常数项级数的审敛法-正项级数及其审敛法
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高等数学级数1(2)
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
BB52常数项级数的判敛法
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1 )u n u n 1 ( n 1 ,2 , ) ;
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
23
证: S 2 n ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 n 1 u 2 n ) 0 S 2 n u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 4 u 5 ) ( u 2 n 2 u 2 n 1 ) u2n u1
说明 : 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 n1 n p
:
un
1 np
,
n
un
n1n
p
1(n ) 但
p1, 级数收敛 ; p1, 级数发散 .
21
例1：判断下列级数的敛散性
1.
n n1 2 n
解： u n
n 2n
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn (u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
lim n p n
un
l
n l i m n p unl
对正项级数 un, 可得如下结论 :
p1, 0l
un发散
p1, 0l
un收敛
10
1 )u n u n 1 ( n 1 ,2 , ) ;
2) lim un0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
23
证: S 2 n ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 n 1 u 2 n ) 0 S 2 n u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 4 u 5 ) ( u 2 n 2 u 2 n 1 ) u2n u1
说明 : 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 n1 n p
:
un
1 np
,
n
un
n1n
p
1(n ) 但
p1, 级数收敛 ; p1, 级数发散 .
21
例1：判断下列级数的敛散性
1.
n n1 2 n
解： u n
n 2n
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn (u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
lim n p n
un
l
n l i m n p unl
对正项级数 un, 可得如下结论 :
p1, 0l
un发散
p1, 0l
un收敛
10
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
正项级数
常数项级数的审敛法
正项级数的审敛法 第二节 正项级数的审敛法
正项级数收敛的基本定理 比较判别法 比值判别法 根值判别法 小结 思考题
第十一章 数 无穷级
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数的基本定理 正项级数的基本定理
positive term series
1. 定义
∑ un n =1
∞
un ≥ 0
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
11
n= 2
由比较审敛法 所以, 发散. 所以 原级数 发散
常数项级数的审敛法
讨论下列正项级数的敛散性. 正项级数的敛散性 例4 讨论下列正项级数的敛散性
∞ a 1 5n + 4 (1) ∑ n ; (2)∑ ; (3)∑ 2 2n n =1 n n =1 1 + a n =1 3n + 2n − 1 ∞ ∞ n
u N + 3 < ruN + 2 < r 3 uN , ⋯ ,
左边相加, 左边相加 级数uN +1 + uN + 2 + uN + 3 + ⋯ 的各项 小于右边相加收敛的等比级数 (公 r <1) 比
ru N + r uN + r uN + ⋯
2 3
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
20
也收敛. 的对应项, 的对应项 所以 uN +1 + u N + 2 + u N + 3 + ⋯ 也收敛 由性质3, 由性质 因此 , 级数 ∑ un收敛 .
( 2) ∑ 3
n =1
∞
1 n( n + 1)
正项级数的审敛法 第二节 正项级数的审敛法
正项级数收敛的基本定理 比较判别法 比值判别法 根值判别法 小结 思考题
第十一章 数 无穷级
作业
1
常数项级数的审敛法
一、正项级数的基本定理 正项级数的基本定理
positive term series
1. 定义
∑ un n =1
∞
un ≥ 0
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
11
n= 2
由比较审敛法 所以, 发散. 所以 原级数 发散
常数项级数的审敛法
讨论下列正项级数的敛散性. 正项级数的敛散性 例4 讨论下列正项级数的敛散性
∞ a 1 5n + 4 (1) ∑ n ; (2)∑ ; (3)∑ 2 2n n =1 n n =1 1 + a n =1 3n + 2n − 1 ∞ ∞ n
u N + 3 < ruN + 2 < r 3 uN , ⋯ ,
左边相加, 左边相加 级数uN +1 + uN + 2 + uN + 3 + ⋯ 的各项 小于右边相加收敛的等比级数 (公 r <1) 比
ru N + r uN + r uN + ⋯
2 3
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
20
也收敛. 的对应项, 的对应项 所以 uN +1 + u N + 2 + u N + 3 + ⋯ 也收敛 由性质3, 由性质 因此 , 级数 ∑ un收敛 .
