平面立体的截切
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立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
第三章 平面与立体的截切
第 三 章 平面与立体的截切
昆明理工大学工程图学教研室
第三章
平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
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例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
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㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
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例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
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例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
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平面与立体的截交
截交：用一个平面与立体相截切，截去立体 的一部分，如图P与三棱锥S-ABC相截交。 截平面 —— 用以截 切立体的平面，如P平 面。 截交线 —— 截平 面与立体表面的交线， 如：KN，NL，KL。
S p
L
K A B N
★找特殊点 ★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
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例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
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㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的空
间形状都是圆，但根据截平面与投
影面的相对位置不同，其截交线的
投影可能为圆、椭圆或积聚成一条
直线。
平行 两平行直线
例1：已知主、俯视图，求左视图 同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
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例1：已知主、俯视图，求左视图
解题步骤：
㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同，截交线的空间形状 有五种情况：
PV θ PV PV θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
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例: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 特性？ 一根轴的端点？
第四章 截交线
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39
【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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40
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41
§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示 上一页
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6
（二）作图
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7
【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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8
（二）作图
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9
【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
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【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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（二）作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
第四章平面体及回转体的截切讲解
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
∙截平面——用以截切物体的平面。
∙截交线——截平面与物体表面的交线。
∙截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图。
一、平面截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
∙例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线法！例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例3: 求八棱柱被平面P2例3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
一、回转体截切的基本形式截交线的性质：∙截交线是截平面与回转体表面的共有线。
∙截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。
∙截交线都是封闭的平面图形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。
找出截交线的已知投影，予见未知投影。
⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点，补充中间点。
☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
例1：求左视图例1：求左视图解题步骤：★空间及投影分析截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影例2：求左视图例2：求左视图例3：求俯视图截交线截交线的空间的投影形状？特性？例:如何找椭圆另一根轴的端点？例: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢球体的截切平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
㈣复合回转体的截切首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
第七章 立体的截断
第七章 立体的截断
甘肃建筑职业技术学院
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《建筑制图与识图》
本章内容
7.1 平面体的截交线 7.2 曲面体的截交线 7.3 同坡屋面交线
《建筑制图与识图》 7.1 平面体的截交线
平面立体的截交线，是由 平面立体被平面切割后所 形成。如图7.1所示
图7.1 平面体的截断
《建筑制图与识图》
《建筑制图与识图》
7.3 同坡屋面交线
如果每个屋面对水平面的倾角相同， 而且房屋四周屋檐同高，那么，由这 种屋面所构成的屋顶称为同坡屋面。
图7.4 屋面交线
与檐口线平行的两坡屋面交线称为屋脊 线。
凸墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
斜脊线。
凹墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
天沟线。
《建筑制图与识图》
求平面体截交线的思路：
求平面体的截交线常采用交点法，利用辅助线法或积聚法 求出截平面与形体棱线或底面边线上的交点，依次连接即得截 交线。再由截交线求出截断体的投影，最后分析判断剩余 截 断体上线条的可见性。
立体被截断后，截去的部分应用双点长画线表示，剩余截 断体上可见的线用粗实线表示，不可见的线用中虚线表示。
《建筑制图与识图》 [例7.1]已知三棱锥被切割后的V投影，求截断体的H、W面投影图。
求截交线如图7.2所示.
