冀教版九年级上册数学《相似三角形的判定》PPT教学课件
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A.AB 2=BC·BD
B.AB 2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一
点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，
DE=3，则AD的长为（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
A
B
D
C
随堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个
B′
上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.
C′
A
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC ，
D
E
∴ AD:AB=AE:AC ，
∴DE∥BC ，
∴△ADE∽△ABC ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
B
C
知识讲解
相似三角形判定
定理： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图所示,此时，
=
1
，
3
=
1
，
3
∠=∠,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的
两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形一定相似吗？
一定相似
新课导入
已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝
A′
∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)
P
解：⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC.
所以，增添的条件可以是
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC.
1
2
B
C
随堂训练
3.如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD
方法1：通过定义
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形. （不常用）
方法2：通过平行线
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
方法3：两角对应相等的两个三角形相似.
新课导入
探究： 如果有一点E 在边AC上，那么点E 应该在什
么位置才能使△ADE ∽ △ABC 相似呢？
解 : ∵DE∥BC，
D
E
∴∠ADE＝∠B,
∠AED＝∠C.
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC .
∴ ∠AED＝∠C.
∴△ADE ∽ △EFC.
B
F
C
随堂训练
4.如图， ∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB 的长.
解： ∵ ∠A= ∠A，∠ABD=∠C ,
∴ △ABD ∽△ACB ,
∴ AB :AC=AD :AB,
如果∠A =∠A1， ∠B =∠B1，
B
C B1
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
注意
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
C1
知识讲解
常见的相似图形
A
C
D
C
A
OOE来自DBB
B
A
C
A
A
D
1
D
E
B
D
C
B
2
E
C
知识讲解
典型示例
例
如图所示，点D 在△ ABC 的边AB 上，满足
怎样的条件时，△ ACD ∽△ ABC.
l
E
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
25.4 相似三角形的判定
第2课时
学习目标
1
理解定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三
角形相似”；（重点）
2
会利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角
形相似.
新课导入
知识回顾
判断两个三角形相似,你有哪些方法？
四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝
②
①
④
OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( B ) .
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．②与④相似
解析：根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.
③
随堂训练
2.已知：如图，在△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．
A
试增添一个条件使△ ACP∽△ABC．
分析：此题属于条件开放性问题，由图可知，△ ACD 与△ ABC 已有公共角∠ A，
要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法再寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ ACD ∽△ ABC.
条件1 ：∠ 1 ＝∠ B.
条件2 ：∠ 2 ＝∠ ACB.
条件3 ：
，即 2 ＝ AD·AB.
B1
C1
两角分别
相等
新课导入
探究 画两个三角形，使每一个三角形的两个内角分别为∠，∠.
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角
相似
对应相等，那么这两个三角形_______．
一定需三个角对应
相等吗？
知识讲解
探究
如图所示,在△ABC和△A'B'C' 中，∠A=∠A',
F
知识讲解
典型示例
例1 已知:在△ABC与△A'B'C'中, ∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=
8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.
求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明：∵
∴
AB
4，
AB 11
AC
8
4，
AC 22 11
AB
AC
.
AB AC
又∵∠A=∠A'=60°,
A1
A
符号语言表示为：
在△ABC 与△A1B1C1 中，
如果
=
, ∠A =∠A1，
B
C B1
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
注意
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
C1
知识讲解
想一想： 如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形是否相似呢？
C
D
A
B
E
两个三角形不相似.
∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴△ADE∽△ABC.
AB AC BC
AD AE DE
∴
，∴
.
AB
AC
BC
AB AC BC
又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
∴△ABC∽△A'B'C'.
知识讲解
总结
定理：
两角对应相等的两个三角形相似.
A1
A
符号语言表示为：
在△ABC 与△A1B1C1 中，
∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
∴ AE＝6-2.1＝3.9 ，
∴ AE：AB =3.9：7.8=1：2，
AD：AC =3：6=1：2，
∴ AE：AB =AD：AC，
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∵
＝ ，
＝ .
1
a
1
AD
a
DQ 2
BP 3PC ,∴ PC a,∴
2,
2,
4
QC 1a
PC 1 a
2
4
又∵∠ D ＝∠ C ＝ 90°，
∴ △ ADQ ∽ △ QCP.
知识讲解
练一练
1.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且
△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ A ）
学过的相似三角形的判定：
方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边,所构成
的三角形与原三角形相似;
方法2：两角对应相等的两个三角形相似;
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
C.∠A=∠D=50° ,AB=3 , AC=5 , DE=6 ,DF=10;
D.∠B=∠E=70° , AB：DE=AC：DF .
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，
如果不是夹角，则它们不一定会相似．
随堂训练
3.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，
A
试说明△ADE ∽ △EFC.
∴△ABC∽△A'B'C'.
知识讲解
例2
如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上
的一点，且BP ＝ 3PC，Q 是CD 的中点.
求证： △ ADQ ∽ △ QCP.
证明：设正方形的边长为a.
∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC＝CD＝a.
∵ Q 是CD 的中点，∴ DQ ＝ QC
∵ BP ＝ 3PC，∴ PC
∠B=∠B'.
