高数知识汇总之级数
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第七章 级数
7.1
常数项级数的概念与性质
7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列
12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式
12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；
其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：
1
n
n a
∞
=∑，即
121
n
n n a
a a a ∞
==++++∑
部分和：
作（常数项）级数12
n a a a ++++ 的前n 项的和121
n
n n i i S a a a a ==+++=∑ ，
n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。 级数收敛与发散： 如果级数
1
n
n a
∞
=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞
=（有限值），则称无穷级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++
。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞
不存在或为±∞），则称无穷级数
1
n
n a
∞
=∑发散。
常用级数：
（1）等比级数（几何级数）：
n
n q
∞
=∑
1
11q q - 当时收敛于
1q ≥当发散
（2）p 级数:
11p
n n
∞
=∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散
级数的基本性质： 性质1： 若级数
1n
n a
∞
=∑收敛于和S ，则级数
1
n
n Ca
∞
=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数
1
n
n a
∞
=∑和级数
1
n
n b
∞
=∑分别收敛于和S 、σ，则级数
()1
n
n n a
b ∞
=±∑也收敛，且其和为
S σ±。
注意：如果级数
1n
n a
∞
=∑和
1
n
n b
∞
=∑都发散，则级数
()1n
n n a
b ∞
=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数
1
n
n a
∞
=∑和
1
n
n b
∞
=∑中有且只有一个收敛，则
()1
n
n n a
b ∞
=±∑一定发散。
性质3：
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。 性质4： 若级数
1
n n a
∞
=∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数
1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -++++++++++++
仍收敛，且其和不变。
注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。 推论1：
若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。 性质5： 若级数
1
n n a
∞
=∑收敛，则
lim 0n n a →∞
=。
注意：lim 0n n a →∞
=仅仅是级数1
n
n a
∞
=∑收敛的必要条件，而非充分条件。
7.2 常数项级数的审敛法
7.2.1 正项级数收敛的充要条件
正项级数：
若0n a ≥()1,2,3,n = ，则称级数
1
n
n a
∞
=∑是正项级数。
正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛的充分必要条件：
它的部分和数列{}n S 有界（有上界）。
7.2.2 正项级数的审敛法
比较审敛法： 设
1
n n a ∞
=∑和1
n
n b
∞
=∑都是正项级数，且n n a b ≤()1,2,3,n = 。则
⑴若级数
1n
n b
∞
=∑收敛，则级数
1n
n a
∞
=∑收敛；
⑵若级数
1
n
n a
∞
=∑发散，则级数
1
n
n b
∞
=∑发散；
推论：设
1
n n a ∞
=∑和1
n n b ∞
=∑都是正项级数，如果级数1
n
n b ∞
=∑收敛，且存在正整数N ，使得
当n N ≥时有n n a Cb ≤()0C >成立，则级数
1
n
n a
∞
=∑收敛；如果级数
1
n
n b
∞
=∑发散，且当
n N ≥时有n n a Cb ≥()0C >成立，则级数
1n
n a
∞
=∑发散。
比较审敛法的极限形式：设
1
n n a ∞=∑和1
n
n b
∞
=∑均为正项级数，lim
n
n n
a l
b →∞=，那么
⑴若0l <<+∞，级数
1
n n a ∞
=∑和1
n n b ∞
=∑同时收敛或同时发散 ⑵若0l =，且级数
1
n n b
∞
=∑收敛，则级数
1
n
n a
∞
=∑收敛