图7.2 三棱锥被截断已知条件
《建筑制图与识图》
【解析】
1.投影分析： 截平面P为正垂面，它的V投影具有积聚性，截平面Q为水平
面，它的V、W投影均具有积聚性，截平面P同截平面Q一样与三 棱锥的三个棱面都相交并截断两条棱线但并未完全切断形体，同 时这两个截平面相交产生一条交线CD（如图7.7所示）。故从V面 着手，找出截交线的正投影，再由投影关系即可求出截交线的H、 W面投影。最后连线成面，即可求的截断体的三面投影图。
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7.1 平面体的截交线 7.2 曲面体的截交线 7.3 同坡屋面交线
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平面立体的截交线，是由 平面立体被平面切割后所 形成。如图7.1所示
图7.1 平面体的截断
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7.3 同坡屋面交线
如果每个屋面对水平面的倾角相同， 而且房屋四周屋檐同高，那么，由这 种屋面所构成的屋顶称为同坡屋面。
图7.4 屋面交线
与檐口线平行的两坡屋面交线称为屋脊 线。
凸墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
斜脊线。
凹墙角处檐口线相交的两坡屋面交线称 为
天沟线。
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求平面体截交线的思路：
求平面体的截交线常采用交点法，利用辅助线法或积聚法 求出截平面与形体棱线或底面边线上的交点，依次连接即得截 交线。再由截交线求出截断体的投影，最后分析判断剩余 截 断体上线条的可见性。
立体被截断后，截去的部分应用双点长画线表示，剩余截 断体上可见的线用粗实线表示，不可见的线用中虚线表示。
《建筑制图与识图》 [例7.1]已知三棱锥被切割后的V投影，求截断体的H、W面投影图。
求截交线如图7.2所示.
图7.2 三棱锥被截断已知条件
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【解析】
1.投影分析： 截平面P为正垂面，它的V投影具有积聚性，截平面Q为水平
面，它的V、W投影均具有积聚性，截平面P同截平面Q一样与三 棱锥的三个棱面都相交并截断两条棱线但并未完全切断形体，同 时这两个截平面相交产生一条交线CD（如图7.7所示）。故从V面 着手，找出截交线的正投影，再由投影关系即可求出截交线的H、 W面投影。最后连线成面，即可求的截断体的三面投影图。
平面立体的切割
5、作图步骤
（1）根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 （2）根据截平面位置和曲面立体所处位置， 决定采用什么方法求共有点。 （3）求出截交线上的特殊点。 （4）根据需要求出若干个一般点。 （5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线， 并且判断可见性。 （6）最后，补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部 分。
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面：用来截切立体的平面称为截平面。 截断面：立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 （1） 棱柱上截交线的求法 （2） 棱锥上截交线的求法
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有： （1）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 （2）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 （3）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上 四个端点。 （4）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线） 组成时结合处的那些点。 对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1．分析:截平面的 正面投影积聚，截 交线的正面投影已 知，水平投影和侧 面投影待求；
2．求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性；
平面立体的投影与截切
a′
c′ c
b″ (c″)
a″
C B
A
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a
棱锥表面取点的方法
棱锥表面取点——辅助线法 辅助线法 棱锥表面取点 依据点的从属性：点在线上，线在面上⇒ 依据点的从属性：点在线上，线在面上⇒ 点在面上。 点在面上。 要点：作图时首先判别点在哪个面上， 要点：作图时首先判别点在哪个面上，然 后在该平面内取线。 后在该平面内取线。
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s′
三棱锥的投影
s″
侧垂面
S b′ b s a′ c ′ c (c″) b″
a″ C B A
实形
a
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三棱锥的投影
s′ s″