求证△ABC∽△A'B'C'.
思考
(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?
由平行线证明三角形相似
(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角
形相似?
在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接
DE
知识讲解
(3)根据平行线能否证明△ADE与△ABC相似?
25.4 相似三角形的判定
第1课时
学习目标
1
理解定理“两角分别相等的两个三角形相似”；（重点）
2
能灵活地选择定理判定两个三角形相似.
新课导入
知识回顾
1.相似三角形：
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做
相似三角形.
2. 三角形相似的判定：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）
相交，所截得的三角形与原三角形相似.
条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE )
A
(或者∠C＝∠AED )
D
B
E
C
随堂训练
2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ）
A.∠A=∠D=40°, ∠B=∠E=60°,AB=DE;
B.∠A=∠D=60°, ∠B= 40°, ∠E=80°;
（第24题图）
解：（1）△ABC与∽ FOA,因为直线l垂直平分线段AC，
所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90° ，
所以△ABC ∽ △FOA.
（２）四边形AFCE 是菱形， △ AOE ≌ △ COF，
所以AE＝CF，又因为AE＝CE，AF＝CF，
所以，AE＝CE＝AF＝CF，所以四边形AFCE是菱形.
＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
解：∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
∴ AE＝6-2. 1＝3.9，
由于
≠
，
∴ △ADE与△ABC不会相似．
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由．
随堂训练
解： 不同意，理由如下：
能
(4)根据已知条件△A'B'C'与△ADE是否全等?
由
(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?
知识讲解
证明:如图所示,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长
线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.
∵∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'.
∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2，AC=8,
∴ AB =4.
知识讲解
5. 如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段
AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB 的延长线
交于点E,F.
A D
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
O
（2）试判定四边形AFCE 的形状，
并说明理由.
F
B C
新课导入
问题导入
问题1： 观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？
相似
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等.
问题2： 三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
相似
新课导入
探究
在△ABC 与△A1B1C1中，
A1
A
B
C
∠A =∠A1， ∠B =∠B1，
是否有△ABC ∽ △A1B1C1？
知识讲解
练一练
在△ABC 中， D、E 分别是AB、 AC
延长线上的
点，且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE 相似．
解:
∵ DE∥BC,
∴ ∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠EAD＝∠CAB,（对顶角相等）
∴△ADE∽△ABC.
（两组角分别相等的两个三角形相似.）
随堂训练
1.如图，已知：点E在AC上，若点D在AB上，则满足
B.AB 2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CD
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一
点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，
DE=3，则AD的长为（ B ）
A．3
B．4
C．5
D．6
A
B
D
C
随堂训练
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个
B′
上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE.
C′
A
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC ，
D
E
∴ AD:AB=AE:AC ，
∴DE∥BC ，
∴△ADE∽△ABC ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
B
C
知识讲解
相似三角形判定
定理： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图所示,此时，
=
1
，
3
=
1
，
3
∠=∠,
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的
两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形一定相似吗？
一定相似
新课导入
已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝
A′
∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)
P
解：⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC.
所以，增添的条件可以是
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC.
1
2
B
C
随堂训练
3.如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD
方法1：通过定义
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形. （不常用）
方法2：通过平行线
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
方法3：两角对应相等的两个三角形相似.
新课导入
探究： 如果有一点E 在边AC上，那么点E 应该在什
么位置才能使△ADE ∽ △ABC 相似呢？
解 : ∵DE∥BC，
D
E
∴∠ADE＝∠B,
∠AED＝∠C.
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC .
∴ ∠AED＝∠C.
∴△ADE ∽ △EFC.
B
F
C
随堂训练
4.如图， ∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB 的长.
解： ∵ ∠A= ∠A，∠ABD=∠C ,
∴ △ABD ∽△ACB ,
∴ AB :AC=AD :AB,
如果∠A =∠A1， ∠B =∠B1，
B
C B1
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
注意
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
C1
知识讲解
常见的相似图形
A
C
D
C
A
OOE来自DBB
B
A
C
A
A
D
1
D
E
B
D
C
B
2
E
C
知识讲解
典型示例
例
如图所示，点D 在△ ABC 的边AB 上，满足
怎样的条件时，△ ACD ∽△ ABC.
l
E
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
25.4 相似三角形的判定
第2课时
学习目标
1
理解定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三
角形相似”；（重点）
2
会利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角
形相似.
新课导入
知识回顾
判断两个三角形相似,你有哪些方法？
四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC＝
②
①
④
OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( B ) .
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．②与④相似
解析：根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.
③
随堂训练
2.已知：如图，在△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．
A
试增添一个条件使△ ACP∽△ABC．
分析：此题属于条件开放性问题，由图可知，△ ACD 与△ ABC 已有公共角∠ A，
要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法再寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ ACD ∽△ ABC.
条件1 ：∠ 1 ＝∠ B.
条件2 ：∠ 2 ＝∠ ACB.
条件3 ：
，即 2 ＝ AD·AB.
B1
C1
两角分别
相等
新课导入
探究 画两个三角形，使每一个三角形的两个内角分别为∠，∠.
