数项级数及其收敛性
大一数分期中知识点
大一数分期中知识点数学分析是大一学生的重要课程之一，其中包含了许多重要的知识点。
在期中考试之前，了解和掌握这些知识点对于学生的学业发展至关重要。
本文将介绍大一数分期中知识点的一些重点内容，帮助学生更好地复习和准备考试。
一、极限与连续性1. 极限的概念：数列和函数的极限定义，无穷大与无穷小的概念。
2. 极限的性质：四则运算法则、夹逼定理、递推数列的极限等。
3. 连续性：函数连续的定义，连续函数的性质。
二、导数与微分1. 导数的定义：函数导数的定义及其几何意义，导数的性质。
2. 基本导数公式：常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 微分的概念：微分的定义及其几何意义，微分的性质。
三、函数的应用1. 函数的极值：给定函数求极值的方法，极值存在的条件。
2. 函数的图像与性质：根据导数分析函数的变化趋势、图像的拐点、单调性等。
3. 泰勒级数展开：函数的泰勒级数展开公式，应用泰勒级数进行函数近似计算。
四、不定积分与定积分1. 不定积分：不定积分的概念，常用的换元法、分部积分法等计算方法。
2. 定积分：定积分的定义，积分的性质与计算方法，带有物理意义的定积分应用。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分的关系，牛顿-莱布尼茨公式的应用。
五、级数1. 数项级数：数项级数及其收敛性判定准则，调和级数的性质。
2. 幂级数：幂级数的收敛半径和收敛区间，幂级数在收敛区间的性质。
在复习期中考试的过程中，建议大家制定合理的学习计划，确保对每个知识点的理解和掌握。
同时，多做习题和练习题，加深对知识点的记忆和运用能力。
此外，特别强调理论与实践的结合，及时将学到的知识应用到实际问题中。
总结起来，大一数分期中知识点的重点内容包括极限与连续性、导数与微分、函数的应用、不定积分与定积分以及级数。
熟练掌握这些知识点对于顺利通过期中考试至关重要，希望同学们能够认真复习，取得好成绩！。
数列、级数及其收敛性的定义和判定
数列、级数及其收敛性的定义和判定数列和级数是数学中比较基础的概念，理解其定义和判定对于进一步学习数学知识和应用非常重要。
本文将简要介绍数列、级数的定义以及如何判断它们的收敛性。
一、数列的定义数列就是按照一定规律排列起来的一系列数字。
比如，1，3，5，7，9就是一个数列，规律是从1开始，每次加2。
数列可以用一个通项公式来表示。
比如，对于上面的数列，第n项就可以表示为：2n-1。
二、数列的收敛和发散如果一个数列的所有项都趋向于某个数，那么这个数列就是收敛的。
比如，1，1/2，1/3，1/4……这个数列就是收敛的，极限是0。
如果一个数列趋向于无穷大或负无穷大，那么这个数列就是发散的。
比如，1，2，3，4，5……就是一个发散的数列。
三、级数的定义级数就是把数列中的项相加得到的一个和。
比如，1+1/2+1/4+1/8+……就是一个级数。
级数可以看作是数列的和的极限。
级数一般表示为：∑an。
四、级数的收敛和发散判断级数的收敛和发散可以使用多种方法。
下面介绍几种常用的方法。
1.比值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an+1/an的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L 等于1，那么无法判定。
2.根值判别法如果级数的通项公式为an，那么计算an的n次方根的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1，那么级数发散；如果L等于1，那么无法判定。
3.积分判别法如果级数的通项公式为an，那么将an看作某个函数f(x)在1到无穷大的积分，如果这个积分收敛，那么级数就收敛；如果这个积分发散，那么级数就发散。
总之，数列和级数的定义和收敛性判定是我们学习数学中必须要掌握的基础知识。
只有理解了这些知识，才能更好地应用于实际问题的解决。
函数的级数和收敛性
函数的级数和收敛性函数的级数是数学中的重要概念之一，它在分析学中具有广泛的应用。
级数是由一系列函数项按照一定的规律相加而得到的，而级数的收敛性则是指级数是否能够趋向于一个有限的值。
在本文中，我们将探讨函数的级数以及它的收敛性。
一、级数的定义函数的级数可以表示为：S = f(1) + f(2) + f(3) + ...其中，f(n)是一个函数项，n是一个自然数。
二、级数的收敛性级数的收敛性与函数项的和是否有限有关。
如果函数项的和有限，那么级数是收敛的；如果函数项的和是无限的，那么级数是发散的。
三、级数的收敛判别法有多种方法可以判断一个级数的收敛性，下面介绍其中几种常见的方法。
1. 比较判别法比较判别法是通过将给定级数与一个已知的级数进行比较来判断级数的收敛性。
如果已知级数收敛且比较级数的函数项的绝对值小于等于已知级数的函数项的绝对值，那么该级数也是收敛的。
2. 比值判别法比值判别法使用级数的函数项的绝对值之间的比值来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值之间的比值随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
3. 根值判别法根值判别法使用级数的函数项的绝对值的n次方根来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值的n次方根随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