三棱锥相对于投影面 的位置： 的位置： 底面ABC为水平面； 为水平面； 底面 为水平面 侧棱面SBC为侧垂面。 为侧垂面。 侧棱面 为侧垂面
S
b′ b s
s″
取平面内直线的平行线 过锥顶取辅助线
r′ b′ b t' r 1s t a
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1′ a′ c ′ c (c″) b″
1″ a″ R B
S
Ⅰ C
T
A
完成三棱锥被截切后的水平和侧面投影
侧垂面
c' b' a' a” C A a c B c” b”
b
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完成三棱锥被截切后的水平和侧面投影
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三棱锥表面上取点
s′
s″ 2″
2----在棱线 上 在棱线SA上 在棱线 1----在侧垂面 在侧垂面SBC上 在侧垂面 上
S
2′ (1’) b′ b s 2 a
第5章(3)平面立体截切
◐加深
例7 已知一光学三棱镜ABCD被两个正平面P1、P2、一个正垂面Q、一个侧平面S 和一个水平面T所截切而成，试完成棱镜的三视图。 a b ≡c c b a
SV
QV
TV
d c P1H
a
d P2H
SH
b
◐未截切前 三棱锥 ◐画未截切前 三棱锥侧视图 ◐侧平面S截切 三角形 ◐画侧视图三角形
◐加深
SH
b
本次课重点 ◐平面立体截切 ◆截交线性质 ◆求截交线方法 棱线法、棱面法 ◆求截交线的步骤 ◎分析——形状、相对位置 ◎求作截平面与棱线交点 平面与平面交线的端点 ◎连接各点 ◎分析棱线投影
作业: 习题集P40、41——13～16 17、18（预做）
下次课内容——曲面立体截切
习题集P40 14.(c)
◐ 未截切前 ——五棱柱 ◐ 画五棱柱俯视图
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左、右上角 两正垂面截切 ——三角形
◐ 画俯视图 ——类似三角形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 左右下角 两正垂面截切 ——六边形
◐ 画俯视图 ——类似六边形
例5 求立体被平面截切后的俯视图。
◐ 加深轮廓线
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
习题集P41、16
◐未截切前 梯形棱柱 ◐截平面 一正垂面 两铅垂面 ◐正垂面截切 四边形（梯形） ◐画侧、俯视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
◐两铅垂面截切 四边形
◐完成主、侧视图 类似四边形
例6 完成梯形棱柱被平面截切后的三视图。
SV
QV
TV
d c P1H
d
a
d P2H
现代工程设计制图第4章
截交线分析 六棱柱被正垂面截切---交线为平面多边形
4’
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ Ⅵ
Ⅱ Ⅰ
[例1] 根据轴测图画出物体的三视图。
P
主视 方向
(a)
2' 1'
(b)
2" 1"
Ⅰ 1
( c)
2
Ⅱ
[例2]根据物体的立体图,画出三视图。 分析切割式平面立体的形成。
分析切割式平面立体的形成
[例2] 根据物体的立体图,画出三视图。
A
P
D C
[例4] 画出四棱锥被正垂面切割后的三视图。
b' (d') a'
c'
d"
c" b" a"
d
a
b
c
[例5] 补画视图中所缺的图线。
a' b' d' c' a" b" d" c"
a b c d
A B C
D
4.2 回转体的截切
回转体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形。
三维模型
[例17] 补画俯视图。
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连 接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线。
●
三、圆球的截交线
平面与球相交，截交线为圆
平面与球相交，截交线为圆（1）
平面与球相交，截交线为圆（2）
平面与球相交，截交线为圆（3）
b´ a´
a"
立体截交线讲诉
1'
（2'） 4' 5' （3'）
空间分析：
四棱锥被正垂面切割，截 交线也应是平面多边形， 其正面投影积聚为一条线 ，水平投影侧面投影小于 实形的类似形。
例5-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 s' s" 作图步骤：
7'
（8'） 6' 1' a' 8"
7"
6"
四棱锥表面上取 截交线的各顶点
12
3
5
4
[例题6]
想象出物体及其侧面投影的形状
3
平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
二、圆锥截交线的求法 三、例题
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
二、求圆锥截交线上点的方法
圆锥上的截交线 求共有点的方法 素线法
纬圆法
三、 例题
[例题1] 求圆锥截交线
2. 截平面相对投影面的位置 （平行，垂直） 2" 3. 截交线的空间分析及
投影分析（积聚性）
1' 3 5 （7） 1 4 （6） 2
1" 作图：
侧平面
正垂面
4. 求棱线的交点连线或 求棱面的交线 ( 线上 取点或棱面上取线） 5. 检查漏线和多线 6. 判断可见性.