( 2) ∑ 3
n =1
∞
1 n( n + 1)
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
常数项级数的审敛法
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数 正项级数
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
7.极限审敛法：
设
un 为正项级数, n 1
n n
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 7 判定下列级数的敛散性: 1 (1) ln 1 2 ； (2) n 1 (1 cos ) . n n n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
un收敛. n 1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
6.2常数项级数审敛法
解
un
1!2 ! (2n) !
n!
n (n!) (2n) !
1 2(n 1)(n 2)(2n 1)
1 2(n 1)(n 2)
vn
1
而
lim
n
2(n
1)(n 1
2)
1, 2
即 0 1 ,
2
n2
由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
n1
2(n
1 1)(n
2)
vn
n1
收敛,
从而原级数收敛.
故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设 vn和un为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
n1
n1
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。 达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达 朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和 为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精 力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一 维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分 方程表示场。
证明的关键在于它的极限是否存在？
证 1) 取交错级前 2m 项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m )
由条件 (2) ： un un+1, un 0, 得 S2m 及
常数项级数审敛法探讨
职业技术教育 的屡遭重创原因很多。首先 ，现阶段 经济水平 的低下 ，我 国的经济建设 发展不平衡 ，富裕地 区的职业技术教育 自然有较多 的发展机会 ，贫 困地 区 的职业技术教育举 步维艰 。职业技 术教育往往得 不到 所需 的“硬件 ”，教材 “软件 ”建设严 重滞后 。近些年 来 ， 政府 相继制定 了一 些相关 的法令 、规章 ，但这些法 令仍 然难 以令 职业 技 术教 育所 需 的物质 上 的扶 持得 到 保 障。其次 ，就业状 况不景气。中等职业技术学校辛辛苦 苦培养 出来 的大批 学生到 了人才市 场却发现 “英 雄无 用 武之地 ”，给社会 造 成 中等 职业 技术 教育无 能 的表 象 。任何 经济 的发展都离 不开具有专 门技 术 的中高级 技术 人才 ，职业技术 教育 的普及 、发 展和完善对 国家经 济的发展起着直接性作用 。众所周知 ，职业技术教育作 为德 国经 济发 展的“秘 密武 器”，使 德 国经济在 世界 范 围内一直遥遥领先 ，为世界各国所 瞩 目。我 国的职业技 术教 育要能在经济 建设 过程 中充分发挥 巨大 的推 动作 用 ，就要做好 以下几方面工作。
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
≤ （ ＞０）成立，则∑ 收敛；若∑ 发散且当
ｎ ＝ ｌ
ｎ ＝ １
ｎ— ∞
ｎ ＝ １
三 、一 般 项 级 数 的 审 敛 法
ｎ≥Ｎ时有 ≤幻 （ ＞０）成立，则∑ 发散
ｎ ＝ １
对于取值正负没有规律的一般常数项级数 ，我们并 没有一个统一的审敛方法 ，但 绝对收敛与条件 收敛这两
次方 的用 根值法 ，有 ｎ次方 也有 ｎ！的用 比值法 ，当 ｐ＝ｌ
时根值法 与 比值 法失效 ，宜 用 比较审敛法或其他方法．
二 、交错 级 数 的 审敛 法
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
高等数学同济大学版10.2 常数项级数的审敛法
n
1
1,
1
而级数
发散,
n1 n 1
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
完
例5
判别级数
2n 1
n1 (n 1)2 (n 2)2
的敛散性.
解 运用比较判别法. 因
(n
2n 1 1)2(n
2)2
(n
2n 2 1)2(n
2)2
(n
2 1)3
2 n3
,
而
1 n3
n1
是收敛的,
所以原级数收敛.
,
1
1
而级数 n1 2n
(| q | 1)收敛, 2
1 级数 n1 2n 1
收敛.
