数项级数收敛性讲义判别法

n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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例 3 判别级数
1
的敛散性．
n1 (n 1)(n 4)
解
因为 0
1 (n 1)(n 4)
1 n2
，而级数
n 1
1 n2
是
p2 的 p 级数，它是收敛的．所以级数
也收敛.
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定理 2 设 un 和 vn 都是正项级数，且 un vn ，
n 1 n 1
(1) 如果级数 vn 收敛，则级数 un 也收敛；
n 1
n 1
(2) 如果级数 un 发散，则级数 vn 也发散．
n 1
n 1
推论 设 un 和 vn 都是正项级数，且存在自然
精品
数项级数收敛性判别法
一、正项级数及其审敛法
(Interrogate of positive term series)
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
1
1 n
发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
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2) 若
因为当
时,
故
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
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(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时
从而
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
1
例如, p – 级数
lim u n 1 lim ( n 1) p 1
2n
根据比值审敛法知，原级数是收敛的．
例 7
判别级数
3n
的敛散性．
n1 n2 2n
提示：解法与例 6 完全类似！
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例 8 判别级数 1 1 1 1 2 3 4 56
解：令 un
(2n
1 1) 2n
，则
1
(2n 1) 2n
的敛散性.
lim un1 lim (2n 1) 2n 1，
定的级数自身直接判别级数的敛散性？
为此，下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和 根值审敛法．
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定理4 比值审敛法 ( D’ Alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当
时, 级数收敛 ;
或
时, 级数发散 .
证: (1)
收敛 , 由比较审敛法可知
u n n
n (2n 1)(2n 2)
比值审敛法此时失效．
但注意到
(2n
1 1) 2n
1 n2
，而级数
n 1
1 n2
收敛，
所以级数
1
收敛．
n1 (2n 1) 2n
, (k 0)
是收敛的．
证
因为 0
1 2n k
1 2n
，而级数
n 1
1 2n
是收敛的．
根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的．
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例2 讨论 p 级数 121p31p n1p(常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若 p1, 因为对一切
1 n
而调和级数
n
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
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n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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1 1
lim n n n 1
n
lim
1
1 ，又级数
1 发散，
n n n
n1 n
n 1
n 1
数 N ，使当 n N 时有 un kvn (k 0) ，
(1)如果 vn 收敛，则 un 也收敛；
n 1
n 1
(2)如果 un 发散，则 vn 也发散．
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n 1
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n 1 目录
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例 1 证明级数 1 1 1
2 k 22 k 23 k
1 2n k
n un
n
1 np
p1, 级数收敛 ;
但 p1, 级数发散 .
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例6
判别级数 12 2
22 22
32 23
n2 2n
的敛散性．
解：（1）令 un
n2 2n
，则
(n 1)2
lim un1 lim
u n n
n
2n1 n2
lim
n
1 2
n
n
1
2
1 2
1，
解
sin 1
因为 lim n
1．而级数
1 是发散
n 1
n1 n
n
的，根据比较审敛法的极限形式知，级数
sin 1 发散．
n1 n
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例 6 判别下列级数的敛散性：
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
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所以级数
1 发散．
n n1
1 1 n
（3）因为 lim
1 n
ln
1
1 n
lim
ln
1
1 n
1
，
n
1
n
1
3
n
n2
而级数
1
3
n n1 2
收敛，所以级数
n1
1 n
ln
1
1 n
收敛．
（4）因为
n2en lim n 1
n4 lim
e n n
0 ，而级数
1
n2
n 1
收敛，
n2
所以级数 n2en 收敛．
n 1
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说明：判别级数的敛散性，如果已知一些收敛级数和 发散级数，则可以以它们为标准进行比较．
常用于比较的级数有 p 级数、等比级数与调和级数， 因此必须记住它们．
另一方面，由比较审敛法的定理我们知道，它是通过与 某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性， 但有时作为比较对象的级数不容易找到，那么能不能从给
1
也是收敛的．
n1 (n 1)(n 4)
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定理3 (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足
则有
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
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例 5 判别级数 sin 1 的敛散性． n1 n