2．棱锥上截交线的求法
例题4
例题5
2'3'
4'5' 6'7' 5"
3"
1"
解题步骤
2" 4" 6"
第四讲 平面立体切割
Page 12(5)(8)
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
S S"
1" 2 (3 ) 3" ( c´ ) c" b´ c 3 4 1 2 4"
Pv
1
Qv 4 a´
a"
a
s
解题步骤 1)分析: 截平 面为正垂面和 水平面，正面 投影积聚； 2)求出点1、2、 2" 3 4 b" 、 ； 3)顺次地连接 各点，作出截 交线，并且判 别可见性；
4)补全轮廓线。
b
P
4 ≡ 5 7
5
4
Ⅴ
2 Ⅶ Ⅷ Ⅰ Ⅳ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
2 ≡ 3 ≡ 6 ≡ 7 1 ≡ 8 8
6 3
7 5 6
8
1
3 1 2
4
分析棱线的 截交线的投影 检查截交 截交线的形状？ 求截交线 投影 特性？ 线的投影
作业：
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第三章
立体的切割与相贯
§3-1 截 切 立 体
一、截切平面立体
7.4、平面与立体相交——截交线
截交线：平面与立体 表面相交而产生的交 线称为截交线 。
1、截交线的性质：
截交线既是截平面上的线，又在立体表面上 的线，因此截交线上的每个点都是截平面与立 体表面的公有点 截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。多边 形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边 是截平面与立体各表面的交线。 截交线的形状取决于立体的形状、 截平面与立体的相对位置。其投影 情况还取决于截平面与投影面的相 对位置
Байду номын сангаас 求平面与平面立体截交线的方法：
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
S S"
1" 2 (3 ) 3" ( c´ ) c" b´ c 3 4 1 2 4"
Pv
1
Qv 4 a´
a"
a
s
解题步骤 1)分析: 截平 面为正垂面和 水平面，正面 投影积聚； 2)求出点1、2、 2" 3 4 b" 、 ； 3)顺次地连接 各点，作出截 交线，并且判 别可见性；
4)补全轮廓线。
b
P
4 ≡ 5 7
5
4
Ⅴ
2 Ⅶ Ⅷ Ⅰ Ⅳ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
2 ≡ 3 ≡ 6 ≡ 7 1 ≡ 8 8
6 3
7 5 6
8
1
3 1 2
4
分析棱线的 截交线的投影 检查截交 截交线的形状？ 求截交线 投影 特性？ 线的投影
作业：
Page 10 Page 11(1)(3)(4)
第三章
立体的切割与相贯
§3-1 截 切 立 体
一、截切平面立体
7.4、平面与立体相交——截交线
截交线：平面与立体 表面相交而产生的交 线称为截交线 。
1、截交线的性质：
截交线既是截平面上的线，又在立体表面上 的线，因此截交线上的每个点都是截平面与立 体表面的公有点 截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。多边 形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边 是截平面与立体各表面的交线。 截交线的形状取决于立体的形状、 截平面与立体的相对位置。其投影 情况还取决于截平面与投影面的相 对位置
Байду номын сангаас 求平面与平面立体截交线的方法：
第四讲立体表面的截交线
见性。
1、圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两条平行线
垂直 圆
倾斜 椭圆
平面与圆柱面相交的三种形式
截面位置 与轴线平行
与轴线垂直
与轴线倾斜
立 体 图
投 影 图
与轴线倾斜
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
画椭圆先 找长短轴
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
§3 -1 立体表面的截交线
• 截切— 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。 • 截平面 —用以截切立体的平面。 • 截交线 —截平面与立体表面的交线。 • 截断面 —因截平面的截切，在立体上形成的平面。
截交线的性质：
•截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交 线上的点既在截平面上又在立体表面上。
分析、比较
例3：求俯视图
●
●
●
●
例3：求俯视图
例4：求俯视图
例4：求俯视图
分析、比较
补全四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 2 (4)
4● ●1 ● 2
3
● 3
4
●
3
1
●
●
●2
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
补全四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱锥表面上取点
s
s
辅助线法：
1、过平面内两点作直线
k n
k
2、过平面内一点作平面
(n)
内已知直线的平行线
a b c a(c) b
a
sc
kn
b
补
全
1、圆柱体表面的截交线
截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两条平行线
垂直 圆
倾斜 椭圆
平面与圆柱面相交的三种形式
截面位置 与轴线平行
与轴线垂直
与轴线倾斜
立 体 图
投 影 图
与轴线倾斜
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
画椭圆先 找长短轴
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
§3 -1 立体表面的截交线
• 截切— 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。 • 截平面 —用以截切立体的平面。 • 截交线 —截平面与立体表面的交线。 • 截断面 —因截平面的截切，在立体上形成的平面。
截交线的性质：
•截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交 线上的点既在截平面上又在立体表面上。
分析、比较
例3：求俯视图
●
●
●
●
例3：求俯视图
例4：求俯视图
例4：求俯视图
分析、比较
补全四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 2 (4)
4● ●1 ● 2
3
● 3
4
●
3
1
●
●
●2
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
补全四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱锥表面上取点
s
s
辅助线法：
1、过平面内两点作直线
k n
k
2、过平面内一点作平面
(n)
内已知直线的平行线
a b c a(c) b
a
sc
kn
b
补
全
