同济大学高等数学第六版下册第十一章常数项级数审敛法资料

合集下载

常数项级数的审敛法112

1
p1

1 4p

( p 0) 的收敛性
]

1 np
而调和级数 n11n 发散
1 xp

dx
其部分和
3
1
p1
]
p11[

(n
[
n
n1

1 1)
1
p1
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高等数学同济六版第十一章11-2

思考题
收敛, 收敛? 设正项级数∑ un 收敛, 能否推得 ∑ un 收敛?
2 n =1 n =1 ∞ ∞
反之是否成立? 反之是否成立?
思考题解答
收敛，收敛, 由正项级数 ∑ un 收敛，可以推得 ∑ un 收敛
2 ∞ ∞ n =1 n =1
n→ ∞
( 2) lim un = lim = 0,
它是收敛的。 ∴ 它是收敛的。
1 n n→ ∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理若
∞ ∞
∑u
n=1
n
收 ,则敛
∑u 收敛.
n=1 n
1 证明令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界

11.2常数项级数的审敛法

p 1时,
1 n 1 ( p 1 ) p n 1 n n 0 2
几何级数 q

1 2
p 1
1
收敛
1 由比较判别法知： p 收敛 n 1 n
1 当 p 1时 , 收敛 p 级数 p n 1 n 当 p 1时 , 发散
注意:比较判别法的使用前提是正项级数
口诀：大的收敛, 小的也收敛小的发散, 大的也发散
例1 判断下列级数的敛散性
1 2 1 3 (1) 1 2 2 1 2 1 3
1 ( 2) n n 1 n

比较判别法的缺点: 须有参考级数
例 2 讨论 p 级数: 1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性 ( p 0) 2 3 4 n 1 1 1 1 而发散 p 发散解: p 1时, p n n n 1 n n 1 n p 1时,
01
lim
1 n n
由根值判别法可知级数收敛
思考题
1.设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n 1 n 1
反之是否成立?
解由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2

un lim lim un 0 n u n n
1 si n 1 n 1 而发散 ln(1 1 ) m 1 解: (1) li ～ n2 n 1 n 1 n n2 n 1 由比较判别法的极限式形 sin 发散 n n 1 1 ln 1 n2 1 ( 2) lim 收敛 1 而 2 n 1 n 1 n n2

常数项级数的审敛法

(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖定理8(绝对收敛与收敛的关系)
如果级数 un 绝对收敛, 则级数 un 必定收敛.
n1
n1
例例142
判别级数
(1)n
n1
1 2n
(1
1 n
)n2
的收敛性.
解
由
|un
|
1 2n
(1
1 n
)n2
,
有
lim
n
n
|
un
|
❖p级数的收敛性
p级数 n1
1 np
当
p1
时收敛,
当 p1 时发散.
例 2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n1)
证证因为 1 1 1 , n(n1) (n1)2 n1
而级数
n1
1 n 1
发散,
故级数 n1
1 也发散. n(n 1)
首页
上页
返回
下页
结束
铃
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
1 np
( p 0) 的收敛性.
解当 p1 时,
1 np
1 n
,
而级数 n11n 发散,
所以级数
n1
1 np
也发散.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,

同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法

1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
机动目录上页下页返回结束
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切都有分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
机动目录上页下页返回结束
(1) 若强级数因此对一切
收敛, 则有有也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数因此发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
机动目录上页下页返回结束
n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
机动目录上页下页返回结束
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章无穷级数(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第十一章无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxe x x，ln(1)x+和(1)aα+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin,cosxe x x，ln(1)x+和(1)aα+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。