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角
相似
对应相等，那么这两个三角形_______．
一定需三个角对应
相等吗？
知识讲解
探究
如图所示,在△ABC和△A'B'C' 中，∠A=∠A',
F
知识讲解
典型示例
例1 已知:在△ABC与△A'B'C'中, ∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=
8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm.
求证:△ABC∽△A'B'C'.
证明：∵
∴
AB
4，
AB 11
AC
8
4，
AC 22 11
AB
AC
.
AB AC
又∵∠A=∠A'=60°,
A1
A
符号语言表示为：
在△ABC 与△A1B1C1 中，
如果
=
, ∠A =∠A1，
B
C B1
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
注意
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
C1
知识讲解
想一想： 如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形是否相似呢？
C
D
A
B
E
两个三角形不相似.
∵∠B=∠B',∴DE∥B'C'.∴△ADE∽△ABC.
AB AC BC
AD AE DE
∴
，∴
.
AB
AC
BC
AB AC BC
又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',
∴△ABC∽△A'B'C'.
知识讲解
总结
定理：
两角对应相等的两个三角形相似.
A1
A
符号语言表示为：
在△ABC 与△A1B1C1 中，
∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
∴ AE＝6-2.1＝3.9 ，
∴ AE：AB =3.9：7.8=1：2，
AD：AC =3：6=1：2，
∴ AE：AB =AD：AC，
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
相似三角形的判定： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∵
＝ ，
＝ .
1
a
1
AD
a
DQ 2
BP 3PC ,∴ PC a,∴
2,
2,
4
QC 1a
PC 1 a
2
4
又∵∠ D ＝∠ C ＝ 90°，
∴ △ ADQ ∽ △ QCP.
知识讲解
练一练
1.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且
△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ A ）
学过的相似三角形的判定：
方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边,所构成
的三角形与原三角形相似;
方法2：两角对应相等的两个三角形相似;
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
C.∠A=∠D=50° ,AB=3 , AC=5 , DE=6 ,DF=10;
D.∠B=∠E=70° , AB：DE=AC：DF .
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，
如果不是夹角，则它们不一定会相似．
随堂训练
3.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，
A
试说明△ADE ∽ △EFC.
∴△ABC∽△A'B'C'.
知识讲解
例2
如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上
的一点，且BP ＝ 3PC，Q 是CD 的中点.
求证： △ ADQ ∽ △ QCP.
证明：设正方形的边长为a.
∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC＝CD＝a.
∵ Q 是CD 的中点，∴ DQ ＝ QC
∵ BP ＝ 3PC，∴ PC
∠B=∠B'.
求证△ABC∽△A'B'C'.
思考
(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?
由平行线证明三角形相似
(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角
形相似?
在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接
DE
知识讲解
(3)根据平行线能否证明△ADE与△ABC相似?
25.4 相似三角形的判定
第1课时
学习目标
1
理解定理“两角分别相等的两个三角形相似”；（重点）
2
能灵活地选择定理判定两个三角形相似.
新课导入
知识回顾
1.相似三角形：
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做
相似三角形.
2. 三角形相似的判定：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）
相交，所截得的三角形与原三角形相似.
条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE )
A
(或者∠C＝∠AED )
D
B
E
C
随堂训练
2.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ）
A.∠A=∠D=40°, ∠B=∠E=60°,AB=DE;
B.∠A=∠D=60°, ∠B= 40°, ∠E=80°;
（第24题图）
解：（1）△ABC与∽ FOA,因为直线l垂直平分线段AC，
所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90° ，
所以△ABC ∽ △FOA.
（２）四边形AFCE 是菱形， △ AOE ≌ △ COF，
所以AE＝CF，又因为AE＝CE，AF＝CF，
所以，AE＝CE＝AF＝CF，所以四边形AFCE是菱形.
＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
解：∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
∴ AE＝6-2. 1＝3.9，
由于
≠
，
∴ △ADE与△ABC不会相似．
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由．
随堂训练
解： 不同意，理由如下：
能
(4)根据已知条件△A'B'C'与△ADE是否全等?
由
(5)你能根据上面的分析,完成证明过程吗?
知识讲解
证明:如图所示,在△ABC的边AB,AC(或它们的延长
线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE.
∵∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'.
∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'.
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2，AC=8,
∴ AB =4.
知识讲解
5. 如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段
AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB 的延长线
交于点E,F.
A D
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
O
（2）试判定四边形AFCE 的形状，
并说明理由.
F
B C
新课导入
问题导入
问题1： 观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？
相似
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等.
问题2： 三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
相似
新课导入
探究
在△ABC 与△A1B1C1中，
A1
A
B
C
∠A =∠A1， ∠B =∠B1，
是否有△ABC ∽ △A1B1C1？
知识讲解
练一练
在△ABC 中， D、E 分别是AB、 AC
延长线上的
点，且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE 相似．
解:
∵ DE∥BC,
∴ ∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠EAD＝∠CAB,（对顶角相等）
∴△ADE∽△ABC.
（两组角分别相等的两个三角形相似.）
随堂训练
1.如图，已知：点E在AC上，若点D在AB上，则满足