工程制图-第四章-截切体与相贯体的投影
7 8
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
截切_312702148
求作顶尖的俯视图?分析复合回转体由哪些基本回转体组成?分别求出每个基本回转体的截交线?依次连接各截交线重点掌握求平面体表面的截交线类似形与圆柱体表面的截交线的分析方法与作图方法
一、截切的概念 二、平面体的截切 三、回转体的截切
本周作业
P24: 4-4,4-5； 24: P25： 7,4P25：4-7,4-9； P28： 21， P28：4-21，4-22
• 封闭的平面多边形 • 公有性，截交线是截平面与回转体表面的共有点的连线 公有性，
截交线的形状： 截交线的形状：
• 回转体的形状 • 截平面对回转体的截切位置
2.圆柱体的截切 2.圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
●
●
1. 空间分析 2. 投影分析 3. 作图求交线 4. 检查： 检查： 查轮廓线投影
●
●
例1：求左视图
例2：求左视图
单边截切 范围不同 时的比较
圆 柱 面 轮 廓 线 有 差 别
分析、比较 分析、
单边截切 与双边截 切的比较
顶 面 投 影 有 差 别
例3：求俯视图
45° 45°
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
3. 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线 有五种形状。 有五种形状。
α θ
α θ
α θ
α
过锥顶 两相交直线
=90° =90 θ ° 圆
90° ＞ 90° θ α ＞ 椭圆
θ＝α 抛物线
例3：求俯视图
一、截切的概念 二、平面体的截切 三、回转体的截切
本周作业
P24: 4-4,4-5； 24: P25： 7,4P25：4-7,4-9； P28： 21， P28：4-21，4-22
• 封闭的平面多边形 • 公有性，截交线是截平面与回转体表面的共有点的连线 公有性，
截交线的形状： 截交线的形状：
• 回转体的形状 • 截平面对回转体的截切位置
2.圆柱体的截切 2.圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。 与圆柱轴线的相对位置。
平行 两平行直线
垂直 圆
倾斜 椭圆
例1：求左视图
●
●
1. 空间分析 2. 投影分析 3. 作图求交线 4. 检查： 检查： 查轮廓线投影
●
●
例1：求左视图
例2：求左视图
单边截切 范围不同 时的比较
圆 柱 面 轮 廓 线 有 差 别
分析、比较 分析、
单边截切 与双边截 切的比较
顶 面 投 影 有 差 别
例3：求俯视图
45° 45°
截平面与圆柱轴 线成45 45° 线成45°时。
3. 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同， 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线 有五种形状。 有五种形状。
α θ
α θ
α θ
α
过锥顶 两相交直线
=90° =90 θ ° 圆
90° ＞ 90° θ α ＞ 椭圆
θ＝α 抛物线
例3：求俯视图
§4-1 平面立体被截切
6'（7'） 4' （5'） 5"
2' （3'） 1' 3 5 7 3" 1" 7"
6"
4" 2"
分析：由图可知，截交线的 正面投影积聚为一直线。水 平投影，除顶面上的截交线 外，其余各段截交线都积聚 在六边形上。
1
6 2 4
完成后的投影图
例3：作四棱柱被截切后的投影。 a' (b') b"•
•a"
B
A
b 分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
a
完成后的投影图
截交线
截断面
截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面
与立体表面的共有线。 实质：求两平面的交线。 求截交线的方法 ： 空间分析：分析截平面与立体的相对位置，确定截交线 的形状。分析截平面与投影面的相对位置。确定截交线的投 影特性。 画投影图：求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的 交点，然后顺次连直线。 求各棱线与截平面的交点的方法是棱线法。
四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面截平面与棱线的交点均在棱面的投影上
§4-1
概念：
平面立体被截切
截平面
截切——用一个与立体相 交的平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切立体的
平面。 截交线——截平面与立体表 面的交线。 截断面——因截平面的截切， 在立体上形成的平面。
例1：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
2' （3'） 1' 3 5 7 3" 1" 7"
6"
4" 2"
分析：由图可知，截交线的 正面投影积聚为一直线。水 平投影，除顶面上的截交线 外，其余各段截交线都积聚 在六边形上。
1
6 2 4
完成后的投影图
例3：作四棱柱被截切后的投影。 a' (b') b"•
•a"
B
A
b 分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
a
完成后的投影图
截交线
截断面
截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面
与立体表面的共有线。 实质：求两平面的交线。 求截交线的方法 ： 空间分析：分析截平面与立体的相对位置，确定截交线 的形状。分析截平面与投影面的相对位置。确定截交线的投 影特性。 画投影图：求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的 交点，然后顺次连直线。 求各棱线与截平面的交点的方法是棱线法。
四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面截平面与棱线的交点均在棱面的投影上
§4-1
概念：
平面立体被截切
截平面
截切——用一个与立体相 交的平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切立体的
平面。 截交线——截平面与立体表 面的交线。 截断面——因截平面的截切， 在立体上形成的平面。
例1：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
平面立体的截切
求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线 6
⒉ 求截交线的步骤：
4 3
5 2
1
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
3´≡4´≡ 6´ ≡ 7´
5´ 2´≡8´ 1´≡9´
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
87
9
6
5
1
4
23
用截交线的 类似性检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
例5：求左视图
● ● ● ●
例6:补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例7：求俯视图
