正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
正项级数an收敛a2n收敛证明
正项级数an收敛a2n收敛证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定义正项级数是指所有的项都为正数的数列的和，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ...。
而当正项级数中的项满足an ≤ a2n的关系时，我们称其为a2n 收敛。
这篇文章将会详细介绍正项级数an 收敛到a2n 的证明过程。
证明正项级数an 收敛到a2n 的方法有很多种，其中一种较为常用且比较简单的方法是利用Cauchy 判别法。
根据Cauchy 判别法，对于正数序列{an} 来说，若存在正整数N，使得对一切n > N 都有a2n ≤ 2an，则级数{an} 是收敛的。
首先我们假设级数{an} 收敛到A，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = A。
因为级数{an} 收敛到A，所以对于任意ε > 0，存在正整数N1，使得当n > N1 时，有我们将n 替换为2n，得到即根据初等数学知识，并根据级数的性质，我们可以得出a1 + a2 + ... + a2n ≤ a1 + a2 + ... + an + a2n + 1 + a2n + 2 + ...，结合以上不等式，我们可以得出a2n ≤ 2an。
我们可以证明正项级数{an} 收敛到a2n，证毕。
总结一下，我们通过使用Cauchy 判别法，证明了正项级数an 收敛到a2n 的结论。
在证明过程中，我们充分利用了正项级数的性质以及数学分析的基本知识。
这也再次验证了数学的严谨性和逻辑性，同时也加深了我们对正项级数及其性质的理解。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对正项级数an 收敛到a2n 的证明方法有更加深入的理解和掌握。
同时也希望能够引起读者对数学推理和证明方法的兴趣，从而不断提升自己的数学能力和思维能力。
第二篇示例：正项级数是指所有项都是正数的级数，即an > 0。
正项级数在数学中是一个重要的概念，研究其性质可以帮助我们了解级数的收敛性质。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
关于正项级数收敛性判别法的几点说明
关于正项级数收敛性判别法的几点说明作者：邓小宇来源：《高教学刊》2016年第22期摘要：由于正项级数收敛性的判断方法较多，学生掌握起来比较困难。
因此，文章就正项级数收敛性判别的几种方法作几点简要的说明，帮助学生解决在做题过程中存在的一些问题。
关键词：正项级数；比较判别法；比较判别法的极限形式；比值判别法中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）22-0263-02Abstract： It is difficult for students to grasp so many convergence of positive series test. Therefore， this paper briefly introduces several methods of positive series of convergence criterion， to help students solve some problems that exist in the study.Keywords： series of positive terms； comparative judgment method； the limit form of comparative judgment method； the ratio test正项级数收敛性判别法是高等数学中无穷级数的一个重点和难点。
但是，由于正项级数收敛性的判断方法较多，判断正项级数收敛时，学生总是难以选择合适的方法进行判断。
因此，文章就正项级数常用的几种收敛性判断方法，做几点说明。
一、正项级数的比较判别法选择正项级数判别法时，应满足以下条件：1. 正项级数的通项应该容易放大或容易缩小。
2. 放大或缩小后的通项构成的正项级数应当是常见的调和级数、等比级数或P-级数，或者该级数的收敛性是比较容易判断的。
3. 放大后的通项构成的正项级数必须为收敛的正项级数，缩小后的通项构成的正项级数必须为发散的级数。
正项级数判别 法
正项级数判别法
正项级数是指数列 $a_n$ 项全是正数的级数，即
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $a_n>0$。
对于这种级数，我们有一个非常有用的判别法，叫做正项级数判别法。
正项级数判别法的主要思想是通过比较级数的通项 $a_n$ 与一个已知的收敛级数的通项之间的大小关系，来判断所给级数是否收敛。
根据比较级数的大小关系，我们可以将正项级数分为以下三类。
一、大于等于已知收敛级数的通项
如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的通项 $a_n$ 大于等于已知收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 的通项 $b_n$，即 $a_n\geq b_n$，那么我们可以得到如下的结论：
右边这个级数显然也发散。
因此，如果 $a_n\leq b_n$，则
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 必发散。
三、属于柯西型级数
这个结论比较抽象，需要用到柯西收敛准则。
具体地说，如果对于任意一个正实数$\epsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n\geq N$ 时，有：
$$|a_n-b_n|<\epsilon$$
正项级数判别法的应用非常广泛，尤其对于那些可以化为 $a_n=\dfrac{1}{n^p}$ 的级数，直接运用大小关系即可得出结论。
同时，正项级数判别法也可以用来求极限，提高我们解决问题的效率。
04第四讲 正项级数的概念,比较判别法
