同济大学高等数学第六版下册第十一章常数项级数审敛法资料

l 对于 0, 2
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
l 3l 即 vn un vn 2 2
(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
5.极限审敛法：
设
u
n 1

n 为正项级数 ,
如果 lim nun l 0 ( 或 lim nun ),




则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1


(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1


un 证明 (1) 由lim l n v n
证明 (1) 设 vn un vn ,
n 1



n 1
n 1
n 1

n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
即部分和数列有界

un收敛. n 1

(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn
vn发散. n 1

不是有界数列 定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1

且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
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例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
比较审敛法是一基本方法，虽然有 用，但应用起来却有许多不便，因为它 需要建立定理所要求的不等式，而这种 不等式常常不易建立，为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n o 2 dx n dx 1 1 p n1 p x x
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
1 1
n
1 1 1 dx 1 (1 p1 ) 1 p p1 n p1 x
1 (1) sin ; n n 1


6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数, 如果 lim n u n 1 n 则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n 1
部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
定理
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
3.比较审敛法 设 un和 vn均为正项级数，
n 1 n 1


且 un vn ( n 1, 2,) , 若 vn 收敛, 则 un 收敛； 反之，若 un 发散，则 vn 发散.
对常数项级数将分为正项级数和任意项级数 来讨论
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0， 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要， 以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
n 1

1 是发散的. n( n 1)
1 1 1 , 证明 而级数 发散, n( n 1) n 1 n 1 n 1 1 级数 发散. n1 n( n 1)

un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
m 1
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.直接从级数本 身的构成——即通项来判定其 敛散性 两点注意:
n n
则级数
un 发散; n 1
n

如果有 p 1, 使得 lim n p un 存在, 则级数
un 收敛. n 1

例 3 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
常数项级数审敛法
在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散 性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些 运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除 了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接 考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因 而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行 ，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛 散性，这些方法称为审敛法
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,

uN m
uu收敛, n N 1
收敛
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un , lim un 0. 发散 n