四、级数的应用级数在数学中具有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 泰勒级数泰勒级数是一种将一个函数表示为无限项的级数的方法。
通过泰勒级数，我们可以将复杂的函数表示为简单的级数，从而更容易进行计算和近似。
2. 无穷级数无穷级数是一个有无限个项的级数。
无穷级数的研究对于了解数列和函数的性质以及数学分析的发展具有重要意义。
3. 特殊函数许多特殊函数，如正弦函数、余弦函数和指数函数，都可以通过级数展开来表示。
这些特殊函数在数学和物理学中广泛应用。
结论函数的级数和收敛性是数学中重要的概念，对于数学分析和应用领域具有重要作用。
通过对级数的研究，我们可以更好地理解各种函数的性质和行为，为数学和科学领域的进一步发展提供基础。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法
高中数学中的数列与级数的收敛性判定方法数列与级数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
在数学中，我们经常需要判断一个数列或级数是否收敛，以便进一步研究其性质和应用。
本文将介绍几种常见的数列与级数收敛性判定方法。
一、数列的收敛性判定方法1. 有界性判定法数列的有界性是判断其收敛性的基本条件。
如果一个数列有上界和下界，即存在常数M和N，使得对于数列中的所有项an，都有N≤an≤M，那么这个数列就是有界的。
根据数学中的单调有界原理，如果一个数列是单调递增且有上界的，或者是单调递减且有下界的，那么这个数列就是收敛的。
2. 极限定义法数列的极限定义是判断其收敛性的另一种方法。
对于数列{an}，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-L|<ε成立，那么这个数列就是收敛的，L就是该数列的极限。
3. 夹逼准则夹逼准则是判断数列收敛性的一种常用方法。
如果数列{an}、{bn}和{cn}满足对于所有的n，an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=L，那么数列{bn}也收敛于L。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数的收敛性判定法正项级数是指级数中的每一项都是非负数。
对于正项级数∑an，如果其部分和数列{Sn}有界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个正项级数就是收敛的。
这是由于部分和数列是递增的，且有界的，根据数列的收敛性判定方法可知。
2. 比较判别法比较判别法是判断级数收敛性的一种常用方法。
对于两个级数∑an和∑bn，如果存在正数C和正整数N，使得当n>N时，an≤Cbn成立，那么如果级数∑bn收敛，那么级数∑an也收敛；如果级数∑bn发散，那么级数∑an也发散。
3. 部分和数列的单调性判定法对于级数∑an，如果其部分和数列{Sn}是单调递增的，并且有上界，即存在常数M，使得对于所有的n，Sn≤M，那么这个级数就是收敛的。
高等数学中的级数与收敛性
高等数学中的级数与收敛性在高等数学中，级数和收敛性是一个重要的概念。
级数是由一系列无限个数相加而成的数列。
其中，级数的“和”是指该无限数列的极限。
而收敛性则是指这个和是否存在，也就是数列是否有一个确定的极限。
级数一般用符号表示：$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$。
其中，$a_n$是数列中第$n$个元素，也就是级数中的第$n$项。
而符号$\sum$则表示对所有的$n$求和。
在计算级数的和时，我们通常使用“部分和”的概念。
部分和是指级数前 $n$个元素的和，即$S_n=a_1+a_2+...+a_n$。
当$n$趋向于无穷时，如果$S_n$有一个有限的极限，则这个级数就是收敛的。
反之，如果$S_n$趋向于无穷，那么这个级数就是发散的。
但是需要注意的是，即使部分和的极限是无穷大，这并不意味着级数一定是发散的。
有些级数的和可以是无穷大，但是它们仍然是收敛的。
级数的收敛性和发散性是判断级数性质的关键。
为了判断级数的收敛性，我们可以使用一些判别方法。
这些方法可以分为比值判别法、根值判别法、积分判别法等等。
下面，我们将介绍一些常用的判别法。
1. 比值判别法比值判别法适用于正项级数。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，则在求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$时，如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限大于1或不存在，则级数发散；如果这个极限等于1，则判别不出。
2. 根值判别法根值判别法也适用于正项级数。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，则在求极限$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$时，如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限大于1或不存在，则级数发散；如果这个极限等于1，则判别不出。
3. 积分判别法积分判别法适用于比较判断。
