数项级数敛散性判别法。(总结)
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。
级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。
下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。
（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。
比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。
二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。
比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。
三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 1联系方式:数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词：数项级数敛散性判别方法总结Severalseriesgatheredofthecriterionscatteredmethod(summary)Abstract：Thesequenceseriesisoneofthemaincontentsinthemathematical analysis.Welearnthissemestertheseveralseriesgatheredofthecriterionhas manyscatteredmethod,thispaperfoldingaseriesoflogarithmscattereddiscr iminantmethodisanalyzedsum-up,gettheproblemsolvingmethod. Key?words:Severalseries;Gatheredscatteredsex;Identifyingmethod;analysissummary一. 数项级数的定义 ：数项级数的定义设{a n }是一个数列，则称表达式a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。
下面举几个例子：（1）1+2+3+4+5+6+…+n+…=∑n ；（2）1- n n 1)1(413121--++-+ +…= ∑--nn 1)1(常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=nu u u +++ 21②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
数项级数敛散性判别
an
发散时， n1
b
n
发
散。 （一般常用作比较级数的有等比级数 n1
aq
n
和 p 级数 n1
n
1
p
）使用
比较判别法时一般来说多用其极限推论形式：正项级数
lim
an
n 1
和 n1
b
n
，
an l 0 l a b l 0 bn n n n b n 1 n 如果 ，则当 时， n1 与 n 1 同敛散；当 时， n n
由这个式子可以看出{Sn}有上界 1，故该数项级数收敛。 ③cauchy 积分判别法：这种方法使用的要求是 an =f(n)对应的 f(x)在[a，+∞）上单调递减，并且非负（a 的取值可以不是 1，视具 体情况而定）这种方法的理论依据是一般判别法，通过借用无穷积分 的敛散性来判断正项级数有无上界实现正项级数敛散性判断。
当 n>N，对于 p N 都成立,所以如果通项比较容易放缩的话，比较 容易看出 散性）
an1 an 2 ...... an p
是否成立，从而判断出数项级数的敛
②正项级数的一般判别法： 正项级数 n 1
a
n
收敛的充要条件是部分
和数列{Sn}有上界（这是单调递增有上界的数列必有极限的一个应 用，这种解法的关键之处是找出上界）
n
①cauchy 收敛准则适用一些通项比较容易被放缩的级数，例如
n 1
n(n 1)
sin n
sin n
这样的式子的放缩很显然很直接（ n(n 1)
1 1 1 n(n 1) n n 1 ） 。
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法共34页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛 散性判别法
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
பைடு நூலகம்
审
容
膝
之
易
安
。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
数项级数敛散性判别法(总结)
华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。
（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式：2012年5月18日摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。
但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。
有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。
但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。
所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them.Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment.引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。
一般数项级数的敛散性及其判别
则有 ⑴
∑ vn 和 ∑ wn 均为正项级数，且有 0 ≤ vn ≤ | u n | 和 0 ≤ wn ≤ | u n | ；
n =1
n =1
1235
⑵ 2
| u n |= v n + wn ， u n = v n − wn 。
变正项级数的性质 ⑴ 若
∞
定理 3.3
∑ u n < +∞ ， 则 ∑ vn < +∞ ， ∑ wn < +∞ 。
ρ − ε > 1 ，即
| un +1 | > ρ − ε > 1 ，或 | un +1 |>| un | ，从而 n > N 时， {| un |} 单调增加， | un |
∞
因此 lim | un |≠ 0 ，必有 lim un ≠ 0 ；根据级数收敛的必要条件 ∑ un 发散。
n →∞ n →∞ n =1
据定理 3.3， 且有
n
∑v
n
n
′ 和 ∑ wn 收敛。由上述⑴所证，有 ∑ v ′ n < +∞ ， ∑ wn < +∞ ，
n n n n n
∑ v = ∑ v ′ ， ∑ w ∑ u = ∑ w′ ， ⇒ ∑ u = ∑ u ′ 。
回答是肯定的。条件收敛的级数有个一般的结果，这是下面
由该定理可见，绝对收敛级数满足加法交换律。是否只有绝对收敛级数才满 足加法交换律呢 ? 的 Riemann 定理。 定理 3.5(Riemann) 若级数 ∑ u n 条件收敛，则对任意实数 s ( 甚至是
例3.3 证明级数 ∑ (−1) n −1
n =1
2n − 1 为条件收敛。 n2
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
数项级的敛散性判别法
第六讲 数项级数的敛散性判别法§1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑都是正项级数，存在0c >，使（i ） 若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也收敛；（ii ） 若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑也发散．比较原理II （极限形式）设1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑均为正项级数，若则1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设1nn u∞=∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >1q ≤<（q 为常数）， 则1nn u∞=∑收敛；（ii1≥，则1n n u ∞=∑发散．证（i ）若当n N >1q ≤<，即nn u q≤，而级数1nn q∞=∑收敛，根据比较原理I 知级数1nn u∞=∑也收敛．