正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法摘要：各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。

本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。

关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法1基本概念1.1 数项级数及其敛散性在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。

定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12n u u u ++++（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。

数项级数(1)的前n 项之和，记为1nn kk S u==∑，称为（1）的前n 项部分和。

定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称数项级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为1nn S u∞==∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。

根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0ε∀>，0N ∃>，n N ∀>，p Z +∀>，有12||.n n n p u u u ε++++++<(ii) 级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=.(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。

(iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。

(v) 运算性质：若级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，c d 是常数，则1()nn n cudv ∞=+∑收敛，且满足1()nn n cudv ∞=±∑= 11n n n n c u d dv ∞∞==±∑∑1.2 正项级数及其收敛的判别方法设级数∑∞=1n nu的各项0≥n u （1,2,3,n = ）, 则称级数∑∞=1n nu为正项级数.显然，正项级数的部分和数列}{n S 是单调增加的，即12n S S S ≤≤≤≤由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散.根据这一基本事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。

定理1(基本定理) 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是：部分和数列}{n S 有界，即存在某正数M ，对一切正整数n ，有n S M ≤.证:由于0i u >(1,2,)i = ，所以}{n S 是单调递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）.即上述定理得证。

定理2(比较原则) 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均为正项级数, 若存在常数0c >，或者0N ∃>对于n N ∀>都有n n u cv ≤, (1,2,3,n = ,)则 (1) 当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu也收敛; (2)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv发散.证:设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv的部分和分别为n U 和n V ，于是有：n n U cV ≤，当∑∞=1n nv收敛时，n V 有界，故n U 亦必有界，得知∑∞=1n nu收敛.当∑∞=1n nu发散时，n U 无上界，于是n V 无上界，故∑∞=1n nv发散.下面给出比较判别法的极限形式，它在应用中较为方便。

比较判别法的极限形式： 给定正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若有 lim nn nu l v →∞= ，（2） （i ）当0l <<+∞时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性；（ii ）当0l =时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛.（iii ） 当l =+∞时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散.证:设由（2）式，对0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，恒有nnu l v ε-< 或()()n n n l v u l v εε-<<+. （3） 由定理2以及（3）式可得：当0l <<+∞（这里设l ε<）时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性。

对于（ii ）, 当0l =时，由（3）式右半部分以及比较原则：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛.对于（iii ）,当l =+∞，对0M ∀>,存在相应的正数N ，当n N >时，都有nnu M v > 由比较原则可得，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散.定理3(达朗贝尔判别法，或称比式判别法) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且存在某正整数0N ，以及常数(01)q q <<（i ） 若对于0n N ∀>都有不等式1n nu q u +≤，（4） 则级数∑∞=1n nu收敛。

（ii ） 若对于0n N ∀>都有不等式11n nu u +≥， （5） 则级数∑∞=1n nu发散。

证:（i ）不妨设（4）对一切1n ≥都成立，于是有31212,,,.n nu u u q q q u u u +≤≤≤ 把前1n -个不等式按项相乘后得到131212n n nu u u q u u u -+∙∙∙≤ 即11n n u u q-≤，由于当01q <<时，等比级数11n n q∞-=∑收敛，由比较原则及上述不等式可证。

（ii ）由于0n N >时不等式（5）恒成立，既有01n n N u u u +≥≥.当n →∞时，n u 极限不可能为零.由收敛必要条件可知级数∑∞=1n nu发散。

下面给出比式判别法的极限形式 若∑∞=1n n u 为正项级数且1limn n nu q u +→∞=，（6） （i ）当1q <时，∑∞=1n nu收敛；（ii ）当1q >或q =+∞时，则∑∞=1n nu发散.证:由（6）式，对任意取定的正数(|1|)q ε<-，0N ∃>，当n N >时，恒有nnu q q v εε-<<+. 当1q <，这里取ε使1q ε+<，由上述不等式的右半部分及定理3可得∑∞=1n nu收敛。

