正项级数及其审敛法

dx
1 p 1
(n
1 1)
p1
n
1
p1
考1虑强2 p1级1数 n22p1(n1
1 13)
1
pp11
np11
n的p1部1分 (和n
1 1)
p1
n
n k 1
k
1
p 1
(k
1 1) p1
1
1 (n 1) p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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(l ) vn un (l ) vn
(n N)
(1) 当0 < l <∞时,
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
vn
n1
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
n1
由定理2 知
(3) 当l = ∞时,
即
un vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n1
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是两个正项级数,
(1) 当0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0 且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数
un ,
可得如下结论
收敛 ,
故有界.
“”
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 , 从而
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
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当x 1时, 级数发散 ;
当x 1时,
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数,
பைடு நூலகம்
且
lim n
n
un
,
则
为正项级
证明提示:
lim n
n
un
, 对任意给定的正数
存在 N Z ,
n un
1 1
即
( )n un ( )n 1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
例如, p – 级数
1
lim un1 lim (n1) p 1
n un
n
1 np
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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例6. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim (n 1) xn x n un n n xn1
根据定理4可知:
当0 x 1时, 级数收敛 ;
引言
• 对级数当然希望求得和,首先判断是否收 敛,看通项是否趋于零,求出部分和.部分和 不好求.
• 基本且重要的情形:正项级数.后面的其它 情形的敛散性归结为正项级数的敛散性.
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
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(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
:
0l
lim n p nn l
n
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
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例4-5. 看书,回忆常见的等价阶
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判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
n11n 发散 , 故原级数发散 .
(2)
n11n 发散 , 故原级数发散 .
例2.
讨论
p
级数 1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数n1n1 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
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2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,
故
n1 n1 x p
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在N Z , 对一切 n N ,
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例3.
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抽象函数类型
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n un
n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S Sn , 则所求误差为
0
rn
(n
1 1)n1
(n
1 2)n2
(n
1 1)n1
1
1
1 n1
1 n (n 1)n
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正项级数审敛法要注意的地方
• 首先判断是正项级数;
• 所有审敛法都是充分条件,不是必要的.就 是说条件不满足的时候,不能判断发散或 收敛,而需要更加精密的法则或直接定义 判定.
正项级数审敛步骤
• 通项是否趋于0,不趋于0,直接判定发散; • 比值审敛法或根值审敛法; • 柯西积分审敛法; • 极限形式的比较审敛法; • 不等式形式的比较审敛法; • 按定义,求部分和数列,据其敛散性判定.