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式+++++n u u u u 321叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，即+++++=∑∞=n n nu u u u u 3211， (1)其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n(2)称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义 如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞→n n s lim s ，则称级 数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞=1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。
几何级数∑∞=-11n n aq和p-级数∑∞=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。
例１ 证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
级数敛散性判断研究式教学案例
级数敛散性判断研究式教学案例
教学内容：级数敛散性判断
教学目标：
1. 了解级数的定义和概念；
2. 掌握级数敛散的概念；
3. 学会判断级数敛散性的方法；
4. 解决相应的例题。
教学过程：
1. 引入：通过一道简单的题目来引出级数敛散性判断的概念。
2. 概念讲解：对级数及其敛散性进行详细的讲解和解释。
3. 方法学习：讲解级数敛散时，教师应重点介绍级数敛散的方法和技巧，如比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
4. 实例演练：通过几个典型的例题来展示不同的判别方法，让学生自己操作并尝试解决问题。
5. 深入讲解：对于难度较高的例题，教师还需要进行深入的讲解，并指出相应的重点和难点。
6. 综合练习：设置一些多种方法互相混合的例题，让学生根据自己的经验和掌握的方法来选择适当的判别方法。
7. 思考拓展：通过一些思考性的题目来拓展学生的思维能力，并提高他们的综合解决问题的能力。
教学方法：讲授、实例操作、互动探究、课后练习。
教学资源与技术：PPT、互联网、计算器、板书、课件等。
教学评价：
通过教学，能够达到以下目标：
1. 学生了解级数的定义和概念，掌握级数敛散的概念。
2. 学生掌握判断级数敛散性的方法，熟练进行操作。
3. 学生可以针对不同的例题，选择适当的判别方法进行解题。
4. 学生能够熟练地运用所学知识，解决与级数敛散性有关的问题。
5. 学生通过本次学习，也进一步提高了自己的分析和解决问题的能力。
数项级数敛散性习题课资料
n
e
(1 1 )n1 e n
1 1 0 (n ) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) .
ee
2019/8/6
24
解 因 lim un1( x) lim
n un ( x)
n
x2 2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛;
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln
n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
3
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
绝对收敛
若
发散 , 称
条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
2019/8/6
4
例1 判断级数敛散性 :
n 1
nn ;
n1 (n 1 )n
1
1
n
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
级数
收敛 , 级数
发散 .
2019/8/6
问级数 收敛,
12
P323 题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2)
(1)n1
[VIP专享]关于级数敛散性的判别
![[VIP专享]关于级数敛散性的判别](https://img.taocdn.com/s3/m/c9e8798fa300a6c30d229f11.png)
n= 1
定理 2(达朗贝尔判别法)
N
0
,成立不等式
å (i)若对一切 n >
³
¥
1 ,则级数 an 发散.
n= 1
式 an+1
å an
推论 2.1(达朗贝尔判别法的极限形式)
¥
¥
n= 1
¥
n= 1
¥
n= 1
设
¥
un
ån= 1
¥
n= 1
和
¥
ån= 1
vn
都是正项级数,若 lim n® ¥
¥
å 设 an 为正项级数,且存在某正整数 N0 及常数 l (0 < l < 1)
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明 确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考 虑其它方法．
(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果 无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起 来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大．
专题七 关于级数敛散性的判别
无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函 数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多 领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核 内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性 的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助.
n= 1
an+ an
l < 1时,级数 å an 收敛;(ii)当 l > 1或l = + ¥ 时,级数 å an 发散.