教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,⋅⋅⋅,u n,⋅⋅⋅,则由这数列构成的表达式u1+u2+u3+⋅⋅⋅+u n +⋅⋅⋅叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为∑∞=1n nu,即3211⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅+++=∑∞=nnnuuuuu,其中第n 项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅ 叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数) 20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比.例1 讨论等比级数n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解如果q ≠1, 则部分和qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12.当|q |<1时,因为q as n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为qa -1.当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散.仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1.例2 证明级数 1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅ 是发散的.证此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n .显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.例3 判别无穷级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n的收敛性. 解由于111)1(1+-=+=n n n n u n ,因此)1(1431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性.解因为)1(1431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n ,从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ,所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n .二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21.这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn ,则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的,级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的,级数 )1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数1-1)+1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的.推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则0lim 0=→n n u .证设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例4 证明调和级数1 3121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=nn n 是发散的.例4 证明调和级数∑∞=11n n是发散的.证假若级数∑∞=11n n收敛且其和为s , s n 是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面,2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n nn n n n s s n n ,故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n}有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且u n≤v n(n=1, 2,⋅⋅⋅ ).若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu收敛;反之,若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且u n≤v n(k>0,∀n≥N).若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu收敛;若∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散.设∑u n和∑v n都是正项级数,且u n≤kv n(k>0,∀n≥N).若级数∑v n 收敛,则级数∑u n收敛;反之,若级数∑u n发散,则级数∑v n发散.证设级数∑∞=1n nv收敛于和σ,则级数∑∞=1n nu的部分和s n=u1+u2+⋅⋅⋅+u n≤v1+v2+⋅⋅⋅+v n≤σ (n=1, 2, ⋅⋅⋅),即部分和数列{s n}有界,由定理1知级数∑∞=1n nu收敛.反之,设级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv必发散.因为若级数∑∞=1 n nv收敛,由上已证明的结论,将有级数∑∞=1n nu也收敛,与假设矛盾.证仅就u n≤v n(n=1, 2,⋅⋅⋅ )情形证明.设级数∑v n收敛,其和为σ, 则级数∑u n 的部分和s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数 1 413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=pp p p p n n n的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性.解设p ≤1. 这时nn p 11≥,而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s .所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散.解当p ≤1时, nn p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散.当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为 111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散.例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n ,而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nn n =∞→lim (0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u nn n =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)如果+∞=>=∞→∞→nn n n n n v u l v u lim 0lim 或,且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛;(2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时,有不等式l l v ul l n n 2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<,再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sin n n的收敛性.解因为111sin lim =∞→nn n ,而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sin n n发散.例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n的收敛性.解因为11)11ln(lim 22=+∞→n n n ,而级数211n n ∑∞=收敛,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的.解因为101lim 321)1( 321lim lim 1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n nn n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例6 判别级数 10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性. 解因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散.例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→n n n u lim ,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法)若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→n n n u lim , 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→n n n u lim ,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r)1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n +nn n )1(1+=.例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性.解因为21)1(221lim lim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散; (2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n pn, 则级数∑∞=1n n u 收敛. 例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n的收敛性.解因为)(1~)11ln(22∞→+n nn, 故11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn nn u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解因为222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如, 1)1(11∑∞=--n n n是交错级数,但 cos 1)1(11∑∞=---n n nn π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u , 则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛. 设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n n n ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的,所以级数∑∞=12|sin |n nna 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛. 例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n n n nu +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e nu n n n n n ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点.若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) . 余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ).在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n . 二、幂级数及其收敛性幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n 是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证先设x 0是幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛点,即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→n n n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=.因为当|x |<|x 0|时,等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛,所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛,也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为nn n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.推论如果级数∑∞=0nn nxa不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间:正数R通常叫做幂级数∑∞=0nn nxa的收敛半径.开区间(-R,R)叫做幂级数∑∞=0nn nxa的收敛区间.再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂级数∑∞=0nn nxa的收敛域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.规定:若幂级数∑∞=0nn nxa只在x=0收敛,则规定收敛半径R=0 ,若幂级数∑∞=0nn nxa对一切x都收敛,则规定收敛半径R=+∞,这时收敛域为(-∞, +∞).定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a, 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a, 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为:当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明:|| ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→.(1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R . (2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数 )1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1,1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解因为0)!1(!lim !1)!1(1lim ||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n nρ,所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n nn n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛.例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n n x n n 的收敛半径. 解级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示:2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++.例5求幂级数∑∞=-12)1(n nnnx 的收敛域.解令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n n t .因为21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx xa dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导,并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续. 性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn x n nn xx n a dx x a dx xa dx x s (x ∈I ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[-1, 1).设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001.对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x --=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x xx s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[-1, 1).设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1).显然S (0)=1. 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)()11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x x x n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x xx s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x . 综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s . 提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰, 即⎰'+=x dx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n n n 的和.解考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n n n s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ). 泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于)(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间).泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ ,f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数)(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0).需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )?定理设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即 )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f ,又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞).而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞).再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ),即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ).麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2n n x n f x f x f f ,此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ ,f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ ,f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅. 应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ .第二步求函数及其各阶导数在x =0 处的值:f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ .第三步写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+n n x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞).1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ 是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=n n x n f x f x f f x f (-R <x <R ).例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f(n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x ,它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有)!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim 1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x .例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数.解因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n ,它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(]2)1(sin[| |)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞).因此得展开式)( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n .)( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: f (x )的各阶导数为f '(x )=m (1+x )m -1,f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅于是得幂级数!)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m .间接展开法:例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数.解已知)!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞).对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n .例5 将函数211)(xx f +=展开成x 的幂级数. 解因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得)1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1.例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解因为xx f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得)11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n .解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln( ∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n n x n n n n x dx x (-1<x ≤1).上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数. 解因为)]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x ,并且有 )( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ.例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解因为)411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f ∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n n n n n n n x x)31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x .∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n n n n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n n n n x x x ,收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .。

第十一章第2节常数项级数审敛法

.
例如
n un
p - 级数
1 n1 n p
:
lim un1 lim n un n
1 (n1) p 1 np
1
但
p 1 级数收敛 p 1 级数发散
18
例 11 判别下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
n! (2) n1 10n ;