（ii ）1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞≠，由级数收敛的必要条件知1nn u ∞=∑发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1nn u ∞=∑收敛；（ii ） 当1r>（或r =+∞）时，1n n u ∞=∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性23123(1)()()()35721nn n ++++++；n nn e∞-∑n=1(2)n n x α∞∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为112n r==<，所以原级数收敛．(2) 因为lim n n nre→∞===∞，所以原级数发散．(3) 对任意α，n rx ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1α-≤时，即1α≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3n nnn ∞=+-∑的敛散性． 解 由于不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)nn n a ∞=-∑发散，试问级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是否收敛？并说明理由．解 答案：级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛，证明如下：由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞存在．设lim ,n n a a →∞=则0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知1(1)nnn a∞=-∑收敛，这与1(1)nnn a∞=-∑发散矛盾，故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取111q a =<+， 根据柯西判别法1知111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛．下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的通项n u 的()0an b a +>次根的极限等于r，即lim an n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有()()an r r εε-<<+ （1）对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有0an b +> （2）取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，那么有an bn u q+<，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑收敛（因为其为等比级数且公比01nq <<），由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立，则an bn u q+>，正项级数11()an bba nn n qqq∞∞+===∑∑发散，由比较审敛法知，级数1nn u∞=∑发散．当1r =时，取1n pu n =，那么，对任何0,a b >为常数，有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞=∑发散，211n n∞=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑的收敛性．解因为21lim lim01,31n n n →∞→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑收敛．注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设1nn u∞=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于1的正整数）次根的极限等于r，即lim n r →∞=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为mn nqq <，又正项级数1nn q ∞=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1mnn q ∞=∑收敛 ，所以1nn u∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n u q>>，那么lim 0n n u →∞≠，所以级数1n n u ∞=∑发散．当1r =时，同样取()10n p u p n=>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．例5 判断级数2121n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性． 解因为1lim lim lim1212n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若n u =，1limnn n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞=∑发散[2]．为证明定理5，需要一些预备知识：Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且lim n n b →∞=+∞，若11limn n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n nal b →∞=（或+∞）．命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞=，则12lim lim nn n n x x x l x n→∞→∞+++==。
数项级数敛散性判别法。(总结)
数项级数敛散性判别法。
(总结)数项级数是一类由无穷多个项组成的数列，它们的和是一个数。
在数学中，我们通常利用一些方法来判断数项级数的收敛性和发散性。
以下是数项级数敛散性判别法的总结：1. 正项级数收敛判别法：如果数列中的每一项都是非负数，且后一项大于等于前一项，那么这个数项级数收敛。
2. 比较判别法：如果一个数项级数的绝对值序列能够被一个已知的收敛数项级数和一个已知的发散数项级数所夹逼，那么这个数项级数与已知的收敛数项级数具有相同的收敛情况，与已知的发散数项级数具有相同的发散情况。
3. 极限比值判别法：对于一个数项级数，如果存在一个常数$q$，使得 $0\leq q<1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<q$，那么数项级数收敛。
如果存在一个常数 $r>1$，并且对于充分大的 $n$，有$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>r$，那么数项级数发散。
如果 $q=1$，那么该方法不确定。
4. 根号(拉阔)判别法：对于一个数项级数，如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}<1$，那么数项级数收敛；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}>1$，那么数项级数发散；如果$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$，那么该方法不确定。
5. 积分判别法：对于一个递减的正项函数 $f(x)$，如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 可以表示成积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ 的形式，且该积分收敛，那么数项级数也收敛。
如果积分发散，那么数项级数也发散。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明：由假设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
P--级数
111 1p 2p 3p
1 np
1
n1 n p
在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用
二、相关定理
定理一：如果
lim
n
an
0
，则可判断该级数一定不收敛。
-3-
定理二、等比级数判别法：
n1
ar
n 1
(a
0)
当 r 1时，级数收敛； （2）当 r 1时，级数发散
定理三、 p 级数判别法：
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
s in 2 n2
n
也收敛。
注：如果级数中不是所有的项都满足 vn un ，而是从有限项开始才满
足。也可以用比较法判断敛散性。因为改变级数的前有限项不改变级
数的敛散性。
例题 6、 证明级数
1 1 1 1
2! 3!
n!