(整理)级数判敛题型与题法专题讲座
级数判敛题型与题法专题讲座智 轩一．级数判敛的数学定势级数考点不外乎两大方面（本讲为判敛法）： 1、 判 敛；2. 展开与求和。
我们只要掌握正项级数的5大判敛方法，对于任意项级数或函数项级数加上绝对值后，也就转化为正项级数的5大判敛类型了。
不过这时原来的正项级数的“收敛和发散”概念成为“绝对收敛和条件收敛或发散”的概念。
作为任意项级数的特例的交错级数还要掌握莱布尼茨判敛法，对于函数项级数的幂级数还要掌握阿贝尔定理，三角函数的付里叶级数还要掌握狄利克雷定理。
二、正项（不变号）级数敛散性的5大判据与常用技巧1. 达朗贝尔比值法11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞⎧<⎪⎪=>≠⎨⎪=⎪⎩收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法1,lim 1,1,n n n n l u l l n l μ→∞<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收发（当为某次方时）单独讨论 3. 比阶极限法 核心思想，贯穿整个判敛题型。
① 代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤⇒⇒⇒∑∑∑∑收敛收敛，发散发散② 极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
1111111111• 0 • 0 • n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞====∞∞==∞∞∞∞=====→→<⇒⇒⇒≠→→=⇒=∞⇒→<⇒⇒⇒∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
是的同阶无穷小和敛散性相同。
是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
应用技巧 大收小收，小发大发，同阶同敛散。
级数判敛题型与题法专题讲座
级数判敛题型与题法专题讲座智 轩一．级数判敛的数学定势级数考点不外乎两大方面（本讲为判敛法）： 1、 判 敛；2. 展开与求和。
我们只要掌握正项级数的5大判敛方法，对于任意项级数或函数项级数加上绝对值后，也就转化为正项级数的5大判敛类型了。
不过这时原来的正项级数的“收敛和发散”概念成为“绝对收敛和条件收敛或发散”的概念。
作为任意项级数的特例的交错级数还要掌握莱布尼茨判敛法，对于函数项级数的幂级数还要掌握阿贝尔定理，三角函数的付里叶级数还要掌握狄利克雷定理。
二、正项（不变号）级数敛散性的5大判据与常用技巧1. 达朗贝尔比值法11,lim1,lim 0)1,n n n n nn l u l l u l μμ+→∞→+∞⎧<⎪⎪=>≠⎨⎪=⎪⎩收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法1,lim 1,1,n n n n l u l l n l μ→∞<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收发（当为某次方时）单独讨论 3. 比阶极限法 核心思想，贯穿整个判敛题型。
① 代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤⇒⇒⇒∑∑∑∑收敛收敛，发散发散② 极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
1111111111• 0 • 0 • n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞====∞∞==∞∞∞∞=====→→<⇒⇒⇒≠→→=⇒=∞⇒→<⇒⇒⇒∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
是的同阶无穷小和敛散性相同。
是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。
应用技巧 大收小收，小发大发，同阶同敛散。
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21 ①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21 ②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
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所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n 1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,
);(
ⅱ
)
lim
n
un
0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x), , un ( x), 是 定 义在 I R 上
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
1 1, 2
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
问题:
交 错 级 数 (1)n1 un , 如 果 它 不 满 足 n1
莱 布 尼 兹 定 理 中 的 条 件un1 un , 那 麽
考 虑 un 的 收 敛 性 n1
lim un1 n un
a n1 n
lim
n
n1
an
n
lim
a a
n n 1
故,当a 1时, 原 级 数 绝 对 收 敛.
当a 1时, 原 级 数 发 散. (为什么？)
当a 1时,
当a 1时,级 数 化 为
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
Sn1
lim
n
nan
lim
n
Tn
AT
故级数 an 收敛。 n 1
例9 级数 an 与 cn 都收敛，且对一切
自然数 n ，下n1列的不n等1 式成立：an bn cn ， 证明级数 bn 亦收敛.
n 1
证明：由于 an bn cn，所以
n
1
lim n ln(1 ) 1
n
n
可 知, n[ln(1 n) ln n] 发 散 n1
例5 [ 1 ln(1 1 )]
n1 n
n
收敛
解 泰 勒 公 式: ln(1 x) x x 2 o( x 2 )
2
x ln(1 x) x 2 o( x 2 ) ( x 0) 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1
n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
(1)n
1
条 件 收 敛.
n1
n
当a 1时,级 数 化 为
1
结论: (1)n an
n1 n
n1
n
发 散.
当a 1时, 级数绝对收敛.
当a 1及a 1时, 级数发散.
当a 1时, 级数条件收敛.
{nan }
例8
设数列{nan
}的极限存在，级数
n(an an1)收敛 ，证明级数 an 亦收敛。
s in na n2
1 n2
且
n1
1 收敛 n2
sinna收敛， n2
n1
而
1 发散, 由性质，因而
n1 n
n1
sin na n2
1 n
发散.
例4 判别下列级数的收敛性
n[ln(1 n) ln n]
n1
与P—级数比
1
解
lim n 2 n[ln(1 n) ln n]
n1 n(n 2)
4、部分和数列 sn 有界是正项级数 un 收敛的 n1
(C)
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .
5、当 k 0 时,级数 (1)n k n 是(
n1
n2
x ln(1 x) 1
lim
x0
x2
2
lim n2[ 1 ln(1 1 )] 1
x0
n
n2
例6 判别级数 (cos 1 )n3 的收敛性
n1
n
解
lim n
n
un
lim(cos 1 )n2
n
n
lim
n
n2
ln
cos
1 n
lim
ln(1
cos
1 n
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
1 n ln(n 2) n n,
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un