数项级数收敛性判定

=lim n
n 2n 1
=1 1 ，所以级数 (
n
n
)
2
n1 2n 1
收敛．
注：在应用比值判别法和根值判别法时，若 1 ，则不能判断un 的敛散性， n1 此时可考虑应用比较判别法或其它方法．
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8.2.2 任意项级数收敛性的判定
定义 1：级数 (1)n un 或 (1)n1un （un 0 ），称为交错级数（即级数各项正负
n 1
n 1
交错）．
对交错级数我们有下面的判别法：
定理
5：（Leibniz
定理）：设交错级数
(1) n1 un
满足（1）un1
un
；（2）lim n
u
n
0
；
n1
则 (1)n1un 收敛． n1
定义 2：若 un 收敛，则称 un 绝对收敛；若 un 发散，而 un
n1
n1
n1
n1
条件收敛．
收敛，则称 un n1
vn
收敛，则 un
收敛；
n 1
n1
当
l
时，若
vn
发散，则 un
发散．
n 1
n1
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例 2:判断级数（1） sin ；（2） (1 cos ) ；（3） 2n sin x
n1
n
n1
n
n1
3n
的敛散性．
sin
解: （1）由于lim n
n
1
，所以原级数与 n1
n
具有相同的敛散性，而 1
lim
n
u
n
0．
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例
5：判断级数（1） (1)n n1
ln 2 n
n
；（2） sin(n n2
1) ln n
的敛散性．
解：1）由 ln 2 n
n
1 n
（n 2
）可知| (1)n n1
ln 2 n |
n
是发散的．
而当x e 2
时，有(ln 2 x )'
x
ln x(2 ln x) 0 ，即当 n>9
x2
时，
ln 2 n
n
单调减少且
ln 2 n lim n n
0 ，由
Leibniz
定理和
8.1.2
中性质
3
知 (1)n n1
ln 2 n n
收敛；
故级数 (1)n ln 2 n 条件收敛．
n1
n
（2） un
sin(n
1 ) = (1)n
ln n
sin
1 ln n
，
n
时，
sin
1 ln n
=lim ( n 2)2 1
n n 1 2
=1 1
2
，
2n
故级数 (n 1)2 sin 收敛．
n1
2n
（3）由 lim un1
n un
= lim 2n1 (n 1)! (n 1) n1
n
2n n! n n
= lim 2
n
1
源自文库
(1 )
2 1，
e
n
2n n!
所以级数
n1
nn
收敛．
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注
：判定
un
的收敛性可采用正项级数的判别法进行．要注意的是：
n1
在一般情况下，当
u
n
发散时并不能说明 un
发散，但我们若用比值
n1
n1
或根值判别法判断到 un 发散，则可说un 也一定发散．这是由于用
n1
n1
比值或根值判别法判断 un
发散的
根据是lim n
u
n
0
，而此时显然也有
n1
=
n1
(
2
1
p 1
)
n1
右边为等比级数，公比q
1 2 p1
1 ，收敛，从而 1
np
n1
收敛．
或：当
n
1
x
n
时
1 np
1 xp
，
1 np
= n 1
dx n1 x p
1 ( 1 1 )，
p 1 (n 1) p1 n p1
1
(
1
p 1 n2 (n 1) p1
n
1
p 1
)
=
1 收敛．
p 1
2．比值判别法（D’Alembert 判别法）
定理 3：设正项级数 un n1
1时
满足 lim un1
n un
，则：
1时
1时
u
收敛
n
n1
u
发散
n
．
n1
un可能收敛可能发散
n1
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例
3：判断级数（1）
n1
n4 4n
；（2） (n 1)2 sin
n1
2n
；（ 3 ）
所以关于p
级数
1
n1 n p
（p 0
）有结论：当0 p 1
时发散，p 1
时收敛．
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定理 2’：（比较判别法的极限形式）：
设
un
n1
，
vn
n1
都为正项级数，若lim un
v n n
l
（0 l
），
则
:
u
n
， vn
具有相同的收敛性．
n1
n1
特 别 地 : 当l
0
时，若
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3．根值判别法（Cauchy 判别法）
1时
定理 4：设正项级数un
满足lim n n
un
，则： 1时
n1
1时
u
收敛
n
n1
u
发散
n
．
n1
u n可能收敛可能发散
n1
例
4：判断级数 (
n
n
)
n1 2n 1
的敛散性．
解：由 lim n n
un
= lim n n
( n )n 2n 1
～
1 ln n
1 n
，所以
sin(n
1)
n1
ln n
发散；
又
1 ln n
单减， sin
1 ln n
单减（n
2
），而lnim sin
1 ln n
0
，
所以 s in(n n1
1) ln n
为
Leibniz
级数，故级数 s in(n n1
1) ln n
条件收敛．
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例
1：讨论p
级数 1
np
n1
（p 0
）的收敛性
解：当 p
=1
时， 1 n1 n
发散
当 0
p 1时， 1
np
1 n
，有 1
n1 n p
发散
2项 4项
当 p 1 时， 1 n1 n p
=1
1 2p
1 3p
1 4p
<
1
(
1 2p
1 )( 1
2p
4p
1 ) 1 4p 8p
x
，因为级数
vn
n 1
=
(2)nx n1 3
x (2)n n1 3
收敛，而
3n
lim un
n vn
1 ，由定理结论知，级数 2n sin x
n1
3n
收敛．
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用比较判别法，需要先找到一个敛散性已知的合适级数来与原级数进行比 较，这在有些情况下是有一定难度的，可否通过级数本身来判定其敛散性呢？ 借助于比较判别法和等比级数的结论，我们可以得到下述判别法：
2n n!
nn
n1
的敛散性．
解：（1）由于 lim un1 u n n
= lim n
(n 1) 4 4n1 n4 4n
= lim 1 ( n 1)4
n 4 n
=1
4
1
，故级数
n1
n4 4n
收敛．
（2）由 lim un1
n un
=
lim
n
(n 2)2 sin (n 1)2 sin
2 n 1
n1 n
n1 n
发散，
n
所以 sin 发散．
n1
n
（2）因为当n 时，1 cos 0 ，且有1 cos
n
n
～1 2
2 n2
，而级数
n1
2 2n 2
收敛，所
以 (1 cos ) 收敛．
n1
n
x
（3）通项 un
2n
sin
x 3n
( 2)n x sin 3n
3