求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
3. 截交线的形状
怎样截确交定线截的交形线 的状投是影怎形样状的？？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线 6
⒉ 求截交线的步骤：
4 3
5 2
1
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
3´≡4´≡ 6´ ≡ 7´
5´ 2´≡8´ 1´≡9´
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
87
9
6
5
1
4
23
用截交线的 类似性检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
例5：求左视图
● ● ● ●
例6:补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例7：求俯视图
求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
3. 截交线的形状
怎样截确交定线截的交形线 的状投是影怎形样状的？？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数
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第四章 立体的截切
4.1 平面立体的截切 4.2 回转体的截切
截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 :用以截切物体的平面。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
（2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4) 2 3
1
4 2 ●
●
●
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
截平面★与交立投线体影的分形几析状个？棱面相交? 截交★线与求投截影交面的线位置关系?
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
㈢ 球体的截切
例12：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线截的交 投线影的，投在影俯，视在图侧上视为图部上分为 圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上视积图聚上为积 直聚线为。直线。
判断可见性
例13:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
⒉ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：
☆ 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置
垂直 圆
平行 两平行直线
倾斜 椭圆
例４：求左视图
● ● ● ●
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
截交线的性质：
平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多 边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面 立体上的截切位置。 截交线的每条边都是截平面与棱面的交线(共有性)。
求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线 6
轮廓线要不 要?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
(四) 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
★利用积聚性求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例5：求左视图
● ● ● ●
例6:补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例7：求俯视图
求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
45°
什么情况下投
影为圆呢?
截平面与轴线 成45°夹角时
● ●
●
● ● ● ●
●
★找特殊点
●
●
★补充中间点
★光滑连接各点
★分析轮廓素线的投影
●
●
例9：求左视图
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
1) 确定截交线的形状 ☆ 明确回转体的形状
3 4
2
1
☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
2) 明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⒉ 求截交线的步骤：
4 3
5 2
1
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
3. 截交线的形状
怎样截确交定线截的交形线 的状投是影怎形样状的？？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数
4´ 3´
6´ 1´ 2´≡(5´)
4″
(5″)≡6″ 2″
3″ 1″
5 6
4
2
3
1
例3:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
3´≡4´≡ 6´ ≡ ´
5´ 2´≡8´ 1´≡9´
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
87
9
6
5
1
4
23
用截交线的 类似性检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切
θ PV
PV
θ
α PV
θ = 90° 过锥顶 圆 两相交直线
θ ＞α 椭圆
PV
θ PV
α
α
θ =α θ = 0°＜α
抛物线
双曲线
例10: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图
截交线的空间形状? 截交线的投影特性？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影
4.1 平面立体的截切 4.2 回转体的截切
截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 :用以截切物体的平面。 截交线 :截平面与物体表面的交线。 截断面 :因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
4.1 平面立体的截切
一、平面立体截切的基本形式
（2）分析截平面与投影面的相对位置以确 定截交线的投影形状。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4) 2 3
1
4 2 ●
●
●
● 3
4 ●
3
1
●
●
2●
截平面★与交立投线体影的分形几析状个？棱面相交? 截交★线与求投截影交面的线位置关系?