数学分析第十二章数项级数正项级数的概念，比较判别法第四讲数学分析第十二章数项级数正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数. 对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：数学分析第十二章数项级数定理12.5>=0(1,2,),i u i 由于证所以{S n }是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.n u ∑正项级数收敛的充要条件是:{}n S 有界, <.n S M 即存在某正数M ,对一切正整数n 有而这就证明了定理的结论.部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数定理12.6（比较原则）n n u v ∑∑设和是两个正项级数，如果存在某正数N ,对一切n > N 都有,(1)n n u v ≤则(i),;n n v u 若级数收敛则级数也收敛∑∑(ii),.n n u v 若级数发散则级数也发散∑∑证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.'''∑∑nn n n S S u v 现在分别以和记级数与的部分和.散性,数学分析第十二章数项级数由(1)式可得,对一切正整数n ,都有.(2)nn S S '''≤,lim ,n nn v S →∞''∑若收敛即存在则由(2)式对一切n 有lim nn n S S →∞'''≤，n u ∑{}n S '即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数n u ∑收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.≤(1)n nu v 界,这就证明了(i).数学分析第十二章数项级数例1 -+∑21.1n n 考察的收敛性解≥2,n 由于当时有因为正项级数21(1)n n n ∞=-∑收敛(§1例2),原则, 级数211n n -+∑也收敛.22111n n n n≤-+-()1.1n n =-故由比较数学分析第十二章数项级数22,,0,0.nnn n u v u v >>∑∑收敛且例2 若级数2210(),2n n n n u v u v <≤+证因为根据比较原则, 得到正项级数n nu v∑收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.n n u v 则级数收敛.∑∑∑22,nnu v而级数均收敛，。
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理1.引言在学习数学中，我们经常会遇到各种各样的级数。
其中正项级数是一种比较特殊的级数，它是由一串正数相加而成的级数。
正项级数判别法是判断正项级数是否收敛的一种方法。
本篇文章将详细介绍正项级数判别法的原理及其应用。
2.原理正项级数判别法是在判断正项级数收敛的时候使用的一种方法。
正项级数指的是级数的各个项都是正数。
在判断正项级数是否收敛的时候，我们需要用到一个非常重要的原理：比较原理。
比较原理是正项级数判别法的核心原理。
以下是比较原理的两种形式：-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$也收敛；-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。
比较原理的第一个形式说明了一个结论：“如果一个级数收敛，那么它的任何小于等于它的级数也收敛”。
这个结论非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来代替意义相同但更复杂的级数。
比较原理的第二个形式则说明了另一个结论：“如果一个级数发散，那么所有大于等于它的级数都发散”。
这个结论同样非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来判断一个级数是否发散。
在使用比较原理判断正项级数的收敛性时，我们需要找到一个小于等于该级数的级数，并且我们知道这个小于等于级数的级数是收敛的或者发散的。
如果这个小于等于级数的级数是收敛的，那么原级数也一定收敛；如果这个小于等于级数的级数是发散的，那么原级数也一定发散。
以上就是正项级数判别法的核心原理：比较原理。
接下来，我们将探讨在实际运用中如何找到一个小于等于该级数的级数，并且如何判断这个小于等于级数的级数是收敛的还是发散的。
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
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n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性∑n=1到无穷1/1+a的n次方当a>1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a<1，所以级数和收敛。
当0<=a<=1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和是不收敛的。
当-1<a<0时，|a^n|=|a|^n < 1，所以-1< a^n < 1，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和还是不收敛的。
当a=-1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中的奇数项分母为零，没有意义。
当a<-1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a，绝对值<1，所以级数和也是收敛，并且是绝对收敛的。
阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。
主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
编辑本段级数应用数项级数若数列{an} 单调有界，级数Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛函数项级数若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x↔D关于n单调，且函数列{an(x)} 在D上一致有界，即存在M>0，使得│an(x)│≤M (x↔D，n↔N)；同时，函数项级数Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x↔D) 在D上一致收敛编辑本段积分应用反常积分无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛含参变量积分若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即对于每一个固定的y↔[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y↔[c,d])。
13-2_数项级数的收敛判别法
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
E-mail: xuxin@
练习2 判别级数 ( 1 cos x )
n1
n
1
n 3n
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
E-mail: xuxin@
例6
判定级数
ln(1
1 )的敛散性.