1
例3 判断级数
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1
1
n(n 1) n2 ,
1
而级数
n2
n1
收敛,
1
级数
收敛.
n1 n(n 1)
完
例4 判断级数
1
的收敛性.
n1 n(n 1)
解
1 n(n 1)
从而得到下述重要定理:
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
正项级数
定理1 正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和 n1
数列 {Sn }有界.
证: “
” 若 收敛 ,
故有界.
“
”
∴部分和数列
单调递增,
又已知
有界, 故
收敛 , 从而
也收敛.
完
比较审敛法
定理2 设 un , vn均为正项级数, 且 un vn(n 1,2,).
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
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n =1
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
【2019年整理】第十一章常数项级数审敛法
则 n sn
vn发散. n 1
不是有界数列 定理证毕.
推论: 若
u 收敛( 发散)
n 1 n
n 1
且 v n kun ( n N )( kun v n ) , 则 v n 收敛(发散).
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 1 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n 1 1 设 p 1, p , 则P 级数发散. 解 n n y
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数 的收敛性. n1 n 2
x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
取 0 0 1
N，使当n N时
则 r 0 1
由 lim n un 知
n
n
un 0 r
n
n r 收敛及比较审敛法得
un r
由
n N 1
(n N )
un n N 1
收敛
un n 1
收敛
而级数 r m 1uN 1收敛,
m 1
,
m 1
uN 1 ,
4-1 常数项级数审敛
设 un 是正项级数,
n1
lim n
n
un
(为数或 ),
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法的优点:
两点注意:
不必找参考级数.直接从级数本 身的构成——即通项来判定其 敛散性
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
n1
(1)n1 np
解 (1) | un |
(
1 np
p
0); (2)
n1
0 收敛.
(1)n n1
n
.
(2)
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故 x 单调递减, x 1
| un || un1 | ;
又
lim
n
|
un
|
lim
n
n n1
0.
收敛.
3.1课前回顾
一、级数收敛的必要条件：一般项不趋于零级数发散;
(2) 当0 l 时， un收敛 vn收敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解 (1)
p
1
时,
1 np
1, n
p 级数发散; y
(2)
p 1时,
(为数或 ) ,
三、交错级数：莱布尼茨定理 1、单调递减（可用微分学方法证明） 2、一般项极限为0
高数级数定理
∞ n=1 un 与 ∞ n=1 vn 均为
正项级数，如果
limn →∞ v n =L;
n
u
当 0<L<+∞时，二级数有相同的敛散性； ∞ 当 L=0 时，若 ∞ n=1 vn 收敛，则 n=1 un 收敛。 ∞ 当 L=+∞时，若 ∞ n=1 vn 发散，则 n=1 un 发散。 3. 极限审敛法： 设 ∞ n=1 un 为正项级数；若 limn →∞ nun = L>0( 或 limn →∞ nun = ∞ ); 则级数 ∞ ∞ p n=1 un 发散；若 P>1;使得limn →∞ n un 存在；则级数 n=1 un 收敛。 4. 比值审敛法(达郎贝尔判别法) ： 设
高数级数定理
1> 常数项级数的审敛性： 1. 比较审敛法： 设
∞ n=1 un
与
∞ n=1 vn
均 为 正 项 级 数 ， 且 un ≤ vn n = 1、2 … ， 若
∞ n=1 un 发散，则 ∞ n=1 vn 发散。
∞ n=1 vn
收敛，则
∞ n=1 un 收敛；若
不便之处：必须有参考级数。 2. 比较审敛法的极限形式： 设
