级数的收敛性

证 设级数 u n 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1
面m项后得到的级数 u k 的部分和为S 'k: k m 1
S k ' u m 1 u m 2 u m k
(u 1 u 2 u m ) u m 1 u m 2 u m k (u 1 u 2 u m )
Smk Sm
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1111；
n12n 2 4
2n
n12n;
n1
( 1 )n 11 1 1 1( 1 )n 1;
n 1
co n sco 1sco 2 sco n s.
n 1
例2. 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1xn 1 1 x x2 ( 1 )n 1xn 1 , xR.
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
246 (2n)
2n 1Leabharlann Baidu
5、 2k 1.2k 1,2k , 1 ； 6、 q 1, q 1 .
2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、 发 散 、 [ s2n
k
n
1
(
1 2k
1 )]. 10 k
n 1
anxna0a 1xa2x2anxn ,| x |1.
n 0
sinn xsixn si2n xsinn x, xR.
n 1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 u n 的前n项之和： n 1 n Sn uk u1u2un, k1
称为级数的部分和.
若 lni mSn S存在，则称级数 n 1 u n
n 1
k 1
cu n 的部分和为
n 1
n
n
Sn cuk c uk cSn,
k1
k1
故 ln i m Sn ln i m cn Scln i m Sn
从而 cun cun 同时收敛或同时发散.
n1
n1
性质2
若 un与vn收敛，其和分别为S1和S2，则级
n1
n1
数 (un vn)也收敛 , n1
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
练习题
一、填空题:
1 、 若
an
1 3 (2n 2 4 2n
1),则 5 an
n1
=____________；
2 、 若 a n
n! nn
,则
5
an
n1
=______________________；
3、若 级 数 为
x 2
x 24
xx 246
则an
故 ln imun 0, 该级数发散.
1
例6. 证明调和级数 n 1 n 是发散的.
证 调和级数的部分和有：
S1 1，
S2
S21
1 1， 2
S 4 S 2 2 1 1 2 1 31 4 1 1 2 1 2 1 2 2 ，
S8 S23 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 7 1 8 1 1 1 2 1 2 1 2
n1
n1
且un vn(n1,2,),若 vn 收敛,则 un收敛；
n1
n1
反之，若un发散，则vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn unvn,
n1
且 s n u 1 u 2 u n v 1 v 2 v n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
( 2 )设 s n ( n )且 unvn,
1
3
4)
A1(153)253.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例3. 讨论等比级数 ar n1 的敛散性. n 1
解：等比级数的部分和为：
Snkn 1ak r 1a 1 a n r r 1ra(1 1 r rn).
当公比 | r |<1时， ln i m Snln i m a(1 1 rrn)1 ar, 即S a .
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？
答：原级数也发散.
四、级数收敛的必要条件：
当 n 无限 ,它 增 的 大 u n 趋 一 时 ,于 即 般零 项
级数收敛 ln i m un0.
证明 s un 则 u nsn sn 1,
n1
l n iu m n l n is n m l n is n m 1 s s0.
n0
三、由定义判别级数
1 1 1
1
的收敛性.
13 35 57
( 2 n 1 )( 2 n 1 )
四、判别下列级数的收敛性:
1、 1 1 1 1 ；
369
3n
2、 (1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ；
23
22 32
23 33
n1
1 与 1收敛，所以级数
2n
3n
n1
1
n1 2n
1 3n
也收敛 .
例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的.
问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？
答：不一定.
性质3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)
由于Sm当m固定时为一常数，所以
kl im Sk kl im Sm kSm
故 级数 u n 与级数 uk有相同的敛散性 .
n 1
km1
性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然 收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？ 答：不一定发散.
A 1 3 1 9 A 1 3 4 ( 1 9 ) 2 A 1 3 4 n 2 ( 1 9 ) n 1 A 1 A 1 { 1 [1 3 1 3 (9 4 ) 1 3 (9 4 )2 1 3 (9 4 )n 2 ]}
n2,3,
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
五、发散.[取 p 2n ]
§2 正项级数
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
部分和数列{ sn }为单调增加数列.