由定理2可知 , 若级数
vn发散 , 则级数
un
也发散. 12
n 1
n1
总结:
un , vn 是两个正项级数 , lim un l ,
n1
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;

(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;

(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n1

(3) 当 l 且级数 vn 发散时 , 级数 un 也发散 .
n 1
n1
证: 根据极限定义 , 对 0 ,存在 N Z,当 n N 时,
,
级数
n1
1 4n2
收敛,
故级数

n1
2n

(
1 2n

1)
收敛.
20

例12. 讨论级数 n xn1 ( x 0 ) 的敛散性 .
n1
解:
lim un1 lim n un n

高数第十一章无穷级数第二讲常数项级数审敛法--正项级数

第二讲常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法授课题目（章节）：§11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法教学目的与要求：1.了解正项级数收敛的充要条件；2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法；3.掌握正项级数的比值审敛法；4.掌握p 级数的收敛性。

教学重点与难点：重点：比值审敛法难点：比较审敛法讲授内容：定义若0(1,2,......)n u n ≥=则称1nn u∞=∑为正项级数性质（1）正项级数的部分和数列{}n s 单调递增，即1231n n s s s s s +≤≤≤≤≤（2）正项级数1nn u∞=∑收敛的充要条件是部分和数列{}n s 有界证明（1）110(1,2,),n n n n u n s s u ++≥==+1n n s s +∴≥ （2）若1nn u∞=∑收敛，则{}n s 收敛，故{}n s 有界；若{}n s 有界，又{}n s 单调递增，故{}n s 收敛，从而1nn u∞=∑收敛。

正项级数审敛法一、比较法定理1（比较审敛法）11,n nn n u v∞∞==∑∑均为正项级，且(1,2,)n n u v n ≤=若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。

证明设级数1nn v∞=∑收敛于和σ，则级数1nn u∞=∑的部分和1212n n n s u u u v v v σ=+++≤+++≤即部分和数列{}n s 有界，故级数1nn u∞=∑收敛；反之，设1nn u∞=∑发散，若1nn v∞=∑收敛，由上面已证明的结论将有1nn u∞=∑收敛，与假设矛盾，故若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。

推论11,n nn n u v∞∞==∑∑均为正项级数，且(,0)n n u kv n N N k ≤>>为自然数，若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。

【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法

则 n sn
vn发散. n 1

不是有界数列定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1

且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数的收敛性. n1 n 2

x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛

un n 1

收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,

高等数学第十一章：无穷级数-1常数项级数的概念和性质

级数收敛的概念
定义
如果级数 un 的部分和数列 {sn }有极限，即
n1
lim
n

sn
s
则称无穷级数
un 收敛，这时极限
n1
s 叫做这级数的和；如果 un没有极限，则称 n1
无穷级数 un发散。 n1
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
n1
敛，且其和为 ks 。
性质2 如果级数 un、 vn 分别收敛于 s和 t则
n1
n1
级数 (un vn )也收敛，且其和为 s t.
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数
的收敛性。
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
例1 判定无穷级数
1 1 1
12 23
n(n 1)
的收敛性。
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
第一节常数项级数的概念与性质

(整理)常数项级数的审敛法

§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞=1n n u 0≥n u (1)显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21 ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分数列{}n s 有界.例1判别正项级数∑∞=122sin n nn π的收敛性解 nn n s 22sin22sin 2122ππ+++=n 2121212+++<121121121<-⎪⎭⎫⎝⎛-=n 有上界级数收敛2.比较审敛法定理2 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且.),2,1( =≤n v u nn 若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；反之，若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散．分析：σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=1n n u 的部分和,),2,1(2121 =≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1n n u 收敛。

反之，设∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 必发散.因为若∑∞=1n nv收敛,由上面已证结论知∑∞=1n n u 也收敛，与假设矛盾.推论设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,如果级数∑∞=1n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1n n u 收敛；如果级数∑∞=1n n v 发散，且当Nn ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论p —级数 )2(11∑∞=n pn的收敛性，其中常数p >0．解设1≤p ，则,11n np≥但调和级数发散，故级数(2)发散．设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,11p p xn ≤所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ， ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n p p n n 级数(3)的部分和⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s =.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛.总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。

高等数学同济大学常数项级数的审敛法一PPT课件

n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
第7页/共24页
机动目录上页下页返回结束
证明由lim un l 对于 l 0,
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
证明当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
第12页/共24页
机动目录上页下页返回结束
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
第18页/共24页
定理5. 别法)
根值审敛法
(
Cauchy判
设
数, 且
则
为正项级
（2） 1时级数发散; （3） 1时失效.
证明提示:
对任意给定的正数
即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
第19页/共24页
lim
n
un
0.
发散
第13页/共24页
机动目录上页下页返回结束
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数