若1q >，则取ε使1q ε->，由上述不等式的左半部分及定理3可得∑∞=1n nu发散。

若q =+∞，存在N ，当n N >时，11n n u u +>，此时∑∞=1n n u 发散。

定理4(柯西判别法，或称根式判别法) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且存在某正整数0N ，以及常数(01)l l <<（i ） 若对于0n N ∀>1l ≤<， （7）则级数∑∞=1n nu收敛。

（ii ） 若对于0n N ∀>1≥， （8） 则级数∑∞=1n nu发散。

证:（i ）由（7）式有nn u l ≤，由于等比级数1nn l∞=∑当01l <<时收敛，由比较原则，此时级数∑∞=1n nu收敛.对于（ii ）由（8）式11n n u ≥=,当n →∞时，n u 极限不可能为零.由收敛必要条件可知级数∑∞=1n nu发散。

下面给出根式判别法的极限形式若∑∞=1n nu为正项级数且n l =， （9）(i) 1l <时, 级数∑∞=1n nu收敛；(ii)1l >时，级数∑∞=1n n u 发散；(iii) 1l =时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证:由（9）式，对任意取定的正数(|1|)l ε<-，0N ∃>，对一切n N >时，恒有l l εε-<+.由定理4即可得证。

定理5(积分判别法)设f 为[1,)+∞上非负递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同敛态.证:由假设f 为[1,)+∞上非负递减函数，对任何正数A ，f 在[1,]A 上可积，从而有1()()(1)nn f n f x dx f n -≤≤-⎰，2,3,n =依次累加可得11222()()(1)()mm m mn n n f n f x dx f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰（10）若反常积分收敛，由（10）式左边，对任何正整数m ，有111()(1)()(1)()mm m n S f n f f x dx f f x dx +∞==≤+≤+∑⎰⎰.由定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛。

反之，若级数1()n f n ∞=∑收敛，由（10）式右边，对一切正整数1m >，有111()()mm n f x dx S f n S +∞-=≤≤=∑⎰（11）由于f 为[1,)+∞上非负递减函数，对任何正数A ，都有10()An f x dx S S ≤≤≤⎰ 1n A n ≤≤+联系（11）以及反常积分收敛的定理得到：1()f x dx +∞⎰收敛。

同理可证1()n f n ∞=∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时发散。

2例题解析2.1 利用基本定理判断下列正项级数的敛散性例1.判断1111122334(1)n n +++++⋅⋅⋅⋅+ 解 由于n S 1111122334(1)n n =++++⋅⋅⋅⋅+ 1111112231111n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 故得：lim 1n n S S →∞==. 因而原级数收敛例2.23135212222n n -+++++解 由于2313521,2222n n n S -=++++ 从而有 2311132321,22222n n n n n S +--=++++ 并且211112*********n n n n n n S S S +-=-=+++- 21112111222n n n -+-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11111212112212n n n -+⎛⎫- ⎪-=+- ⎪ ⎪-⎝⎭故得：1lim 13112n n S S →∞==+=-.例3. 设1nn a∞=∑收敛，lim 0n n na →∞=.证明111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑证 记级数11()nn n n aa ∞+=-∑的前n 项和为n S ，则12231121()2()()n n n n n S a a a a n a a a a a na ++=-+-++-=+++-而11lim lim (1)01n n n n n na n a n ++→∞→∞⎡⎤=⋅+=⎢⎥+⎣⎦，所以111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑2.2 比较判别法的应用 例4. 2sin 3nn π∑解 由于03n π>，由不等式sin x x <，（0x >）从而有22sin 2333nnnn n πππ⎛⎫<⋅= ⎪⎝⎭正项级数23nπ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法可知2sin 3nn π∑收敛例5.1n ∞=解102n >>，且级数112n n ∞=∑发散，故级数1n ∞=也发散。