收敛；ρ > 1时，级数发散；ρ = 1时失效。 2> 交错级数及其审敛法 莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件： （1） un ≥ un+1 n = 1、2 … . . ； （2）limn →∞ un = 0； 则级数收敛;且其和 s≤ u1 ;其余项r1 的绝对值 r1 ≤ un+1 。 3> 绝对收敛与条件收敛： ∞ 若 ∞ n=1 un 收敛，则称 n=1 un 为绝对收敛； ∞ ∞ 若 ∞ n=1 un 发散，而 n=1 un 收敛，则称 n=1 un 为条件收敛。 4> 重要的参考级数 1． 几何级数（等比级数）级数） 即
正项级数，如果
limn →∞ v n =L;
n
u
当 0<L<+∞时，二级数有相同的敛散性； ∞ 当 L=0 时，若 ∞ n=1 vn 收敛，则 n=1 un 收敛。 ∞ 当 L=+∞时，若 ∞ n=1 vn 发散，则 n=1 un 发散。 3. 极限审敛法： 设 ∞ n=1 un 为正项级数；若 limn →∞ nun = L>0( 或 limn →∞ nun = ∞ ); 则级数 ∞ ∞ p n=1 un 发散；若 P>1;使得limn →∞ n un 存在；则级数 n=1 un 收敛。 4. 比值审敛法(达郎贝尔判别法) ： 设
高数级数定理
1> 常数项级数的审敛性： 1. 比较审敛法： 设
∞ n=1 un
与
∞ n=1 vn
均 为 正 项 级 数 ， 且 un ≤ vn n = 1、2 … ， 若
∞ n=1 un 发散，则 ∞ n=1 vn 发散。
∞ n=1 vn
收敛，则
∞ n=1 un 收敛；若
不便之处：必须有参考级数。 2. 比较审敛法的极限形式： 设
收敛；ρ > 1时，级数发散；ρ = 1时失效。 2> 交错级数及其审敛法 莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件： （1） un ≥ un+1 n = 1、2 … . . ； （2）limn →∞ un = 0； 则级数收敛;且其和 s≤ u1 ;其余项r1 的绝对值 r1 ≤ un+1 。 3> 绝对收敛与条件收敛： ∞ 若 ∞ n=1 un 收敛，则称 n=1 un 为绝对收敛； ∞ ∞ 若 ∞ n=1 un 发散，而 n=1 un 收敛，则称 n=1 un 为条件收敛。 4> 重要的参考级数 1． 几何级数（等比级数）级数） 即
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所以级数
n 1
π n
sin
π n
也收敛.
结论：当 n 时,
如果 un 是与 vn 同价或是比 vn 高阶的无穷小,
而级数 vn 收敛, 那么级数 un 收敛;
n1
n1
如果 un 是与 vn 同价或是比 vn 低阶的无穷小,
而级数 vn 发散, 那么级数 un 发散.
n1
π n
sin
π n
的敛散性.
解 由于 lim x sin x lim 1 cos x 1 ,
x0
π
xπ3 sin
可得 lim n
n
π
3
n
x0 3x2
6
1 6
.而级数
n1
π 3 n
n 1
π3
1 n3
收敛,
n
n1
n 1
将 un 与 aqn 作比较
n 1
n0
3.比值审敛法(达朗贝尔(d’Alembert)判别法)
设
n 1
un
为正项级数, 如果
lim
n
un1 un
,
则
当 1时级数收敛,
1 (或 lim un1 )时级数发散,
u n n
1 时级数可能收敛也可能发散.
则级数 un 收敛; 如果级数 vn 发散, 且当 n N 时有
n1
n1
un kvn (k 0) 成立,则级数 un 发散.
n1
例 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证 因为 n(n 1) (n 1)2 , 所以 1 1 . n(n 1) n 1
(l
1)vn
.
级数 vn 收敛, 故级数 un 收敛.
n1
n1
lim un
v n n
l
0 或 lim un v n
n
,且
vn
n 1
发散,则
un
n 1
发散.
(2)按已知条件知极限 lim vn 存在, lim vn 1 0
u n n
4.根值审敛法(柯西判别法)
设
un
为正项级数,如果 lim n n
un
, 那么
n 1
当 1时级数收敛,
1 (或 lim n
n
un
)时级数发散,
1 时级数可能收敛也可能发散. (证明略)
例 判定级数 2 (1)n 的收敛性. n1 2n
2. 比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数，
n 1
n 1
(1)如果 lim un v n n
l
(0 l
) ,且级数
vn
n 1
收敛,
则级数 un 收敛;
n1
(2)如果 lim un v n
n
l
0 或 lim un v n
a 1,q
1
n
n! 1 1 (n 1)(n 1)!
n
例 判定级数 1 1 2 1 2 3 n! 的收敛性.
