高精度加减乘除算法

⾼精度加减乘除算法
⾼精度运算
所谓的⾼精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因⼦……）范围⼤⼤超出了标准数据类型（整型，实型）能表⽰的范围的运算。

例如，求两个200位的数的和。

这时，就要⽤到⾼精度算法了。

在这⾥，我们先讨论⾼精度加法。

⾼精度运算主要解决以下三个问题：
基本⽅法
1、加数、减数、运算结果的输⼊和存储
运算因⼦超出了整型、实型能表⽰的范围，肯定不能直接⽤⼀个数的形式来表⽰。

在Pascal中，能表⽰多个数的数据类型有两种：数组和字符串。

（1）数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这⾥是⼀个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；
⽤数组表⽰数的优点：每⼀位都是数的形式，可以直接加减；运算时⾮常⽅便
⽤数组表⽰数的缺点：数组不能直接输⼊；输⼊时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输⼊习惯；
（2）字符串：字符串的最⼤长度是255，可以表⽰255位。

⽤字符串表⽰数的优点：能直接输⼊输出，输⼊时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输⼊习惯；
⽤字符串表⽰数的缺点：字符串中的每⼀位是⼀个字符，不能直接进⾏运算，必须先将它转化为数值再进⾏运算；运算时⾮常不⽅便；
（3）因此，综合以上所述，对上⾯两种数据结构取长补短：⽤字符串读⼊数据，⽤数组存储数据：
var s1,s2:string;
a,b,c:array [1..260] of integer;
i,l,k1,k2:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
{————读⼊两个数s1，s2，都是字符串类型}
l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。

}
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a[k1]:=ord(s1)-48;{将字符转成数值}
k1:=k1-1;
end;
k1:=k1+1;
{————以上将s1中的字符⼀位⼀位地转成数值并存在数组a中；低位在后（从第260位开始），⾼位在前（每存完⼀位，k1减1）}
对s2的转化过程和上⾯⼀模⼀样。

注意的问题：
（1）运算顺序：两个数靠右对齐；从低位向⾼位运算；先计算低位再计算⾼位；
（2）运算规则：同⼀位的两个数相加再加上从低位来的进位，成为该位的和；这个和去掉向⾼位的进位就成为该位的值；如上例：3+8+1=12，向前⼀位进1，本位的值是2；可借助MOD、DIV运算完成这⼀步；
（3）最后⼀位的进位：如果完成两个数的相加后，进位位值不为0，则应添加⼀位；
（4）如果两个加数位数不⼀样多，则按位数多的⼀个进⾏计算；
if k1>k2 then k:=k1 else k:=k2;
y:=0;
for i:=260 downto k do
begin
x:=a+b+y;
c:=x mod 10;
y:=x div 10;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c[k]:=y; end;
3、结果的输出（这也是优化的⼀个重点）
按运算结果的实际位数输出
for i:=k to 260 do write(c);
writeln;
求两个数的加法
program sum;
var s,s1,s2:string;
a,b,c:array [1..260] of integer;
i,l,k1,k2:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
l:=length(s1);
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a[k1]:=ord(s1)-48;
k1:=k1-1;
end;
k2:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
b[k2]:=ord(s2)-48;
k2:=k2-1;
end;
k2:=k2+1;
if k1>k2 then k:=k2 else k:=k1;
y:=0;
for i:=260 downto k do
begin
x:=a+b+y;
c:=x mod 10;
y:=x div 10;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c[k]:=y;
end;
for i:=k to 260 do write(c);
writeln;
end.
优化：
以上的⽅法的有明显的缺点：
（1）浪费空间：⼀个整型变量（-32768~32767）只存放⼀位（0~9）；
（2）浪费时间：⼀次加减只处理⼀位；
针对以上问题，我们做如下优化：⼀个数组元素存放四位数；（integer的最⼤范围是32767，5位的话可能导致出界）。

具体⽅法：
l:=length(s1);
k1:=260;
repeat
s:=copy(s1,l-3,4);
val(s,a[k1],code);
k1:=k1-1;
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
⽽因为这个改进，算法要相应改变：
（1）运算时：不再逢⼗进位，⽽是逢万进位（mod 10000; div 10000);
（2）输出时：最⾼位直接输出，其余各位，要判断是否⾜够4位，不⾜部分要补0；例如：1，23，2345这样三段的数，输出时，应该是100232345⽽不是1234567。

改进后的算法：
program sum;
var s1,s2:string;
a,b,c:array [1..260] of integer;
i,l,k1,k2,code:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
l:=length(s1);
k1:=260;
repeat
s:=copy(s1,l-3,4);
val(s,a[k1],code);
k1:=k1-1;
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k1:=k1+1;
l:=length(s2);
k2:=260;
repeat
s:=copy(s2,l-3,4);
val(s,b[k2],code);
k2:=k2-1;
s2:=copy(s2,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k2:=k2+1;
if k1
y:=0;
x:=a+b+y;
c:=x mod 10000;
y:=x div 10000;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c[k]:=y;end;
write(c[k]);
for i:=k+1 to 260 do
begin
----if c<1000 then write('0');
----if c<100 then write('0');
----if c<10 then write('0');
----write(c);
end;
writeln;
end.
⾼精度减法
1、和⾼精度加法相⽐，减法在差为负数时处理的细节更多⼀点：当被减数⼩于减数时，差为负数，差的绝对值是减数减去被减数；在程序实现上⽤⼀个变量来存储符号位，⽤另⼀个数组存差的绝对值。

2、算法流程：
（1）读⼊被减数S1，S2（字符串）；
（2）置符号位：判断被减数是否⼤于减数：⼤则将符号位置为空；⼩则将符号位置为“-”，交换减数与被减数；（3）被减数与减数处理成数值，放在数组中；
（4）运算：
A、取数；
B、判断是否需要借位；
C、减，将运算结果放到差数组相应位中；
D、判断是否运算完成：是，转5；不是，转A；
（5）打印结果：符号位，第1位，循环处理第2到最后⼀位；
3、细节：
▲如何判断被减数与减数的⼤⼩：字符串知识
（1）⾸先将两个字符串的位数补成⼀样(因为字符串的⽐较是从左边对齐的；两个字符串⼀样长才能真正地⽐较出⼤⼩)：短的在左边补0
k1:=length(s1);
k2:=length(s2);
if k1>k2 then for i:=1 to k1-k2 do s2:='0'+s2。