定理 正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的数
3.比较审敛法 设un和vn均为正项级数，
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例1 如 2 3 ( 1 )n 1 n 发散
234
n 1
2.必要条件不充分.
例如调 1和 11级 1 数 23 n
有ln i m un0, 但级数是?否收敛
讨论
s2 n sn n 1 1 n 12 2 1 n 2nn
1 2
_______；
4、若 级 数 为
a2 3
a3 5
a4 7
a5 9
则an
________；
5、 若 级 数 为 1 1 3 1 5 1 则 当 n _____
2
4
6
时 an _____； 当 n ______时an ________；
6 、 等 比 级 数 aq n , 当 _ _ _ _ _ 时 收 敛 ； 当 _ _ _ _ 时 发 散 .
故 l n S i n m l n ( i S 1 n m S 2 n ) l n S i 1 n m l n S i 2 n m S 1 S 2
即 级数 (un vn ) 收敛，且 n 1
(unvn) un vnS1S2.
n 1
n 1
n 1
例7.
因为等比级数
且
(unvn) un vnS1S2.
n 1
n 1
n 1
证 (un vn ) 的部分和为： n 1 n
S n ( u k v k) ( u 1 v 1 ) (u 2 v 2 ) ( u n v n ) k 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) S 1 n S 2 n
1 r
当公比
|
r
|>1时，ln i m Sn
lim a(1rn). n 1r
当公比 r =1时， ln i m Snln i m na
当公比 r = 1时，Sn=
a, n为奇数
,
故
lim
n
S
n不存在.
0, n为偶数
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
S称为级数的和： u n S . n 1
收敛，
若
lim
n
S
n
不存在(包括为)，则称级数
un
n 1
发散.
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
播放
第 n次分叉： 周长为 Pn(4 3)n1P1 n1,2, 面积为 A nA n13{4n2[1 9 ()n1A 1]}
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念 基本审敛法
1.由 定 义 ,若 sn s,则 级 数 收 敛 ; 2 . 当 n l i u m n0 , 则 级 数 发 散 ;
3.按 基 本 性 质 .
思考题
设 bn与 cn都收敛，且bn an cn
n1
n1
(n1,2,)，能否推出an收敛？
无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
un u1u2un
n1
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数 u n 的每一个项un均为常数，则称该 n 1
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个
变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x ) 为函数项 n 1
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而 kl im S2k kl im 1k2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
三、无穷级数的性质
性质1
若c0为常数，则 un 与 cu n 有相同的敛散性，
n 1
n 1
且 cun cun.
n1
n1
n
证 u n 的部分和为 S n u k，
定理：若级数 u n 收敛，则必有 n 1
lni mun 0.
证
设
un
n1
S,
则ln i m Sn
S
ln iu m nln i (m SnSn1)
ln i m Snln i m Sn1
SS0
例5.
判别
(1)n1
n1
n n 1
的敛散性.
解：由于
ln i m|un
|lim(1)n1n n n1
1,
1 2
1
1 2n1
而 ln i m Snln i m 1 212n111 2
故
1
n1(2n1)(2n1)
12，即该级数收敛.
3. 收敛级数的余项
收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn SSn um mn1
显然 lni mrn 0.
二、级数收敛的必要条件
则nsn 不是有界数列
vn发散.
定理证毕.
n1
推 论 :若un收 敛 (发 散 )
2n 3n
3、 1 1 2 10
1 1 4 20
1 2n
1 10 n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
,
假设调和级数 , 其收和敛s为 .
于l是 im s2n (sn) s s 0,
n
便有 01 (n ) 这是不可能的.
2
级数发. 散
2项
2项
4项
8项
(11)(11)(1111)(111) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(2m 112m 122m 11)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
§1 级数的收敛性 §2 正项级数 §3 一般项级数
§1 级数的收敛性
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a 1 正十二边形的面积 a1 a2 正32n形的面积 a 1 a 2 a n 即 A a 1 a 2 a n 2 . 1 3 1 3 0 1 3 013 00 0 1 0 3 n 0
例4. 讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n1)(2n1)
解： (2n1)12 (n1)1 2 2n 1 12n 1 1
S n 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 7 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1