10 102 103
10n
解
lim un1 u n
n
lim
n
(n 1) 10n1
!
10n n!
= lim n
n 1 10
.
所给级数发散.
n
,且级数 vn
n 1
发散,
则级数 un 发散.
n1
lim un
v n n
l
(0 l ) ,且 vn 收敛,
n 1
则 un
n 1
收敛.
证 (1)由极限定义可知, 对 1 ,存在正整数 N ,
当n
N
时,有
un vn
l 1,即 un
u n n
n
1
np
例 证明级数1 1 1 1 1
1 12 123
(n 1)!
是收敛的,并估计以部分和 sn 近似代替和 s 所产生的误差. 1
解 lim un1 lim
u n n
n
n! 1
lim (n 1)! 0 1, n n!
级数
1 11
1
是发散的,
n1 n 1 2 3
n 1
故
1
发散.
n=1 n(n 1)
例 讨论 p -级数
1 1 1 1 1
1
np
n 1
2p 3p 4p
np
的敛散性, 其中常数 p 0 .
解 设 p 1. 由于 1 1 , 而级数 1 发散,
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
n1 1
kp
k 2
n
1
k 2
k k 1
1 xp
dx
1
n1 1 x p dx 1
1 p
1
1
1 n p1
1 1 (n 2, 3, ) . p 1
这表明数列{sn} 有界，因此
p
-级数
np n
n1 n
所以当 p 1时 p -级数
1
发散.
np
n 1
当 p 1时，因为当 k 1 x k 时,有 1 1 ,
kp xp
1
kp
k k 1
1 kp
dx
k k 1
1 xp
dx
,
n1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
(k 2, 3, )
发散.
类似地可证当 lim un1 u n n
时,
级数 un
n 1
发散.
(3)当 1 时, 级数可能收敛也可能发散.例如,
p 级数
1
np
n1
当 p 1时级数收敛, 当 p 1 时级数发散, 1
不论 p 为何值都有
lim un1 lim (n 1) p 1.
n1 n
所以级数 sin 1 发散.
n1 n
例
判定级数
n 1
ln
1
1 n2
的收敛性.
解
因 ln1
1 n2
~
1 n2
(n
)
,
而级数
1 收敛,
n2
n1
所以级数
n 1lnຫໍສະໝຸດ 1 1 n2
收敛.
例
判别级数
解
lim n
n
un
lim 1 n 2
n
2 (1)n
lim
1
1 ln[2(1)n ]
en
1
,
n 2
2
因 ln[2 (1)n ] 有界, 故 lim 1 ln[2 (1)n ] 0 , n n
所给级数收敛.
正项级数审敛法小结
1. 正项级数 un 收敛的充分必要条件是:
则级数 vn 发散.
n 1
证 设级数 vn 收敛于和 , 则级数 un 的部分和
n1
n1
sn u1 u2 un v1 v2 vn (n 1, 2, ) ,
部分和数列{sn} 有界, 从而级数 un 收敛. 反之,
n 1
p
级数
n1
1 np
当 p 1时级数收敛, 当 p 1 时级数发散,
n 1
三、基本审敛法
大的收敛,则小的也收敛 小的发散,则大的也发散
1.比较审敛法
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 un vn (n 1, 2, ) .
n 1
n 1
若级数 vn 收敛, 则级数 un 收敛; 若级数 un 发散,
n1
n1
n 1
它的部分和为 sn ,则数列{sn} 是一个单调增加数列:
s1 s2 sn .
二、基本定理
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件是: n 1
它的部分和数列{sn} 有界.
如果正项级数 un 发散，则它的部分和数列 n1
lim
n
sn
,
即 un .
k 1
k 1
un 收敛.
n 1
(2)当 1 时.取 + , 使得 1,
当n
m
时有 un1 un
1 , 也就是 un1
un .
即当 n m 时,级数的一般项 un 单调增加,
从而
lim
n
un
0 . 故级数
un
n1
(n 1)!
所给级数收敛.