二次函数应用题专项练习

二次函数应用题分类解析
1.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为
了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费
是x（十万元）时，产品的年销售
量将是原销售量的y倍，且y是x
的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与
广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利
润随广告费的增大而增大？
2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30
元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查
发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一
天时，按整天计算）。

设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成顶点式，写出顶点
坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单
价定为多少元时日均获得最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价
最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线
顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩
形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长
能否等于8dm？
4.某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经
销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售
该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价
x(元)的函数关系式;
(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)
当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?
(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用
(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范
围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多
少元?
4．如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动
点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线
的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：
点D一定在l2上；(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩
形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；
如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值 .
5．如图，已知二次函数y=-
2
1
x2+4x+c的图像经过坐标原点，
并且与函数y=
2
1
x 的图像交于O、A两点．
(1)求c的值； (2)求A点的坐标；
(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图像交于点E，
求线段EF的最大长度．
6．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法
是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点
的横坐标就是该方程的解．
(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法
(2)已知函数y=x 3的图象(如图)：求方程x 3
-x-2=0的解．(结果保留2个有效数字) 7．已知抛物线y ＝ax 2
＋b x ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c ，写出为何值时，y ＞0．
8．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，
长方形的长为8 m ，宽为2 m ，隧道最高点P 位于A B 的 中央且距地面6 m ，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高4 m ，宽2 m ，能否从该隧道内通过，为什么? (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?
9．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m 。

(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
10、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价
为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
11、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
12、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式
（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
13、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．
5.831
5.916
6.083
6.164）
14、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，
且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数
y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
（1）求一次函数
y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．。