假设级数为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，$f(x)$是一个正函数，且满足$f(x)$在$[1,\infty)$上单调递减，则如果$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；反之，如果$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$发散，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
数项级数及其收敛性
数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。
古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数23111141 (4)4443n +++++=的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。
"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。
结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。
''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。
'要解决这个悖论，需要引进极限方法。
研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念定义1 设给定一个数列 ，，，，，n u u u u 321，则表达式 ++++n u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作∑∞=1n nu，即++++=∑∞=n n nu u u u211，其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数∑∞=1n nu称为常数项级数，如果是函数，则级数∑∞=1n nu称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: 2,,............(1)n a aq aq aq q <,各项的和2............1n a a aq aq aq q++++=-；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：10.33=1033.0=，210303.0=，n103030.0=，所以有n 103103103312+++≈ ．显然，越大，这个近似值就越接近31，根据极限的概念可知)103103103(lim 312n n +++=∞→ ，也就是说++++=n 103103103312．由以上两个实例可以得到两个重要结论：结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。
第一次课、数项级数的收敛性
S'S
制作人：杨寿渊
注意 (1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.
反例: (1 1 ) (1 1 ) (1 1 ) 收敛,
去掉括号后, 1 1 1 1 1 1 发散.
(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛. (3).若加括号后所得级数发散,则原级数发散.
级数： 设给定一个数列：u1,u2,,un,,
称 unu1u2un （1）
n1
为无穷级数，简称级数.
un
一般项
二、级数的收敛与发散
n
前n项和 sn ui u1u2un
s
n
i1
构成一个新的数列:
称为(1)的部分和.
s1 u1, s2u1u2, s3u1u2u3, L , snu 1 u 2 u n , 称为部分和数列
设 A c h i l e e s 的 速 度 为 v , 则 A c h i l l e s 追 上 乌 龟 所 需 的 时 间 为
T1001010.1L v vv v
这 就 遇 到 了 无 限 项 相 加 的 问 题 ， 它 的 意 义 是 什 么 ？
制作人：杨寿渊
第一节 无穷级数的概念
一、无穷级数的概念
n1
n1
n1
n
n
n
证 Tn (ui vi ) u i v i Sn Wn
i1
i1
i1
ln im Tnln i (m SnW n)ln i m Snln i m WnSW
收敛级数的线性组合仍收敛.
制作人：杨寿渊
性质3 收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变
证:设 Su1LunL, Snu1Lun,为其部分和，对原
发散
收敛原理与数项级数
收敛原理与数项级数收敛原理是数学分析中的一个重要概念，用于描述数列或数项级数的极限性质。
在数学中，数列是一系列数字按照一定规律排列而成，而数项级数是将数列的每一项进行求和。
在实际应用中，很多问题可以转化为数列的极限性质，通过收敛原理可以判断其是否趋于有限的极限值。
本文将介绍收敛原理与数项级数的相关概念及其性质。
一、数列和数项级数的定义1.1数列：数列是按照一定的规则将数字排列成的序列。
数列通常用{an}表示，其中an表示数列的第n项。
数列的极限是指数列中的数字随着n的增大，逐渐趋于一些有限的值。
如果数列{an}的极限存在，则称该数列收敛，否则称为发散。
1.2数项级数：数项级数是将数列的每一项进行求和得到的结果。
数项级数通常用{Sn}表示，其中Sn表示数列{an}前n项的和。
类似于数列，如果数项级数的极限存在，则称该级数收敛，否则称为发散。