★ 分析棱线的投影
★ 检查 类似性
例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
㈢ 球体的截切
例12：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线截的交 投线影的，投在影俯，视在图侧上视为图部上分为 圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上视积图聚上为积 直聚线为。直线。
判断可见性
例13:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
⒉ 画截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：
☆ 先取特殊点，后取中间点。 ☆ 顺次光滑地连接各点，并判断可见性。
㈠ 圆柱体的截切
截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置
垂直 圆
平行 两平行直线
倾斜 椭圆
例４：求左视图
● ● ● ●
同一立体被多 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
截交线的性质：
平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多 边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面 立体上的截切位置。 截交线的每条边都是截平面与棱面的交线(共有性)。
求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面立体截交线的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
棱线法:求各棱线与截平面的交点 棱面法:求各棱面与截平面的交线 6
轮廓线要不 要?
分析:球面被侧平面 截切，侧面投影为圆 ；球面被水平面截切 ，水平面投影为圆。
(四) 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
1. 分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系. 2. 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
★利用积聚性求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
例5：求左视图
● ● ● ●
例6:补画出立体的左视图
1.作圆柱的左视图 2.作左切面上的投影 3.作下部通槽的投影 4.判别可见性
5.整理并擦除多余的线, 完成作图.
例7：求俯视图
求左视图
截交线的空间形状是怎样的? 截交线的已知投影呢？ 截交线的侧面投影 是什么形状？
椭圆的长、短轴随 截平面与圆柱轴线 夹角的变而改变。
45°
什么情况下投
影为圆呢?
截平面与轴线 成45°夹角时
● ●
●
● ● ● ●
●
★找特殊点
●
●
★补充中间点
★光滑连接各点
★分析轮廓素线的投影
●
●
例9：求左视图
截交线性质 截交线形状
共有性 封闭的平面图形
回转体表面的形状 截平面与回转体轴线的相对位置
二、求截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
1) 确定截交线的形状 ☆ 明确回转体的形状
3 4
2
1
☆ 分析截平面与回转体轴线的相对位置
2) 明确截交线的投影特性(积聚性、类似性等)
☆ 关键在分析截平面与投影面的相对位置
⒉ 求截交线的步骤：
4 3
5 2
1
１）空间及投影分析
截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置
２）画出截交线的投影
确定截交 线的形状
确定截交线 的投影特性
3. 截交线的形状
怎样截确交定线截的交形线 的状投是影怎形样状的？？
（1）分析截平面与立体的相对位置以确 定截交线形状。 截交线多边形的边数=截平面截到的棱面数
4´ 3´
6´ 1´ 2´≡(5´)
4″
(5″)≡6″ 2″
3″ 1″
5 6
4
2
3
1
例3:求九棱柱被正垂面截切后的俯视图。
3´≡4´≡ 6´ ≡ ´
5´ 2´≡8´ 1´≡9´
7″ 6″ 4″ 3″ 5″
8″ 9″
2″ 1″
87
9
6
5
1
4
23
用截交线的 类似性检查
4.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式
虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切
θ PV
PV
θ
α PV
θ = 90° 过锥顶 圆 两相交直线
θ ＞α 椭圆
PV
θ PV
α
α
θ =α θ = 0°＜α
抛物线
双曲线
例10: 圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图
截交线的空间形状? 截交线的投影特性？
如何找椭圆另 一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的投影