n1
n2
解：Q
lim
n
ln(1 1
1 n2
)
1,级数
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
E-mail: xuxin@
n1
E-mail: xuxin@
推论2 设un为正项级数,如果存在p 1, n1
使得un
1 np
(n
1, 2,),则级数
n1
un收敛;
如果un
1 n
(n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2) n1 n2 1
n1
E-mail: xuxin@
例 1 考察级数
1
n1 1 2n
1
1
2
1
1 22
L
1
1 2
n
L
的收敛性.
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法
正项级数的比较判别法是一种用来判断正项级数收敛或发散的方法，即对于一组非负的项数递增的级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$，如果存在正常数$M$使得
对于所有$n$，都有$a_n \leq M b_n$，那么有以下结论：
1. 如果$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。
2. 如果$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$发散。
该判别法的逻辑基于比较，即通过与已知的收敛或发散的级数进行比较，来判断待判定的正项级数的性质。
当待判定的级数与一个已知收敛的级数具有类似的增长规律时，可以使用比较判别法。
需要注意的是，比较判别法只适用于非负的项数递增的级数，当级数中存在负项或者项数不是递增的时候，就不能使用比较判别法进行判断。
正项级数an收敛a2n收敛证明
正项级数an收敛a2n收敛证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正项级数是数学中很重要的一个概念，在数学分析领域占有重要的地位。
在正项级数中，我们可以通过探讨级数的各种性质，来研究级数的收敛性质。
关于正项级数an收敛a2n收敛的问题是数学分析中的一个研究热点。
我们来看正项级数的定义。
正项级数是指级数中每一项都是非负数的情况。
一个正项级数可以表示为：\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\]每一项an都大于等于0。
当我们说一个正项级数收敛时，指的是级数的部分和数列{sn}收敛，即存在一个常数L，使得：sn表示级数的前n项和。
如果L存在，我们称级数收敛，反之称级数发散。
接下来，我们来讨论正项级数an收敛a2n收敛的情况。
这里我们首先假设an是一个正项级数，且收敛。
即：那么我们来考虑正项级数a2n的情况。
我们知道，a2n实际上是原级数每隔一项相加得到的一个新级数。
我们可以将a2n写成下面的形式：我们可以将a2n看作是一个新的数列bn的部分和。
即：接下来，我们来证明a2n也是一个收敛的级数。
我们考察b1，b2，b3...这些部分和的序列。
我们可以看到，bn与原级数的部分和sn是有一个特定的关系的。
结合an的有界性，我们可以得到b1，b2，b3...这些部分和序列{bn}也是一个有界的序列。
现在，我们来看b_n+1 - b_n的情况。
我们有：\[b_{n+1} - b_n = (a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{2n} +a_{2n+2}) - (a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{2n}) = a_{2n+2} \]即b_n+1 - b_n = a_{2n+2}。
由于an是一个正项级数，因此a_{2n+2}也是一个正数。
b_n+1 - b_n也是一个正数。
这意味着{bn}是一个递增的序列。
级数收敛性判断方法
级数收敛性判断方法
有多种方法可以判断级数的收敛性，下面列举了一些常见的方法：
1. 利用基本判别法：例如，比较判别法、积分判别法和极限判别法。
- 比较判别法：将待判断的级数和一个已知收敛的级数进行比较，如果原级数的通项绝对值小于等于已知级数的通项绝对值，则原级数收敛。
- 积分判别法：将待判断的级数的通项与一个函数的通项进行比较，并进行积分运算，如果积分收敛，则原级数收敛。
- 极限判别法：对待判断的级数求极限，如果极限存在且不为零，则级数发散；如果极限为零，则级数可能收敛。
2. 利用比值判别法和根值判别法：对待判断的级数求出通项的绝对值的比值或根值的极限，通过比较极限值和阈值的大小，判断级数的收敛性。
- 比值判别法：当求得的极限小于1时，级数收敛；当极限大于1时，级数发散。