二、数列的收敛原理2.1单调有界原理：如果一个数列既是有界的又是单调的，那么它一定收敛。
单调有界原理是数列收敛的基本原理之一，对于数列的收敛性判断提供了一种简单有效的方法。
2.2子数列收敛原理：2.3夹逼定理：如果数列{an}和数列{cn}收敛并且极限值等于L，对于数列{bn}，如果存在一个自然数N，使得当n>N时，有an ≤ bn ≤ cn，那么数列{bn}也收敛并且极限值也等于L。
夹逼定理是判定数列收敛性的重要工具，它利用了数列之间的大小关系来进行极限的推导。
三、数项级数的收敛性质3.1收敛级数的性质：如果一个级数收敛，那么它的偏序列也收敛。
同时，如果一个级数的其中一个部分收敛，那么其余的部分也收敛。
3.2正项级数的比较判别法：如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，则这个级数收敛；如果一个级数的每一项都小于另一个级数的对应项，则这个级数发散。
正项级数的比较判别法通过将级数与已知的级数进行比较，来判断级数的收敛性。
3.3比值判别法和根值判别法：对于正项级数，如果存在常数ρ使得当n充分大时，an+1 / an，≤ ρ（比值判别法）或，an，^(1/n) ≤ ρ（根值判别法）成立，则级数收敛；如果存在常数ρ使得当n充分大时，an+1 / an，≥ ρ > 1 或，an，^(1/n) ≥ ρ > 1成立，则级数发散。
数项级数收敛的判别方法
数项级数收敛的判别方法数项级数是数学中的一个重要概念，它由一组序列所构成，有无穷多个数相加而成。
判断数项级数是否收敛是一个重要的问题，本文将围绕“数项级数收敛的判别方法”展开讨论。
第一步，先说一下收敛和发散的定义。
对于一个数列（即只有一项的“级数”），如果其极限值存在，则称这个数列是收敛的，否则就是发散的。
对于一个数项级数，如果其部分和的极限值存在，则称该级数是收敛的，反之，则是发散的。
因此，我们要判断一组序列相加后的部分和是否收敛，就需要寻找相应的判别方法。
第二步，几种常用的判别方法。
1. 比较判别法比较判别法是数项级数判别法中最常用的一种。
其基本思想是通过与其它更简单的级数进行比较，来判断该级数的收敛性。
具体做法有两种：（1）比较原则一：若0≤an≤bn，且级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。
（2）比较原则二：若0≤bn≤an，且级数∑bn发散，则级数∑an也发散。
2. 极限判别法极限判别法是另一种常用的判断级数收敛性的方法。
它的基本思想是利用极限的大小关系来判断级数的收敛性。
具体做法如下：若an>0，且limn→∞an/bn=L（L为常数），则（1）若L< ∞，则级数∑an和级数∑bn收敛或发散；（2）若L > 0，∑bn收敛，则∑an收敛；（3）若L = ∞，∑bn发散，则∑an也发散。
3. 交错级数判别法交错级数是一种类似于分数的级数形式，其每一项的符号交替出现。
交错级数判别法的基本思想是，若交错级数满足某些特殊条件，该级数就是收敛的。
具体做法如下：若交错级数∑（-1）nan满足以下条件，则该级数收敛：（1）an > 0;（2）an单调递减;（3）limn→∞an=0。
第三步，应用判别法解决实际问题。
当我们遇到一个分数、一个根号，或者一个三角函数等等一些复杂的级数时，直接用极限或比较原则对其进行处理可能会非常复杂。
这时我们就需要灵活运用各种级数收敛性判别方法，比如利用洛必达法则求解极限，或通过变形将其转化为其他形式更容易处理的级数。
数项级数收敛的必要条件(一)
数项级数收敛的必要条件(一)数项级数收敛的必要条件1. 什么是数项级数？数项级数是由一系列数值按照一定顺序相加而得到的数学序列。
通常表示为：a 1+a 2+a 3+⋯2. 数项级数的和与收敛性数项级数的和表示为S =lim n→∞∑a k n k=1。
数项级数的收敛性表示当n 趋向于无穷大时，前n 项的和是否趋向于某个有限的值。
3. 部分和数列由数项级数的部分和构成的数列称为部分和数列。
部分和数列用S n 表示，表示前n 个数的和。
4. 数项级数收敛的必要条件要判断一个数项级数是否收敛，我们需要考虑以下两个必要条件： • 第一条必要条件：数项级数的部分和数列必须是有界的。
也就是S n 应该有一个有限的上界和下界。
• 第二条必要条件：数项级数的通项a n 必须趋近于零。
也就是lim n→∞a n =0。
5. 第一条必要条件的说明第一条必要条件的理解可以通过数项级数的几何意义进行解释。
假设我们在数轴上从原点出发，按照数项级数的部分和数列的值依次往右（正方向）移动，那么如果部分和数列是有界的，我们最终应该会停在某一位置。
这个位置就是数项级数的极限值。
如果部分和数列是无界的，我们将无限向右运动，无法确定一个极限值。
6. 第二条必要条件的说明第二条必要条件的理解可以通过考虑一个特殊的数项级数：∑1n ∞n=1，也称作调和级数。
这个级数的通项趋近于零，但是无限求和却得到一个无穷大的结果。
因此，如果一个数项级数的通项不趋近于零，那么其部分和数列也可能无法趋近于一个有限的值。
7. 总结对于一个数项级数而言，如果它的部分和数列无界或者其通项不趋近于零，那么该级数是发散的。
只有当部分和数列有界且通项趋近于零时，该级数才是收敛的。
注意：上述提到的必要条件是数项级数收敛的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，满足这两个条件的数项级数未必收敛，还需要进一步进行其他判断。
8. 其他判断数项级数收敛的方法除了必要条件，还有一些其他的方法可以判断数项级数的收敛性，包括但不限于以下几种：•比较判别法：通过将待判断的级数与已知级数进行比较，来判断级数的收敛性。