收敛．
证
un
1 n!
1
2
1 3
n
0
满足
1 n!
1 2 n1
，而
( 1 ) n1
m
m
Sm
f (n) f (1) f (x)dx f (1)
1
1
n1
f (x)dx
。
于是，知 级数 f (n) 收敛。
反之，若级数 f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有
m
m1
1 f (x)dx Sm1 f (n)
n1
f (n) S
。
又因 f (x) 为[1,) 上非负减函数，故对任何 A 1，有
1 ( p 0) n1 n p
(1)当 0 p 1时，级数发散 (2)当 p 1时，级数收敛
注：调和级数是特出的 p 级数，这时 p=1。
定理四、设 un 与 vn 是两个正项级数，若
当 un vn 且级数 vn 收敛时，级数 un 也收敛；
当 vn un 且级数 vn 发散时，级数 un 也发散；
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
定理五、（极限形式）若 un
为正项级数，且 lim
u n 1 un
q
则
(1)当 q 1时，级数 un 也收敛； (2)当 q 1时，或 q 时，级数 un 发散；
注：当 q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，
因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数
1 n2
与
1 n
，它
lim un1 1
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结）
课 程 名 称： 专 业 班 级： 成员组成 联 系 方 式：
高等数学（下）
2012 年 5 月 18 日
-1-
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家
都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题 目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭 每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断 敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后， 得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方 法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
n1
2
1 n
1
的敛散性．
解
因为
0
1 2n 1
1 2n
n
，而
1 2n
1 2
1
，所以
n1
1 2n
收敛．再根据比较
判别法，原级数
n1
2
1 n
1
收敛．
注：本题是比较法和根植法的联合应用，所以有时应用单一的方法无
法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。
例题 10、
设 an
0
，且
lim
n
an
取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。
以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的
-5-
单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散
性。
定理九 设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则正项级数 f (n) 与反常
积分 1 f (x)dx 同时收敛或同时发散。
-8-
别法来解题。由于
sin 1
lim n 1
n 1 n
，根据比较原则，及调和级数
1 n
发
散，所以级数
sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
也发散.
注：这是比较法的极限形势。是比较法的更深度的运用。
例题 8、
1
判断正项级数 n1 n sin 3n
的敛散性．
1
1
lim
u n 1
lim
(n 1) sin 3n1
lim ( n 1 3n1 )
u n n
n
n sin 1
n n
1
解 因为
3n
3n
1 lim n 1 1 1
3 n n 3 ，所以该级数收敛．
注：本题是比值法的应用，从中可以看出，比值法是通过比值的方法
消去某些因子，以达到简化运算的目的。所以运用比值法时，应注意
观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。
例题 9、
判断级数
们的比式极限都是 n un
但
1 n2
是收敛的，而
1 n
是发散的.
注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构
造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的
级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简
单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自
A
0 1 f (x)dx Sn S ,
故知，反常积分 1 f (x)dx 收敛。
n A n 1。
同理可证它们同时发散。
三、以下给出例题做具体分析
例题
1、判断级数
n 1
n 100 n
1
是否收敛
n
1
lim
0
解： n 100n 1 100 ，所以此级数发散。
-6-
1
但是当
lim
n
un
0 时，不能判断该级数是否收敛。例如
n1
n
。因此
lim
n
un
0
只是一个必要条件，而非充分条件。
例题 2、 k 0 ,且 n1 an2 收敛,证明 n1 (1)n
an
n2 k 绝对收敛?
(此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.)
解：
an n2 k
1 2
(an 2
n2
1
k
)
又
n1
an 2
、
n1
1 n2
k
收敛,则
n1
例题
4
、断调和级数
∞
n1
1 n
1
1 2
1 3
…
1 n
…