数项级数及其收敛性

也必收敛
,
且有lim
n
rn
0
.
这是因为
rn S - Sn ,
nlim rn
lim(S
n
-
Sn )
S
-
S
0
.
显然, rn 就是用部分和Sn 替代级数和S 时 所产生的误差. 这是能借助级数作近似计算 的基本依据.
三、数项级数收敛的必要条件
若数项级数 un 收敛于 S, 那么由其部分和 n1
的概念, 就有
n1
发散.
事实上，如 果
un
收敛 ,
必
有
lim
n
un
0
,
n1
这与假设
lim
n
un
0
相矛盾.
例 5 试证明级数
n
1
2
n
nln ln 2ln nln
n1 n 1
2
3
n1
发散.
证
级数的通项
un
nln
n n
1
,
当
n
时
,
limn ln n limln 1 -1 .
n
n 1 n (1 1 )n
1 ≥ ln(1 1)
1 2≥
ln(1 1 ) 2
1
≥
n
ln(1 1 ) n
相加得
11
1
Sn 1 2 3 n
34
n1
≥ ln2 ln ln ln
23
n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n
当 n 时, ln(1 n) , 所以 Sn ,
-
n
) 3
3
.
即
1
1.
n1 (n 2)(n 3) 3
二、数项级数的基本性质
1. 在级数的前面加上或去掉有限项，不影响级
数的收敛性. 但一般将会改变收敛级数的和.
2. 用一个非零的常数 c 乘级数 un 的每一项 ,
n1
所得到新的级数 cun 的收敛性与原级数 un 相
n1
n1
同 . 且 若 un S, 则 cun cS.
n
因
为lim n
un
0
, 所 以 该 级 数 发 散.
例 6 试讨论级数 sin n 的收敛性 .
n1
2
解 注意到级数
n
sin 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0
n1
2
的通项
un
sin n 2
,
当
n
时, 极限不存在,
所以级数发散 .
故级数
1
发散 .
n1 n
例 4 求级数
1
的和.
n1 (n 2)(n 3)
解 注意到
1
1-1,
(n 2)(n 3) n 2 n 3
因此，
n
1
Sn k1 (k 2)(k 3)
n
(
1
-
1
) 1 -
1
.
k1 k 2 k 3 3 n 3
所以该级数的和为
11 1
S
lim
n
Sn
lim( n 3
于是
un Sn -S n-1 .
lim
n
un
l i m(
n
S
n
-
Sn-1 )
.
依据级数收敛的定义可知,
lim
n
Sn
lim
n
Sn-1
S.
因此这时必有
lim
n
un
0
.
这就是级数收敛的必要条件 .
定理 若 数 项 级 数 un收 敛 , 则 n1
lim
n
un
0.
若nl im un 0 ,
则级数 un
因此该等比级数发散.
当 r -1时,
Sn
a-aa-
(-1)n-1 a
a , 当 n 为奇数，
0
,
当
n
为偶数，
部分和数列极限不存在，故该等比级数发散.
等比级数 ar n-1 , 当公比 r 1时收敛;
n1
当公比 r ≥ 1时发散.
例 3 级数 1 1 1 1 称为调和级
23
n
数，试证明其发散.
un 称为一般项或通项. 由于式中的每一项都是常
数， 所以又叫数项级数， 简称级数，并 记 为 un .
n1
称 u1+ u2 + ···+ un + ···= un . 为部分和数列，记作Sn.
n1
定义 2 若级数 un 的部分和数列 Sn n1
的极限存在， 即
nlim Sn S ,
则 称 级 数 un 收 敛, S 称为 级数的和. n1
第六模块 无穷级数
第一节 数项级数的概念和性质
一、数项级数及其收敛性 二、数项级数的基本性质 三、数项级数收敛的必要条件
一、数项级数及其收敛性
定义 1 设给定一个数列 u1 , u2 , …, un , … ， 则表达式
u1+ u2 + ···+ un + ···
称为无穷级数. 其中 u1 , u2 , ···叫做该级数的项，
证 先证一个不等式x ≥ ln(1 x) ( x ≥ 0) .
令 f ( x) x - ln(1 x) , 则 f (0) 0 ,
f ( x) 1 - 1 1 x
≥
0 . 由此知
f (x) 为增函数.
即 f ( x) ≥ f (0) , 可得 x ≥ ln(1 x) 令 x 1 , 1 , 1 , , 1 代入上式得 23 n
n1
n1
3. 两个收敛级数的对应项相加， 所得级数收 敛且其和等于两个级数和的相加.
去掉级数 un 的前 n项, 所得的级数 uk
n1
k n1
称为级数 un 的余项 , 记为rn , 即
n1
rn un1 un2 un3 .
由性质1 可知, 若级数 un 收敛于 S ,
n1
则余项
rn
Sn
a
1- rn 1-r
,
于是,当 r 1 时
lim
n
Sn
lima
n
1- rn 1- r
a 1- r
.
由定义 2 知，该等比级数收敛，其 和 S a , 1- r
即
a
ar n-1 .
1 - r n1
当 r 1 时,
lim
n
Sn
lima
nFra Baidu bibliotek
1- rn 1- r
.
所以这时该等比级数发散.
当 r = 1 时， Sn na (当 n ) ,
并记为 S un , 这时也称该级数收敛于 S .
n1
若部分和数列的极限不存在， 就称级数 un
n1
发散.
例 2 试讨论等比级数
a + ar + ar2 + ···+ arn-1 + ··· (a 的收敛0性) .
解 根据等比数列前 n 项的求和公式可知， 当 r 1 时， 所给级数的部分和为