数项级数收敛
数项级数收敛
以下是一篇关于数项级数收敛的简要介绍：
数项级数是由一系列数列的和组成的级数。
数项级数的收敛性是判断级数和是否收敛到一个有限的值。
数项级数的收敛性可以通过不同的方法来判断。
其中一种方法是比较判别法，该方法通过比较给定级数和一个已知的收敛级数或发散级数来判断。
比较判别法主要有以下几种形式：
（1）比较法：如果给定级数的绝对值小于一个已知收敛级数的绝对值，则该级数也收敛。
（2）极限比值判别法：计算级数中相邻两项的绝对值的比值的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
（3）极限根判定法：计算级数中每一项的绝对值的根的极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则判定不确定。
除了比较判别法之外，还有其他方法来判断数项级数的收敛性，如积分判别法、级数求和法等。
这些方法使用不同的数学工具和技巧来解决不同类型的级数问题。
数项级数的收敛性在实际应用中有重要的作用。
它在数学、物理、工程等领域的计算和建模中经常被使用。
了解数项级数的收敛性判定方法可以帮助我们更好地理解级数的性质，进行数学计算和推导的过程。
数项级数的收敛性判定是数学中的重要内容之一，有多种方法可以用来判断。
通过熟练掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用级数的性质。
数项级数收敛性的判别
级数收敛一、定义定义1：设有数列 表达式 （1）称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。
定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。
定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。
记为： 。
若是发散数列，则称级数（1）发散。
余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理1若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=定理3 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n 为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21（3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111s i nl i m =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→nn n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性解：由于232123lim lim122122==-∞→-∞→m m m m mm u u 612321l i m l i m 212212==+∞→+∞→mm m mm m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123l i ml i m 2222==∞→∞→m mm m m m u 2121lim lim 12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛. （4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim≠∞→n n u ，则此级数发散. 例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε由柯西收敛准则推得级数∑21n 是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减；(2)0lim=∞→n n u 则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.。
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n
因
为lim n
un
0
, 所 以 该 级 数 发 散.
例 6 试讨论级数 sin n 的收敛性 .
n1
2
解 注意到级数
n
sin 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0
n1
2
的通项
un
sin n 2
,
当
n
时, 极限不存在,
所以级数发散 .
也必收敛
,
且有lim
n
rn
0
.
这是因为
rn S - Sn ,
nlim rn
lim(S
n
-
Sn )
S
-
S
0
.
显然, rn 就是用部分和Sn 替代级数和S 时 所产生的误差. 这是能借助级数作近似计算 的基本依据.
三、数项级数收敛的必要条件
若数项级数 un 收敛于 S, 那么由其部分和 n1
的概念, 就有
并记为 S un , 这时也称该级数收敛于 S .
n1
若部分和数列的极限不存在， 就称级数 un
n1
发散.
例 2 试讨论等比级数
a + ar + ar2 + ···+ arn-1 + ··· (a 的收敛0性) .
解 根据等比数列前 n 项的求和公式可知， 当 r 1 时， 所给级数的部分和为
于是
un Sn -S n-1 .
lim
n
un
l i m(
n
S
n
-
Sn-1 )
.