- 根值判别法：当求得的极限小于1时，级数收敛；当极限大于1时，级数发散。
3. 利用级数特性：柯西收敛准则和绝对收敛。
- 柯西收敛准则：如果对于任意正数ε，存在正整数N，使得对于任意的n > N，都有级数前N项之后的所有项的绝对值之和小于ε，则级数收敛。
- 绝对收敛：如果级数的每一项都取绝对值，并判断其是否收敛，如果收敛，则原级数也是绝对收敛的。
需要注意的是，以上方法仅为一些常用方法，并不能对所有级数都适用。
对于一些特殊的级数，可能需要使用其他的收敛性判断方法。
正项级数的一个收敛性判别法
讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,得出凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法,逆命题不成立,根 据具体问题的特点采用不同的方法,解题得难以程度不同.
3.期刊论文 曹春芳.王卫勤.CAO Chun-fang.WANG Wei-qin 正项级数两种判敛法的关系 -泰州职业技术学院学报
万方数据
·６９·
ｌｎ２∥＋１）／（１／∥肿∥）］＝去，这两例说明该判别法不能
判定级数∑口｜Ｉ的收敛性。 ３．新的判别法与达朗伯尔判别法的关系 定理２设｛口－ｌ｝是正项无穷数列，如果ｌｉｌｎ Ｉ‰＋ｌ／‰Ｉ
＝ｒ＜１，则对于某个正整数ｍ＞ｌ，有
ＪｉＩｎｌｏ＋１／ｏＩ＝ｏ。
证明：因为ｌｉｍＩ％＋ｌ／‰Ｉ＝ｒ＜１，因此对于任意的￡
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5.期刊论文 谭宝军.TAN Bao-jun 关于正项级数收敛的一个命题 -辽宁师专学报（自然科学版）2007,9(1)
给出一个判定正项级数收敛的命题.
6.期刊论文 赵红海.ZHAO Hong-hai 活用正项级数的比较收敛法 -张家口职业技术学院学报2006,19(1)
主要介绍了正项级数比较判别法的运用,利用所求级数的通项与特殊级数的通项相比较,简单快速地判断敛散性.
【关键词】正项级数收敛发散判别方法 ［中图分类号】Ｇ４２ ［文献标识码】Ａ
１．引理
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
常数项级数的收敛性及其判别法
vn 收敛 ,则 un 收敛 ; n 1
n 1
(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 un 发散 ;
n 1 n 1
9/32
例 4 判定下列级数的敛散性:
n 1
思想是: 任意项级数
正项级数
u
n 1
n
n 1
un
34/32
定理
. 若级数 | un | 收敛, 则 级 数 un必 定 收 敛
n 1
n 1
证 设级数 | un | 收敛. | un | un | un |
n 1
0 un | un | 2 | un |,
3.当 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n
级数
n 1
n
( 1) 1 收敛, 2
17/32
例. 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
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例 3. 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
第二讲正项级数收敛判别法(一)解剖
nn1
n1
n1 (n2 1) 2
（A）收敛
（B）发散
#2014021901
例4 判别敛散性
1
x
(2)
n1
n 0
1
x2
dx
（A）收敛
（B）发散
#2014021902
例4 判别敛散性
nn1
x 1
(1)
n1
n1 (n2 1) 2
(2)
n
0 1 n1
x2
dx
证：(1)0
u n
nn1
n1
(n2 1) 2
也发散 .
说明：
1. 比较判别法仅适用于正项级数 ；
2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行；
3.常用的参考级数
几
何
级
数
aq
n
n0
常用的不等式
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
例2.
讨论
p
收敛。 发散。
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例7.
判别级数 ln1
(n N)
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ;
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。