依据级数收敛的定义可知,
lim
n
Sn
lim
n
Sn-1
S.
因此这时必有
lim
n
un
0
.
这就是级数收敛的必要条件 .
定理 若 数 项 级 数 un收 敛 , 则 n1
lim
n
un
0.
若nl im un 0 ,
则级数 un
因此该等比级数发散.
当 r -1时,
Sn
a-aa-
(-1)n-1 a
a , 当 n 为奇数，
0
,
当
n
为偶数，
部分和数列极限不存在，故该等比级数发散.
等比级数 ar n-1 , 当公比 r 1时收敛;
n1
当公比 r ≥ 1时发散.
例 3 级数 1 1 1 1 称为调和级
23
n
数，试证明其发散.
n1
n1
3. 两个收敛级数的对应项相加， 所得级数收 敛且其和等于两个级数和的相加.
去掉级数 un 的前 n项, 所得的级数 uk
n1
k n1
称为级数 un 的余项 , 记为rn , 即
n1
rn un1 un2 un3 .
由性质1 可知, 若级数 un 收敛于 S ,
n1
则余项
rn
Sn
a
1- rn 1-r
,
于是,当 r 1 时
lim
n
Sn
lima
n
1- rn 1- r
a 1- r
.
由定义 2 知，该等比级数收敛，其 和 S a , 1- r
即
a
ar n-1 .
1 - r n1
当 r 1 时,
lim
n
Sn
lima
n
1- rn 1- r
.
所以这时该等比级数发散.
当 r = 1 时， Sn na (当 n ) ,
证 先证一个不等式x ≥ ln(1 x) ( x ≥ 0) .
令 f ( x) x - ln(1 x) , 则 f (0) 0 ,
f ( x) 1 - 1 1 x
≥
0 . 由此知
f (x) 为增函数.
即 f ( x) ≥ f (0) , 可得 x ≥ ln(1 x) 令 x 1 , 1 , 1 , , 1 代入上式得 23 n
n1
发散.
事实上，如 果
un
收敛 ,
必
有
lim
n
un
0
,
n1
这与假设
lim
n
un
0
相矛盾.
例 5 试证明级数
n
1
2
n
nln ln 2ln nln
n1 n 1
2
3
n1
发散.
证
级数的通项
un
nln
n n
1
,
当
n
时
,
limn ln n limln 1 -1 .
n
n 1 n (1 1 )n
第六模块 无穷级数
第一节 数项级数的概念和性质
一、数项级数及其收敛性 二、数项级数的基本性质 三、数项级数收敛的必要条件
一、数项级数及其收敛性
定义 1 设给定一个数列 u1 , u2 , …, un , … ， 则表达式
u1+ u2 + ···+ un + ···
称为无穷级数. 其中 u1 , u2 , ···叫做该级数的项，
故级数
1
发散 .
n1 n
例 4 求级数
1
的和.
n1 (n 2)(n 3)
解 注意到
1
1-1,
(n 2)(n 3) n 2 n 3
因此，
n
1
Sn k1 (k 2)(k 3)
n
(
1
-
1
) 1 -
1
.
k1 k 2 k 3 3 n 3
所以该级数的和为
11 1
S
lim
n
Sn
lim( n 3
un 称为一般项或通项. 由于式中的每一项都是常
数， 所以又叫数项级数， 简称级数，并 记 为 un .
n1
称 u1+ u2 + ···+ un + ···= un . 为部分和数列，记作Sn.
n1
定义 2 若级数 un 的部分和数列 Sn n1
的极限存在， 即
nlim Sn S ,
则 称 级 数 un 收 敛, S 称为 级数的和. n1
1 ≥ ln(1 1)
1 2≥
ln(1 1 ) 2
1
≥
n
ln(1 1 ) n
相加得
11
1
Sn 1 2 3 n
34
n1
≥ ln2 ln ln ln
23
n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n
当 n 时, ln(1 n) , 所以 Sn ,
-
n
) 3
3
.
即
1
1.
n1 (n 2)(n 3) 3
二、数项级数的基本性质
1. 在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级
数的收敛性. 但一般将会改变收敛级数的和.
2. 用一个非零的常数 c 乘级数 un 的每一项 ,
n1
所得到新的级数 cun 的收敛性与原级数 un 相
n1
n1
同 . 且 若 un S, 则 cun cS.